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Calculo Integral - sDónde se utiliza el Cálculo Integral?, Sumatoria, Áreas por aproximaciones de límites de sumas, Suma de Riemann



Calculo Integral

Programa por sesiones
Unidad I
Semestre Febrero - Julio 2008



Sesión 1

Cálculo Integral

Objetivo General: Aplicar el Cálculo Integral a través del análisis del comportamiento gráfico de una función y determinar el área debajo de una curva utilizando los distintos métodos de integración para la resolución de problemas.

Introducción

sDónde se utiliza el Cálculo Integral?


¶ En cada una de las situaciones que se presentan aquí intervienen las integrales.
o Usar la razón a la cual se fuga el aceite en un tanque para hallar la cantidad que se halla fugado durante un cierto periodo.
o Utilizar las lecturas de velocidad de un trasbordador espacial para calcular la altura que ha alcanzado en un tiempo dado.


Temario

 Unidad I.- La Integral

1.1.- Sumatoria
1.2.- Áreas por aproximaciones de límites de
sumas
1.3.- Suma de Riemann
1.4.- Integral definida
1.5.- Teorema fundamental del Cálculo
1.6.- Antiderivadas
1.7.- Calculo de áreas de regiones
comprendidas entre dos curvas.
2.- Integral Indefinida
2.1.- Antiderivadas
2.2.- Integral Indefinida
2.3.- Notación Integral
2.4.- Reglas básicas de integración
2.5.- Algoritmos para integración sencilla

 Unidad II.- Métodos de integración

3.1.- Sustitución
3.2.- Por partes
3.3.- Fracciones parciales
3.4.- Integrales trigonométricas
3.5.- Sustitución trigonométrica

 Unidad III.-Aplicaciones de la integral

4.1.- Integral definida para calcular:
4.1.1.- Volumen d un sólido
4.1.2.- Aplicaciones en geometría
4.1.3.- Aplicaciones en física
4.1.4.- Ley de Hooke en Cálculo

Bibliografía

 Cálculo: Trascendentes tempranas. Stewart, James. 4S. Edición.

Evaluación

La evaluación se compone de la suma de los puntos obtenidos en


El examen de la unidad 5
Ejercicios 4
Asistencia 1

Asistencia

 Cada unidad cuenta con 15 horas clase, por lo que es muy importante que el alumno asista a todas las sesiones, teniendo derecho a faltar solamente 3 sesiones por unidad.

¶ Cada falta resta 1/3 de la evaluación.

¶ Con 4 faltas se pierde el derecho a presentar el examen de la unidad.

Requisitos para el formato de entrega de Ejercicios:



o Puntualidad
o Portada
 Nombre de la Escuela
 Nombre de la materia
 Nombre y número del Ejercicio
 Nombre del Alumno
 Nombre del Asesor
 Lugar y fecha de entrega
o Orden
o Claridad y limpieza

Unidad I.- La Integral

Objetivo: Aplicar la integral definida a través de la aproximación sucesiva de las áreas de regiones en el plano y la antiderivada de funciones polinomiales, para resolver problemas sencillos en las diferentes áreas del conocimiento.

1.1 Sumatorias

Objetivo: Definir el proceso de sumatoria y deducir algunas formulas que serán aplicadas en el cálculo de áreas.

Introducción: Esfácil determinar el resultado de la suma de varios términos si éstos son pocos, pero cuando surge la necesidad de sumar grandes cantidades de cifras, se vuelve complicado o tedioso.

Es en estos casos, que el uso de la operación de sumatoria se vuelve muy útil para resolver estos problemas.

Para ello utilizaremos la letra griega Σ (sigma) para escribir sumas.

Notación Sigma


Definición: Si am, am+1,… an son números reales y m y n son enteros tales que , entonces



que en notación funcional puede escribirse como


Así el símbolo indica una suma en la cual la letra i (que se denomina índice de la suma) toma los valores enteros consecutivos que comienzan con m y terminan con n. El índice de la suma puede ser representado con otras letras.

Ejemplo






Escriba la suma de 23+33+…+n3 en notación sigma.

Solución:

Reglas de la notación sigma (parte 1):

1.
2.
3.

Ejercicio

1.1.1 Sumatorias (parte 1)

Sesión 2

1.1.- Sumatorias

Objetivo: Definir el proceso de sumatoria y deducir algunas formulas que serán aplicadas en el cálculo de áreas.

Introducción: En la sesión anterior se vieron algunas reglas que permiten manejar las sumatorias dentro de las operaciones. Para esta sesión se resuelven sumatorias con la ayuda de otras reglas, útiles en el cálculo de áreas.

Reglas de la notación sigma (parte 2)

4.

5.

6.

