Ejes o flechas

Un eje o flecha es el componente de los dispositivos mecanicas que transmiten energía rotacional y potencia.
En el proceso de transmitir potencia a una velocidad de giro o rotacional especifica, el eje se ve sometido a un momento de torsión o torque. Por consiguiente en el eje se genera tensión por esfuerzo de corte por torsión. A su vez, por lo regular, un eje soporta componentes transmisores de potencia como engranes, poleas acanaladas para bandas o ruedas dentadas de cadena, que ejercen fuerzas sobre el eje en sentido transversal, es decir perpendiculares a su eje. Estas fuerzas transversales provocan que se generen momentos de flexionen el eje, ello requiere de un analisis de tensión debida a la flexión.

Fuerzas que ejercen elementos de maquinaria sobre los ejes

Ruedas dentadas rectas
T=63,000 (P)/n
Wt=T/(D/2)
Wr=Wt tanφ φ=20 ó 25°


Engranes helicoidales
T=63,000 (P)/n
Wt=T/(D/2)
Wr=Wt tanφn / cos ψ
Wx=Wt tan ψ

Catarinas y cadenas
Fc= TA / (DA /2) = TB / (DB /2)
Donde:
TA= torque ejercido en la rueda dentada A por el eje
TB= torque de reacción que ejerce el eje sobre la rueda dentada B

Poleas y bandas
FN=F1-F2
FN=T /(D/2)
FB=1.5FN para banda en V
FB=2.0FN para banda plana

Concentraciones de tensión en ejes

Para montar y ubicar en forma correcta los distintos tipos de elementos mecanicos en los ejes, por lo regular, el diseño final incluye varios diametros, cuñeros, ranuras para anillos y otras discontinuidades geométricas que dan lugar a concentraciones de tensión
Estas concentracionesde tensión deben ser tomadas en cuenta durante el analisis del diseño.

Valores preliminares de diseño Kt

Aquí se consideran los tipos de discontinuidades geométricas que se encuentran con mas regularidad en ejes que transmiten potencia: cuñeros, chaflanes de hombro y ranuras para anillos de sujeción.


Cuñeros

Fig.9-6
Un cuñero consiste en una ranura longitudinal que se corta en un eje para montar una cuña, ello permite transferir torque a partir del eje hacia el elemento que transmite potencia o viceversa
Dos son los tipos de cuñeros que se utilizan con mas frecuencia: el de perfil y el de corredera o rastra. El cuñero de perfil se fresa en el eje utilizando una fresa con diametro igual al ancho de la cuña, la ranura resultante tiene el fondo plano y en su extremo presenta una esquina aguda a escuadra. El cuñero de corredera se fabrica del mismo modo que el anterior pero solo en los extremos del eje.
KT=2.0 (perfil)
KT=1.6 (corredera)

Chaflanes de hombros

Fig.9-7
Cuando en un eje se presentan cambios de diametro para producir un hombro contra el cual se coloca un elemento mecanico, se genera una concentración de tensión que depende de la relación entre los 2 diametros y del diametro del chaflan. Se sugiere que el diametro del chaflan sea lo mas grande posible para minimizar la concentración de tensión; sin embargo, a veces el diseño del engrane, el cojinete u otro elemento afecta el radio que puede utilizarse para fines de diseño. Los chaflanes se clasificaran de acuerdo con dos categorías: con bordes cortantes y con bordesredondeados
Bordes cortantes.
Describe un hombro con un radio de chaflan relativamente pequeño. El canal interno del balero tiene un radio que se produce en la fabrica, no obstante es pequeño. El radio del chaflan en el eje debe ser aun mas pequeño para que el balero asiente debidamente contra el hombro. Cuando se coloca un elemento con un chaflan mas grande en su diametro interior que asienta contra el hombro o cuando no se asienta nada que se apoye en el hombro, el radio del chaflan puede ser mucho mas grande, bien redondeado y el factor de concentración de esfuerzo es mas pequeño. Para el diseño utilizaremos los valores siguientes
KT=2.5 (chaflan con bordes cortantes) baleros
KT=1.5 (chaflan con bordes redondeados)
Si r/d es aproximadamente de 0.03 es un chaflan con bordes cortantes, si r/d=0.17 es con bordes bien redondeados, para una relación D/d de 1.5.

