MODELO DE TRANSPORTE. PROGRAMACIÓN ÓPTIMA DE DESPACHO

DEFINICIÓN:

Conocido también como ruta de embarque o programación óptima de despacho, es una técnica cuantitativa basada en una situación existente y recurrente entre lugares donde se fabrica, procesa o almacena un producto; llamado origen y otros sitios donde estos productos son requeridos llamados destinos. El objetivo es lograr la óptima programación de despacho para minimizar los costos o maximizar el beneficio y que al mismo tiempo satisfagan tanto los limites de la oferta como los requerimientos de lademanda.

Identificando algunos Datos:
i: Orígenes (Lugares) i = 1, 2, 3..m representan la oferta o la disponibilidad.
j: Destinos (Solicitudes del producto) j = 1, 2, 3. n representan la demanda o requerimiento.
ai = Oferta Parcial por parte de cada origen
Oferta Total = ( ai (a1 + a2 + a3 .+ am)
bj = Demanda Parcial de cada destino

Demanda Total = ( bj (b1 + b2 + b3 .+ bn)

Todo modelo de transporte parte de un punto llamado Equilibrio del Sistema y esto se logra cuando la oferta es igual a la demanda.
( ai = ( bj A
i=1 j=1
A = Representa el Equilibrio del Sistema

Dentro del procedimiento inicial se deben identificar los datos del problema, es decir, cuales son los orígenes y destinos y si estos están equilibrados, luego se plantea la función objetivo, la cual se representa a través de una matriz, y a través de ella se puede maximizar ganancias, contribución marginal, beneficio, o minimizar costos. Se dice que es una matriz porque se relacionan dos elementos, uno de ellos símbolos orígenes y el otro son los destinos. Pueden existir casos de desequilibrio y estos son:
Cuando la Oferta es mayor que la Demanda.
( ai > ( bj
Ejemplo: 150 > 100
Se debe crear un destino ficticio (n + 1) que demande las 50 unidades de diferencia y de esta manera equilibrar el sistema.
m n +1
( ai = ( bj
i =1 j = 1

Cuando la Oferta es menor que la Demanda.
( ai < ( bj
Ejemplo: 100 < 150
Se debe crear un origen ficticio (m + 1) que oferte las 50 unidades de diferencia y de esta manera equilibrar el sistema.
m +1 n
( ai = ( bj
i =1 j = 1

ESTRUCTURA ALGEBRAICA DEL MODELO DE TRANSPORTE
A TRAVÉS DEL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE:

| Destinos
|Orígenes |1 |2 |.|n |ai|
. |
|1 |X11 |X12 |.|X1n |a1 |
. |
|2 |X21 |X22 |.|X2n |b2 |
. |
|
|m |Xm1 |Xm2 |.|Xmn |am |
. |
|bj |b1 |b2 |.|bn |A =( ai = ( bj |
. |

[ Xij ] =

PROCEDIMIENTO APLICADO AL MODELO DEL TRANSPORTE:

1.- Interpretar los datos relacionados con la Oferta y la Demanda y verificar si existe equilibrio en el sistema, en caso de no existir se deberá equilibrar creando un origen o destino ficticio bien sea el caso.

2.- Una vez equilibrado el sistema se construye una matriz utilizando para ello el Método de la Esquina Noroeste, estableciendo la relación entre los orígenes y los destinos. Para ubicar los valores dentro de la matriz se debe emplear el siguiente procedimiento:
Se establece la relación entre la oferta y la demanda parcial correspondiente a la casilla y se selecciona el mínimo valor, de quedar algún remanente, éste será el nuevo valor correspondiente a esa oferta o demanda. Los últimos valores pueden ser ubicados simplemente por complemento.
3.- Conociendo las unidades de cada una de las casillas, se determina el valor del funcional, que no es más que la sumatoria de los productos de las unidades por el costo o contribución dependiendo del problema.
Valor del Funcional: para determinar este valor se multiplica las distribuciones de despacho en la matriz por la contribución o el costo bien sea elcaso, la sumatoria será el valor del funcional en esa etapa. Este funcional deberá ser identificado como:
Contribución Máxima (1)
Costo Mínimo (1)
4.- Se debe aplicar la Prueba de Optimalidad, la cual determinará si la solución es la óptima o no, es decir, si la distribución de despacho propuesta es la que va a ocasionar el menor costo o la máxima contribución. Esta prueba consiste en tres pasos:
a.- Determinar el Tipo de Solución: dependiendo el tipo de solución la manera de manejar los datos es diferente, existen dos tipos de solución:
a.1. Solución Degenerada: cuando no coinciden el número de casillas llenas con el número de casillas vacías, es decir, mayores que cero y nulas. (xij >0 ( xij = 0)
a.2. Solución No Degenerada: Cuando coinciden el número de casillas llenas y el número de casillas vacías.
En ambos casos el número de casillas llenas y vacías se determinan de la siguiente manera:
Fórmula:
Xij > 0 (Casillas Llenas) = (m + n) – 1
Xij = 0 (Casillas Vacías) = (m – 1) (n – 1)

