Funciones lineales y cuadráticas
ACTIVIDADES INICIALES

I.

Un espectador dice: −Creo que el snowboarder alcanza el punto más alto justo a mitad de camino entre el punto de despegue y el de aterrizaje. Otro espectador contesta: −Eso depende de la altura de los dos puntos. sTú qué piensas? Razona tu opinión y debátela con tus compañeros. Actividad abierta

II.

Si te fijas en la foto, la rampa de salto no es horizontal. sPor qué crees que tiene esa inclinación? sCómo la elegirías tú para que el snowboarder llegase lo más lejos posible? Actividad abierta

III.

Juntaos por grupos y haced una lista de situaciones cotidianas en las que aparezca la parábola. Después ponedla en común. Actividad abierta

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1. 2

Actividad resuelta Indica cuáles de las siguientes funciones son de proporcionalidad directa. a) y = –5x b) y = 0,04 + 23x c) y = 1 – x2 d) y = 0,3x e) y = –2x2 f) y = –0,5x + 2

Son de proporcionalidad directa las funciones a y d. 3. sCuál es la constante de proporcionalidad de la función y = x −
y =x−

3x ? 7

3x  3 4 4 =  1 −  x = x . La constante de proporcionalidad es . 7 7 7 7 18

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


4. Expresa cada una de estas funciones mediante una ecuación e indica cuál o cuáles son de proporcionalidad directa. a) A cada número real le corresponde su doble. b) A cada número real le corresponde su doble más cinco. c) A cada número real le corresponde su cuadrado más cinco. a) y = 2x 5. Actividad resuelta 6. (TIC) Indica la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones lineales. Represéntalas a) y = 3x b) y = −
2− x 3
Y y = 3x

b) y = 2x + 5

c) y = x2 + 5

Solo a) es de proporcionalidad directa.

c) y = −1 d) y = 3x +1

e) y =

1 x+3 2

f) y = –5x + 2

a) m = 3, n = 0

d) m = 3, n = 1

Y y = 3x + 1

1 O 1 Y y=– 2–x 3 1 O 1 X X

1 O 1 Y X

b) m = , n = −

1 3

2 3

e) m =

1 ,n=3 2

y = 1x + 3 2 1 O 1 X

Y

c) m = 0, n = −1
1 O 1 y = –1 X

f) m = –5, n = 2
y = –5x + 2

Y

1 O 1 X

7. Halla la ecuación de la función lineal que pasa por el punto A(2, 9) y tiene pendiente –3. m = –3 y = –3x + n Si pasa por A(2, 9), entonces: 9 = –3 2 + n n = 15, y = –3x + 15. 8. Determina y representa la ecuación de lafunción lineal que pasa por los puntos A(2, –1) y B(5, 4).sCuál es su pendiente? –1 = 2 m + n 4=5 m+n m=

13 5 ,n= − 3 3

Y

1

La ecuación es: y =

5 13 x − . 3 3

O

1

X

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 19


9. Indica si están alineados los puntos P(1, 1), Q(2, 3) y R(−1, −3).

Gráficamente, para ver si estos tres puntos están alineados, se dibujan en el plano y se observa si existe una recta que pase por ellos. Analíticamente, la ecuación de una recta es y = mx + n . Si el punto P pertenece a la recta, entonces 1 = m + n . Si el punto Q pertenece a la recta, se tiene que 3 = 2m + n . Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene que n = −1 y m = luego la recta es y = 2 x − 1 . Como el punto R cumple la ecuación de la recta, entonces también pertenece a ella. Por tanto, los tres puntos están alineados.
Actividad interactiva 11. Escribe la ecuación de dos rectas paralelas a cada una de estas funciones lineales. a) y = 2x – 3 b) y = 3x c) y = –x + 1 d) y = –5x + 7

a) y = 2x; y = 2x + 3 b) y = 3x + 1; y = 3x + 10

c) y = –x + 2; y = –x – 7 d) y = –5x; y = –5x + 4

12. (TIC) Halla gráfica ynuméricamente el punto de intersección de las rectas: a) y = −7x + 3, y = 6x − 2 b) y = −x – 3, y = 3x + 1
Y y = 6x – 2

 5 4  a) El punto de intersección de las rectas es  ,  .  13 13 

1 O 1 X

y = –7x + 3

b) El punto de intersección de las rectas es 1, −2 ) .

Y y = 3x + 1 1 O 1 X

y = –x – 3

13.sCuánto debe valer k para que la recta y = 2kx − 3 sea paralela a y = (k + 1) x +

Para que dos rectas sean paralelas, han de tener la misma pendiente, esto es, 2k = k + 1  k = 1.
14. (TIC) Señala si las siguientes rectas son horizontales o verticales y represéntalas. a) y = 5 b) x = – 3 c) y = –2 d) y = 0 e) x = 7 f) x = y

a) Horizontal b) Vertical

c) Horizontal d) Horizontal
Y y=5 x = –3 1 O 1 x=y

e) Vertical f) Ni horizontal, ni vertical

x=7 y=0 X y = –2

20

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


15. Actividad interactiva 16. Actividad resuelta 17. Un ciclista parte del kilómetro 10 de una carretera a una velocidad constante de 20 kilómetros por hora. a) Halla la expresión algebraica de la función que relaciona el punto kilométrico en que se encuentra el ciclista con el tiempo transcurrido desdeel inicio. b) Representa la función.

a) y = 20x + 10, donde y es el punto kilométrico de la carretera, y x, el tiempo transcurrido, en horas.
Distancia (km

b)

10 O 10 Tiempo (horas)

18. Se ha realizado una campaña de vacunación en una región. Los gastos de distribución son 600 euros y los de vacunación, 5 euros por cada vacuna administrada. Determina la expresión matemática de esta función y represéntala.

y = 5x + 600, donde y es el dinero que se gasta en la campaña, y x, el número de vacunas puestas.
Y

200
O 10 X

19.El precio en euros que hay que pagar por un viaje en taxi de x kilómetros viene dado por la expresión y = 2 x + 1 . Representa la función e interpreta el valor 1 .

