Aplicaciones Transformada de Fourier |
La transformada de Fourier usada en la difracción |
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
FES Cuautitlán
Transformadas Especiales
La difracción es un fenómeno de la luz que es
provocado cuando una onda choca con un obstáculo. Es también dicho como
los patrones de interferencia que hace una luz cuando pasa por una apertura.
Para el uso de la
transformada de Fourier es necesario tener varias suposiciones acerca de cómo
vamos a tomar la luz y que debe tomarse en cuenta al aplicar Fourier.
* Debe de ser luz de una fuente distante.
* Se tendrá un plano
con aperturas donde la luz se doblara y tendrá patrones distintos los cuales
serán reflejados en un plano
“imagen”.
* La luz será monocromática es decir solo será una
frecuencia de luz la cual está siendo difractada.
Aquí hablare más a fondo de una y doble aberturas.
Arriba tenemos el esquema de una abertura donde el valor será 1.0 de –a/2 <
x <a/2 y cero en lo demás. En clase llegamos a ver una función parecida a esta solo que no estaba cerrada en los puntos –a/2 y a/2.
Las flechas que se ven por abajo es la fuente de luz.
Nuestra función estará dada por:
K= 2π sinθλ
Para agilizar todo el desarrollo utilice maple como mi transformadorinmediato,
usando la función FourierTransform(Z,[options])
Como resultado nos queda:
F (k) = -∞∞f(x)e-jkxdx = asinat(ka2)ka2
La intensidad es F(k)2. El axis horizontal dado en términos de θ y rango
de –π2hastaπ2
Existen muchos casos especiales de una apertura, tal como
cuando nuestra fuente tenga 3 diferentes longitudes de onda :
Aquí podemos notar como
la intensidad realiza un pique en nuestra onda mientras que cuando disminuye la
onda hace lo mismo.
Entrando en el concepto de 2 aperturas en nuestra imagen nos encontramos con un
simple pique y dos siguientes piques por ambos lados que serán simétricos, con
el mismo tamaño y forma:
Igual como se vio cuando teníamos solo una apertura la intensidad será marcada
por que nuestra onda crecerá más, poco a poco cuando disminuye la intensidad
también nuestra onda ahora con 2 aperturas se hace más pequeña.
Su transformada estará dada por:
Fk=2asin(ka2)ka/2 aˆ™cosat(kb+a2)
Historia de la Ingeniería Industrial
Cuarta etapa (Cibernética y robótica)
El término cibernética fue aplicado por primera vez en 1948 por
el matematico estadounidense Norbert Wiener a la teoría de los
mecanismos de control. La cibernética se desarrolló como
investigación de las técnicas por las cuales la
información se transforma en la actuación deseada.
WHAT IS INDUSTRIAL ENGINEERING? (INGENIERÍA INDUSTRIAL Y EL IDIOMA
INGLÉS) Definition of Industrial Engineering.
The field of engineering is subdivided in several major disciplines like
mechanical engineering, electrical engineering, civil engineering, electronical
engineering, chemical engineering, metallurgical engineering, and also
industrial engineering. Certainly thisdisciplines
engineering. can also be subdivided further.
Industrial Engineering integrates further. knowledge and skills from several
fields of science: From the Technical science: Sciences, Economic Sciences as
well as Human Science - all these can also be supported with skills in
Information Sciences. The Industrial Sciences.
Engineer comprehends knowledge in those sciences in order to increase the
productivity of processes, achieve quality products and assures Labour safety. safety.
Industrial Engineering
Diagramas de Gantt
• Resolvió el problema de la programación de actividades,
es decir, su distribución conforme a un
calendario, de manera tal que se pudiera visualizar el período de
duración de cada actividad, sus fechas de iniciación y
terminación, e igualmente el tiempo total requerido para la
ejecución de un trabajo.
Diagramas de Gantt
Consiste simplemente en un sistema de coordenadas en
el que se indica: • En el eje Horizontal: Un calendario, o escala de
tiempo definido en términos de la unidad mas adecuada al trabajo
que se va a ejecutar: hora, día, semana, mes, etc. • En el eje
Vertical: Las actividades que constituyen el trabajo a ejecutar. A cada actividad se hace corresponder una línea horizontal,
cuya longitud es proporcional a su duración, en la cual la
medición se efectúa con relación a la escala definida en
el eje horizontal.
Diagramas de Gantt
CONTENIDO El diagrama de Gantt consiste en una
representacióngrafica sobre dos ejes; en el vertical se disponen
las tareas del proyecto y en el horizontal se representa el tiempo.
Diagramas de Gantt
Características
• Cada actividad se representa mediante un
bloque rectangular cuya longitud indica su duración; la altura carece de
significado. duración; significado. • La
posición de cada bloque en el diagrama indica los instantes de inicio y
finalización de las tareas a que corresponden. corresponden.
• Los bloques correspondientes a tareas del camino crítico acostumbran
rellenarse en otro color (en el caso del
ejemplo, en rojo). rojo).
Diagramas de Gantt
Tarea Predec. Duración A 2
B
A
3
C
-
2
D
C
3
E
DII+1 BFI-1 D, E, F
2
F
3
G
3
H
GFF
2
Diagramas de Gantt
Método constructivo
• • •
Dibujar los ejes horizontal y vertical. Escribir los nombres
de las tareas sobre el eje vertical. En primer lugar
se dibujan los bloques correspondientes a las tareas que no tienen
prede
Las aperturas estarán separadas por b+a, y el patrón incluye efectos de
interferencia y difracción.
Como vemos nuestra función parte de la original
de una sola apertura pero ahora teniendo 2 enfatizara esto en la función
principal del
seno, multiplicando cosenos para complementar la separación hecha en b+a.
Para finalizar pongo un
ejemplo deN aperturas, donde las franjas o bordes se hicieron mucho más
delgadas con picos menores entre cada pico mayor.
Su transformada estará dada por
Fk=Nasinka2ka/2 aˆ™sinNkb+a2sinat(kb+a2)
Al igual que lo anterior, nuestra función parte de la principal de una sola
apertura. Se hace notar la “N” porque pues lógicamente
tendremos N aperturas.
Tendremos una función que multiplica a la función principal compuesta de senos,
por como
se vio en los ejemplos anteriores y un caso revisado en maple, esta función
complementa los pequeños picos entre cada pico mayor.
CONCLUSION: Como
podemos notar la transformada de Fourier nos ayuda a mostrar estas bellas
aplicaciones de luz y su intensidad en frecuencia.
También muestra los patrones de radiación y como se forma la
imagen.
Existen muchos casos especiales cuando los tamaños de onda empiezan a variar,
creando como
en el 2do ejemplo un cambio de colores. Es complicado tratar
de descifrar las ondas puesto que varían mucho.
Para realizar la transformada yo utilice maple
para facilitar cosas, me enfoque más en explicar cómo se ve aplicada la
transformada y no tanto en cómo sacarla y su desarrollo, que al intentar sacar
el primer ejercicio se comenzó a extender hasta que finalmente decidí por usar un software especializado.