Ejemplo .
Ejemplo


8.
Ejemplo:


Ejercicio:

1.1.2.- Sumatoria (parte 2)

Sesión 3

1.2.- Áreas por aproximación de límites de sumas

Objetivo: Determinar el área de superficies que se encuentran bajo una curva por el método de aproximación de límite de sumas con un número finito de franjas.

Introducción: Al intentar resolver el problema del área, tenemos que preguntarnos sCuál es el significado de la palabra área? Esta cuestión es fácil de responder para regiones de lados rectos.


En los casos donde los lados son curvos ya no es tan fácil determinar el área.

Determinar el área de la región S que está debajo de la curva y = f(x) desde a hasta b.



Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es un área, pero es necesario dar una definición exacta de área. Para esto obtendremos una aproximación de la región S por medio de rectángulos y sumaremos el área de estos rectángulos.

Ejemplo

Use rectángulos para estimar el área debajo de la parábola y = x2 desde 0 hasta 1.



Solución: Veremos que el área S debe encontrarse entre 0 y 1. Dividamos S en cuatro franjas S1, S2, S3 y S4 al trazar las rectas verticales , y . Podemos obtener una aproximación de cada franja por medio de un rectángulo cuya base sea la misma que la de la franja y cuya altura que la misma que la del lado derecho de la propia franja. En otras palabras, las alturas de estos rectángulos sonlos valores de la función en los puntos extremos de la derecha de los subintervalos , , y .


Cada rectángulo tiene un ancho de y las alturas son , , y .


Si denotamos con D4 a la suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación, obtenemos



Observemos que el área A de S es menor que D4, de modo que


A < 0.46875

En lugar de utilizar los rectángulos formados por los extremos derechos, pudimos haber utilizado los rectángulos formados por los extremos izquierdos de los subintervalos.



La suma de estos rectángulos de aproximación es


Vemos que el área de S es menor que I4, de modo que tenemos estimación superior e inferior para A

0.21875 < A < 0.46875
Podemos repetir este procedimiento con un número mayor de franjas. En la figura se muestra lo que sucede cuando dividimos la región S en ocho franjas de anchos iguales.


Aproximación por áreas

Para encontrar la aproximación del área considerando extremos derechos sumaremos las áreas de cada rectángulo.



Para este caso haremos 8 franjas para el intervalo de 0 a 1 por lo tanto cada una mide 1/8

Para conocer la altura de cada franja evaluaremos la función en cada uno de los valores de x







El área de cada franja es

El área total para 8 franjas es:

Sustituyendo valores:

Ordenando:



Al calcular la suma de las áreas de losrectángulos más pequeños (I8) y la suma de las áreas de los rectángulos más grandes (D8), obtenemos mejores estimaciones inferior y superior de A:
0.2734375 < A < 0.3984375

De modo que una respuesta posible a la pregunta es decir que el área verdadera de S se encuentra entre 0.2734375 y 0.3984375.

Se pueden obtener estimaciones mejores al incrementar el número de franjas. En la tabla se muestran los resultados de cálculos semejantes, usando n rectángulos cuyas alturas se encontraron con los extremos izquierdos (In) o con los puntos extremos derechos (Dn)

n In Dn
10 0.2850000 0.3850000
20 0.3087500 0.3587500
30 0.3168519 0.3501852
50 0.3234000 0.3434000
100 0.3283500 0.3383500
1000 0.3328335 0.3338335

Observando los valores para 1000 franjas, A se halla entre 0.3328335 y 0.3338335 obteniendo una mejor aproximación si se promedian estos valores con A ≈ 0.3333335.

Sesión 4

1.2 Áreas por aproximación de límites de sumas

Objetivo: Determinar el área de superficies que se encuentran bajo una curva por el método de aproximación de límite de sumas con un número infinito de franjas.

Introducción: En la sesión anterior pudimos observar como se mejoran las aproximaciones al área de una superficie al aumentar el número de franjas para esa área. Veamos entonces que sucede al tener un número de franjas infinito, y como afecta esto la aproximación al área.

Apliquemos la idea de lasesión anterior a la región más general. Empecemos por subdividir S en n franjas S1, S2,…,Sn de anchos iguales. El ancho del intervalo [a,b] es b-a, de modo que cada una de las n franjas es



Estas franjas dividen el intervalo[a,b] en n subintervalos
[x0,x1], [x1,x2], [x2,x3],…, [xn-1,xn]

Donde x0 = a y xn = b. Los puntos extremos de la derecha son

, , ,…


Si hacemos la suma de las áreas de cada uno de los rectángulos considerando los extremos derechos, obtendremos una aproximación al área, que se puede escribir de la siguiente forma




Como hemos visto el área va mejorando a medida que aumentamos el número de franjas, es decir, cuando . Por lo tanto, definimos el área A de la región S de la manera siguiente

Definición: El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:



Ejemplo: Aproximación por limite de áreas con n franjas para el área bajo la curva y = x2 entre 0 y 1.