Y y = 2x + 1 1 X

1 O

El valor 1,5 es la bajada de bandera.

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 21


20.Cuando un espeleólogo se adentra en una cueva, la temperatura aumenta 1 grado cada 100 metros de profundidad. La temperatura en la superficie es de 10 grados. a) Halla y representa la función que relaciona la temperatura con la profundidad. b) La exploración de la cueva de Krubera-Voronya alcanzó una profundidad de 2kilómetros. Si en la superficie la temperatura era de 25s C, squé temperatura habrá en el fondo de la cueva?

a) T =

1 P + 10 100

b) T =

1 1 2000 + 25 = 45s C P + 25 = 100 100

T (sC

2 O 100 200 P (m)

21.Actividad resuelta 22.Indica cuáles de estas funciones son cuadráticas. a) y = 3x² b) y = –2x +3 c) y = 5 + x2

Son cuadráticas a y c.
23.Dadas las funciones: y = –x2 y = –3x2 y = –5x2 a) Construye una tabla de valores para cada una b) Represéntalas en un mismo gráfico.

x

y = –x2

y = –3x2

y = –5x2

Y 1 O y = –3x 2

y = –x 2

–2 –1 0 1 2

–4 –1 0 –1 –4

–12 –3 0 –3 –12

–20 –5 0 –5 –20

1

X y = –5x 2

24.Ordena las siguientes funciones cuadráticas de mayor a menor apertura de la parábola. 2 b) y = x 2 c) y = − x 2 + 2 x − 15 d) y = 5 x 2 − 11x a) y = x 2 + 1 5
Y

Cuanto menor sea el coeficiente en valor absoluto, mayor será la 2 apertura de la parábola; por tanto, la parábola y = x 2 + 1 es la 5 que tendrá mayor apertura; después serán las parábolas y = − x 2 + 2 x − 15 y y = x 2 , que tienen la misma, y por último, la parábola y = 5 x 2 − 11x .

y = x2

5 O 5

y = 2 x2 + 1 5
X

y = 5x 2 – 11xy = –x 2 +2x –15

22

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


25.Actividad resuelta 26.Dada la función y = –2x2 + 8x – 1: a) sCuál es la abscisa de su vértice? b) sCuál es la ecuación de su eje?

a) xv = 2

b) x = 2

27.Representa estas funciones cuadráticas y estudia las gráficas que obtengas. a) y = 2x² – 4x – 6 b) y = –x² – 6x + 27 c) y = 2x² – 6 d) y = x² – 5x

a) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = –6 (0, –6) Hallamos el vértice de la parábola: –6 = 2x² – 4x – 6
x = 0 o x = 2.

Y

2
O

2

X

El vértice está en x = 1, y = –8 V(1, –8). Puntos de corte con el eje X:
y = 0 2x² – 4x – 6 = 0 x² – 2x – 3 = 0
x= 2 ± 4 + 12 2 ± 4 3 = =  (3, 0), (–1, 0) 2 2 −1
Y

b) Abierta hacia abajo, a < 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 27 (0, 27) Hallamos el vértice de la parábola: 27 = –x² – 6x + 27 x = 0 o x = –6. El vértice está en x = –3, y = 36 V(–3, 36). Puntos de corte con el eje X: y = 0 –x² – 6x + 27 = 0 x= 6 ± 36 + 108 6 ± 12 −9 (–9, 0), (3, 0) = = −2 −2 3

6
O

6

X

c) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y =–6 (0, –6) Hallamos el vértice de la parábola: xv = El vértice es V(0, –6). Puntos de corte con el eje X: y = 0 2x2 – 6 = 0 x = ± 3 ( 3 , 0), (– 3 , 0) d) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 0 (0, 0)
−b 5 Hallamos el vértice de la parábola: xv = = = 2,5 . 2a 2
2 O Y

Y

2 O 2 X

−b 0 = =0 2a 4

y = 2x 2 – 6

2

X

El vértice es V(2,5; 6,25). Puntos de corte con el eje X: y = 0 x(x – 5) = 0 x = 0 o x = 5

y = x 2 – 5x

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 23


28.Actividad interactiva 29.Halla la ecuación de la siguiente parábola.
Y

La ecuación de la parábola es y = x 2 +
1 O 1 X

30.Representa por traslación estas funciones. a) y = x² + 3 b) y = x² – 2 c) y = (x + 1)² d) y = (x – 4)²

a)

Y

c)

Y

1
1
O

O
1
X

1

X

b)

Y

d)

Y

1
O

1
1
X

O

1

X

31.Representa por traslación estas funciones. a) y = (x + 1)² + 3 b) y = (x – 4)² – 2 c) y = (x + 1)² – 3 d) y = (x + 4)² – 2

a)

Y

c)

Y 1 O

1

X

1
O

1

X

b)

Y

d)

Y

1
O

1 1
X O

1X

24

Unidad 10 |Funciones lineales y cuadráticas


32.sCuál es la función resultante de trasladar la parábola y = 2x2 + 2 tres unidades hacia arriba y dos hacia la izquierda?
y = 2( x + 2)2 + 5

33. Halla a y b para que la siguiente gráfica corresponda a la función y = (x − a + b.
Y

1 O 1 X

a = −1 , y b = −2 , luego la función quedaría y = ( x + 1)2 − 2 .

EJERCICIOS Representación de funciones lineales. Pendiente y ordenada en el origen
34.Una función viene dada por la siguiente tabla. x y 0 10 1 13 2 16 3 19 … …

Expresa la función mediante una fórmula, utilizando como ayuda esta otra tabla.

x y

0 10 10

1 10 + 3 10 + 3 · 1

2 10 + 6 10 + 3 · 2

3 10 + 9 10 + 3 · 3

Luego la expresión algebraica es: y = 10 + 3 x .

