Estática
Unidad I
Introducción
1.1 Vectores
1.2 Sistemas de Fuerzas
1.2.1 Concepto de fuerza
1.2.2 Descomposición de fuerzas en 2D y 3D
1.2.3 Sistemas de fuerzas concurrentes
Unidad II
Equilibrio de la partícula
2.1 Condiciones para el equilibrio de partículas
2.2 Diagrama de cuerpo libre
2.3 Ecuaciones de equilibrio
2.4 Resultante de sistemas de Fuerzas
Unidad III
Equilibrio de cuerpos rígidos
3.1 Condiciones de equilibrio de cuerpos rígidos
3.1.1 Fuerzas internas y externas
3.1.2 Principio de transmisibilidad
3.2 Diagrama de cuerpo libre
3.3 Ecuaciones de equilibrio
3.3.1 Ecuaciones de equilibrio para diferentes sistemas de fuerzas
3.3.2 Momento de una fuerza respecto a un punto
3.3.3 Momento de una fuerza con respecto a un eje
3.3.4 Sistemas equivalentes
3.4 Restricciones de un cuerpo rígido
Unidad IV
Estructuras simples
4.1 Vigas
4.2 Armaduras
4.2.1 Método de nudos
4.2.2 Método de secciones
4.3 Mecanismos
F= 100 cos30si + 100 sen30sj
F= 86.61i + 50j
D= 60 cos60i + 60sen60sj
D= 30i + 51.963j
(86.61i + 50j) (30i + 51.963j)
1500k – 4499.736
-2999.736
(d) (f) senθ
(60cm) (100Kg) sen30s = 3000 cm Kg
F= 100 cos330si + 100 sen330sj
F= 86.6i + -50j
D= 60 cos60i + 60sen60sj
D= 30i + 51.963j
(86.6i + -50j) (30i + 51.963j)
-1500k – 4499.9k
-5999.90
(d) (f) senθ
(60cm) (100Kg) sen90s = 6000 cm Kg
F= 100cos0si + 100 sen0sj
F= 100i
D= 60 cos60i + 60sen60sj
D= 30i + 51.96j
(30i + 51.96j) (100i) = 5196k
(d) (f) sen60s
(60) (100) sen60s
5196.152
Se aplica una fuerza de 65Kg a una placa de sección Z halla un sistema de
fuerza par.
a) en ‘A’
b) en ‘B’
A) (22i + 10J) x (-32.5 i – 56.29J)
-1238.38 K + 325 K
-913.38 cmKg
B) (16i + 10J) x (-32.5 i – 56.29J)
320.5K – 900.675K
-580.172 cmKg
FXi= 65 cos 240s = -32.5
FYj= 65 cos 240s =-56.29
Una vida de 12m esta sometida a las fuerzas indicadas el sistema dado de
fuerzas A.
a) un sistema de fuerza par equivalente en A.
b) un sistema de fuerza par equivalente en B.
c) una fuerza única resultante
-180Kg
a) 35Kg -155Kg +20 -80Kg =
b)
-1440mKg
∑MB= (4) (-155) + (7) (20) + (12) (80) = 0
∑MB= -620 + 140 -960 =
c)
8m
d=-1440mKg-180m=
Una placa de 10m X 15m soporta 5 columnas que ejercen sobre ella las fuerzas
indicadas hallar el modulo y punto de aplicación de la fuerza única equivalente
a las fuerzas dadas
5600i
(8K) (-700J) =
-360k + 10800i
(3i + 9k) (-1200J) =
-6000i -12000k
(4K + 8i) (-1500J) =
-11200k + 8000i
-6000k
(10i) (-600J) =
(14i + 10k) (-800J) =
4800Kg
∑MO= 30400i – 32800k
R=
Calcula resultante de las cargas y la distanciaentre punto ‘A’ y sus retas de
acción en la viga y sistema de cargas representadas.
(4) (4) = 16mTon
(3)(8) = 24mTon
(12)(2) = 24mTon
16+24+24= 64mTon
7.111m
d=64mTon9 Ton=
Una placa de cimentación de hormigón de 4m de radio soporta cuatro columnas
igualmente espaciadas, cada una de las cuales está situada a 3.5 m del centro
de la placa.
