El análisis de la varianza de un criterio (ANOVA) es una metodología para analizar la variación entre muestras y la variación al interior de las mismas mediante la determinación de varianzas. Es llamado de un criterio porque analiza un variable independiente o Factor ej: Velocidad. Como tal, es un método estadístico útil para comparar dos o más medias poblacionales. El ANOVA de un criterio nos permite poner a prueba hipótesis tales como





Los supuestos en que se basa la prueba t de dos muestras que utiliza muestras independientes son:

1. Ambas poblaciones son normales.
2. Las varianzas poblacionales son iguales, esto es,

Como el ANOVA de un criterio es una generalización de la prueba de t para dos muestras, los supuestos para el ANOVA de un criterio son:

1. Todas las poblaciones k son normales.
2.

El método de ANOVA con un criterio requiere del cálculo de dos estimaciones independientes para , la varianza poblacional común. Estas dos estimaciones se denotan por . se denomina estimación de la varianza entre muestras y se denomina estimación de la varianza al interior de las muestras. El estadístico tiene una distribución muestral resultando



El valor crítico para la prueba F es:



Donde el número de grados de libertad para elnumerador es k-1 y para el denominador es k(n-1), siendo el nivel de significancia.
k = número de muestras.

El Procedimiento es el siguiente :

1. Determinar si las muestras provienen de poblaciones normales.
2. Proponer las hipótesis.

3. Encontrar las medias poblacionales y las varianzas.
4. Encontrar la estimación de la varianza al interior de las muestras y sus grados de libertad asociados glw.
5. Calcular la gran media para la muestra de las medias muéstrales.
6. Determinar la estimación de la varianza entre muestras y sus grados de libertad asociados.
7. Hallar el valor del estadístico de la prueba F
8. Calcular el valor crítico para F basado en glb y glw.
9. Decidir si se rechaza H0.

Calculo Manual

Se utilizan las fórmulas siguientes:

Suma de cuadrados total (SST o SCT)


*** ** Xi valores individuales
* *** **
X Media de medias
* * **
* **

Suma de cuadrados de los tratamientos o niveles (SSTr o SCTr):

Media X3


*
5


5
4 *
* Media X2
Media X1

Suma de cuadrados del error (SSE o SCE):



** *
Xi Xi

*
** * ** *
*** * Xmedia 3
Xmedia 1 ** *
* Xmedia 2 Xi *

O también SCE = SCT - SCTr

Grados de libertad:

Gl. Totales = n – 1
Gl. Tratamientos = c -1
Gl. Error = n – c

Cuadrados medios (MS o CM):

CMT = SCT / Gl. SCT
CMTr = SCTr / Gl. SCTr
CME = SCE / Gl. SCE

Estadístico calculado Fc:

Fc = CMTr / CME

P value = distr.f (Fc, Gl. CMtr, Gl. CME)

F crítica de tables o Excel = distr.f.inv(alfa, Gl. CMT, Gl. CME)

Si P es menor a alfa o Fc es mayor a Ft se rechaza Ho indicando que los efectos de los diferentes niveles del factor tienen efecto significativo en la respuesta

ANOVA DE DOS VIAS

(Un factor y una variable de bloqueo)

Primitivo Reyes Aguilar

Septiembre de 2007
ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VÍAS o DIRECCIONES
(ANOVA 2 VIAS)

1. Introducción

En este caso las fórmulas son parecidas a la del ANOVA de una vía pero ahora agregando el cálculo por renglones adicional al de columnas donde se incluye la variable de bloqueo.

Se trata de bloquear un factor externo que probablemente tenga efecto en la respuesta
pero que no hay interés en probar su influencia, sólo se bloquea para mininizar la variabilidad de este factor externo, evitando que contamine la prueba de igualdad entre los tratamientos.

Los tratamientos se asignan a las columnas ylos bloques a los renglones. Un bloque indica condiciones similares de los sujetos al experimentar con diferentes tratamientos.

Las hipótesis son

Ho: No hay diferencia en las medias del factor de columna
Ha: Al menos una media del factor de columna es diferente

Ho: No hay diferencia en las medias de la variable de renglón
Ha: Al menos una media de la variable de renglón es diferente

2. Ejemplos con cálculo manual

Ejemplo 1.
Suponiendo que se quiere investigar si la producción de tres diferentes máquinas es igual, tomando en cuenta la experiencia de los operadores a un nivel de significancia del 5%.

Experiencia Máquinas
de ops. En años Maq 1 Maq 2 Maq 3 Promedios
1 27 21 25 24.33333
2 31 33 35 33
3 42 39
39 40
4 38 41 37 38.66667
5 45 46 45 45.33333
Promedios 36.6 36 36.2 36.26667


TABLA ANOVA

SS GL CM Fc Falfa
SCTR= 0.933333 2 CMTR= 0.466667 Ftr = 0.09 4.46
SCBL= 764.9333 4 CMBL= 191.2333 Fbl = 37.25 3.84
SCE = 41.06667 8 CME= 5.133333
SCT = 806.9333 14 CMT= 57.6381

Conclusión: No hay diferencia entre máquinas a pesar de la diferencia en experiencia de los operadores.