35. Relaciona cada tabla con su ecuación correspondiente.
x y x y x y

5 2 4 –5 5 –1

–10 –1 8 –8 –3 1

y =

−x + 1 4

y = 0, 2 x + 1 y = −3 x −2 4

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 25


36. Indica cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a funciones lineales. En los casos que sí lo sean, halla la pendiente y la ordenada en el origen. 8x − 3 5 a) y = c) y = x2 + x – 3 e) y = − x + 6 75 b) y = −
x 3 + 9 4

d) y =

5 −1 x

f) y =

1 x −2 3
5 ,n=6 7

a) Lineal. m =

3 8 ,n= − 5 5
1 3 ,n= 4 9

c) No lineal d) No lineal

e) Lineal. m = − f) Lineal. m =

b) Lineal. m = −

n = –2 3

37. sCuáles de estas relaciones son funciones lineales? Exprésalas matemáticamente a) A cada número se le hace corresponder el triple del siguiente. b) A cada número real se le hace corresponder el mismo menos el 10 % de su mitad. c) A cada número real se le hace corresponder el producto de su anterior por su posterior.

a) y = 3( x + 1) = 3 x + 3 b) y = x −
10 x 1 19 =x− x= x 100 2 20 20

c) y = ( x − 1) ( x + 1) = x 2 − 1 Son lineales a y b.
38. Halla la ecuación de la función lineal que pasa por los siguientes pares de puntos: a) (−5, 3) y (−1, −1)
1 1 b) (0, 0) y  , −  3 4 

c) (4, 1) y (1, 4)

e) (1, −3) y (−1, −3)
1 3  1 1 f)  , −  y  ,  2 2 4 4 

g) (4, 2) y (4, 4)

d) (2, −1) y (−3, −3)

h) (0, −3) y (0, 0)

a) y = mx + n . Pasa por (−5, 3) 3 = −5m + n y por (−1, −1)
−1 = −m + n  m = −1, n = −2  y = − x − 2 . 1 1 b) y = mx + n . Pasa por (0, 0) 0 = n y por ïƒ −  3 4  −

1 1 3 3 = m+n m = − ,n =0 y = − x. 4 3 4 4

c) y = mx + n . Pasa por (4, 1) 1 = 4m + n y por (1, 4) 4 = m + n  m = −1, n = 5  y = − x + 5 . d) y = mx + n . Pasa por (2, −1) −1 = 2m + n y por (−3, −3) −3 = −3m + n  m = 2 9 2 9 ,n=− y = x− . 5 5 5 5

26

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


e) y = mx + n . Pasa por (1, −3) −3 = m + n y por (−1, −3
−3 = −m + n  m = 0, n = −3  y = −3 .

1 1 3 3  1 1 f) y = mx + n . Pasa por ïƒ −  − = m + n y por  ,  2 2 2 4 4 2



1 1 3 2 3 2 = m+n m = − ,n =  y = − x+ . 4 4 5 5 5 5

g) La recta que pasa por esos dos puntos es x = 4, que no es una función lineal. h) La recta que pasa por esos dos puntos es x = 0, que no es una función lineal.
39.En cada caso, halla la ecuación de la función lineal que pasa por el punto P y tiene pendiente m: 1 a) P(2, 3) y m = −2 c) P(−3, 3) y m = 0 e) P(−2, −2) y m = 2 2 1 b) P  , −  y m = −1 d) P(1, 4) y m = 3 f) P(0, 0) y m = −1 5 3

a) y = mx + n . Como m = −2 y = −2 x + n , sustituyendo las coordenadas del punto 3 = −4 + n n = 7  y = −2 x + 7 . b) y = mx + n . Como m = −1 y = − x + n , sustituyendo lascoordenadas del punto 2 1 1 1  y = −x − = − +n n = − . 5 3 15 15 c) y = mx + n . Como m = 0 y = n , sustituyendo las coordenadas del punto 3 = n  y = 3 . d) y = mx + n . Como m = 3 y = 3 x + n , sustituyendo las coordenadas del punto −
4 = 3 + n n = 1  y = 3x + 1 .

e) y = mx + n . Como m =

1 1 y = x + n , sustituyendo las coordenadas del punto 2 2

1 x − 1. 2 f) y = mx + n . Como m = −1 y = − x + n , sustituyendo las coordenadas del punto n = 0  y = −x .
−2 = −1 + n n = −1  y =

40. sPertenece el punto (2, 3) a la recta de ecuación y = 2x – 1? sPor qué?

2 – 1. Sí, verifica la ecuación.
41. Determina el valor de m para que la recta y = (2m – 1)x + 2 pase por el punto A(–3, 2).

Sustituimos las coordenadas de A(–3, 2) en la ecuación de la recta. 2 = (2m – 1) · (–3) + 2 m =
1 2

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 27


42. Una función lineal pasa por los puntos (3, −3), (4, −3) y (−3, −3). Sin hallar su ecuación, scuál es su pendiente? sSobra algún dato?

m = dibujando los puntos en el plano nos damos cuenta de que se trata de la recta y = −3 .Sobraría un punto, ya que con dos podemos dibujarla recta.
43. Sin hallar su ecuación, scuál es la pendiente de la función lineal que pasa por (2, 3) y (5, −3)?
Y

1 O 1 X

m=−

6 = −2 3

44 TIC) Representa las siguientes funciones lineales. a) y = 3x – 2 b) y = –2x – 1 c) y =
1 x 4

e) y = −

2 x+3 3 1 2

g) y = − h) y = 5

1 3 x+ 2 4

d) y = –5x + 2
y = – 2x + 3 3 y = – 1x + 3 2 4

f) y = x –
Y

y = 3x – 2 y=x–1 2

y=5

1 O y = 1x 4 1 y = –5x + 2 X

y = –2x – 1

45. (TIC) Relaciona cada gráfica con su ecuación. a) y =
1 x 2
Y y=x+1 1 O 1 y=1x 2 X

b) y = 2x

c) y = x + 1

y = 2x

28

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


46. (TIC) Halla las ecuaciones de las funciones correspondientes a las siguientes gráficas.
a) Y 1 O 1 X

c)

Y

1 O 1 X

b)

Y

d)

Y

1 O 1 X

1 O 1 X

a) y = −

3 x 2

c) y = − x d) y =
2 x 3

b) y = 3 x

47. sEstán alineados los puntos (–1, 7), (2, –5) y (0, 3)?