Tabla: sólo se hace un conteo en la matriz. Esta es la segunda forma de calcular los (xij >0 ó xij = 0).
Nota: Cuando la solución encontrada sea degenerada y no coincidan los valores de la fórmula con los de la tabla se toman como resultados definitivos los valores de la tabla.

b.- Determinar los Márgenes Unitarios: estos se establecen como subtablas y habrán tantos como variables nulas (xij = 0); se dice que la solución será óptima si todos los márgenes unitarios que se simbolizan con la letra (ij :
b.1. En el caso de Maximizar: todos los Deltas (ij , deben se menores o iguales a cero (0), ya que al existir al menos un (1) solo valor positivo, el objetivo podrá incrementarse. La condición ((ij ( 0).
b.2. En el caso de Minimizar: todos los Deltas (ij deben ser mayores o iguales a cero, en el caso que exista al menos un valor negativo, indica que la solución no será optima por lo tanto podrá reducirse el funcional (costo). Condición ( (ij ( 0).c.- Aplicar el Criterio para Decisión: esto dependerá del tipo de solución y los márgenes unitarios.
c.1. Solución Degenerada: se hará un recorrido dentro de la subtabla correspondiente a 6 casillas, utilizando 3 valores positivos (+1) y 3 valores negativos (-1). Los (+ 1) podrán ser ubicados en cualquier casilla y se recomienda colocarlos en casillas nulas (para simplificar el proceso y no repetir algunas tablas, esto no es mas que existen márgenes unitarios que pueden calcularse con el recorrido de otras subtablas y no es necesario calcularlos sino simplemente igualarlos), mientras que los (-1) se colocan solo en casillas mayores que cero. Luego serán afectados los costos o las contribuciones por el signo del recorrido sumando algebraicamente y determinando el valor del margen unitario.
c.2. Solución No Degenerada: se hará un recorrido dentro de la subtabla correspondiente a 4 casillas, utilizando 2 valores positivos (+1) y 2 valores negativos (-1). Los (+ 1) y (-1) se colocan solo en casillas mayores que cero, a excepción del primer (+1) cuando comienza el recorrido que deberá efectuarse en la casilla vacía correspondiente a la subtabla. Luego serán afectados los costos o las contribuciones por el signo del recorrido sumando algebraicamente y determinando el valor del margen unitario.
5.- Después de calcular los márgenes unitarios y aplicada la prueba de optimalidad se concluye si la solución es óptima o no, en caso de serla se realiza la conclusión definitiva con la respectiva distribución de despacho óptima e indicando el funcional óptimo. En caso de no ser óptima la solución se debe realizar un siguiente paso.
6.- Si se analizan los márgenes unitarios y se concluye que la solución no es óptima se hace un análisis de incremento o disminución, para esto se toman las deltas (ij con valores mayores que cero ( en caso de maximizar) o menores que cero ( en caso de minimizar), y se multiplican por el menor valor donde aparezca un (-1) en la subtablacorrespondiente, se tomará como incremento o disminución el producto de mayor valor. Luego se determina la segunda contribución o el segundo costo.
Contribución Máxima (2) = Contribución Máxima (1) + Incremento.
Costo Mínimo (2) = Costo Mínimo (1) – Disminución.
7.- Para continuar con el proceso es necesario construir una nueva matriz para ello el procedimiento difiere del inicial. Cuando hay que pasar a una etapa 2, 3.óptima, se realiza el análisis de la unidades desplazadas que son las que permiten redistribuir las unidades a despachar quedando como resultado una nueva matriz. Las unidades desplazadas se toman de una subtabla de referencia, siendo ésta la que permitió incrementar o disminuir el funcional. Para el análisis se toma de la subtabla de referencia el menor valor donde se encuentre un recorrido negativo (-1). Este valor se sumará o restará a las componentes que aparezcan en el recorrido de dicha subtabla, de esta manera se redistribuyen las unidades y se repiten los pasos 3, 4 y 5.
8.- Todos los pasos serán repetidos tantas veces como soluciones no óptimas se presenten.
9.- Por último se realiza la distribución óptima de despacho y se plantean las recomendaciones o conclusiones finales.

