PROPOSICIONES.

Una proposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas simultaneamente.
Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como: p, q, r, etc. (llamadas variables proposicionales). Cuando se trata de representar muchas proposiciones similares se usan subíndices para indicar cada una de ellas. Esto es.

P1, P2, P3……….Pn

Observación

1. Aquellos enunciados que indican una pregunta, un orden o una exclamación, son expresiones no proposicionales.


Ejemplos: a) Viva el Perú

b) ¿Qué edad tienes?


c) Prohibido fumar.


2. Los enunciados que usan las palabras “él”, “ella” y los símbolos x, y, z, no tienen la propiedad de ser verdadero o falso, es decir, no son proposicionales. Sin embargo si una de estas palabras y símbolos se asignan un determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es una proposición. a este tipo de enunciado se le llama proposiciones abiertas.


Ejemplos: a) el esta jugando tennis.


b) x+2>5


c) 2x+3y = 8




Estructura de la proposición. Toda proposición tiene un sujeto un verbo y un predicado al igual que una simple oración en la lingüística.


Ejemplo.


• Las flores son hermosas.
Sujeto Verbo ↑
Predicado


• Las casas estan muy caras
Sujeto Verbo ↑
Predicado




















También se usan proposiciones que carecen del verbo ser o estar.
Ejemplos


• 15+8 = 23


• Losjugadores vinieron de juerguear.



• Los Lobos comen carne cruda.

También en las proposiciones no se presente el sujeto, pero sin embargo el sujeto es implícito.

• Quiso jugar en el medio tiempo, el sujeto implícito es “yo”.


• Hubo un incendio, el sujeto implícito es “en tal lugar”.



• Erupciona el volcan. el sujeto implícito es “hoy”.


Proposiciones Lógicas.

Definición.
Lógica es el estudio de los procesos validos del razonamiento humano. Existen dos tipos de razonamiento: El razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo.
El razonamiento inductivo es el medio por el cual una persona, en base de sus experiencias especificas. El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio según el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea.

Son proposiciones Lógicas

1. Los enunciados con valor objetivo.


Ejemplos: Luna es el satélite natural de la tierra


José es doctor


El mar es grande.

2. Los enunciados que indican personajes ficticios relacionandolo con la realidad.

Ejemplos: Hidra es un personaje mítico de una obra.


Los elfos son personajes ficticios.






3. Toda formula de la ciencia que son considerados leyes o principios.
Ejemplos: p ^ q


p → q = p v q


(a + b)² = a² + 2ab + b²




No son proposiciones lógicas.

1. Los enunciados que expresan algo.
• Deseos: Como quisiera tener un carro.
Como me gustaría un helado.Estos enunciados expresan algo.


• Duda: ¿Voy al cine o al teatro? .Expresa algo


• Interjección: ¡Miarda Expresa algo.



• Preguntas: ¿Cuantos años tienes


• Pedidos: Mes prestas tu lapicero.



• Suplica: ¡Por favor suéltame!


• Ordenes: ¡Silencio ¡No Tomes!



2 Los enunciados que usan personajes ficticios.


Ejemplos: Pinocho se convirtió en burro.


Cenicienta comió la manzana envenenada.


Los duendes se robaron las galletas de la mesa.




3. Las frases o refranes.


Ejemplos: “Camarón que se duerme se lo lleva la corriente”


“Guerra avisada no mata gente”


“Todos se mojan cuando cae la lluvia”








4. Los enunciados abiertos.


Ejemplos: x es mayor que y.








Proposiciones Simples y Compuestas.


Proposiciones Simples. También llamadas atómicas o elementales, son aquellos que constan de un solo sujeto y un solo predicado. Su valor se obtiene de la disciplina o suceso de donde proviene.

Ejemplos: a) p: El angulo recto mide 90º
V (p) = V, por los conceptos de la geometría elemental.


b) q: José Angel Buesa es el autor del poema “Filosofía del amor”
V (q) = F, es falso por que según la historia el autor es M. Gonzales Prada.


c) s: 8+7 = 15.
V(s) = V, por los conceptos dados en la matematica.


d) d: El Perú es mas pobre que Chile.
V (d) = V, por las ultimas estadísticas.


e) José es doctor.