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por dos de los puntos: (–1, 7) y (2, –5). Si el tercer punto, (0, 3), pertenece a esa recta, es que sí están alineados.
−7 = m + n   m = −4, n = 3 y = −4 x + 3 −5 = 2m + n Si x = 0 y = 3. El punto (0, 3) pertenece a esta recta. Sí, los tres puntos están alineados.

Rectas paralelas y secantes
48.De las siguientes rectas dadas por sus ecuaciones, indica cuáles son paralelas. a) y = 2 x − 3 b) y = −3 x + 1 c) y = 5 x + 2 d) y = 2 x + 5

Las rectas y = 2 x − 3 e y = 2 x + 5 son paralelas al tener la misma pendiente.

49. Indica si estas rectas son secantes o paralelas, y en el primer caso, halla su punto de intersección: a) y = −4 x − 6 b) y = 5 x + 3 c) y = 15 − 4 x d) y = −5 x + 3

Las rectas y = −4 x − 6 e y = 5 x + 3 se cortan en el punto ( −1, −2 ) . Las rectas y = −4 x − 6 e y = 15 − 4 x son paralelas. Las rectas y = −4 x − 6 e y = −5 x + 3 se cortan en el punto , −42 ) .
 4 29  Las rectas y = 5 x + 3 e y = 15 − 4 x se cortan en el punto ïƒ ïƒ· . 3 3  Las rectas y = 5 x + 3 e y = −5 x + 3 se cortan en el punto ) .

Las rectas y = 15 − 4 x e y = −5 x + 3 se cortan en el punto 12,63 ) .

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 29


50. Representa en los mismos ejes cuatro rectas paralelas con pendiente 3 y las siguientes ordenadas en el origen. a) n = −4 b) n = 1 c) n = −2 d) n= 5
Y
y = 3x + 5 y = 3x + 1

1 O 1

X
y = 3x – 2 y = 3x – 4

51.(TIC) sCuál de las siguientes rectas no es paralela a las otras?sCuál es su punto de corte con ellas? −3 x + 1 −x 1 b) x + 2 y − 3 = 0 c) y = d) y = x + 6 a) y = 6 2 2

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. a) m = − b) y =
1 2

−x + 3 1 m= − 2 2 1 2

c) m = − d) m =

−3 x + 1  35 37  1 , no es paralela a las otras. El punto de corte con la recta y = es  − ,  , 2 6  6 12 

−x  9 15  es ( −6,3 ) . con la recta x + 2y − 3 = 0 es  − ,  y con la recta y = 2 4  2 

52.Escribe la ecuación de la función lineal paralela a y = –7x + 1, y que tiene la misma 1 ordenada en el origen que y = 4x – . 3 Paralela a y = –7x + 1 m = –7 1 y = –7x – 1 1 Misma ordenada en el origen que y = 4x – n = – 3 3 3 53. Observa las dos tablas. x y –1 3 –4 3 5 3 0 3 x y –2 1 –2 6 –2 3 –2 –4

a) Dibuja las gráficas que les corresponden. b) Halla sus ecuaciones y su punto de corte. c) sSon las dos funciones lineales?

a)

Y

Y

1
O

2
1
X

O

2

X

b) y = 3, x = –2. Estas rectas se cortan en el punto 2,3 ) . c) No, la segunda no es siquierafunción porque f(x) no tiene una única solución para x = –2.

30

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


54 TIC) Dada la recta de ecuación y = 2 x − 3 : a) Dibuja su gráfica. b) Dibuja una recta simétrica respecto del eje X y determina su ecuación. c) Dibuja una recta simétrica respecto del eje Y y determina su ecuación.

a)
Y y = 2x – 3 1 X

b) y = −2 x + 3
Y
y = –2x + 3

c) y = −2 x − 3
Y

1 O

1 O 1 X
y = –2x – 3 y = 2x – 3

1 O 1

y = 2x – 3

X

55. Dada la recta de ecuación y = 7 x − escribe: a) Las ecuaciones de dos rectas paralelas a ella que no pasen por el origen de coordenadas. b) Las ecuaciones de dos rectas secantes a la dada. c) Las ecuaciones de dos rectas secantes a la dada, pero paralelas entre sí. d) Las ecuaciones de dos rectas con la misma ordenada en el origen que la dada.

a) y = 7 x + 1, y = 7 x − 3 b) y = 3 x − 2 , y = 5 x + 1 c) y = 3 x − 2 , y = 3 x + 1 d) y = 6 x − 2 , y = 3 x − 2
56.Halla la ecuación de la recta paralela a y =
−x + 1 que pasa por el punto A(3, –4). 5

Si la recta que buscamos es paralela a y = Su ecuación tendrá la forma y = − 1 x+n. 5

−x + 1 entonces supendiente debe ser m = − . 5 5

Sustituimos las coordenadas del punto A en la ecuación de la recta para hallar la coordenada en el origen n. −4 = − 1 17 (3) + n n = − 5 5

La ecuación de la recta es:
y =−

1 17 x− 5 5

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 31


Funciones cuadráticas
57. sCuál es el único punto de una parábola que es simétrico a sí mismo con respecto al eje de la parábola?

