Circulo de Mohr o Circunferencia de Mohr.

El círculo de Mohr es una de las pocas construcciones de graficas en ingeniería civil que no ha perdido importancia con la introducción de las calculadoras y las computadoras. La razón para esta vigencia se encuentra en la información, simultaneamente general y detallada, que el circulo de Mohr suministra sobre determinados problemas en ingeniería.

Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil aleman Christian Otto Mohr (1835-1918), uno de los ingenieros mas celebres del siglo XIX.

El círculo de Mohr es un método grafico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecanica de una pieza.

El eje X nos entrega los valores de los esfuerzos normales en los puntos en que corta el circulo (ó1 y ó2). La línea paralela al eje Y que pasa por el centro del círculo muestra los esfuerzos de corte maximo y mínimo al intersecarse con el círculo.

Las aplicaciones de esta construcción de grafica tienen su fundamento en las leyes de transformación de ciertas entidades matematicas llamadas tensores, a las que el círculo de Mohr representa con sencillez y claridad. Una de sus características mas importantes es que, aunque se trata de una solución grafica,su construcción no exige, en la mayoría de las aplicaciones, medidas o escala. Tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de algunos problemas propios de la resistencia de materiales y de la mecanica de suelos.
















APLICACIONES:

El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar graficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el calculo del esfuerzo cortante maximo absoluto y la deformación maxima absoluta.

Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.

Caso bidimensional
En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión maxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos angulos que forman 90º:


NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal  y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial  para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera

Centro del círculo de Mohr:


Radio de la circunferencia de Mohr:


Las tensiones maximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudessimplemente por:



Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:



Caso tridimensional.
El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es mas complicado ya que matematicamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.



Circunferencia de Mohr para momentos de inercia
Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular elmomento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de calculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son analogas a las del calculo de esfuerzos

Centro de la circunferencia:


Radio de la circunferencia:




Otras Aplicaciones:
En Ingeniería geotécnica se utiliza para definir resistencia al corte de suelos y rocas en diferentes casos de tensión efectiva.

En la ingeniería estructural se utiliza para determinar la carga de rotura, así como el angulo de la rotura de una fractura de desplazamiento en materiales ceramicos y similares (como el hormigón).

El círculo de Mohr se utiliza para determinar los angulos donde esas tensiones sean maximas. Generalmente la rotura se producira para el caso de tensión principal maxima.