APLICACIÓN PRÁCTICA DEL MODELO DE TRANSPORTE O PROGRAMACIÓN OPTIMA DE DESPACHO

La compañía Bill Company tiene 4 plantas: A. B, C, D, las cuales suministran un mismo tipo de mercancía a cinco distribuidores 1, 2, 3, 4, 5. La cantidad de demanda diaria de los cinco distribuidores es de 200, 200, 300, 100, 250 en mercancías respectivamente. La Oferta en las cuatro plantas se calcula en 250,300,200 y 300 en mercancías respectivamente.
El costo de transporte por mercancía desde la planta hasta los distribuidores se proporcionan a continuación:
1 |2 |3 |4 |5 |
|Distri
|buid
|Planta ||
|s
|a | -1 (a3 |
200 |50 |+1 |
|b | +1 | -1
(b1 |150 |150 |
|c +1 | -1 |
|(c2 |150 |50
|d
|50 |250 |

((a3) = ((b1) = ((c2) = -100+150+50-100+50-60 =-10
1 |2 |3 |4 |5 |
|a | -1 |(a4
200 |50 +1
|b
|150 |150 |
|c |(c1 -1 |
+1 150 |50
|d |(d3 | -1
+ 1 |50 |250 |

((a4) = ((c1) = ((d3) = -100+250+150-60+100-150 = 190 indica optimalidad
1 |2 |3 |4 |5 |
|a | -1 (a5 |
200 |50 |+1 |
|b | +1 | -1
|150 |150 |
|c
150 |50
|d (d2 | -1 |
|+1 50 |250 |

((a5) = ((d2) = -100+90+50-100+150-80 = 10 indica optimalidad

1 |2 |3 |4 |5 |
|a
200 |50
|b | -1 |(b4
|150 |150 |+1
|c -1 |(c5 |
150|50 |+1 |
|d | +1 -1 |
|50 |250 |

((b4) = ((c5) = -150+25-70+15-80+100 = -160

1 |2 |3 |4 |5 |
|a | -1 | +1
200 |50
|b -1 |(b5 |
|150 |150 +1 |
|c
150 |50
|d |(d1 -1 |
+1 |50 |250 |

((d1) = ((b5) = -100+200-100+45-80+20 = -15

Como algunos márgenes resultaron negativos ((ij < 0) , no se cumple el criterio de decisión, es decir la solución planteada resulta ser no óptima. Habría que realizar un segunda etapa, con una nueva distribución o programación de despacho y un nuevo valor del funcional. Es necesario indicar el margen unitario o subtabla que permitirá en este caso reducir el funcional, por lo que se debe ejecutar el Análisis de Disminución, utilizando solo aquellos valores que resultaron negativos.

Análisis de Disminución del Funcional:
Se toman los valores de los márgenes unitarios que no indican optimalidad, en este caso de minimización de costos los valores negativos y se deben multiplicar por el menor valor en unidades que se encuentren distribuidos en la matriz correspondiente con un recorrido negativo. El producto mayor será el que permitirá reducir el funcional y esta subtabla servirá como referencia para la siguiente etapa.
((a3) = ((b1) = ((c2) = -10 x 150 = -1500
((b4) = ((c5) = = -160 x 50 = -8000
((b4) = ((c5) = = -15 x 150 = -2250

costo mínimo (1) 92.000
disminución -8.000
costo mínimo (2) 84.000
A la matriz que se toma como referencia en este caso el delta ((b4)= ((c5), se le aplicará el método de las unidades desplazadas para obtener la nueva matriz de distribución, y en esta se repiten nuevamente los pasos correspondiente a la prueba de optimalidad.
Una vez determinado el costo mínimo en la etapa se verifica si es óptima o no, ya se conoce el procedimiento, este puede estudiarse en detalle más adelante donde se aplica la prueba de optimalidad. En esta primera etapa se aplicó dicho procedimiento resultando no ser óptima la solución ya que los márgenes unitarios resultaron en algunos casos negativos lo que indicaba que el funcional podría ser reducido. Así mismo se utilizaron ( n ) etapas hasta llegar a la que a continuación se considera optima, para ello se establece la siguiente matriz:

1 |2 |3 |
|Destino 2 |30 unidades |
|Planta A |250 unidades |Destino 3 |50 unidades |
|Destino 4 |50 unidades |
|Destino 5 |70 unidades |
|
|Destino 1 | 50 unidades |
|Planta B |300 unidades |Destino 2 | 70 unidades |
|Destino 5 |180 unidades |
|
|Destino 2 |100 unidades |
|Planta C |200 unidades |Destino 3 | 50 unidades |
|Destino 4 | 50 unidades |
|
|Planta D |300 unidades |Destino 1 |100 unidades |
|Destino 3 |200 unidades |