El vértice
58. Dadas las siguientes parábolas: I) y = 2x2 II) y = 2x2 – 3 III) y =
1 2 x – 2x + 1 2

IV) y = 5(x + 2)2

Indica: a) sHacia dónde se abren sus ramas? b) sCuáles tienen igual abertura? c) sCuál es la más cerrada? d) sCuál tiene el vértice en el punto (–2, 0)?

a) Todas hacia arriba b) I y II c) IV d) IV
59.Dada la siguiente parábola. Halla su vértice, su eje de simetría y su ecuación.
Y

1 O 1 X

Su vértice es (2, –1), su eje de simetría es la recta x = 2. La ecuación tendrá la forma y = ax 2 + bx + c . La función pasa por (0, 3), de donde se deduce que c = 3. También pasa por (1, 0), de donde: 0 = a + b + 3 a + b = −3 . −b = 2 b = −4a . Conocemos la abscisa del vértice: x = 2a
a = 1 b = − La ecuación es y =x 2 − 4 x +

60. (TIC) Representa las siguientes parábolas. c) y = x2 – 5x + 6 a) y = x2 – 4x + 3 b) y = x2 + 6x + 10 a) d) y = x2 – 6x + 10 c)

e) y = 2x2 – 10x f) y = x2 – 16 e)

Y

Y

Y

5
2
O X

2
O

O
2
X

5

X

2

b)

Y

d)

Y

f)

Y

5 5
2
O

O

5

X

2

X

O

5

X

32

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


61.(TIC) Representa las siguientes funciones cuadráticas y estudia la gráfica obtenida. a) y = –2x2 + 12x – 10 b) y = x2 – 2x + 4 c) y = 2x2 – 8x + 6
Y

d) y = 3x2 + 1

a) Abierta hacia abajo, a < 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = –10 (0, –10)
b = 3 yv = 8 Hallamos el vértice de la parábola: xv = − 2a

2
O

2

X

V(3, 8) Puntos de corte con el eje X: y = 0 –2x2 + 12x – 10 = 0 x = = =  (1, 0), (5, 0) −4 −4 5 b) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 4 (0, 4)
b Hallamos el vértice de la parábola: xv = − = 1 yv = 3 2a
1
O

Y

1

X

V(1, 3) Puntos de corte con el eje X: y = 0 x2 – 2x + 4 = 0, no tiene
Y

c) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte conel eje Y: x = 0 y = 6 (0, 6) Hallamos el vértice de la parábola: xv = − V(2, –2) Puntos de corte con el eje X: y = 0 2x2 – 8x + 6 = 0 x = = =  (3, 0), (1, 0) 4 4 1 d) Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 1 (0, 1) Hallamos el vértice de la parábola: xv = − V(0, 1)
b = 0 yv = 1 2a
1
O

b = 2 yv = –2 2a

2
O

2

X

Y

1

X

Puntos de corte con el eje X: y = 0 3x2 + 1 = 0. No es posible. La parábola no corta el eje X. 62.Una parábola pasa por los puntos (–1, 3) y (–5, 3). Escribe la ecuación de su eje. La ecuación del eje se puede hallar mediante estos dos puntos, pues son simétricos (tienen la misma imagen 3). Por tanto, el eje pasará por el punto intermedio entre x = –5 y x = –1.
−5 + 1) −6 = = −3 Eje x = –3 2 2

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 33


63.Una función cuadrática tiene su vértice en el punto (4, –4). Completa la tabla utilizando la simetría de la función. x y 2 0 6 0 5 –3 –3 –3

Como tiene su vértice en (4, –4), el eje de simetría es x = 4. Entonces: x = 2 es un punto simétrico a x = 6 respecto al eje, con lo que f(6) =f(2) = 0. x = 5 es un punto simétrico a x = 3 respecto al eje, con lo que f(5) = f(3) = –3. 64. Representa, mediante una traslación de la parábola y = x2, la gráfica de cada función. a) y = x2 + 3
Y

b) y = (x – 3)2
Y

c) y = x2 – 2
Y

d) y = (x + 1)2 – 5
Y 1 O

1

X

1
O

1
O

1 1
X O

1

X

1

X

65.Dada esta gráfica de una parábola, traslada la gráfica, sin variar la orientación ni la abertura, de forma que el vértice sea el indicado. Escribe la ecuación de la parábola. a) (0, –2) b) (–4, 0) c) (–1, 5) d) (–2, –3)
Y
Y

1
1 O 1 X

O

1

X

a) y = x 2 − 2 b) y = (x + 4 )2

c) y = (x + 1)2 + 5 d) y = (x + 2)2 − 3

66.La parábola de ecuación y = (x + a)2 – 5 tiene el vértice en el punto V(–3, b). Halla el valor de a y b
y = x 2 + 2ax + a 2 − 5 −3 = xv = −a a = 3 y = x 2 + 6 x + 4  y v = −5 b = −5 xv = −3 

34

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


67.Dada la parábola de ecuación y = −2 x 2 − 4 x − 5 , comprueba si también se puede expresar de la forma: y = −2( x + 1)2 − 3 . sQué ventajas observas en esta manera de expresar la ecuación? De la segunda forma se puede observar que apartir de la parábola y = x 2 , trasladándola 3 unidades hacia abajo, 1 unidad hacia la izquierda, las ramas hacia abajo y más cerradas, se obtiene la parábola del enunciado. 68.Indica las condiciones que debe tener una parábola para que: a) No corte al eje de abscisas. b) Corte una sola vez al eje de abscisas. c) No corte al eje Y. a) Que b 2 − 4ac > 0 b) Que b 2 − 4ac = 0 c) No es posible que una parábola no corte al eje Y. La condición debería ser que no pasase por x = 0, es decir, que no fuera continua. 69. Averigua la ecuación de la función cuadrática que cumple las siguientes condiciones: – El eje es x = –2. – El recorrido es el intervalo 4, +∞). – La gráfica pasa por el punto (0, 8). Eje x = –2
−b = −2 b = 4a 2a

Recorrido [–4, ∞) f(–2) = –4 –4 = a (–2)2 + b (–2) + c 4a + –2 b + c = –4 –4a + c = –4 Pasa por (0, 8) 8 = a · 02 + b · 0 + c c = 8 Como 4a + c = –4, y c = 8 a = 3. Como b = 4a b = 12. La ecuación es y = 3x2 + 12x + 8.