Hallar el modulo y el punto de aplicación de la resultante de
las cuatro cargas.
M1= (-35i) (-20j)= 70k
M2= (3.5K) (-10j) = 35 i
M3= (3.5i) (-30j) = -105 k
M4= (-3.5K) (-20j) = -70 i
- 80J
= -35i – 35k
R= (-20j)+ (-10j) + (-30j) + (-20j) =
3580=0.4375
(0.4375 - 0.4375) (-80j) = -35j -35k
Tipos de armaduras
Una viga en voladizo está cargada según indica la figura.
La viga esta empotrada en el extremo izquierdo y libre en el derecho. Hallar la dirección en el extremo empotrado.
∑Fx= 0: Rx= 0
∑Fy=0: Ry -200Kg -100Kg -50Kg = 0
+350Kg
Ry= 200Kg + 100Kg + 50Kg
Ry=
∑MA= 0
M -(200Kg) (3m) - (100Kg) (8m) – (50Kg) (12m) + M= 0
M - 600Kgm – 800Kgm – 600Kgm = 0
2000 Kgm
M= -600Kgm + 800Kgm + 600Kgm
M=
Una grúa fija pesa 200Kg y se emplea para elevar para elevar una carga de
5000Kg se mantiene fija mediante una articulación en A y unabalancín en B el
centro de gravedad esta situado en G. Hallar las componentes de las reacciones
en A y en B.
-2000 -5000 – RAY = 0
7000
RAY -7000=0
RAY =
∑FX= 0 + -
RAX + RBX = 0
+
-
∑MA=
-2 (200) -6 (5000) + 1.5 RBX=0
22,666.60
-4000 -30000 + 1.5 RBX =0
RBX= 340001.5 =
22,666.60
RAX=
Una barra de poco peso AD está suspendida en una cable BE y porta una carga de
400 Kg en el punto C. Las extremidades A y D están en contacto con paredes.
∑FX= 0; ∑FY= 0; ∑M<0
400
∑FY= 0 -400 – RBY=0
RBY=
+
-
∑MA= 0
-16 (400) + 10(400) + RDX (24) = 0
-6400 + 4000 + RDX (24) = 0
-1000
RDX= -240024=
100
∑FX= 0 + -
-100 + RAX RAX =
∑MB=0; 2(-8000) + 8(-500) + 10(-700) + 11RFY + 14(-514.23) = 0
-16000 + 4000 – 7000 +11RFY -7199.22 =0
3,109.02
11RFY – 34,199.22 = 0
RFY= 34,199.22 11=
∑FY= - 8000 – 500 - 700 – 514.23 + RBY + RFY = 0
RBY – 9714.23 + 3,109.02 = 0
6605.21
RBY – 6605.21 = 0
RBY =
∑FX= 0
612.835
-612.835 + RAX= 0
RAX=
+
-
∑M=0;
∑Fx=0 + -
∑0 - +
2000 (12) 1000 (6) – Rsy (3) = 0
24000 + 6000 -3Rsy= 0
30000 -3 Rsy = 0
-3 Rsy = -30000
10000
Rsy= -30000-3=
∑Fy= -2000 -10000
-R3y + Rsy= 0
R3y= -3000 + Rsy7000
R3y= -3000 + Rsy
R3y= -3000 + 10000 =
Hallar las componentes rectangulares del momento ‘Q’ respecto al origen “0”
Q= 300Kg
4.5
d= (3i +1.5j + 3k) = 3²+1.5²+(3)²
d=
F200i + 100j+ 200k
= 3i + 1.5 + 3k
F=3004.53i +1.5j + 3k=
= -400k + 800j – 300k + 1200j – 300i + 600i
2140.093
= 300i + 2000j – 700k
= 300²+2000²+(700)² =
ENCONTRAR CENTROIDE:
| A | X | Y | QY * Y | Qx*x |
1 | 27 | 3 | 36 | 81 | 972 |
2 | 150 | 16.5 | 29 | 2975 | 4350 |
3 | 90 | 14 | 16 | 1260 | 1800 |
4 | 306 | 4.5 | 17 | 1377 | 5202 |
| 573 | 5143 | 12324 |
∑A=573
21.51
9.06
Y= 12324543=
X=5143573=
Reacciones en los apoyos
Generalmente un objeto o una viga están sujetos a apoyos que le restringen el
movimiento.
