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Aportaciones de pitagoras en la geometria



PITAGORAS

Aportes a la Geometría
Los griegos antiguos distinguían el estudio de las relaciones abstractas existentes entre los números, del calculo practico con números. Las relaciones abstractas entre los números se conocían con el nombre de aritmética, mientras que el calculo recibía el nombre de logística. Esta división se mantuvo hasta finales del siglo XV de nuestra era, y a partir de entonces, la aritmética actual se refiere a la logística griega, mientras que la teoría de números corresponde a la aritmética de los griegos.
Pitagoras, o mas bien los pitagóricos, estudiaron los números, clasificandolos según propiedades bien definidas. Descubrieron los números amistosos, perfectos abundantes, deficientes, ademas de iniciar el estudio de los números figurados.


Dos números son amigos si cada uno es la suma de los divisores propios del otro. Por ejemplo, 284 y 220 son números amigos ya que la suma de los divisores propios de 284 (1 ) es igual a 220, y la de los divisores propios de 220, que son 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110, es 284. Lo lamentable es que estos pares de números amigos, los han utilizado en la magia, la astrología y el calculo de horóscopos.
Un número es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual al número. Por ejemplo, los números 6, 28,496 y 8128 son perfectos. El número 6 es igual a 1+2+3. El número 28 es igual a 1+2+4+7+14. Si la suma de los divisores propios es mayor que el número, se dice que es abundante y si es menor entonces es deficiente.
Los números figurados, concebidos como los números de puntos en ciertas configuracionesgeométricas, constituyen un nexo directo entre la geometría y la aritmética. Los pitagóricos eran esencialmente geómetras y dedicaban mucho tiempo a arreglar los puntos en formas geométricas y a contarlos. Por ejemplo, los puntos pueden arreglarse en forma de triangulo o de cuadrados. Así, un número de puntos que forme exactamente un triangulo es un número triangular.


Se pueden escribir todos los números triangulares en una línea: 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55 y así sucesivamente, representando cada uno de ellos en un triangulo. Estos números muestran una cierta regularidad. El primer número es sencillamente uno. El siguiente, aún cuando es 3, es 1+2, después el 6, que es 1+2+3, luego el 10, que es 1+2+3+4, sigue el 15, que es 1+2+3+4+5; y así sucesivamente. Teniendo presente esta relación, se puede hacer la lista de números triangulares indefinidamente, sin siquiera tener que hacer el triangulo y contar los puntos.
Cualquier grupo de números que pueda construirse sucesivamente por medio de un sistema como éste, es llamado “serie”. Los números que representan los puntos y forman un cuadrado también forman una serie. La serie de los números cuadrados es: 1,4,9,16,25,36,49,64, y así sucesivamente, hasta donde se quiera llegar.
Si se observa esta serie con cuidado, se podra notar que cada número esta formado de la suma sucesiva de números impares.
La nomenclatura geométrica de los números figurados es abundante, ademas de los triangulares y cuadrados, estan los pentagonales y hexagonales. Se puede aumentar facilmente la nomenclatura de estos números al introducir los números poligonales y los númerospoliédricos como, por ejemplo, los números cúbicos, piramidales, etc.

A Pitagoras se debe la definición del punto, como unidad con posición; y también es pitagórica la clasificación de los angulos en las tres categorías que se encuentran en la escuela basica: rectos, agudos y obtusos, según midan 90º, menor de 90º y mayor de 90º, respectivamente.
También de Pitagoras es la concepción geométrica del espacio, como entidad continua, homogénea e ilimitada. Concepción que se mantiene actualmente.
Se atribuye a Pitagoras la construcción de figuras cósmicas o sólidos regulares. Estos sólidos son el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Un poliedro es regular si sus caras son polígonos regulares iguales y sus angulos poliédricos son todos iguales. Es decir, únicamente los poliedros antes mencionados son poliedros regulares. El tetraedro tiene cuatro caras triangulares, el cubo seis caras cuadradas, el octaedro ocho caras triangulares, el dodecaedro doce caras pentagonales, y por último, el icosaedro esta limitado por 20 caras triangulares.
Los griegos preocupados sobre todo por la representación de los números por medio de cantidades geométricas y desprovistos de una notación algebraica adecuada, tuvieron que inventar procesos geométricos ingeniosos para llegar a solucionar problemas algebraicos. Consiguieron, no sólo demostrar algunas identidades algebraicas, sino también resolver, utilizando la geometría, ecuaciones cuadraticas. Esta geometría algebraica griega procede en gran parte de los trabajos de los pitagóricos. Demostraron geométricamente lassiguientes identidades:

( a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2
( a + b) (a - b) = a2 - b2

Dichas identidades son conocidas en la tercera etapa de la educación basica como productos notables.


La mas famosa realización del genio de Samos se considera el teorema de Pitagoras: “La suma de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triangulo rectangulo es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa.”
Sin este teorema, tal vez no serían concebibles las mismas matematicas; no se habría podido desarrollar ninguna rama de la geometría y de las matematicas superiores. Muchas conquistas y avances de las ciencias físicas habrían sido imposibles.
Mas de dos mil años después de Pitagoras, varios filósofos seguían preguntandose el porqué de la existencia de esa relación.
La pregunta no tiene respuesta. Se puede demostrar de mil modos diferentes que las cosas son como las enunció Pitagoras, pero no se encuentra el porqué. Sirva la ocasión para aclarar que preguntas de ese tipo no tienen sentido. Todas las entidades geométricas y matematicas en general, son construcciones de nuestra mente, fruto de la inteligencia del hombre.

Tienen en si sus propias leyes, independientemente de la experiencia del mundo externo, son el reino de las formas puras.
Las propiedades del triangulo rectangulo son validas en astronomía, como por ejemplo, el triangulo rectangulo formado por tres estrellas muy distantes entre sí; son validas para un triangulo rectangulo en la India o en Venezuela, valen para la cantidad infinita de triangulos rectangulos factibles de ser dibujados en un papel, en unpizarrón o en la arena de la playa.

Ademas, el hecho de que una adquisición matematica, fruto de pura abstracción, encuentre aplicaciones practicas de miles de maneras diferentes en la realidad de nuestro mundo, demuestra una vez mas lo grande que es la capacidad del intelecto humano.
El teorema de Pitagoras sirvió y servira siempre para resolver una cantidad infinita de problemas en cada sector de la ciencia y de la tecnología, pero no es del todo correcto que el famoso teorema sea totalmente obra del fundador de la escuela pitagórica y de sus alumnos.
Algunos textos de escritura cuneiforme (Babilonia), pertenecientes a la época de la dinastía de Hammurabi, revelan calculos de la diagonal de un rectangulo con características muy cercanas a las del teorema de Pitagoras. Los egipcios, también tenían conocimientos de las relaciones en un triangulo rectangulo. La Camara de los Reyes, dentro de la piramide de Keops, respeta exactamente las proporciones de las relaciones tres, cuatro, cinco.
Los antiguos sabios hindúes conocían las propiedades pitagóricas del triangulo rectangulo, con la diferencia que las relaciones entre el lado mas largo y los otros lados eran cinco; doce; trece.
En un antiguo texto chino se encontró una demostración intuitiva del teorema, ademas de un tratamiento sobre la distancia tierra-sol y sobre las dimensiones del astro rey.
A Pitagoras, sin embargo le corresponde el mérito del planteamiento preciso y la demostración del teorema cuya validez resulta universal. La demostración mas antigua fue transmitida en el primer libro de los Elementos de Euclides
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