PROBLEMAS
70. Actividad interactiva 71.Una cooperativa agrícola vende el aceite a granel a 3 euros el litro y las patatas a 3 euros la bolsa. sCuál de las siguientes representacionescorresponde a cada una de las funciones lineales que relacionan la cantidad de producto y el precio?
a) Y b) Y

3 O 1 X

3 O 1 X

Precio de las bolsas de patatas. Precio de los litros de vinagre.

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 35


72.Para colaborar con las personas sin techo, una ONG elabora un periódico de reparto callejero. Cada vendedor recibe un fijo de 25 euros al mes y, además, 50 céntimos por ejemplar vendido. a) Escribe la fórmula y representa la gráfica de la función que relaciona el número de periódicos vendidos con el dinero recibido al mes. b) sCuántos ejemplares tiene que vender un sin techo para cobrar en un mes 185 euros? a) y = 25 + 0,5 x
Dinero (€)

b) 185 = 25 + 0, 5 x x = 320 periódicos

25
O 25

N.o de periódicos

73.Calcula el área del triángulo que forma la recta de ecuación y = −5 x + 7 con los ejes coordenados. 7  La recta corta en los puntos ( 0,7 ) y  ,0  . El área del triángulo es: 5  7 ·7 5 = 49 = 4 . 2 10 74.Halla las ecuaciones de los lados de un triángulo de vértices A ( 2, −1) , B ( 3,4 ) y C ( 7, −3 ) . La recta que pasa por los puntos A y B tiene por ecuación y = 5 x − 21 x 5 5 7 37 La recta que pasa por los puntos B y C tiene por ecuación y = − x 4 4 La recta que pasa por los puntos A y C tiene por ecuación y = − 75.Un ladrón huye en moto a 100 km/h y la policía lo persigue a 120 km/h. sCuándo y en qué lugar lo atrapará si lleva una ventaja de 2 kilómetros? Resuélvelo gráficamente.
km
y = 120x – 2 y = 100x

1 hora = 6 minutos 10 Lo atrapará en el kilómetro 100 x = 120 x − 2  x =

100 O 2 hora

76. Calcula las coordenadas del punto de corte de las diagonales del trapecio de la figura ABCD.
Y

D(3, 4)

C(8, 4)

1 O

A(1, 2) 1

B(10, 2) X

La recta que pasa por D y B es 2 34 . y =− x+ 7 7 La recta que pasa por A y C es 2 y = x+ 7 7  11 23  El punto de corte es ïƒ ïƒ· . 2 7 

36

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


77. Ana está de viaje en Estados Unidos y encuentra en la calle los dos termómetros de la derecha, donde se ve la equivalencia entre las escalas Fahrenheit y Celsius. Sabiendo que la conversión entre las dos escalas es lineal: a) sQué función permite pasar de grados Fahrenheit a Celsius? b) sY de Celsius a Fahrenheit?
5 a) (F − 32) = C 9
180sFarenheit
212s

Celsius
100s 90s 80s 70s 60s 50s 40s 30s 20s 10s 0s

9 b) C + 32 = F 5

32s

78.Un depósito con 5000 litros de agua tiene una rotura por la que pierde 2 litros por minuto. Escribe y representa la función que relaciona los litros que quedan en el depósito con el tiempo transcurrido.
y = 5000 − 2 x
Litros
y = 5000 – 2x

1000 O 500 Minutos

79. Un peatón camina 3 metros en 2 segundos. Si continúa andando a esa misma velocidad constante: a) Halla la función que relaciona el recorrido, en metros, con el tiempo empleado, en segundos. b) Representa gráficamente esa función. a) y = b)
3 x 2
m
y=3 x 2

1 O 1 s

80. *Observa el dibujo. Calcula la pendiente de la carretera.

m=

15 = 0 100

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 37


81.Dibuja la gráfica y halla la fórmula de la función que relaciona la longitud del lado de un triángulo equilátero con su perímetro. Pon en el eje X los valores del perímetro, y en el Y, los del lado.
y= 1 x 3
Lado
y=1 x 3

1 O 1 Perímetro

82. Observa la calculadora. Para cada valor que se introduce en euros (pantalla inferior) devuelve su valor en libras (pantallasuperior). a) sSe puede considerar que esta conversión de divisas es una función? sDe qué tipo? b) Si se introducen 36 euros, squé valor en libras dará la calculadora? c) Escribe la función que permite pasar de euros a libras y la que permite pasar de libras a euros. a) Sí, es una función lineal. b) 161 ·36 = 23,7 libras 245

161,32 245 ·euros ; euros = · libras 245 161,32 83. La ecuación del espacio recorrido por un móvil es s = 5 + 3t + 2t2.

c) libras =

a) sQué longitud ha recorrido el móvil al cabo de 5 segundos de iniciar el movimiento? b) sCuál es la longitud recorrida durante el quinto segundo? c) sCuánto tiempo ha transcurrido cuando ha recorrido 157 metros desde el inicio? a) t = 5 s = 5 + 3 · 5 + 2 · 52 = 70 m b) t = 4 s = 5 + 3 · 4 + 2 · 42 = 49 m en 4 s Durante el 5.s segundo recorre una longitud que es la diferencia entre las distancias recorridas al cabo de 5 y de 4 segundos: 70 – 49 = 21 metros. c) 157 = 5 + 3t + 2t2 2t2 + 3t – 152 = 0 t = (La respuesta negativa no tiene sentido.) 84.Expresa el área de un triángulo equilátero en función de su lado. sQué tipo de función es? Llamamos L al lado, y h a la altura.
h 2 2  +h =L h = 2 
L L 2 3 2 = 3 2 L 4
2

−3 ±

9 + 1216 =8s 4

3 L L2 −   = L 2 2 

2

A=

Es una función cuadrática.

