PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Y PRINCIPIO DE PASCAL
El principio de Arquímedes es un principio
físico que afirma que: «Un cuerpo total o parcialmente sumergido en
un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual
al peso del volumen del fluido que
desaloja». Esta fuerza recibe el nombre de empuje
hidrostático o de Arquímedes, y se mide en newton (en
el SI). El principio de Arquímedes se formula así
Donde E es el empuje , ρf es
la densidad del fluido, V el «volumen de fluido desplazado»
por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo, g la
aceleración de la gravedad y m la masa, de este modo, el
empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la
gravedad existente en ese lugar. El empuje (en condiciones normales y
descrito de modo simplificado) actúa verticalmente hacia arriba y
está aplicado en el centro
de gravedad del
fluido desalojado por el cuerpo; este punto recibe el nombre de centro
de carena.
El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba
igual al peso de fluido desalojado.
La explicación del principio de Arquímedes
consta de dos partes como se indica en las
figuras
1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el
resto del
fluido.
2. La sustitución de dicha porción de fluido por un
cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.
La anécdota más conocidasobre Arquímedes, matemático
griego, cuenta cómo inventó un método para determinar
el volumen de un objeto con una forma irregular. De acuerdo
a Vitrubio, arquitecto de la antigua
Roma, una nueva corona con forma de corona triunfal había sido
fabricada para Hierón II, tirano gobernador de Siracusa, el
cual le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha
de oro sólido o si un orfebre deshonesto le había
agregado plata. Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la
corona, así que no podía fundirla y convertirla en un
cuerpo regular para calcular su densidad.
Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua
subía en la tina cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese
efecto podría usarse para determinar el volumen de la corona. Debido
a que la compresión del agua sería
despreciable, la corona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de
agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la
corona por el volumen de agua desplazada, se podría obtener la densidad de la
corona. La densidad de la corona sería menor si otros metales más
baratos y menos densos le hubieran sido añadidos. Entonces, Arquímedes salió
corriendo desnudo por las calles, tan emocionado
estaba por su descubrimiento para recordar vestirse, gritando
'tEureka!' (En griego antiguo: 'εὕρηκα'
que significa 'tLo he encontrado!)'
La historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidos de
Arquímedes, pero en su tratado Sobrelos cuerpos flotantes él da el
principio de hidrostática conocido como el principio de
Arquímedes. Este plantea que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un
empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado
es decir dos cuerpos que se sumergen en una superficie (ej.: agua), y el más
denso o el que tenga compuestos más pesados se sumerge más rápido, es decir,
tarda menos tiempo, aunque es igual la distancia por la cantidad de volumen que
tenga cada cuerpo sumergido.
Demostración
Aunque el principio de Arquímedes fue introducido como principio, de hecho
puede considerarse un teorema demostrable a partir de las ecuaciones de
Navier- Stokes para un fluido en reposo, mediante el teorema de
Stokes (igualmente el principio de Arquímedes puede deducirse
matemáticamente de las ecuaciones de Euler para un fluido en reposo
que a su vez pueden deducirse generalizando las leyes de Newton a
un medio continuo). Partiendo de las ecuaciones de
Navier-Stokes para un fluido
La condición de que el fluido incompresible que esté en reposo implica tomar en
la ecuación anterior , lo que permite llegar a la relación fundamental entre
presión del fluido, densidad del fluido y aceleración de la gravedad:
A partir de esa relación podemos reescribir fácilmente las fuerzas sobre un
cuerpo sumergido en términos del peso del fluido desalojado por el cuerpo.
Cuando se sumerge un sólido K en un fluido, en cadapunto de su
superficie aparece una fuerza por unidad de superficie perpendicular
a la superficie en ese punto y proporcional a la presión del fluido p en ese punto. Si
llamamos al vector normal a la superficie del cuerpo podemos
escribir la resultante de las fuerzas sencillamente
mediante el teorema de Stokes de la divergencia:
Donde la última igualdad se da sólo si el fluido es incompresible.
Prisma recto
Para un prisma recto
de base Ab y altura H, sumergido en posición totalmente
vertical, la demostración anterior es realmente elemental. Por la configuración
del prisma dentro del fluido las presiones
sobre el área lateral sólo producen empujes horizontales que además se anulan
entre sí y no contribuyen a sustentarlo. Para las caras superior e inferior,
puesto que todos sus puntos están sumergidos a la misma profundidad, la presión
es constante y podemos usar la
relación Fuerza = presión x Área y teniendo en
cuenta la resultante sobre la cara superior e inferior, tenemos
Donde pinf es la presión aplicada sobre la cara inferior del
cuerpo, psup es la presión aplicada sobre la cara superior y A es el
área proyectada del cuerpo. Teniendo en cuenta la ecuación general de la
hidrostática, que establece que la presión en un fluido en reposo aumenta
proporcionalmente con la profundidad
Introduciendo en el último término el volumen del
cuerpo y multiplicando por la densidad del
fluido ρf vemos que la fuerza verticalascendente FV es
precisamente el peso del
fluido desalojado.