Tipos de apoyos más comunes
1.- Apoyo de rodillo 2.- apoyo fijo
1.-un apoyo de rodillo: solo opone resistencias a fuerzas verticales permite
movimientos horizontales.
2.-apoyo fijo: representa un apoyo que puede oponerse
a una fuerza en cualquier dirección.
Las fuerzas ejercidas en sobre la viga por sus apoyos se le
llama reacciones en los apoyos.
Determinar reacciones en apoyos
Si el eje x es paralelo al eje longitudinal de la viga y el eje es trasversal a
este se representa mediante esta ecuación:
∑fya¼0 ∑ma¼0
Ya que si la presencia de cargas es endirección x.se presenta con la ecuación ∑fxa¼0
y se satisface de la misma manera.
Si solo se tiene 2 reacciones desconocidas con los 2 primeros se satisfacen
para determinarla .la viga seria estáticamente determinada y si tuviera más de
dos reacciones seria estáticamente indeterminada.
Fricción Estática
Fricción estática: no se inicia el movimiento si la fuerza tangencial T hace
que el ángulo sea menor a φ0.
Se define como fuerza
de rozamiento o fuerza de fricción entre dos superficies en contacto a la
fuerza que se opone al movimiento de una superficie sobre la otra (fuerza de
fricción dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del movimiento (fuerza de fricción
estática). Se genera debido a las imperfecciones,
especialmente microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas
imperfecciones hacen que la fuerza entre ambas superficies no sea perfectamente
perpendicular a éstas, sino que forma un ángulo φ
con la normal (el ángulo de rozamiento). Por tanto, esta
fuerza resultante se compone de la fuerza normal (perpendicular a las
superficies en contacto) y de la fuerza de rozamiento, paralela a las
superficies en contacto. Para el caso
cinético o dinámico hay evidencia que sugiere que la fricción cinética se
genera debido a enlaces o ligaduras entre los átomos
de los diferentes objetos involucrados.
* |
Rozamiento entre superficies de dos sólidos
En el rozamiento entre cuerpossólidos se ha observado que son válidos de forma
aproximada los siguientes hechos empíricos
1. La fuerza de rozamiento se encuentra en dirección paralela a la superficie
de apoyo.
2. El coeficiente de rozamiento es prácticamente independiente del
área de la superficie de contacto.
3. El coeficiente de rozamiento depende de la naturaleza de los cuerpos en
contacto, así como del estado en que se
encuentren sus superficies.
4. La fuerza máxima de rozamiento es directamente proporcional a la fuerza
normal que actúa entre las superficies de contacto.
5. Para un mismo par
de cuerpos (superficies de contacto), el rozamiento es mayor un instante antes
de que comience el movimiento que cuando ya comenzó.
Algunos autores sintetizan las leyes del
comportamiento friccional en las siguientes dos leyes básicas 1]
1. La resistencia
al deslizamiento tangencial entre dos cuerpos es proporcional a la fuerza
normal ejercida entre los mismos.
2. La resistencia
al deslizamiento tangencial entre dos cuerpos es independiente de las dimensiones
de ambos.
La segunda ley puede ilustrarse arrastrando un bloque
o ladrillo sobre una superficie plana. La fuerza de arrastre será la misma
aunque el bloque descanse sobre una cara o sobre un
borde. Estas leyes fueron establecidas primeramente por Leonardo da Vinci al
final del siglo XV,
olvidándose después durante largo tiempo y fueron posteriormente redescubiertas
por elingeniero frances
Amontons en 1699. Frecuentemente se les denomina también
leyes de Amontons.
