Coordenadas Polares
Para obtener ecuaciones que nos den un conjunto de coordenadas polares de
un punto, cuando conocemos sus coordenadas cartesianas rectangulares,
hacemos la siguiente transformación
x=r cosθ yy=r senθ
Si se tiene las ecuaciones en coordenadas polares se puede llevar a
coordenadas cartesianas haciendo las siguientes transformaciones:
Al elevar al cuadrado ambas ecuaciones y luego sumar tenemos que
x2+y2=r2
Luego r=x2+y2
Y dividiendo las ecuaciones tenemos que
tanθ=yx
Luego θ=tan-1(yx)
Graficas en coordenadas polares
La ecuación θ=C, es una recta que pasa por el polo y forma un angulo de C
radianes con el eje polar. La misma recta la da la ecuación θ=C±nπ.
Toda recta paralela al eje polar y=b, en forma polar es r senθ=b

Toda recta paralela al eje π/2 (perpendicular al eje polar) x=a , en forma
cartesiana es r cosθ=a.
La grafica de la ecuación r=C, es una circunferencia cuyo centro esta en el polo
y su radio es C. La misma circunferencia la da la ecuación r=-C.
Una circunferencia que contiene elorigen (el polo) y tiene su centro en el punto
con coordenadas cartesianas a,b y radio a2+b2, la ecuacion cartesiana sera:
x2+y2-2ax-2by=0, luego una ecuacion polar de la circunferencia es r=2a
cosθ+2b senθ.
Si b=0, se tiene r=2a cosθ que es la ecuacion polar de la circunferencia conradio a, centro en el eje polar, y tangente al eje π/2. Si a>0, la circunferenciaesta a la derecha del polo, y si a<0, la circunferencia esta a la izquierda del polo.
Si a=0, se tiene r=2b senθ que es la ecuacion polar de la circunferencia conradio b, centro en el eje π/2, y tangente al eje polar. Si b>0, la circunferenciaesta arriba del polo, y si b<0, la circunferencia esta debajo del polo.
Simetría en coordenadas polares

Simetría con respecto al eje polar:
Ocurre si se obtiene una ecuación equivalente para una ecuación en
coordenadas polares cuando (r,θ) se sustituye por (r,-θ+2nπ) o bien (-r,π-
θ+2nπ)
Simetría con respecto al eje π/2:
Ocurre si se obtiene una ecuación equivalente para una ecuación en
coordenadas polares cuando (r,θ)se sustituye por (r,π-θ+2nπ) o bien (-r,-
θ+2nπ)
Simetría con respecto al polo:
Ocurre si se obtiene una ecuación equivalente para una ecuación en
coordenadas polares cuando (r,θ) se sustituye por (-r,θ+2nπ) o bien
(r,π+θ+2nπ)
Curvas de interés
Caracoles (Limazones):
Si a>0 y b>0
r=a±b cosθ , simétricos con respecto al eje polar. Apunta a la derecha cuando
el signo es positivo, o a la izquierda si el signo es negativo.
r=a±b senθ, simetricos con respecto al eje π/2. Apunta hacia arriba cuando el
signo es positivo, o hacia abajo si el signo es negativo.
Hay cuatro tipos;
1.Caracol con lazo si 0<ab<1
2. Cardioidesi ab=1
3. Caracol con hendidura si 1<ab<2
4.Caracol convexo si ab≥2
Rosas (o roseta):
r=acosnπ o bienr=asennθ
Tienen n hojas si n es par y 2n si n es par.
Espiral de Arquimedes: r=nθ
Lemniscata: r2=asen2θ o bienr2=acos2θ
Area en coordenadas polares
Sea R la región limitada por las rectas θ=α y θ=β y las dos curvas cuyas
ecuaciones son r=f(θ) y r=g(θ), donde f y g son continuas en elintervalo
cerrado α,β y fθ≥g(θ) en α,β. Entonces si A unidades cuadradas es el area de la
región R
A=12abf(θ)2-g(θ)2 dθ
Integrales Impropias
Con límites de integración infinitos
a)Si f es continua para toda x≥a, entonces
a+∞fx dx=limb→+∞abfx dx
Si el límite existe.
b) Si f es continua para toda x≤b, entonces
-∞bfx dx=lima→-∞abfx dx
Si el límite existe.
c) Si f es continua para todos los valores de x y c es cualquier número real,
entonces
-∞+∞fx dx=lima→-∞acfx dx+limb→+∞cbfx dx
Si el límite existe.
Otras integrales impropias
a)Si f es continua en toda x en el intervalo semiabierto por la izquierda a,b,
ysi
limx→a+fx=±∞
Entonces
abfx dx=limt→a+tbfx dx
Si el límite existe.
b) Si f es continua en toda x en el intervalo semiabierto por la derecha a,b,
ysi
limx→b-fx=±∞
Entonces
abfx dx=limt→b-atfx dx
Si el límite existe
c) Si f es continua en toda x en el intervalo semiabierto por la izquierda a,b
excepto en c donde a<c<b, y si
limx→cf(x)=+∞
Entonces
abfx dx=limt→c-atfx dx+lims→c+sbfx dx
Si el límite existe