Para encontrar la aproximación del área considerando extremos derechos sumaremos las áreas de cada rectángulo.

Para este caso haremos n franjas para el intervalo de 0 a 1 por lo tanto cada una mide 1/n

Para conocer la altura de cada franja evaluaremos la función en cada uno de os valores de x (xi)







El área de cada franja es

El área total paran franjas es:



Sustituyendo valores:


Ordenando:


lo que se puede expresar como una sumatoria Esta sumatoria se puede cambiar de acuerdo a las propiedades de las sumatorias por Sustituyendo Si cancelamos una n de arriba con una n de abajo queda:

pasando el 6 como constante y la n2 como factor separando las n

y ordenando
y factorizando
para completar la aproximación debemos obtener el limite del área cuando n tiende a infinito.
al evaluarlo quedará recuerda que , entonces
como puedes ver este resultado es mas exacto que para 8 franjas.

Ejercicio:

1.2 Aproximación de áreas por límite de sumas.
Sesión 5

1.3 Suma de Riemann

Objetivo: Definir la notación de la suma de Riemann y establecer su relación con la integral definida, para la solución de integrales.

Introducción: Hemos aproximado el área bajo la curva por medio de rectángulos, considerando su extremo derecho o su extremo izquierdo, pero podemos tomar la altura del i – ésimo rectángulo como el valor de f en cualquier número en el i – ésimo subintervalo [xi-1, xi]. A estos números , ,…, los llamamos puntos muestra.

Una expresión más general para el área de S es




A menudo usamos la notación Sigma para escribir de manera más compacta las sumas con muchos términos. Por ejemplo



Con lo cual podemos escribir la expresión para elárea como:


Donde la suma se le llama suma de Riemann, en honor del matemático Bernhard Riemann (1826 – 1866). Sabemos que si la f es positiva, la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de los rectángulos de aproximación.



Ejemplo: Evalúe la suma de Riemann para , con cuatro subintervalo; tome los puntos extremos de la derecha como los puntos muestra.

Solución: Los valores de a = 0, b = 2 y n = 4 se utilizarán para obtener el ancho del intervalo




Observando la gráfica, los extremos derechos son

, , y

De modo que la suma de Riemann es








Ejercicio:

1.3 Suma de Riemann

Sesión 6

1.4.- Integral Definida

Objetivo: Definir la notación de integral definida para su aplicación en la solución de problemas

Introducción: Al calcular áreas en las sesiones anteriores, vimos que surgen límites de la forma



Resulta que este límite se presenta en una amplia variedad de situaciones como el cálculo de volúmenes de sólidos, longitud de una curva, fuerza debida a la presión del agua, incluso cuando f no es una función positiva. Por lo tanto, a este tipo de límite le damos un nombre y una notación especiales.

Definición de integral definida: Si f es una función continua definida para , dividimos el intervalo
[a, b] en n subintervalos de igual ancho , denotamos con x0 (=a), x1, x2,…, xn (=b) los puntos extremos deestos subintervalos de modo que se encuentra en el i – ésimo subintervalo [xi-1, xi]. Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es



Notación de Leibniz



El signo de integral es una S alargada y se eligió debido a que una integral es un límite de sumas.

La integral definida es un número; no depende de x. De hecho, podemos usar cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la integral.

Evaluación de integrales

Cuando aplicamos la definición para evaluar una integral definida, necesitamos recordar las formulas y reglas para trabajar con sumatorias

Ejemplo: Evalúa
Solución: Para n subintervalos, tenemos


Por consiguiente x0=0, x1=2/n, x2=4/n, x3=6/n, y en general, xi=2i/n. Dado que utilizamos los puntos extremos derechos, podemos decir que y expresar:











Evaluando el límite



Su grafica muestra que es una diferencia de áreas


Ejercicio:

1.4.- Integral Definida

Sesión 7

1.5.- Teorema fundamental del cálculo (parte 1)

Objetivo: Definir la notación de la suma de Riemann y establecer su relación con la integral definida, para la solución de integrales.

Introducción: Hemos aproximado el área bajo la curva por medio de rectángulos, considerando su extremo derecho o su extremo izquierdo, pero podemos tomar la altura del i – ésimo rectángulo como el valor de f en cualquier número

Ejercicio .- Teorema fundamental del Cálculo (Parte 1)


Sesión 8

1.5.- Teorema fundamental del cálculo (parte 2)

Objetivo: Definir la notación de la suma de Riemann y establecer su relación con la integral definida, para la solución de integrales.