Ejemplo 2
Una empresa de taxis intenta crear un sistema de rutas que minimice el tiempo que se pasa manejando a ciertaslocalidades. El tiempo que toma viajar en cada ruta por los taxis se muestra a continuación

Var. Bloqueo Factor - Ruta
Taxista 1 2 3 4
1 12 15 17 13
2 18 18 18 17
3 10 11 15 9
4 13 12 12 15
5 18 14 12 15

y si afecta el taxista.
Var. Bloqueo Factor - Ruta
Taxista 1 2 3 4
1 12 15 17 13
2 18 18 18 17
3 10 11 15 9
4 13 12 12 15
5 18 14 12 15
14.2 14 14.8 13.8

X 14.2

A 4.84 0.64 7.84 1.44
B 14.44 14.44 14.44 7.84
C 17.64 10.24 0.64 27.04
D 1.44 4.84 4.84 0.64
E 14.44 0.04 4.84 0.64

SCT 153.2

r 5 rj*(Xj - X)^2
0 0.2 1.8 0.8
SCTR 2.8
c 4
c*(Xi-X)^2
0.01 SCBL 92.2
50.41
34.81
5.76
1.21
SCE = SCT - SCTR - SCBL
SCE 58.2

TABLA ANOVA
Fuente de Variación SC g.l. CM FC
Columnas 2.8 3 0.9333333 0.1924399
Renglones 92.2 4 23.05 4.7525773
Error 58.2 12 4.85

Total 153.2

Conclusión: No hay diferencia en la tiempo por las rutas a pesar de diferencias en taxistas

DMS Prueba de TUKEY

Renglones 5 Alfa 0.05%
Columnas 4
(n) datos 20
n-c 16
CME 4.85

Obteniendo q de tablas = 4.05

Diferencias Significativas
x1-x2 3.5 No
x1-x3 3 No
x1-x4 1.25 No
x1-x5 0.5 No
x2-x3 6.5 Significativas
x2-x4 4.75 Significativas
x2-x5 3 No
x3-x4 1.75 No
x3-x5 3.5No
x4-x5 1.75 No

F = DISTR.F.INV(alfa, gl. =1, gl. CME =12)
F = 4.7472
DMS = 2.1459

Conclusión: Medias Poblacionales de taxistas diferentes


Ejemplo 3 (Problema 4.1 del Texto de Montgomery, Análisis y diseño de experimentos)

Un químico quiere probar el efecto de 4 agentes químicos sobre la resistencia de un tipo particular de tela. Debido a que podría haber variabilidad de un rollo de tela a otro, el químico decide usar un diseño de bloques aleatorizados, con los rollos de tela considerados como bloques. Selecciona 5 rollos y aplica los 4 agentes químicos de manera aleatoria a cada rollo. A continuación se presentan las resistencias a la tención resultantes. Analizar los datos de este experimento (utilizar α=0.05) y sacar las conclusiones apropiadas.
Rollo
Agente Químico 1 2 3 4 5
1 73 68 74 71 67
2 73 67 75 72 70
3 75 68 78 73 68
4 73 71 75 75 69

Solución
Rollo Yi. Y (gran promedio)
Agente Químico 1 2 3 4 5
1 73 68 74 71 67 70.6 71.75
2 73 67 75 72 70 71.4
3 75 68 78 73 68 72.4
4 73 71 75 75 69 72.6
Y.j 73.5 68.5 75.5 72.75 68.5



Yijestimada (FITS)
72.35 67.35 74.35 71.6 67.35
73.15 68.15 75.15 72.4 68.15
74.15 69.15 76.15 73.4 69.15
74.35 69.35 76.35 73.6 69.35

Residuos (Eij)
0.65 0.65 -0.35 -0.6 -0.35-0.15 -1.15 -0.15 -0.4 1.85
0.85 -1.15 1.85 -0.4 -1.15
-1.35 1.65 -1.35 1.4 -0.35

Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo

RESUMEN Cuenta Suma Promedio Varianza
Fila 1 5 353 70.6 9.3
Fila 2 5 357 71.4 9.3
Fila 3 5 362 72.4 19.3
Fila 4 5 363 72.6 6.8
Columna 1 4 294 73.5 1
Columna 2 4 274 68.5 3
Columna 3 4 302 75.5 3
Columna 4 4 291 72.75 2.916666667
Columna 5 4 274 68.5 1.666666667
ANÁLISIS DE VARIANZA
Origen de las variaciones Suma de cuadrados Grados de libertad Promedio de los cuadrados F Probabilidad Valor crítico para F
Filas 12.95 3 4.31666667 2.376146789 0.12114447 3.4902948
Columnas 157 4 39.25 21.60550459 2.05918E-05 3.2591667
Error 21.8 12 1.81666667
Total 191.75 19


Para el caso de los agentes químicos que son los renglones:

La Ho. No se rechaza debido a que el valor de tablas de f esta en 3.49 y el valor Fc calculado es de 2.37 por lo tanto no cae en la zona de rechazo.