Tipos de rozamiento
Existen dos tipos de rozamiento o fricción, la fricción estática (FE) y la
fricción dinámica (FD). El primero es una resistencia, la cual
se debe superar para poner movimiento un cuerpo con respecto a otro que se
encuentra en contacto. El segundo, es una fuerza de magnitud
considerada constante que se opone al movimiento una vez que éste ya comenzó.
En resumen, lo que diferencia a un roce con el otro,
es que el estático actúa cuando los cuerpos están en reposo relativo en tanto
que el dinámico cuando están en movimiento.
El roce estático es siempre menor o igual al coeficiente de
rozamiento entre los dos objetos (número medido empíricamente y que se
encuentra tabulado) multiplicado por la fuerza normal. El roce cinético,
en cambio, es igual al coeficiente de rozamiento, denotado por la letra griega , por la normal en todo instante.
No se tiene una idea perfectamente clara de la diferencia entre el rozamiento
dinámico y el estático, pero se tiende a pensar que el estático es algo mayor
que el dinámico, porque al permanecer en reposo ambas superficies pueden
aparecer enlaces iónicos, o incluso microsoldaduras entre las superficies,
factores que desaparecen en estado de movimiento. Éste
fenómeno es tanto mayor cuanto más perfectas son las superficies. Un caso más o menos común es el del
gripaje de un motorpor estar mucho tiempo parado (no sólo se arruina por una
temperatura muy elevada), ya que al permanecer las superficies, del pistón y la camisa,
durante largo tiempo en contacto y en reposo, pueden llegar a soldarse entre
sí.
Un ejemplo bastante común de fricción dinámica es la
ocurrida entre los neumáticos de un auto y el pavimento en un frenado abrupto.
Como comprobación de lo anterior, se realiza el siguiente ensayo, sobre una
superficie horizontal se coloca un cuerpo, y le aplica un fuerza horizontal F ,
muy pequeña en un principio, se puede ver que el cuerpo no se desplaza, la
fuerza de rozamiento iguala a la fuerza aplicada y el cuerpo permanece en
reposo, en la gráfica se representa en el eje horizontal la fuerza F aplicada,
y en el eje vertical la fuerza de rozamiento Fr.
Entre los puntos O y A, ambas fuerzas son iguales y el cuerpo permanece
estático; al sobrepasar el punto A el cuerpo súbitamente se comienza a
desplazar, la fuerza ejercida en A es la máxima que el cuerpo puede soportar
sin deslizarse, se denomina Fe o fuerza estática; la fuerza necesaria para
mantener el cuerpo en movimiento una vez iniciado el desplazamiento es Fd o
fuerza dinámica, es menor que la que fue necesaria para iniciarlo (Fe). La
fuerza dinámica permanece constante.
Si la fuerza de rozamiento Fr es proporcional a la normal N, y a la constante
de proporcionalidad se la llama :
Y permaneciendo la fuerza normal constante,se puede calcular dos coeficientes
de rozamiento: el estático y el dinámico:
donde el coeficiente de rozamiento estático corresponde al de la mayor fuerza
que el cuerpo puede soportar antes de iniciar el movimiento y el coeficiente de
rozamiento dinámico se refiere al de la fuerza necesaria para mantener el
cuerpo en movimiento una vez iniciado.
Rozamiento estático
Sobre un cuerpo en reposo al que se aplica una fuerza horizontal F, intervienen
cuatro fuerzas
F: la fuerza aplicada.
Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se
opone al movimiento.
P: el peso del
propio cuerpo, igual a su masa por la aceleración de la gravedad.
N: la fuerza normal, con la que la superficie reacciona sobre el cuerpo
sosteniéndolo.
Dado que el cuerpo está en reposo la fuerza aplicada y la fuerza de rozamiento
son iguales, y el peso del cuerpo y la normal:
Se sabe que el peso del cuerpo P es el producto de su masa por la aceleración
de la gravedad (g), y que la fuerza de rozamiento es el coeficiente estático
por la normal:
esto es:
La fuerza horizontal F máxima que se puede aplicar a un cuerpo en reposo es
igual al coeficiente de rozamiento estático por su masa y por la aceleración de
la gravedad.