Anillos para anillos de sujeción
Los anillos se colocan en ranuras que se hacen en los ejes, después que se ubica en su lugar el elemento que se va a sujetar. La geometría de la ranura la establece el fabricante del anillo. Su configuración común es una ranura hueca con los bordes de las paredes rectas al igual que su fondo y un chaflan pequeño en la base de la ranura. En consecuencia, el factor de concentración de esfuerzo para una ranura es alto.
KT=3.0

Tensión por esfuerzo de corte de diseño
El método mas preciso para prever fallas en materiales dúctiles debido a una tensión constante por esfuerzo de corte era la teoría de la distorsión de la energía en la cual la tensión por esfuerzo de corte dediseño se calculaba a partir de

Τd =SY / (31/2N) =(0.577 Sy) / N

Utilizaremos este valor para:

Tensión por esfuerzo de corte por torsión constante
Tensión por esfuerzo de corte vertical o directo.
Tensión normal de diseño, carga que genera fatiga
Donde:
Τd=esfuerzo de corte
SY=resistencia punto cedente

Para la flexión inversa sucesiva en un eje provocada por cargas transversales que se aplican a un eje que gira, la tensión de diseño se relaciona con la resistencia por durabilidad del material con el que se fabrica el eje. Las condiciones reales bajo las cuales se fabrica y opera el eje deberan tenerse en cuenta cuando se especifique la tensión de diseño. este es un procedimiento:
1.-
Se calcula la resistencia maxima a la tracción del material, SU, a partir de los resultados de prueba que se realizan, de las especificaciones del fabricante o de información publicada
2.-
Se calcula la resistencia estimada por durabilidad, SN, del material, con base en la fig.5-9. Recuerde que los datos de esta figura se considera la manera en que se fabrica el eje objeto de estudio, ademas de la relación entre la resistencia por durabilidad basica y la resistencia maxima. Si la resistencia maxima es mayor que el límite que se indica en la fig.5-9, es decir, 220 ksi utilice los valores correspondientes a SU=220 ksi
3.-
Se aplica un factor de tamaño CS para considerar el gradiente de tensión dentro del material y la probabilidad de que una sección particular presente una oclusión especifica que puede ser el lugar en que se inicie una fractura por fatiga
Paradiametros de menos de 2”
CS=(D/0.3)-0.068
Para diametros mayores de 2”
CS=D-0.19
4.-
Se aplica un factor de confiabilidad, CR, la información de la resistencia por durabilidad que se reporta, consta de valores promedio que se obtienen con base en varias pruebas, lo cual implica, una confiabilidad de 50%

Confiabilidad que se desea
Factor de confiabilidad, CR
0.50
1.00
0.90
0.90
0.99
0.81
0.999
0.75

5.-
Se calcula SN1=SN CS CR
6.-
Para piezas del eje que solo se ven sujetas a flexión inversa, la tensión de diseño es igual a:
.σd= SN1/N

Factores de seguridad
N=2
Estructuras estaticas, materiales dúctiles con alto grado de confianza en el conocimiento de las propiedades del material, magnitud de las cargas y grado en que resulta adecuado el analisis de tensión.
N=3
Casos normales para estructuras ó elementos de maquinas material dúctil bajo condiciones de incertidumbre moderada en relación a propiedades del material, naturaleza de la carga, o grado en que es adecuado el analisis de tensión. Estructuras estaticas, material quebradizo con alto grado de confianza en el conocimiento de las condiciones de operación
N=4
Elementos de maquinas, materiales quebradizos con incertidumbre moderada acerca de las propiedades, acerca de las propiedades, cargas o analisis de tensión de material, ó materiales dúctiles con incertidumbre en relación a alguna combinación de propiedades, cargas ó analisis de tensión de material, en particular bajo condiciones de choque ó carga por impacto

Fórmula para calcular diametros mínimos en ejes

D=1/3


Problema 9-1
Fig.9-1 y 9-2

Diseñe eje, debe maquinarse en acero AISI 1144 OOT 1000. El eje es parte del impulsor para un sistema de ventilación de gran tamaño que abastece de aire a un horno. El engrane A recibe 200 hp del engrane P. El engrane C transmite la potencia al engrane O. El eje gira a 600 rpm.