Proposiciones Compuestas. Llamadas también moleculares o coligativas son aquellas que estanconstituidas por dos o mas proposiciones simples. En la composición de proposiciones simples, estas estan ligadas por ciertas palabras tales como “y”, “o”, “si, entonces”, “si y solo si”, “no”, “pero”, etc. Y constan de uno o mas operadores lógicos.



Ejemplos: a) La proposición. “El terreno es muy fuerte y hay suficiente lluvia”, es la compuesta de las proposiciones atómicas “El terreno es muy fértil”, “Hay suficiente lluvia”.



b) La proposición. “Si estamos en diciembre entonces llegara la navidad”, usa el conectivo “Si…, entonces” que actúa sobre las proposiciones simples “Estamos en diciembre”, “Llegara la navidad”.






La Negación

Se denomina proposición negativa de la proposición afirmativa “p” a otra que se denota por “~ p” y se lee “no p” o “no es cierto que p” o también “es falso que p”, “es mentira que p”, y cuya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla



|p |~ q |
|V |F |
|F |V |







Ejemplo: a) Es cielo es azul.

b) No es cierto que el cielo es azul

c) El cielo no es azul

d) el cielo es blanco.




Como ven la letras b y c niegan a la letra a en cambio la letra d no es la negación sino es como otro enunciado verdadero.



Se denotaría de la siguiente manera “El cielo es azul = p” y luego “No es cierto que el cielo es azul = ~ p”. La negación solo niega al enunciado ya sea verdadero o falso convirtiéndolo en su contrario o sea si el enunciado fuera falso y te pide la negación de ese enunciado resolviendo en la tabla la negación del enunciado falso seriaverdadero.





Operaciones con Proposiciones: Así como en aritmética y en algebra se estudian operaciones entre números, en lógica se estudia las operaciones entre las proposiciones.






La conjunción:

Dados las dos proposiciones “p” y “q”, la conjunción es el resultado de componer estas proposiciones con el conectivo lógico “y”.Se denota por el símbolo “^”.
Se escribe “p ^ q” y se lee “p y q” o también “p pero q”, “p así mismo q”, “p por tanto como q”, etc.



Ejemplo 1. Sean las proposiciones: p= La tiza es blanca
q= 6 es un numero primo.

A partir de estas proposiciones simples obtenemos la nueva proposición uniéndolas mediante la conjunción “y”.


r = La tiza es blanca y 6 es un numero primo.

m = Maria es medica y jorge es ingeniero.

p = Marte es un planeta y la Luna es un satélite natural.

w = Perú es pobre y sin democracia.

f = En el Perú hay pobreza sin embargo el gobierno no
hace nada

g = Loreto es un departamento pero Iquitos no lo es.

r = La tiza es blanca y 6 es un numero primo.

Como ven la conjunción “y” expresa la unión de las preposiciones “La tiza es blanca”, “6 es un numero primo”.

Aquí podemos observar que la proposición V (p V y la proposición V (r)= F es o quiere decir que solo cuando las 2 proposiciones verdaderas sean verdaderas la proposición conjuntiva sera totalmente verdadera, en cualquier otro caso es falsa.
Representación de la conjunción en la tabla de la verdad



|p |q |p ^ q |
|V |V |V |
|V |F |F |
|F |V |F|
|F |F |F |



Ejemplo 2. Determinar el valor de verdad de la proposición.
r: “23+4+5=35 y 9+5= 14”

Solución: Averiguaremos si las proposiciones son verdaderas o falsas.
Sean la proposición p: 23+4+5 = 35 → V (p) = es falsa (F
q: 9+5= 14 → V (q) = es verdadera (V)


Luego según la tabla de la verdad de la conjunción:
Por lo tanto como una de las proposiciones es falsa y otra verdadera la proposición es totalmente falsa.

Proposición conjuntiva es falsa. Veamos: V(r) = V (p^q) = F.


Nota: Hay palabras como “pero”, “a la vez”, “sin embargo”, “ademas”, “aunque”. “no obstante”, etc., que también unen proposiciones conjuntivamente y se puede simbolizar por el conectivo “^”.



La disyunción. se llama disyunción o suma lógica de la proposición “p” y “q”, dadas en ese orden, a la proposición que se obtiene enunciado “q” a continuación de “p” unidas ambas por el conectivo “o” esto es: y se denota por el símbolo “v” y se lee “p v q”.