Rozamiento dinámico
Dado un cuerpo en movimiento sobre una superficie horizontal, deben
considerarse las siguientes fuerzas
F: la fuerza aplicada.
Fr: la fuerza de rozamientoentre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se
opone al movimiento.
Fi: fuerza de inercia, que se opone a la aceleración de cuerpo, y que es igual
a la masa del cuerpo m por la aceleración que
sufre a
P: el peso del
propio cuerpo, igual a su masa por la aceleración de la gravedad.
N: la fuerza normal, que la superficie hace sobre el cuerpo sosteniéndolo.
Como equilibrio dinámico, se puede establecer
que
Sabiendo que:
se puede reescribir la segunda ecuación de equilibrio dinámico como:
Es decir, la fuerza resultante F aplicada a un cuerpo es igual a la fuerza de
rozamiento Fr mas la fuerza de inercia Fi que el cuerpo opone a ser acelerado.
De lo que también se puede deducir:
Con lo que se tiene la aceleración a que sufre el cuerpo, al aplicarle una
fuerza F mayor que la fuerza de rozamiento Fr con la superficie sobre la que se
apoya.
Rozamiento en un plano inclinado
Rozamiento estático
Si sobre una la línea horizontal r, se tiene un plano inclinado un ángulo , y
sobre este plano inclinado se coloca un cuerpo con rozamiento, se tendrán tres
fuerzas que intervienen:
P: el peso del cuerpo vertical hacia abajo según la recta u, y con un valor
igual a su masa por la aceleración de la gravedad: P = mg.
N: la fuerza normal que hace el plano sobre el cuerpo, perpendicular al plano
inclinado, según la recta t
Fr: la fuerza de rozamiento entre el plano y el cuerpo, paralela al plano
inclinado yque se opone a su deslizamiento.
Si el cuerpo está en equilibrio, no se desliza, la suma vectorial de estas tres
fuerzas es cero
Lo que gráficamente seria un triángulo cerrado formado por estas tres fuerzas,
puestas una a continuación de otra, como
se ve en la figura.
Si el peso P del cuerpo se descompone en dos componentes: Pn, peso normal,
perpendicular al plano, que es la componente del peso que el plano inclinado
soporta y Pt, peso tangencial, que es la componente del peso tangencial al
plano inclinado y que tiende a desplazar el cuerpo descendentemente por el
plano inclinado. Se puede ver que el Pn se opone a la normal, N, y el peso
tangencial Pt a la fuerza de rozamiento Fr
Se puede decir que el Pn es la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el plano
inclinado y la normal, N, es la fuerza que el plano inclinado hace sobre el
cuerpo impidiendo que se hunda, Pn = N para que este en equilibrio. El peso
tangencial Pt es la fuerza que hace que el cuerpo tienda a deslizarse por el
plano y Fr es la fuerza de rozamiento que impide que el cuerpo se deslice, para
que este en equilibrio Pt = Fr
Cuando el cuerpo está en equilibrio estas dos ecuaciones determinan la igualdad
de fuerzas, también es necesario saber que:
y que la descomposición del peso es:
Con lo que se determinan las condiciones del equilibrio de un cuerpo en un
plano inclinado con el que tiene fricción. Es de destacar la siguiente
relación:Haciendo la sustitución de N:
que da finalmente como resultado:
El coeficiente de rozamiento estático es igual a la tangente del ángulo del
plano inclinado, en el que el cuerpo se mantiene en equilibrio sin deslizar,
ello permite calcular los distintos coeficientes de rozamiento, simplemente
colocando un cuerpo de un material concreto sobre un plano inclinado del
material con el que se pretende calcular su coeficiente de rozamiento,
inclinando el plano progresivamente se observa el momento en el que el cuerpo
comienza a deslizarse, la tangente de este ángulo es el valor del coeficiente
de rozamiento. Del
mismo modo conocido el coeficiente de rozamiento entre dos materiales podemos
saber el ángulo máximo de inclinación que puede soportar sin deslizar.
