Movimiento circular
Introducción
El movimiento circular ademas de ser un
fenómeno físico importante, es de gran aplicación en
nuestra vida diaria. Innumerable es la cantidad de ruedas,
discos, engranajes y cosas en movimiento circular que son indispensables para
desplazarnos, mover las maquinas, traernos el agua e incluso el aire
hasta donde estamos.
Vamos a realizar un estudio del movimiento circular uniforme. Para ello
utilizaremos una simulación. Claro, habiendo tantas ruedas,
siempre podremos completar con una buena observación de casos reales.
El propósito de esta primera etapa es conocer el
simulador que se muestra a la izquierda. Puedes
ajustar radio de la trayectoria, rapidez de rotación, parar, hacer pausa
y medir la posición en cualquier momento. Se dan las coordenadas del
'testigo' en forma polar y cartesiana.
Movimiento circular uniforme
En física, el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo atravesando, con rapidez constante, una
trayectoria circular.
Aunque la rapidez del
objeto es constante, su velocidad no lo es: La velocidad, una magnitud
vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de
dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una
aceleración que, si bien en este caso no
varía al módulo de la velocidad, sí varía su
dirección.
Elementos
El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un cuerpo se desplaza alrededorde un punto central,
siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal manera que en tiempos
iguales recorra espacios iguales. No se puede decir que la velocidad es
constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo,
dirección y sentido: el módulo de la velocidad permanece
constante durante todo el movimiento pero la
dirección esta constantemente cambiando, siendo en todo momento
tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una
aceleración que, si bien en este caso no
varía al módulo de la velocidad, sí varía su
dirección.
MOVIMIENTOS EN EL PLANO
Un movimiento en el plano
es una transformación geométrica del
plano que
conserva los angulos y las distancias (la forma y el tamaño). Se
distinguen tres tipos de movimientos: Traslación, giro y
simetría.
1.- TRASLACIÓN
Definición: Se llama traslación T de vector libre AB a una
transformación que asocia a cada punto P del plano otro punto P'=T(P) de
manera que el vector PP' sea igual al vector AB.
En esta escena se muestra una traslación de vector AB. Tanto AB como el
segmento PQ se pueden mover.
Un punto o una figura, es invariante por un movimiento (también se dice
que es doble cuando se transforma en sí
mismo al aplicarle dicho movimiento.
1. ¿Algún punto es invariante por una traslación?
2. ¿Existe alguna recta que sea doble en una traslación?
GIROS
Definición: Se llama giro de centro O y angulo ß a un
movimiento que hacecorresponder a cada punto P otro punto P' tal que : d(O, P) =d (O, P') y angulo(POP') = ß
Cuando el angulo de giro es de 180º se dice que es una
simetría central de centro O.
1. Efectúa los siguientes ejercicios en tu cuaderno
1. Gira un rectangulo 90º respecto a un punto exterior a él
2. Gira un rectangulo 180º respecto a un punto
interior a él.
3. Gira una circunferencia 120º respecto a su centro
4. Gira una circunferencia 45º respecto a un
punto interior distinto del
centro.
5. ¿Existe algún punto doble en un giro?
6. ¿Existe alguna recta invariante en un giro?
7. ¿Existe alguna recta doble de puntos dobles en un
giro?
2. Una figura plana se dice que tiene un centro de
giro O de orden n cuando al girarla alrededor de O, coincide consigo misma n
veces, contando con la posición inicial. Investiga el orden de los
centros de giro (si los tienen) de las siguientes figuras: cuadrado, rombo,
hexagono regular, trapecio isósceles, cometa, triangulo
rectangulo, circunferencia.
A veces se dispone de una figura y la obtenida mediante un
giro, pero no se conocen ni el centro ni la amplitud del mismo. El uso
de la mediatriz permite encontrar el
centro de giro.
SIMETRÍA
Definición: Se llama simetría axial S, de eje e, a un movimiento
que transforma un punto P en otro P' de modo que e es mediatriz del segmento PP', o lo
que es lo mismo, d(P, e) = d(P', e)
1. Realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno
1. Aplica a unhexagono una simetría de eje una recta exterior a
él.
2. Aplica a una circunferencia una simetría de eje una recta secante que
no pase por el centro. ¿Existe algún eje que
deje la circunferencia invariante?
3. ¿Hay algún punto doble en una simetría?
4. ¿Existe alguna recta doble en una simetría
¿es de puntos dobles?
2. Hay muchas figuras invariantes mediante simetrías axiales. Se las llama figuras simétricas. Los
polígonos regulares lo son. Busca los ejes de simetría de un triangulo equilatero, un cuadrado, un
pentagono y un hexagono regular. ¿Tienen
estos polígonos centro de giro? ¿De
qué orden? ¿Hay alguna relación con el
número de ejes de simetría?
Movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple es un movimiento
periódico, oscilatorio y vibratorio. Para
deducir y establecer las ecuaciones que rigen el movimiento armónico
simple (unidimensional) es necesario analizar el movimiento de la
proyección, sobre un diametro de una
partícula que se mueve con movimiento circular uniforme (bidimensional).