38

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


AMPLIACIÓN
85. El producto de todos los valores de z para los que las tres rectas: r : y = 2 x − 1 , s : 6 x − 2 y − 8 = 0 y t : y = zx − 7 no forman triángulo es: a) 6 b) −56 c) 17 d) 24

Estas tres rectas no formarán triángulo si al menos dos de ellas son paralelas o si las tres son concurrentes. Así pues, si z = 2 o z = 3, no hay triángulo, pero si t pasa por el punto de intersección de r y s, es decir, por P(3, 5), tampoco. La recta t pasará por P(3, 5) si 5 = 3z – 7, o sea, si z = 4, por lo que para z = 2, 3, 4 no hay triángulo, con lo que la respuesta es 2 · 3 · 4 = 24. 86. Las gráficas de 2x – y + 1 = 0 y de y = x2 se cortan en los puntos A y B. Las abscisas de A y B son las soluciones de la ecuación: a) x 2 + 2 x + 1 = 0 b) x 2 − 2 x − 1 = 0 c) 2 x + 1 = 0 d) x 2 = 0

Las abscisas de A y B son las soluciones de la ecuación x2 – 2x – 1 = 0 87. Si la pendiente m es un entero positivo y las rectas 13 x + 11y + 158 = y = mx − 79 se cortan en unpunto de coordenadas enteras, m puede ser: a) Solamente 4 c) Solamente 6 b) Solamente 5 d) Solamente 7 La abscisa del punto de corte de las rectas dadas viene dada por la ecuación 13 158 632 8 79 , es decir, x(11m + 13) = 632, con lo que x = . Al = mx − 79 = − x− 11m + 13 11m + 13 11 11 ser m entero positivo, 11m + 13 no puede dividir a 8, y como 79 es primo, la única posibilidad para que x sea entero es que 11m + 13 sea 79, es decir, m = 6. 88. Hay muchos números enteros k para los que la parábola y = (2k – 1)x2 – 8x + 6 no corta al eje horizontal. El menor de ellos es: a) −1 b) 2 c) 3 d) 4 Dicha parábola no corta al eje horizontal si la ecuación (2k – 1)x2 – 8x + 6 = 0 no tiene 11 < k , y el soluciones reales, es decir, si 82 – 4(2k – 1)6 < 0. Así pues, 88 < 48k, con lo que 6 menor k entero con esa propiedad es k = 2. 89. Si la parábola y = –x2 + bx – 9 tiene su vértice en el eje de abscisas, b es: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 Al tener la parábola el vértice en el eje de abscisas, la ecuación –x2 + bx – 9 = 0, o sea, x2 – bx + 9 = 0, tiene una única solución real, es decir, b2 – 4 · 9 = 0, b = ±6 , por lo que de las respuestas dadas, la correcta es la d: b = 6.Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 39


90. Si el área de la región limitada por la recta y = mx + con m positivo, los ejes de coordenadas y la recta y = −4 es 12, scuál es el valor de m? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
−4 −8 − 0), C( , –4) y D( , 0). El área m m m

La región limitada es el trapecio de vértices A(0, 0), B( de ese trapecio es igual a
24 = 12, por lo que m = 2. m

AUTOEVALUACIÓN
1. Halla las funciones lineales que cumplen: a) Tiene ordenada en el origen 2 y pendiente igual a −1. b) Los puntos A(−3, 2) y B(0, 4) pertenecen a la gráfica de la función. a) y = − x + 2 b) y =
2 x+4 3

2. sCuál es la ecuación de esta gráfica de función?
Y

1 O 1 X

Pasa por los puntos (–1, 0) y (0, 3), con cuyas coordenadas hallamos m y n: 0 = –m + n 3=n m=3 n=3 y = 3x + 3

3. Representa las siguientes funciones lineales. a) y = 5x – 3
Y y = 5x – 3 1 X

b) y = −

2 1 x+ 3 3
Y y=–2x+ 1 3 3 1 O 1 X

1 O

40

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


4. Un joyero tiene tres diamantes con las siguientes masas, medidas en quilates (ct) y en gramos (g): ct g 2 0,45 0,33 0,066 1,1 0,22

a) sCuál es la funciónque relaciona la masa en quilates con la masa en gramos? b) Irene pesa 53 kg y tiene curiosidad por conocer su masa en quilates. sPuedes ayudarla? a) m(ct) = 5 m(g) b) 5·53500 = 267500

5. Halla el vértice y la ecuación del eje de cada una de estas parábolas. a) y =
1 2 x – 3x + 1 2

b) y = –3x2 + 2x + 9

a) xv = −

b 3 1 7 7 = = 3 ; y v = V(3, − ). Eje x = 3 2a 1 2 2 2
2

b −2 1 28 1 28 1  1  1 b) xv = − V( , ). Eje x = = y v = −3   + 9 = 2a −6 3 3 3 3 3 3 3

6. Determina la ecuación de la parábola que resulta de trasladar el vértice de la parábola y = x2 al punto (2, 1). y = ax2 + bx + c Sabemos que a = 1 porque la parábola buscada es una traslación de y = x2. xv = − b = 2 b = −4 , y v = 22 − 4 2 + c = 1 c = 5 2a

y = x2 – 4x + 5 = (x – 2)2 + 1 7. Representa la parábola y = 2x2 + 12x + 16, y estudia la gráfica obtenida. Abierta hacia arriba, a > 0 Punto de corte con el eje Y: x = 0 y = 16 (0, 16) Hallamos el vértice de la parábola:
b xv = − = −3 yv = –2 V(–3, –2) 2a
1 O 1 X Y