El empuje o fuerza que ejerce el líquido sobre un cuerpo, en forma vertical y
ascendente, cuando éste se halla sumergido, resulta ser también la diferencia
entre el peso que tiene el cuerpo suspendido en el aire y el 'peso'
que tiene el mismo cuando se lo introduce en un líquido. A éste último se lo
conoce como peso 'aparente' del cuerpo, pues su peso en el líquido
disminuye 'aparentemente'; la fuerza que ejerce la Tierra sobre el
cuerpo permanece constante, pero el cuerpo, a su vez, recibe una fuerza hacia
arriba que disminuye la resultante vertical.
PRINCIPIO DE PASCAL
En física, el principio de Pascal o ley de Pascal, es una
ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise
Pascal (1623–1662) que se resume en la frase: la presión ejercida
por un fluido incompresible y en equilibrio dentro de un recipiente de paredes
indeformables, se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y en
todos los puntos del fluido.
El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca,
perforada en diferentes lugares y provista de un émbolo.
Al llenar la esfera con agua y ejercer presión sobre ella
mediante el émbolo, se observa que el agua sale por todos los agujeros con la
misma velocidad y por lo tanto con la misma presión.
También podemos ver aplicaciones del principio de Pascal en
las prensas hidráulicas, en los elevadores hidráulicos y enlos frenos
hidráulicos.
Aplicaciones del principio
El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamental
de la hidrostática y del
carácter altamente incompresible de los líquidos. En esta clase
de fluidos la densidad es prácticamente constante, de modo que
de acuerdo con la ecuación
Dónde:
, presión total a la profundidad
, presión sobre la superficie libre del
fluido.
, densidad del
fluido.
, aceleración de la gravedad.
, Altura, medida en Metros.
La presión se define como
la fuerza ejercida sobre unidad de área p = F/A. De este modo obtenemos la
ecuación: F1/A1 = F2/A2, entendiéndose a F1 como
la fuerza en el primer pistón y A1 como
el área de este último. Realizando despejes sobre esta ecuación básica podemos
obtener los resultados deseados en la resolución de un
problema de física de este orden.
Si se aumenta la presión sobre la superficie libre, por ejemplo, la presión
total en el fondo ha de aumentar en la misma medida, ya que el término
ρgh no varía al no hacerlo la presión total. Si el
fluido no fuera incompresible, su densidad respondería a los cambios de presión
y el principio de Pascal no podría cumplirse. Por otra parte, si las
paredes del recipiente no fuesen indeformables, las variaciones en la presión
en el seno del líquido no podrían transmitirse siguiendo este principio
Prensa Hidráulica
La prensa hidráulica es una máquina compleja que permite amplificar
laintensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores,
prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria
industrial
La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal
y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste,
en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados
entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un
líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de
secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos
cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el
émbolo de menor sección S1 se ejerce una fuerza F1 la
presión p1 que se origina en el líquido en contacto con él se
transmite íntegramente y de forma casi instantánea a todo el resto del
líquido. Por el principio de Pascal esta presión será igual a la
presión p2 que ejerce el fluido en la sección S2, es decir:
Con lo que las fuerzas serán, siendo, S1 < S2 :
y por tanto, la relación entre la fuerza resultante en el émbolo grande cuando
se aplica una fuerza menor en el émbolo pequeño será tanto mayor cuanto mayor
sea la relación entre las secciones:
El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente
llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la
grúa, entre otras.
Este dispositivo, llamado prensa hidráulica, nos permite
prensar, levantar pesos oestampar metales ejerciendo fuerzas muy pequeñas.
Veamos cómo lo hace.
El recipiente lleno de líquido de la figura consta de dos cuellos de diferente
sección cerrados con sendos tapones ajustados y capaces de res-balar libremente
dentro de los tubos (pistones). Si se ejerce una fuerza (F1) sobre el pistón
pequeño, la presión ejercida se transmite, tal como lo observó Pascal, a todos los puntos del fluido dentro del
recinto y produce fuerzas perpendiculares a las paredes. En particular, la
porción de pared representada por el pistón grande (A2) siente una fuerza (F2)
de manera que mientras el pistón chico baja, el grande sube. La
presión sobre los pistones es la misma, No así la fuerza!
Como p1=p2 (porque
la presión interna es la misma para todos los puntos
Entonces: F1/A1 es igual F2/A2 por lo que despejando un término se tiene que:
F2=F1. (A2/A1)
Si, por ejemplo, la superficie del pistón grande es el cuádruple de la del
chico, entonces el módulo de la fuerza obtenida en él será el cuádruple de la
fuerza ejercida en el pequeño.
La prensa hidráulica, al igual que las palancas mecánicas, no multiplica la
energía. El volumen de líquido desplazado por el pistón
pequeño se distribuye en una capa delgada en el pistón grande, de modo que el
producto de la fuerza por el desplazamiento (el trabajo) es igual en ambas
ramas. tEl dentista debe accionar muchas veces el pedal del
sillón para lograr levantar lo suficiente al paciente!