El movimiento armónico simple se puede estudiar desde diferentes puntos
de vista: cinematico, dinamico y energético. Entender el movimiento armónico simple es el primer paso para
comprender el resto de los tipos de vibraciones complejas. El mas
sencillo de los movimientos periódicos es el que realizan los cuerpos
elasticos
EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Definición: es un movimiento vibratorio bajo la
acción de unafuerza recuperadora elastica, proporcional al
desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.
Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical
se representa graficamente por la función seno.
Ésta representa un movimiento vibratorio
llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando
los desplazamientos del
cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este
desplazamiento.
Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a
partir del
desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una
circunferencia.
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con
velocidad uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los
diametros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple.
Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la
circunferencia, se trazara una perpendicular desde el punto a un diametro fijo de la circunferencia. A medida que
el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el
diametro, realizara un movimiento
oscilatorio rectilíneo.
Para representar graficamente (en una función) el movimiento
armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como
fracciones del período (T/12, T/6,
T/4) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la
circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas
prolongaciones del
mismo. La resultante es una sinusoide, yaque la variación del tiempo t, se traduce como una variación del sin x, donde x es el angulo que
forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al
tiempo).
MOVIMIENTO OSCILATORIOFundamento teórico
Todos los cuerpos, de una u otra manera, se deforman al interactuar conotros
cuerpos. Esta transformación se debe
fundamentalmente a que lasfuerzas ejercidas sobre cualquier objeto, de alguna
manera cambian susestructuras moleculares o cristalinas. Cuando dejan de
actuar las fuerzasexternas, los cuerpos en parte recuperan su forma original y
mantienen algode las deformaciones sufridas, sin embargo, para estudiar
elcomportamiento de los objetos en relación con la recuperación
de susestructuras luego de una interacción, se ha establecido la
siguienteclasificación: se denominan
elasticas
, aquellas sustancias que componen alos cuerpos de modo que cuando sobre ellos
actúa una fuerza externa,predomina la tendencia a recuperar su forma
original; y
plasticas oinelasticas
son nombradas aquellas sustancias que componen a loscuerpos de manera que la
tendencia mas sobresaliente que presentan es amantener la
deformación luego de una interacción. Ejemplos de
cuerposelasticos son los compuestos por caucho, acero, vidrio; mientras
que soncuerpos inelasticos los fabricados de plastilina, arcillas, y
cobre entre otros.Cuando sobre un cuerpo se ejerce una fuerza, esta
acción se transmite a laestructura cristalina omolecular de la sustancia
que lo compone,modificando la posición de los atomos, a su vez,
la estructura responde conuna fuerza igual y contraria, lo cual podría
interpreta e microscópicamentecomo e l cumplimiento de la tercera ley de
Newton (acción y reacción) Larespuesta de las sustancias a la
acción de fuerza s externas, que semanifiesta como la tendencia a
recuperar la forma original, es a lo que sedenomina fuerza de restitución
y tiene un o rigen electromagnético . Elprimero en estudiar las fuerzas
elasticas o de restitución fu e Robert Hook e(1635 -1703 ),
llegando a establecer que éstas siempre son proporcionales ala de
formación y a una constante que depende del material , lo cual seexpresa
matematicamente como.
SISTEMA MASA-RESORTE
Consideremos un sistema Masa-Resorte sobre una mesa
horizontal sin fricción. En el Movimiento Armónico Simple la
fuerza de restitución del resorte
, donde k es la constante de elasticidad y x la deformación
(considerando que el origen de referencia es la posición de equilibrio),
es la que mantiene el movimiento oscilatorio de la masa de acuerdo a la
ecuación de movimiento que se obtiene a partir de la Segunda Ley de
Newton
Consideremos al sistema Masa-Resorte en el que ademas de la fuerza de
restitución del resorte se tiene la presencia de una fuerza Fa(t) que
trata de amortiguar el movimiento. El modelo para la fuerza de amortiguamiento,
si es debida al movimiento de la masa através de un medio (por ejemplo
el aire), tiene dos características
1) Siempre se opone al movimiento, lo que significa que esta en
dirección contraria a la velocidad; y
2) Es directamente proporcional a la magnitud de la velocidad.
La primera característica es general para las fuerzas de amortiguamiento;
mientras que la segunda es la característica propia del modelo
propuesto, es decir que otros modelos pueden tener otro tipo de dependencia
para la fuerza de amortiguamiento. De acuerdo al modelo propuesto, la fuerza de
amortiguamiento se puede escribir en la forma
Donde b es la constante de amortiguamiento.
Entonces la ecuación de movimiento de la masa, de acuerdo con la Segunda
Ley de Newton, es
Donde m es la masa; a es la aceleración; k es la constante de
elasticidad; y, x la posición, considerando que la posición de
equilibrio es el origen de referencia.
Sea
la frecuencia natural, con
y
el factor de amortiguamiento, entonces la ecuación de movimiento se
puede escribir como
Péndulo simple: El sistema físico llamado péndulo simple
esta constituido por una masa puntual m suspendida de un hilo inextensible y sin peso que oscila en el
vació en ausencia de fuerza de rozamientos. Dicha masa se desplaza sobre
un arco circular con movimiento periódico. Esta
definición corresponde a un sistema teórico
que en la practica se sustituye por una esfera de masa reducida
suspendida de un filamento ligero.
