5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, 
La tangente es la posición límite de la recta secante () (el segmento  se llama cuerda de la curva), cuando  es un punto de  que se aproxima indefinidamente al punto  ( se desplaza sucesivamente por 
Si  representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta  tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde  son las coordenadas del punto  y  las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplos
Calcular la ecuación de la tangente y de lanormal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

5.2 teorema de rolle teorema de lagrange
-------- ----- ------ ----- ----- ------
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a y b para el cual f'(c)=0. 

H) f es continua en [a,b]
    f es derivable en (a,b)
    f(a)=f(b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0
Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo valor en dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algún punto intermedio.

Demostración
f es continua en [a,b] => por teo. de Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b].
Para todo x perteneciente a [a,b] m <= f(x) <= M.
Existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1)=M.
Existe x2 perteneciente a [a,b] / f(x2)=m.
Si m = M => para todo x perteneciente a [a,b] f(x) = M => f'(x) = 0
Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo x2.
=> (a,b) se comporta como un entorno de x2.
Se cumple que para todo x perteneciente a (a,b) f(x2) <= f(x)
=> Por def. de mínimo relativo f presenta un mínimorelativo en x2. (1
f es derivable por hipótesis. (2)
De 1) y 2), por Condición necesaria para la existencia de extremos relativosf'(x2)=0

seph Louis Lagrange (1736 - 1813)Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

H) f(x) es continua en [a,b]
    f(x) es derivable en (a,b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Geométricamente, (f(b) - f(a))/(b - a) es la tangente del ángulo que forma la secante que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) de la curva, con el eje ox.
f'(c) es la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva en el punto c, con el eje ox.
Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo (a,b) donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.
Demostración:
Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + hx, h perteneciente a R.
g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.
g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.
Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle
=> f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb - ha = h(b - a)f(a) - f(b)
=> h = -----------
b - a
=> por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0
g'(x) = f'(x) + h
f(b) - f(a)
g'(c) = f'(c) + h = 0 => f'(c) = -----------
b - a
Considérese por ejemplo, el caso donde x es el tiempo y f(x) la distancia de un automóvil desde su punto de partida a lo largo de cierto camino.
Entonces (f(b) - f(a))/(b - a) es la velocidad promedio del automóvil en el período b - a. (Recordar que velocidad = distancia/tiempo)
Por lo tanto f'(a)=limx->a (f(x) - f(a))/(x - a) es la velocidad del auto en el tiempo a.
Si por ejemplo el auto ha recorrido 200km. en 2 hs., la velocidad promedio fue de 100km. por hora.
Por el teorema de Lagrange podemos decir que, al menos en un momento durante esas dos horas, el auto tuvo una velocidad de exactamente 100km/h
5.3 Funcion creciente y decreciente máximos y minimos de una función
Función creciente y/o decreciente.
 Creciente  en xo si para   x > xo     F(x) ≥ F(xo)   a–s F ' (xo) ≥ 0
ya que:
  |   |  F(x) - F(xo) |   |   |
 F'(xo) =  |  Lim | ———————— |  ≥ 0 |   |
  |x → xo |  x - xo |   |   |
 Una función F(x) se dice que es Creciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es positiva;   F '(xo) ≥0. En la gráfica se puede ver que esto ocurre desde -∞ hasta a y desde b hasta +∞. En esos intervalos la derivada (pendiente) está por encima del ejes X (es positiva).
 Decreciente  en xo si para   x > xo     F(x) ≤ F(xo)   a–s F ' (xo) ≤ 0
 Una función F(x) se dice que es Decreciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es negativa;   F '(xo) ≤ 0. En la gráfica se observa que esto ocurre para valores de x comprendidos entre a y b. En este intervalo la derivada está por debajo del eje X (es negativa).
 
  |   |  F(x) - F(xo) |   |   |
 F'(xo) =  |  Lim | ——————— |  ≤ 0 |   |
  | x → xo |  x - xo |   |   |
 F(x) = 1/(x2 + 1)    Se observa que para x Ñ” (- ∞, 0] es creciente, es decir, al aumentar la x, aumenta F(x). Su derivada es positiva en ese intervalo .
Para x Ñ” ( + ∞], es decreciente, al aumentar la x disminuye F(x). Su derivada es negativa.
Su derivada es: F ' (x) = - 2·x/(x2 +1)2 que como puede observar es positiva para x < 0 y negativa para x > 0.
 Máximos de una Función.
  En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice quela función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))
 Mínimos de una Función.
  En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).
  Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).
Ejemplo. Sea f la función definida por f(x) = x2 - 4x + 5
Entonces f'(x) = 2x - 4. Como f'(2) = 0, f puede tener un extremo relativo en 2. Puesto que f(2) = 1 y 1 < f(x) cuando x < 2 o x > 2, concluimos que f tiene un valor mínimo relativo en 2.
el la siguiente gráfica es evidente que la función tiene un valor máximo MA (= y = 2) cuando x=1, y un valor mínimo NB (=y =1) cuando x =2.
5.4 analisis de la variación de funciones.