Calculo del valor P 0.12114447

Por otro lado el valor P = 0.1211 es mayor a 0.05 de alfa por lo tanto confirma el no rechazo.

Para el caso de los rollos que son las columnas

La Ho. se rechaza debido a que el valor de tablas de f esta en 3.25 y el valor Fc calculado es 21.60 por lo tanto cae en la zona de rechazo.Calculo del valor P 3.96618E-05

Por otro lado el valor P = 0.00003 es menor a 0.05 de alfa por lo tanto confirma el rechazo.


3. Procedimiento en Excel
 En el menú herramientas seleccione la opción análisis de datos, en funciones para análisis seleccione análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo.
 En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos.
 Alfa = 0.05
 En Rango de salida indicar la celda donde se iniciará la presentación de resultados.

Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo

RESUMEN Cuenta Suma Promedio Varianza
Fila 1 5 353 70.6 9.3
Fila 2 5 357 71.4 9.3
Fila 3 5 362 72.4 19.3
Fila 4 5 363 72.6 6.8

Columna 1 4 294 73.5 1
Columna 2 4 274 68.5 3
Columna 3 4 302 75.5 3
Columna 4 4 291 72.75 2.92
Columna 5 4 274 68.5 1.67


ANÁLISIS DE VARIANZA
Fuente de Suma de Grados de Cuadrados Fc Probabilidad F tablas
variación Cuadrados libertad medios Valor P
Filas 12.95 3 4.32 2.38 0.12 3.49
Columnas 157 4 39.25 21.61 2.06E-05 3.26
Error 21.8 12 1.82

Total 191.75 19
Total 231 24

En la tabla observamos que el estadístico de prueba Fc es menor al valor crítico para F 2.38 One two Way
ResponseRespuesta, indicar Row factor y Column Factor, Seleccionar s! Display Means
Seleccionar s! Store Residuals s! Store Fits Confidence level 95%

Graphs
Seleccionar Normal plot of residuals
OK
Resultados

La gráfica normal de residuos debe mostrar los residuos aproximados por una recta para validar el modelo:

Los residuos se aproximan a la distribución normal por lo cual se concluye que se está utilizando un modelo válido.



Two-way ANOVA: Resistencia versus Agente Químico, Rollo

Source DF SS MS F P
Agente Químico 3 12.95 4.3167 2.38 0.121
Rollo 4 157.00 39.2500 21.61 0.000
Error 12 21.80 1.8167
Total 19 191.75

S = 1.348 R-Sq = 88.63% R-Sq(adj) = 82.00%

Como el valor de P es menor a 0.05 el Rollo tiene influencia significativa en la resistencia.

Individual 95% CIs For Mean Based on
Agente Pooled StDev
Químico Mean ---+---------+---------+---------+------
1 70.6 (----------*----------)
2 71.4 (----------*----------)
3 72.4 (----------*----------)
4 72.6 (----------*----------)
---+---------+---------+---------+------
69.670.8 72.0 73.2

Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
Rollo Mean --+---------+---------+---------+-------
1 73.50 (-----*-----)
2 68.50 (-----*-----)
3 75.50 (-----*-----)
4 72.75 (-----*-----)
5 68.50 (-----*-----)
--+---------+---------+---------+-------
67.5 70.0 72.5 75.0

Se seleccionarían en 2s y 5s rollo ya que tienen los valores más pequeños.

Los Fits y los residuales coinciden con los valores determinados en Excel.

Resp Columna Fila RESI1 FITS1 RESI2 FITS2
73 1 1 0.65 72.35 0.65 72.35
73 1 2 -0.15 73.15 -0.15 73.15
75 1 3 0.85 74.15 0.85 74.15
73 1 4 -1.35 74.35 -1.35 74.35
68 2 1 0.65 67.35 0.65 67.35
67 2 2 -1.15 68.15 -1.15 68.15
68 2 3 -1.15 69.15 -1.15 69.15
71 2 4 1.65 69.35 1.65 69.35
74 3 1 -0.35 74.35 -0.35 74.35
75 3 2 -0.15 75.15 -0.15 75.15
78 3 3 1.85 76.15 1.85 76.15
75 3 4 -1.35 76.35 -1.35 76.35
71 4 1 -0.6 71.6 -0.6 71.6
72 4 2 -0.4 72.4 -0.4 72.4
73 4 3 -0.4 73.4 -0.4 73.4
75 4 4 1.4 73.6 1.4 73.6
67 5 1 -0.35 67.35 -0.35 67.35
70 5 2 1.85 68.15 1.85 68.15
68 5 3 -1.15 69.15 -1.15 69.15
69 5 4 -0.35 69.35 -0.35 69.35