Solución

Primero determine las propiedades del acero con que se va a fabricar el eje. A partir del apéndice A-4, sy=83,000 psi; su=118,000 psi y la elongación porcentual es 19%.
Por tanto, el material presenta buena ductilidad. Utilizando la fig.5-9 podemos estimar sn=42,000 psi

Debe aplicarse un factor de tamaño a la resistencia por durabilidad porque el eje sera muy largo como para que transmita 200 hp. Si bien en este momento no conocemos el tamaño real, como un estimado, podemos seleccionar Cs=0.80 de la fig. 9-8.
A su vez, habra que especificar un factor de confiabilidad. Esta es una decisión de diseño. En cuanto a este problema, diseñe para un factor de confiabilidad de 0.99 y utilice CR=0.81

Ahora, es posible calcular la resistencia por durabilidad modificada:
SN1=SN CS CR=(42,000)(0.80)(0.81)=27,200 psi

Se considera N=3 como factor de diseño

Ahora a través de la ecuación siguiente podemos calcular el torque que se presenta en la flecha

T=63,000 (P)/n= 63,000(200)/600=21,000 lb-in
Observe que solo en la parte A a C actúa el torque, de C a D el torque es cero

Fuerzas en los engranes
WTA=TA/(DA/2)=21,000/(20/2)=2,000 lb
WRA=WTA tanφ=21,000 tan (20°)=764 lbWTC=TC/(DC/2)=21,000/(10/2)=4,200 lb
WRC=WTC tanφ=4,200 tan(20°)=1,529 lb

El paso siguiente consiste en mostrar estas fuerzas en el eje en los planos de acción y en los sentidos adecuados. Se calculan las reacciones en los cojinetes y se elaboran los diagramas de fuerza de corte y de momentos de flexión.los resultados se muestran en la fig.9-11
El diseño continuara con el calculo del diametro mínimo aceptable del eje en diversos puntos a lo largo de él. En cada punto, se observara la magnitud del torque y del momento de flexión que existe en el punto, y se estimara el valor de los factores de concentración de tensión. Si en el area que circunda el punto que interesa, existe mas de una concentración de tensión, para fines de diseño se utiliza el mas grande. Esto supone que las propias discontinuidades geométricas no interactúan, lo cual es una practica adecuada. Por ejemplo, en el punto A, el cuñero debe terminar antes de que empiece el chaflan del hombro.

Punto A
M=0
TA=21,000 lb-in
N=3
SN1=27,200 psi
Sy=83,000 psi
KT=1.5
Si aplicamos la formula la primera parte del radical se cancela porque M=0

D= 1/3
D1=1/3 =1.88 in
Otro método a partir de las ecuaciones
Τd =SY / (31/2N) =(0.577 Sy) / N
Τd=T/Zp Zp=πD3/16
Τd =(0.577 Sy) / N=(0.577)(83,000)/3=15,963.7 psi
Zp=T/ Τd=21,000/15,963.7=1.315 in2
D1=[16(Zp)/π]1/3= [16(1.315)/π]1/3=1.88 in

Punto B
El punto B es la ubicación de un cojinete con un chaflan que tiene bordes cortantes a la derecha de B y un chaflan conbordes redondeados a la izquierda. Se pretende que D2 sea cuando menos un poco mas pequeño que D3 en el asiento del cojinete para permitir que este resbale con facilidad a lo largo del eje hasta que alcanza su posición final. Por lo regular hay un ajuste mínimo de presión entre el diametro interior del cojinete y el asiento en el eje.

N=3
SN1=27,200 psi
Sy=83,000 psi
T=21,000
M=22,350
KT=1.5
D= 1/3
D2= 1/3=3.37”

A la derecha de B todo es igual excepto KT=2.5
D3= 1/3= 3.98”
Observe que D4 sera mas grande que D3 para proporcionar un hombro ara el cojinete. Su diametro real se especificara una vez que se concluya el analisis de tensión y después de seleccionar el cojinete en B. el catalogo del fabricante del cojinete especificara el diametro mínimo aceptable a la derecha del cojinete para proporcionar el hombro adecuado contra el que asentara el cojinete.