Ejemplos. a) La proposición: “La luna es verde o 123 es un numero par” es la disyunción de: p= La luna es verde→V (p) = F
q= 124 es un numero par→V (q V



Aquí podemos decir que la disyunción es verdadera, pues el uso habitual del conectivo “o” establece una alternativa: alguna de los dos componentes se cumple. Como es cierto que 124 es par no importa que la luna sea de color verde o de cualquier otro color, ya que uno de los dos componentes es verdadero en este caso podemos escribir que
V (poq)= V.





La disyunción inclusiva.
Dado las dos proposiciones p y q, ladisyunción inclusiva o “débil”, es una proposición coligativa, coligativa significa unirse unos con otros para algún fin; entonces se puedo decir que une las preposiciones “p” y “o” con el conectivo que antes ya se vio “o”, el cual se representa con el símbolo “v”, se escribe “p v q” y se lee “poq”. La regla practica es: La proposición de disyunción inclusiva si y solo si por lo menos una ce las dos proposiciones es verdadera, resultando falsa solo cuando las dos son falsas.



Su tabla de la verdad es


|p |q |p v q |
|V |V |V |
|V |F |V |
|F |V |V |
|F |V |F |




La disyunción exclusiva.
En este caso la letra “o” suele usarse en sentido excluyente, en cuyo caso la conectividad proposicional se simboliza por “Δ”, se llama disyunción exclusiva o fuerte, se escribe pΔq y se lee “p o q pero ambos no”, esto es, se da exactamente una de las dos alternativas no puede ser ambos ciertas. Y su regla practica es: la proposición disyuntiva fuerte o exclusiva sera verdadera si y solo si una des sus componentes es verdadera y no las dos, resultando falsa en otros casos



Su tabla de la verdad es:

|p |q |p Δ q |
|V |V |F |
|V |F |V |
|F |V |V |
|F |F |F |



Ejemplos: Los mitos son reales o mentiras.

Me voy al teatro o al cine.

Viajo a Lima o a Cuzco.

Me compro un carro o una moto.

Pedro es profesor salvo que solamente sea doctor.Marcos es marinero excepto que sea abogado.




La condicional o implicación.
Dadas las preposiciones “p” y “q” se denomina proposición condicional o implicativa a la que resulta de unir p y q por el conectivo “si,…, entonces” que se denota por el símbolo “→”, se escribe “p→q” y se lee “si p, entonces q” o sino “p sólo si q”, etc. en donde p es el antecedente o condición y q es el consecuente o condición. Si se quiere expresar su tabla de la verdad seria de la siguiente manera.

|P |q |p → q |
|V |V |V |
|V |F |F |
|F |V |V |
|F |F |V |






Ejemplos: a) “Jesús no hizo su tarea por lo tanto no ira al cine. “p→q” si se cumple


b) Si Maria consigue ingresar a la UPI entonces obtendra su moto” “p→q” si se cumple.


Para explicarlo mejor: en a) p = Jesús no hizo su tarea (antecedente
q = No ira al cine (consecuente)
La proposición se simboliza p→q

c) Manuel no compro su moto por que no ingreso a la UNAP
p = “Manuel no compro su moto” (consecuente)
q = “Manuel no ingreso a la UNAP” (antecedente)


La simbolización del anterior ejemplo seria: “q→p”

c) Si hay carro entonces iremos de viaje.
p = Si hay carro (antecedente
q = Iremos de viaje (consecuente)


La Bicondicional.

Sean p y q dos proposiciones con las que se forma la siguiente proposición p → q ^ q → p”

Esta nueva proposición esta formada mediante dos implicaciones y una conjunción. Podemos escribir esta proposición haciendo uso de un nuevo conectivo; la escribiremos: “p ↔ q”

El símbolo ↔ es llamado el conectivo bicondicional o doble implicación. Formalizando llegamos a una definición:

Dada dos proposiciones simples p y q, se denomina bicondicional a la proposición definida por la conjunción de la proposición condicional con otra igual:
O sea (p → q) ^ (p → q)
Se denota “p ↔ q” y se lee “p si y solo si q”, o también “p siempre y cuando q”, “p es lo mismo que q”, “p si de la forma q”, “p es idéntico a q”, “p igualmente entonces”, etc.