Introducción: Hemos aproximado el área bajo la curva por medio de rectángulos, considerando su extremo derecho o su extremo izquierdo, pero podemos tomar la altura del i – ésimo rectángulo como el valor de f en cualquier número

Ejercicio

1.5.2.- Teorema fundamental del Cálculo (Parte 2)

Sesiones por tema

Sesión Tema Contenido Referencia Lab. Ejercicio
Libro Cuadernillo pp. NE Núm.
1 Introducción
1.1.- Sumatorias Temas y reglas
Definición
Fórmulas
A 37
Notación Sigma
8
Áreas por aproximación de límites de sumas
1.1.1 A 41 E 1 – 5,10
11,13,15
16,19,20
2 1.1.- Sumatorias Fórmulas A 37 Notación Sigma 8 Áreas por aproximación de límites de sumas 1.1.2 A41 E 22,32,33
34,
3 1.2.- Áreas por aproximaciones de limites de sumas Problema del Área (franjas finitas) 367 – 369 Áreas y distancias 8 Áreas por aproximación de límites de sumas
4 Problema del Área (franjas infinitas) 369 – 374 Áreas y distancias 8 Áreas por aproximación de límites de sumas 1.2 376 5.1 3,4,5
5 1.3.- Suma de Riemann Definición
Ejemplos 378 – 384 Integral definida 11 1.1.2 Suma de Riemann 1.3 388 5.2 2,3,4
6 1.4.- Integral definida DefiniciónIntegrabilidad
Regla del punto medio
Propiedades de la Integral 378 – 388 Integral definida 11 1.1.3 Integral definida 1.4 388 5.2 15, 16, 17,18,19, 20, 22,23
7 1.5.- Teorema funda-mental del cálculo Primera parte
391 – 395 Teorema fundamental del cálculo 14 1.1.4 Teorema fundamental del cálculo 1.5.1
8 Segunda parte
395 – 398 Teorema fundamental del cálculo 14 1.1.4 Teorema fundamental del cálculo 1.5.2
9 1.6.- Antiderivadas Definición
Fórmulas 351 – 354 Antiderivadas 16 Antiderivadas 1.6
10 1.7.- Calculo de áreas de regiones compren-didas entre dos curvas Definición
Ejemplos 433 – 438 Área entre curvas 16 1.1.6 Calculo de áreas de regiones comprendidas entre dos curvas 1.7
11 1.8.- Integral Indefinida Definición
Notación 378
401 – 406 Integrales Indefinidas 1.8
12 1.9.- Reglas básicas de integración 1 – 4 401 – 406 Integrales indefinidas 25 2.1.2 Reglas básicas de integración 1.9.1
13 1.9.- Reglas básicas de integración 5 – 7 401 – 406 Integrales indefinidas 25 2.1.2 Reglas básicas de integración 1.9.1
14 1.9.- Reglas básicas de integración 1 – 3 401 – 406 Integrales indefinidas 25 2.1.2 Reglas básicas de integración 1.9.1
15 1.9.- Reglas básicas de integración 1 – 3 401 – 406 Integrales indefinidas 25 2.1.2 Reglas básicas de integración 1.9.1
16 1.9.- Reglas básicas de integración 1 – 3 401 – 406 Integrales indefinidas 25 2.1.2 Reglas básicas de integración1.9.1



Indice de temas por sesión
SESIÓN 1 2
Cálculo Diferencial 2
SESIÓN 2 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
Unidad I Límite y Continuidad 3
Iniciando el tema 1.1 4
SESIÓN 3 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.2 Límites de una función (Definición) tError! Marcador no definido.
SESIÓN 4 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.2 Límites de una función (Límites laterales) tError! Marcador no definido.
SESIÓN 5 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.2 Límites de una función (Límites Infinitos) tError! Marcador no definido.
SESIÓN 6 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.3 Leyes de los límites (1 - 5) tError! Marcador no definido.
SESIÓN 7 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.3 Leyes de los límites (6 - 8) tError! Marcador no definido.
SESIÓN 8 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.3 Leyes de los límites (9 - 11) tError! Marcador no definido.
SESIÓN 9 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.3 Límites: Formas indeterminadas tError! Marcador no definido.
SESIÓN 10 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.4 Continuidad de funciones tError! Marcador no definido.
SESIÓN 11 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.4 Continuidad de funciones (límites laterales) tError! Marcador no definido.
SESIÓN 12 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.4 Continuidad en un intervalo tError! Marcador no definido.
SESIÓN 13 tERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.5 Teorema del valor intermedio tError! Marcador no definido.
SESIONES POR TEMA 5




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