Punto C
N=3
SN1=27,200 psi
Sy=83,000 psi
T=21,000 lb-in
M=20,780 lb-in
KT=2.0
D= 1/3
D5= 1/3=3.61”

A la derecha de C no existe torque pero la ranura para el anillo de sujeción sugiere que KT =3 para diseño, y hay flexión inversa, utilizando las ecuaciones
.σd= SN1/N y Z=KT M/ σd
.σd= SN1/N =27,200/3 =9,067 psi
Z=3x20,780/ 9,067 =6.88 in3
Pero
D=(16 Z/π)1/3=(16 x 6.88/π)=3.26

Rige 3.61 por ser mas grande

Punto D
El punto Des el asiento del cojinete, aquí no hay torque ni momento de flexion. Sin embargo, hay fuerzas de corte vertical que es igual a la reacción en el cojinete. Utilizando la resultante de las reacciones en los planos x y y, la fuerza de corte es:
VD=(1,2232 +1,6802)1/2=2,078 lb

La tensión por esfuerzo de corte vertical para un eje circular solido es:
Τd =4V/3A
A=4V/3 Τd=4(2,078)/3(15,960)= 0.174in2
D6=(4A/π)1/2=[(4 x 0.174)/π]1/2= 0.470 in
Resumen
D1=1.89”
D2=3.37”
D3=3.98”
D5=4.12”
D6=0.47”
El D4 debe ser mayor que 4.12 para proporcionar un hombro adecuado para el engrane C y el cojinete B
Tamaños basicos recomendables para ejes
1/64
0.01565
5/16
0.3125
7/8
0.875

1/32
0.03125
3/8
0.375
1
1.00

1/16
0.0625
7/16
0.4375
1 1/4
1.250

3/32
0.09375
1/2
0.500.
1 1/2
1.500

1/8
0.1250
9/16
0.5625
1 3/4
1.750

5/32
0.15625
5/8
0.625
2
2.0

3/16
0.187
1 1/16
0.6875
2 1/4
2.250

1/4
0.250
3/4
0.750
2 1/2
2.500


Problema 9-2
Especifique dimensiones convenientes en decimos de pulgada para los 6 diametros del problema anterior. Seleccione las dimensiones para el asiento del cojinete
Parte que embona
Numero de diametro
Diametro mínimo
Diametro especificado
Engrane
D1
1.89
2.00
Nada
D2
3.37
3.40
Balero
D3
3.98
105 mm 4.1339
Nada
D4
>D3 ó D5
4.6
Engrane
D5
4.12
4.2
balero
D6
0.47
80 mm 3.1496

Problema 9-3
El eje que se muestra en la fig.9-12 recibe 110 hp de una turbina hidraulica por medio de una rueda dentada de cadena en el punto C. el par de engranes en E transmite80 hp a un generador eléctrico. La polea acanalada para banda en forma de V transmite 30 hp a una noria elevadora que transporta granos hasta un silo elevado. El eje gira a 1,700 rpm. La rueda dentada, la polea acanalada y el engrane se colocan en posición axial mediante anillos de retención. A la polea acanalada y el engrane se les colocan cuñeros de corredera deslizable y hay un cuñero de perfil en la rueda dentada. Para el eje utilice acero AISI 1040 extruido en frio. Calcule los diametros mínimos aceptables de D1 a D7.
Solución
Para AISI1040
Sy=71,000 psi Su=80,000 psi
A partir de la fig.5.9 Sn=30,000 psi. Diseñe para un factor de confiabilidad de 0.99 y utilice CR=0.81. El tamaño del eje sera moderadamente largo, por tanto es posible suponer CS=0.85 como un estimado razonable. Así, la resistencia modificada por durabilidad es:
SN1=SN CS CR = (30,000)(0.85)(0.81)=20,650 psi
Considere N=3
Distribución del torque en el eje
Torque de A a C T= 63,000(30)/1,700=1,112 lb-in (1,111.76)
Torque de C a E T= 63,000(80)/1,700=2,965 lb-in (2,964.70)
Torque en C T=63,000(110)/1700=4,076 lb-in (4,076.47)