Hagamos un ejemplo: “Carlos comprara una moto si y solo si obtiene un préstamo del banco”


Si p Carlos comprara una moto
q Carlos obtiene un préstamo del banco

Eso daría a entender que si Carlos se compra una moto entonces es por que obtuvo el préstamo del banco. Y si obtiene el préstamo del banco se comprara la moto.
Si quisiéramos simbolizar esta proposición obtenemos

(p → q) ^ (p → q) ≡ p ↔ q


Ejemplo 2: “Maria ira de viaje siempre y cuando apruebe matematica”

Si p = Maria ira de viaje.
q = Maria apruebe matematica.


Ejemplo 3: “Para que Pedro pueda viajar es suficiente y necesario tener dinero”


La tabla de la verdad de la bicondicional es que si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces la bicondicional q ↔ q es verdadera, y si p y q tienen valores opuestos, entonces p ↔ q es falsa.


|p |q p ↔ q) ^ (p ↔ q) |
|V |V |V|V |V |
|V |F |F |F |V |
|F |V |V |F |F |
|F |F |V |V |V |


Jerarquía de los conectores.

Conectores Lógicos u Operadores Lógicos.

Los términos “y”, “o”, “sientonces”, y “si y solo si”, se llaman conectivos lógicos porque sirven para UNIR dos o mas proposiciones simples o compuestas.



|Lenguaje Coloquial |Lenguaje Simbólico |
|y |^ |
|o |v |
|NO |~ |
|Si…entonces |→ |
|…Si y solo si… |↔ |




Leyes Lógicas o Tautológicas
Una forma proposicional es una ley lógica si y solo si cualquiera que sea la interpretación formalmente correcta que se haga de la misma, se obtiene como resultado una verdad lógica y son las siguientes

Ejemplo: → ~ p es una tautológica.


• Ley de Identidad (reflexividad
Una proposición solo es idéntica a si misma. Se expresa por
p → p y p ↔ q
• Ley de no Contradicción.
Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez.
Se expresa por
~ (p ^ ~ p)
• Ley del tercio Excluido.
Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una terceraposibilidad. Se expresa por
p v ~ p






Cuando todos los valores de la proposición es falsa, a esta se lo llama Contradicción.

Cuando unos son V y otros F, la proposición se llama Contingencia.

Ejemplo
Halle la tabla de la verdad de la proposición ~
Resolución.


|P |~ |
|V |F |V |
|F |F |F |
|V |V |V |
|V |F |V |
|F |V |F |
|F |F |V |

Ó

|p |q |q v ~ p |
|1 |1 |1 |
|1 |0 |1 |
|0 |1 |0 |
|0 |0 |1 |


6. Dado el siguiente circuito

q


r

p q r


r ~ q

Su equivalencia es.

(q v r) v

(q v r) v

(q v r) v

(q v r) v

(q v r) v

^

(q v r) ^

(q v r) ^

q v r

7. De la falsedadde (p → ~ q) v (~ r → s
Deducir el valor de verdad de:


a. (~ p ^ ~ q) v ~ q

b. [(~ r v q) ^ q] ↔ [(~ q v r) ^ s]

c. (p → r) → [(p v q) ^ ~ q]


Solución.

(p → ~ q) v (~ r → s) = F

p → ~ q = F según la tabla de los valores

Se sabe que V (p) = V ~ r → s = F

~ q = F q = V ~ r = F r = V
s = F

Ya obtuvimos los valores de p, q, r, s ahora desarrollaremos las demas preguntas.

a. (~ p ^ ~ q) v ~ q = ~ q ≡ ~ V ≡ F
b. [(~ r v q) ^ q] ↔ [(~ q v r) ^ s]
q sabemos los valores de ~ q, s y r por tanto reemplazaremos (F v F) ^ F V ↔ F = F
c. (p → r) → [(p v q) ^ ~ q]
V → F
F → ~ q= F ≡ V como la propiedad de la condicional lo afirma si el antecedente es verdadero y el consecuente falso la proposición sera falsa pero como en este ejercicio el antecedente es F y el consecuente F la proposición es V.


























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Libros


• Matematica Basica 1 autor: Figueroa G. Editorial: América Lima/Perú.


• Formulario de Matematica colección “Mi academia” editorial: San Marcos


• Matematica 1 autor: Manuel Coveñas Naquiche. Editorial: Coveñas S.A.C


• Matematica Progresiva 6 autores: Nelson Londoño y Hernando Bedoya. Editorial: Norma Bogota/Colombia.


• Matematica 4 autor: Manuel Coveñas Naquiche. Editorial: Coveñas S.A.C