Rozamiento dinámico
En el caso de rozamiento dinámico en un plano inclinado, se tiene un cuerpo que
se desliza, y siendo que está en movimiento, el coeficiente que interviene es
el dinámico , así como una fuerza de inercia Fi, que se opone al movimiento, el
equilibrio de fuerzas se da cuando:
descomponiendo los vectores en sus componentes normales y tangenciales se
tiene:
teniendo en cuenta que:
y como en el caso de equilibrio estático, se tiene:
Con estas ecuaciones se determina las condiciones de equilibrio dinámico del
cuerpo con fricción en un plano inclinado. Si el cuerpo se desliza sin
aceleración (a velocidad constante) su fuerza deinercia Fi será cero, y se puede
ver que
esto es, de forma semejante al caso estático:
con lo que se puede decir que el coeficiente de rozamiento dinámico de un
cuerpo con la superficie de un plano inclinado, es igual a la tangente del
ángulo del plano inclinado con el que el cuerpo se desliza sin aceleración, con
velocidad constante, por el plano.
Valores de los coeficientes de fricción
Coeficientes de rozamiento de algunas sustancias |
Materiales en contacto |
Articulaciones humanas | 0,02 | 0,003 |
Acero // Hielo | 0,03 | 0,02 |
Acero // Teflón | 0,04 | 0,04 |
Teflón // Teflón | 0,04 | 0,04 |
Hielo // Hielo | 0,1 | 0,03 |
Esquí (encerado) // Nieve (0sC) | 0,1 | 0,05 |
Acero // Acero | 0,15 | 0,09 |
Vidrio // Madera | 0,2 | 0,25 |
Caucho // Cemento (húmedo) | 0,3 | 0,25 |
Madera // Cuero | 0,5 | 0,4 |
Acero // Latón | 0,5 | 0,4 |
Madera // Madera | 0,7 | 0,4 |
Madera // Piedra | 0,7 | 0,3 |
Vidrio // Vidrio | 0,9 | 0,4 |
Caucho // Cemento (seco) | 1 | 0,8 |
Cobre // Hierro (fundido) | 1,1 | 0,3 |
En la tabla se listan los coeficientes de rozamiento de algunas sustancias
donde
Los coeficientes de rozamiento, por ser relaciones entre dos fuerzas son
magnitudes adimensionales.
Rozamiento entre sólido y fluido
La fricción aerodinámica depende del
régimen o tipo de flujo que exista alrededor del
cuerpo en movimiento:
* Cuando el flujo es laminar la fuerza deoposición al avance puede modelizarse como proporcional a la velocidad del
cuerpo, un ejemplo de este tipo de resistencia
aerodinámica es la ley de Stokes para cuerpos esféricos.
* Cuando el cuerpo se mueve rápidamente el flujo se vuelve turbulento y se
producen remolinos alrededor del cuerpo en movimiento, y como resultado la
fuerza de resistencia al avance es proporcional al cuadrado de la velocidad
(v2), de hecho, es proporcional a la presión aerodinámica.
Rozamiento en medios fluidos
La viscosidad es una medida de la resistencia de un fuído que está
siendo deformado por cualquier esfuerzo cortante o tensión extensional. En
términos generales, es la resistencia de un líquido a fluir,
o su 'espesor'. Viscosidad describe la resistencia interna de un líquido a fluir y
puede ser pensado como una medida de la fricción
del fluido.
Así, el agua es 'delgada', tiene baja viscosidad, mientras que el
aceite vegetal es 'densa', con una mayor viscosidad. Todos los
fluidos reales (excepto los superfluidos) tienen cierta resistencia a la tensión, pero un fluido que no
tiene resistencia al esfuerzo cortante se conoce
como un fluido
ideal o líquido viscoso. Por ejemplo, un magma de alta
viscosidad creará un volcán alto, porque no se puede propagar con suficiente
rapidez; la lava de baja viscosidad va a crear un volcán en escudo, que es
grande y ancho. El estudio de la viscosidad que se conoce como reología.
