Logaritmo
Definición
En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base
determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho
número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual
a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la
multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a
la potenciación de la base del logaritmo.
Dado un número real (argumento x), la función
logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b
(base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b
a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite
obtener n.1
Historia de los logaritmos
El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez,
públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en
su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost
Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de
Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su
descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la
utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo
de su publicación y la impecable y clara explicación de cómofuncionaban.
Este método contribuyó al avance de la ciencia, y
especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy
complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente
en geodesia, navegación marítima y otras ramas de la matemática
aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además
de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el
logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un
sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.
Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como
factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los
propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la
relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier
escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi
eligió r = 1 + 10−4 = 1 ). Los logaritmos originales de
Napier no tenían log 1 = 0, sino log 107 = 0.
Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier
calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Donde (1 − 10−7)107 es
aproximadamente 1/e, haciendo L/107 equivalente a log1/e N/107.
Inicialmente, Napier llamó 'números artificiales' a
los logaritmos y 'números naturales' a los antilogaritmos. Más
tarde, Napier usa
la palabra logaritmo en el sentidode un número que indica una proporción:
λÏŒγος (logos) el sentido de proporción, y
á¼€ριθμÏŒς (arithmos) significado número, y se define,
literalmente, como
«un número que indica una relación o proporción». Se refiere a la proposición
que fue hecha por Napier en su 'teorema fundamental', que establece
que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los
cuales corresponden, de manera que una progresión aritmética de
logaritmos corresponde a una progresión geométrica de números. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo XVII y,
aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas,
hasta que cayó en desuso.
Identidades Logarítmicas
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora
de realizar cálculos
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores.
log(ab) = log(a) + log(b)
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del
numerador menos el logaritmo del
denominador.
log(a/b) = log(a) – log(b)
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el
logaritmo de la base de la potencia.
log(ax) = x log(a)
Cambio de base
Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10
(logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo
indefinido).La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya
que todos son proporcionales entre sí.
Elección de Base
En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como: log (x en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la
química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en
magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la
energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se
usa
el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.
Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al
logaritmo en base e; fueron desarrollados por John Napier.
Los logaritmos de base 10, decimales, comunes o vulgares son
aquellos en que la base es 10. Fueron inventados y
desarrollados por Henry Briggs.
Para representar la operación de logarítmica se escribe la abreviatura Log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar
el logaritmo
Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Propiedades Generales
Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que
cualquiera sea u, es siempre o )
y en consecuencia no hay ningún valor de u que pueda
satisfacer cuando , sin embargo, se pueden calcular logaritmos
de números negativos recurriendo a la fórmula de Euler.
El logaritmo desu base es 1. Así ya
que .
El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base).
Así ya que .
Si 0<A<1 entonces es un logaritmo
negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero,
entonces los menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica
estrictamente creciente.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión
geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Así las
potencias de 2 son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64etc y sus
exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4 etc. ya que ,
, , , y etc. Luego ,
, , y etc.
Logaritmo decimal
Los logaritmos decimales tienen, en general, una parte
entera y una parte fraccionaria.
Se denomina característica a la parte entera del logaritmo.
Se denomina mantisa a la parte fraccionaria (que
puede ser cero).
La característica de un número comprendido entre 1 y
10 (excluido este) es cero.
La característica de los números superiores o iguales a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1 del mencionado número. Así para 10, 20 o 30 su característica es 1; la de 150 es 2, etc.
La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 será positiva.
La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa
positiva.
Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la
característica subrayada seguido de lamantisa. Si un logaritmo negativo
lo ponemos (–C,mantisa) indicaríamos que la mantisa es
negativa; por eso se indica un línea horizontal encima de la característica,
indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.
Logaritmo de base imaginaria
Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que
tiene como
base i (la unidad imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede
resolver fácilmente con la fórmula
Dónde z es cualquier número complejo excepto 0. Sin
embargo, cabe señalar que la fórmula anterior sólo es una de las posibles
soluciones ya que la ecuación
admite no sólo la solución dada anteriormente sino que cualquier x de
la forma:
también es solución.
Ejercicios
Problema 1
Problema 2:
Problema 3
log(x + 4) = 1 - log(x - 5)
log(x + 4) = log 10 - log(x - 5) = log (10/(x - 5))
x + 4 = 10/(x - 5)
x2 - x - 30 = 0
x = 6
x = - 5 (esta solución, no es válida).
Problema 4
Calcular el valor de log2 64
Como 64 = 26
log2 64 = log2 26
Aplicando la definición de logaritmo (logaritmo de un
número a es otro número b al que tenemos que elevar la base para obtener el
número a), la solución es 6.
Bibliografía
Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada.
Marcos, C., y J. Martínez. Matemáticas.
González Aguilar. Matemáticas.
Chávez Reyes, Carmen y León Quintanar, Adriana. La Biblia de las
Matemáticas.