Puntos de corte con el eje X: y = 0 2x2 + 12x + 16 = 0 x = –2 o x = –4 (–2, 0),(–4, 0)

y = 2x 2 + 12x + 16

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 41


PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Interpreta y deduce > Parábolas y deporte
1. Supón que el centro de gravedad (C) del atleta se encuentra en los puntos azules y realiza las siguientes actividades.

a) Calca la cuadrícula con la situación del punto en las diferentes posiciones del atleta. b) Dibuja unos ejes cartesianos de forma que el eje X sea paralelo al suelo y el origen coincida con el primer punto C. Cada cuadro corresponde a 0 metros. c) Haz una tabla de valores con las posiciones (x, y) del punto C. d) Utilizando tres puntos, determina la ecuación de la parábola a la que pertenecen. e) Dibuja la parábola sobre los ejes que hiciste antes y comprueba que contiene todos los puntos C. a y b) Si en lugar de hacer corresponder cada cuadro con 0,2 m, lo hacemos corresponder con 1 m, quedaría de la siguiente forma:
Y

1 O 1 X

c)

x 0 1,4 2,8 4,2 5,6 7

y 0 0,6 0,8 0,6 0 –1

42

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


d) Utilicemos los puntos (0, 0), (2,8; 0,8) y (5,6; 0). La parábola es y = –0,1x2 + 0,57x. e)
Y

1 O 1 X

2. Copia y completala tabla con los nombres y marcas de los campeones olímpicos de salto de longitud masculino. Año JJ. OO. Campeón Marca (m) a) Representa los datos de la 8,12 Ralph Boston Roma tabla tomando como 1960 abscisas los años de 8,07 Tokio Lynn Davies celebración de los juegos 1964 olímpicos, y como ordenadas, las marcas obtenidas por los atletas. b)Discute con tus compañeros si la evolución de la marca de salto de longitud ha sido normal o presenta alguna característica extraña. sQué razones puede haber para esta anomalía? 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 2008 México Múnich Montreal Moscú Los Ángeles Seúl Barcelona Atlanta Sidney Atenas Pekín Bob Beamon R. L. Williams Arnie Robinson Lutz Dombrowski Carl Lewis Carl Lewis Carl Lewis Carl Lewis Iván Pedroso Dwight Phillips Irving Saladino 8,90 8,24 8,35 8,54 8,54 8,72 8,67 8,50 8,55 8,59 8,34

a)

10 8

Amie Robinson 8,35

Lutz Dombrowski 8,54

R. L. Williams 8,24

Ralph Boston 8,12

Lynn Davies 8,07

Longitud

6 4 2 0

Bob Beamon 8,90

1960

1964

1968

1972

1976

1980

1984

1988

1992

1996

2000

2004

b) Actividad abierta

2008

Irving Saladino 8,34Dwight Philips 8,59

Iván Pedroso 8,55

Carl Lewis 8,54

Carl Lewis 8,72

Carl Lewis 8,67

Carl Lewis 8,50

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 43


Analiza y decide > La mejor tarifa
1. Realiza un informe completo siguiendo los mismos pasos que la agencia de matemáticas. 1. Acacia: y = 0,05x + 0 Baobab: y = 0,2x Cocotero: y = 0,025x + 0,4 Drago: y = 0,6 2. Gráfica
Y
Cocotero Acacia

Drago Baobab

1 O

1

X

3. Obtengamos los puntos de corte de estas gráficas y concluyamos: P: Q: R: S: T: U: A y B: C y B: B y D: A y C: A y D: C y D: 0,05x + 0,30 = 0,2x; 0,025x + 0,4 = 0,2x; 0,6 = 0,2x; 0,05x + 0,30 = 0,025x + 0,4; 0,05x + 0,30 = 0,6; 0,6 = 0,025x + 0,4; x = 2 min x = 2,3 min = 2 min 20 s x = 3 min x = 4 min x = 6 min x = 8 min

Así pues, si x < 2, el orden de preferencia es B, A, C, D. Si 2 < x < 2 min 20 s, el orden de preferencia es A, B, C, D. Si 2 min 20 s < x < 3 min, el orden de preferencia es A, C, B, D. Si 3 < x < 4, el orden de preferencia es A, C, D, B. Si 4 < x < 6, el orden de preferencia es C, A, D, B. Si 6 < x < 8, el orden de preferencia es C, D, A, B. Finalmente, si 8 < x, el orden de preferenciaes D, C, A, B. 2. Incluye en el informe cuál es la operadora adecuada para cada una de estas llamadas si su duración es de: i) 1 minuto 30 segundos ii) 3 minutos 50 segundos i) Operadora Baobab ii) Operadora Acacia iii) Operadora Cocotero iv) Operadora Drago iii) 6 minutos 15 segundos iv) 8 minutos 30 segundos

44

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas


Aprende a pensar > Parábolas y papiroflexia
1. sEres capaz de explicar por qué ha aparecido? Una pista: las distancias de cualquier punto de una parábola al foco y a la directriz son siempre iguales. Si te ayuda, visualiza esta propiedad con GeoGebra en www.e-sm.net/3esoz08. Al doblar el papel de esa forma, la distancia del punto (foco) al pliegue es igual que la distancia del pliegue a la recta (directriz), y esa es la propiedad que cumplen las parábolas.

2. Ahora supón que la recta horizontal es el eje X y el foco se encuentra en (0, 2). Dibuja una cuadrícula y averigua la ecuación de la parábola. La ecuación de la parábola es y =
x2 + 1. 4

Y

1 O 1 X

Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas 45


Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría:Rafaela Arévalo, José Luis González, Juan Alberto Torresano Edición: Elena Calvo, Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Domingo Duque, Félix Moreno, Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya

(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto del que aparece en el libro del alumno.

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

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Unidad 10 | Funciones lineales y cuadráticas