El modelo más simplede fluido viscoso lo constituyen los fluidos newtonianos en
los cuales el vector tensión debido al rozamiento entre unas capas de fluido y
otras viene dado por
Donde:
, son las componentes de la velocidad.
son las coordenadas cartesinas (x, y, z).
Para un flujo unidimensional la anterior
ecuación se reduce a la conocida expresión
Ejercicio fricción
La rampa de salida peraltada SERWAY
Un ingeniero desea diseñar una rampa de salida curva para un camino de peaje de
manera tal que un auto no tenga que depender de la fricción para librar la
curva sin patinar. Suponga que un auto ordinario recorre la curva con una
velocidad de 13 m/seg y el radio de la curva es 50
metros. Con que ángulo debe peraltarse la curva?
Razonamiento: Sobre un camino nivelado la fuerza
central debe ser suministrada por la fuerza de fricción entre el auto y el
suelo. Sin embargo, si el camino esta peraltado a un ángulo u
, como en la figura 6.5, la fuerza normal
N tiene una componente horizontal N sen u apuntando hacia el centro de la trayectoria circular seguida
por el auto. Supóngase que solo la componente N sen u
proporciona la fuerza central. Por tanto, el ángulo de
peralte que calculemos será uno para el cual no se requiere fuerza fricciónate.
En otras palabras, un automóvil que se mueve a la velocidad correcta (13 m/seg ) puede recorrer la curva incluso sobre una
superficie con hielo.
∑ FX = m aC pero: NX = N sen u
NX= m aC
N sen u = m aC
Ecuación 1
∑ FY = 0
NY – m g = 0 Pero: NY = N cos u
NY = m g
N cos u = m g Ecuación 2
Al dividir 1 entre 2, se cancela N (normal) y la masa m
Tan u = 0,36644
* = arc tan (0,36644)
u = 20,120
Fx= 20Kg
Fy= -30Kg
Fz= 60Kg
70
F=202+-302+602 =
F=
73.398s
Θx= cos-12070 =
115.377s
Θy= cos-1-3070 =
31.003s
Θz= cos-16070 =
Un colgante de una torre está anclado en A la tención en el cable es 2500Kg
hallar:
a) las componentes Fx, Fy, Fz, de la fuerza que actúa sobre el punto A.
b) los ángulos θx, θy, θz, que definen la dirección de la
fuerza.
F= 2500 Kg
F=302+602+222= 70.597
115.14s
Θx= cos-1-3070.59 =
31.80s
Θy= cos-16070.597 =
71.84s
Θz= cos-12270.597 =
-1062.078
2124.736
Fx= (2500) Cos115.14s =
779.0713
Fy= (2500) Cos31.80s =
Fz= (2500) Cos71.84s =
H
allar las componentes X, Y, Z, de la fuerza de 250Kg y los ángulos Θx,
Θy, Θz. La fuerza forma con ejes coordenados.
Fh= 250 Sen30s = 125
113.28Kg
216.509Kg
FX= 125 Cos25s =
52.82Kg
FY=250 Cos30s =
FZ=125 Cos65s =
63.056s
30s
Θx=cos-1113.28250 =
Θy=cos-1216.50250 =
77.80s
Θz=cos-152.82250 =
Fh= 300 Sen60s = 259.80
88.85Kg
150Kg
FX= 259.80 sen20s =
244.132Kg
FY= 300 Cos60s =
FZ= 259.80 Cos20s =
72.77s
Θx=cos-188.85300 =
60s
Θy=cos-1150300 =
35.53s
Θz=cos-1244.132300 =
Varios tirantes están sujetos en A. Latención en AB es 2600Kg y la tención en
AC es 1750Kg hallar la resultante de la fuerza ejercida en el punto A.