Fuerzas
Fuerzas en polea acanalada A
FN=F1-F2=TA/(DA/2)=1,112/3=371 lb
FA=1.5FN= 1.5(371)=556 lb
La fuerza de flexión actúa en sentido ascendente y hacia la izquierda a un angulo de 60°respecto con la horizontal
FAX=FA cos 60°=(556)cos 60°=278 lb (hacia la izquierda)
FAY=FA sen60°=(556)sen60°=482 lb (hacia arriba)

Fuerzas en la rueda dentada C
FC=TC/(DC/2)=4,076/5=815 lb
FCX=FC sen40°=815(sen 40°)=524 lb (hacia laizquierda)
FCY=FC cos40°=815(cos40°)=624 lb (hacia abajo)

Fuerzas engrane E
FEY=WTE=TE/(DE/2)=2,965/6=494 lb (hacia arriba)
FEX=WRE=WTE tanφ= 494(tan 20°)=180 lb (hacia la izquierda)
Resolviendo
RBX=589 lb (hacia arriba) RBY=164 lb (hacia abajo)
RDX=393 lb (hacia arriba) RDY=188 lb (hacia abajo)

MAX=0 MAY=0 MA=0
MBX=-1,668 MBY=2,892 MB=3,339 lb-in
MCX=198 MCY=4,800 MC=4,804 lb-in
MDX=-1080 MDY=2,964 MD=3,155 lb-in
MEX=0 MEY=0 ME=0

Punto A
N=3
SN1=20,650 psi
Sy=71,000 psi
TA=1,112 lb-in
M=0 lb-in
KT=3.0

D= 1/3
D1= 1/3

D1=0.7458 x 6%=0.79 in2

A la izquierda del punto B
Esto es el diametro de alivio que lleva el asiento del cojinete. Para el lugar donde D2 se une a D3 se utilizara un chaflan redondeado por tanto.
N=3
SN1=20,650 psi
Sy=71,000 psi
TA=1,112 lb-in
M=3,339 lb-in
KT=1.5

D= 1/3
D2= 1/3

D2=1.95”

En el punto B y a la derecha
Este es el asiento de un balero con un chaflan de hombro a la derecha, lo cual requiere un chaflan muy cortante
N=3
SN1=20,650 psi
Sy=71,000 psi
TA=1,112 lb-in
M=3,339 lb-in
KT=2.5

D= 1/3
D3= 1/3

D3=2.31”

En el punto C

Se planea que el diametro sea el mismo entoda su extensión desde la derecha del cojinete B hasta la izquierda del cojinete D. la peor condición se encuentra a la derecha de C, donde hay una ranura para anillo de retención y el valor de torque mas alto
N=3
SN1=20,650 psi
Sy=71,000 psi
TA= 2,965 lb-in
M=4,804 lb-in
KT=3.0

D= 1/3
D4= 1/3

D4=2.77”

En el punto D y hacia la izquierda
Este es el asiento de un balero
N=3
SN1=20,650 psi
Sy=71,000 psi
TA= 2,965 lb-in
M=3,155 lb-in
KT=2.5

D= 1/3
D5= 1/3

D5=2.27”

A la derecha del puntoD
Este es un diametro de alivio similar al que se encuentra en D2
N=3
SN1=20,650 psi
Sy=71,000 psi
TA= 2,965 lb-in
M=3,155 lb-in
KT=1.5

D= 1/3
D6= 1/3
D6=1.92”

En el punto E
En engrane se monta con anillos de retención a cada lado:
N=3
SN1=20,650 psi
Sy=71,000 psi
TA= 2,965 lb-in
M=0
KT=1.5

D= 1/3
D7= 1/3
D7=1.03 x1.06=1.09”

Resumen con los valores convenientes especificados

Parte que embona
Numero de diametro
Diametro mínimo
fracción
decimal
Polea acanalada
D1
0.79
2
2.0
Nada
D2
1.95
2
2.0
Balero
D3
2.31
2 ½
2.5
Rueda dentada
D4
2.77
3
3.0
Balero
D5
2.27
2 ½
2.5
Nada
D6
1.92
2
2.0
Engrane
D7
1.03
2
2.0