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Geometria analitica ipn



INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS “JUAN DE DIOS BATIZ PAREDES” PROBLEMARIO

Elipse e Hipérbola
Temas: Formas de las ecuaciones de la Elipse y la Hipérbola.
Aplicaciones Instrucciones: para cada problema realiza el grafico correspondiente.
60. Encontrar la ecuación de la elipse si un extremo del eje menor es el punto (0,3) y pasa por el punto (5,-2). 61. Utilizando la definición de elipse, hallar la ecuación de la elipse a partir de los datos dados. Redúzcase la ecuación a la primera forma ordinaria. Vértices (-3,-1) y (5,-1); excentricidad = ¾. 62. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, hallese la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto. 63. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia a la recta es siempre igual al doble de su distancia al punto (0,-2). 64. Una galería tiene paredes verticales de 1.5m de altura y un techo abovedado en forma de medio elipsoide. Los focos que estana una altura de 1.5 metros sobre el piso estan separados 4 metros. Si la altura de la construcción en el centro de la bóveda es de 3.5 m. ¿Cuanto mide su eje mayor? 65. Los vértices de una hipérbola son los puntos y Hallar la ecuación de la hipérbola y los demas elementos. 66. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos origen y el eje transverso coincide con el eje X y su excentricidad es igual a 3/2.



67. Demostrar que si las asíntotas de una hipérbola son perpendiculares entre sí, la hipérbola es equilatera. 68. Reducir la ecuación a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola y determinar todos sus elementos. 69. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (4 ), tiene eje focal paralelo al eje X, y sus asíntotas son las rectas y . 70. Un observador estacionado en el punto P oye el estampido de un rifle y el golpe de la bala sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el lugar geométrico es una hipérbola. 71. Encontrar la ecuación de una hipérbola cuya asíntotas son paralelas a los ejes coordenados y pasa por , y



Para establecer estas relaciones tan numerosas y variadas, los geómetras de la antigüedad pusieron a punto un método que se convertiría mas adelante en el método matematico por excelencia: la demostración.
Todo el arte de los geómetras griegos consistió en reunir un conjunto importante de teoremas enlazados mediante largas cadenas de razones - como dijo Descartes- a algunos principios primeros. Este 'corpus' es la geometría euclidiana.
Precisamente, el valor estético de la construcción elucídela y la trascendencia intelectual de su programa consiste en haberse propuesto eslabonar el conjunto de axiomas, definiciones y razonamientos con arte y perfección. En vez del confuso montón de intuiciones y demostraciones de los geómetras anteriores, Euclides seleccionaba unos pocos conceptos fundamentales y unas pocas relaciones entre estos conceptos, enunciadas explícitamente, para, desde aquí, pasar a la creación de nuevos conceptos y al descubrimiento de nuevas relaciones entre ellos.
La geometría de Euclides, la geometría de Descartes, lageometría de Riemann o la de Lovachevski, etc., son unas teorías deductivas. Los entes de los cuales tratan se llaman figuras y podemos dar de ellas diversas imagenes que nos permiten comunicar con nuestros semejantes. Estas imagenes pueden ser símbolos figurativos, ecuaciones, etc.
* La Geometría no euclídea: Geometría para la que no es valido el axioma de paralelismo de Euclides (quinto postulados de Euclides).
* La Geometría hiperbólica: Geometría no euclídea en la cual el postulado de las paralelas se sustituye por otro según el cual desde un punto exterior a una recta se pueden trazar al menos dos paralelas a ella, las cuales separan a todas las rectas que pasan por el punto en dos clases. Una, la de las que cortan a la recta dada y otra, la de las que no tienen puntos comunes con esa recta.
* La Geometría elíptica: Geometría no euclídea en la cual el quinto se sustituye por otro el cual desde un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a ella.
* La Geometría proyectiva: Geometría cuyos objetos son los espacios proyectivos y sus aplicaciones propias, las proyectividades

¿Qué son rectas paralela?

En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demas).

Clasicamente, son dos rectas definidas como las que, 'por mucho que las prolongues', nunca se tocan. En geometría afín, expresando la variedad como V = p + E, p punto y E espacio vectorial, A = a + F es paralela a B = b + G si Festa contenido en G ó G esta contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son su espacios vectoriales del mismo espacio vectorial E.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto

¿Qué son rectas perpendiculares?

En geometría, la perpendicular de una línea o plano, es la que forma angulo recto con la dada.

La relación de perpendicularidad se puede dar entre:
* Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un angulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de


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