Dx = 8, dx =-24 Dz = -12
d=82+-242+-122 =
28
d=784 =
4113.70Kg
R= 13002+39002+1502 =
R=
AC
FAC= 1750Kg
Θx= cos-113004113.70 = 71.58s
Θy=cos-1-39004113.70 = 161.45s
Θz=cos-1-1504113.70 = 92.09s
FAC= F/d (8mi-24mj – 12mk)
FAC= 62.5 (8mi-24mj – 12mk)
FAC= 500 Kgi – 1500Kgj – 750kgk
AB
26
dx= 82+-242+62 =
FAB= 2600Kg
FAB= F/d (8mi-24mj +6mk)
FAB= 100 (8mi-24mj+6 12mk)
FAB= 800 Kgi – 2400Kgj +600kgk
Una caja esta soportada por tres cables. Hallar el valor de “W” sabiendo que la
tención que en el cable BD es de 450Kg.
R= ∑Xi + ∑Yj + ∑Zk
DA
Dx= 1, dy= 3, dz= -1.5
3.5
d= 12+32+-1.52 =
AD= AD3.5(1)i + AD3.53j + AD3.5(-1.5)k
DB
3.91
Dx= -2.5, dy=3m, dz=0
d= -2.52+32+02 =
DB=DB3.5(-2.5)i + DB3.53j
DC Dx= 0, dy=3, dz=4
INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEPIC
FRICCION
UNIDAD 6
ESTATICA
PEREZ GERVASIO DESIDERIO
Anexos de ejercicios
Estática
TECNOLOGICO DE TEPIC
PEREZ GERVASIO DESIDERIO
∑FX= 150 cos53.13s + 50 cos155s + 60Kg cos270s
44.685
∑FX= 90 – 45.315 + 0
∑FX=
∑FY= 150 sen53.13s + 50 sen155s + 60Kg sen270s
81.12
∑FY= 119.99 + 21.13 – 60
∑FY=
92.613
P= 44.6852+ (81.12)² =
61.15s
Θ= tan-181.1244.685 =
∑FX= 50 cos0s + 600 cos45s + 1500 coss105s =
50 +424.26 -388.22 = 86.04
∑FY= 50 sen0s + 600 sen45s + 1500 sen105s =
0 + 424.26 + 1448.88 = 1873.14
1875.115Kg
86.042+(1873.14)² =
87.37s
θ=tan-199.497-42.895 =
=tan-1512=22.61s
∑FX= 200 cos120s + 260 cos292.61s =
-100 + 99.95 = -0.5
∑FY= 200 sen120s + 260 sen292.61s =
173.2 -240.01 = --66.81
66.81
(-0.5)2+ (-66.81 )2=
89.57s
=tan-1-66.81
-0.5=
DETERMINE LA LOCALIZACION DEL CENTROIDE DE LA SIGUIENTE FIGURA CON RESPECTO A
LOS EJES COORDENADOS “X”, “Y”.
9.16149
X= 4425483=
18.0745
Y= 8730483=
fig. | área | x | y | Qy-y | Qx-x |
1 | 276 | 11.5 | 24 | 3174 | 6624 |
2 | 126 | 3.5 | 9 | 441 | 1134 |
3 | 81 | 10 | 12 | 810 | 972 |
| ∑483 | | | | ∑8730 |
ENCUENTRE LOS MOMENTOS DE INERCIA DE LA FIGURA RESPECTO A LOS EJES X-X Y-Y
IX-X= 11212(22)3+A d2
IX-X=10648 + (264) (1089)
IX-X= 298.144m4
IY-Y= 11212322+ A d2
IY-Y= 3168 + 264 (24)2
IY-Y= 3168 + 146304
IY-Y= 155232m4
ENCUENTRE LOS MOMENTOS DE INERCIA DE LA FIGURA RESPECTO A LOS EJES X-X Y-Y
Ix-x= 22(8)312+ 176 (19)2
Ix-x= 938.66 + 63536
IX-X= 64,474.66m4
Ix-x=10(10)312+100(28)2
Ix-x= 833.333 + 78400
Ix-x= 143707.99 cm4
IY-Y=b3h12+ A d
IY-Y=223(8)12+ (176)(21)2
IY-Y= 7098.6666 + 77616 = 84714.666
IY-Y= (10)3(10)12+ 100 (20)2 = 40833.33333
IY-Y= 40833.33333 + 143707.99 = 184540.333333 cm4
