CONQUISTAS DE LA LÓGICA

A mediados del siglo pasado un hombre desarrollo una teoría matemática distinta a la que entones se conocía y cuya expansión ha sido tan rápida que en la actualidad se aplica a la resolución de mayorías de operaciones industriales complejas; este hombre fue George Boole el creador del álgebra que lleva su mismo nombre.

El álgebra de Boole establece una serie de postulados y operaciones lógicas, que consisten en admitir dos estados donde dichos estados tienen un carácter opuesto. Así, por ejemplo, a una lámpara corriente (tubo fluorescente) el álgebra de Boole sólo la considera en uno de los dos estados posibles y opuestos: encendida o apagada. No se admiten estados intermedios. A uno de los dos estados posibles (lámpara encendida), se le denomina de diversas formas tales como: Verdadero, Estado Alto, Nivel Lógico 1, etc. Al otro estado (lámpara apagada), se le referencia con palabras opuestas tales como: Falso, Estado Bajo, Nivel Lógico 0, etc.

La posibilidad de que todos los elementos admitan dos estados en este 'Tipo de Álgebra' ha llevado a llamarla 'álgebra binaria'. La denominación de 'álgebra lógica' se debe al carácter intuitivo y lógico que tienen los razonamientos que en ella se aplican.
Un computador digital, como su nombre lo indica, esun sistema digital que realiza diversas operaciones de cómputo. La palabra Digital implica que la información que se representa en el computador por medio de variables que toman un número limitado de valoresViscretos o cuantizados. Estos valores son procesados íntemamente por componentes que pueden mantener un número limitado de estados discretos. Los dígitos decimales por ejemplo, proporcionan 10 valores discretos ( 0 .. 9 ). Como sabemos en la práctica, los computadores funcionan más confiablemente si sólo utilizan dos estados equiprobables. Debido al hecho que los componentes electrónicos atienden a dos estados ( encendido / apagado ) y que la lógica humana tiende a ser binaria ( esto es, cierto o falsa, si o no ) se utiliza el sistema binario y se dice que son binarias.
Los computadores digitales utilizan el sistema de números binarios, que tiene dos dígitos 0 y 1. Un dígito binario se denomina un bit. ' La infonnación está representada en los computadores digitales en grupos de bits. Utilizando diversas técnicas de codificación los grupos de bits pueden hacerse que representen no solamente números binarios sino también otros símbolos discretos cualesquiera, tales como dígitos decimales o letras de alfabeto. Utilizando arreglos binarios y diversas técnicas de codificación, los dígitos binarios o grupos de bits pueden utilizarse para desarrollar conjuntos completos de instrucciones pararealizar diversos tipos de cálculos.
La información binaria se representa en un sistema digital por cantidades físicas denominadas señales, Las señales eléctricas tales como voltajes existen a través del sistema digital en cualquiera de dos valores reconocibles y representan un a variable binaria igual a 1 o 0. Por ejemplo, un sistema digital particular puede emplear una señal de 3 [volts 1 para representar el binario 'I' y 0.5 [volts 1 para el binario '0'. La siguiente ilustración muestra un ejemplo de una señal binaria.

Como se muestra en la figura, cada valor binario tiene una desviación aceptable del valor nominal. La región íntermedia entre las dos regiones permitidas se cruza solamente durante la transición de estado.  Los terminales de entrada de un circuito digital aceptan señales binarias dentro de las tolerancias permitidas y los circuitos responden en los terminales de salida con señales binarias que caen dentro de las tolerancias permitidas.
La lógica binaria tiene que ver con variables binarias y con operaciones que toman un sentido lógico. Es utilizada para escribir, en forma algebraica o tabular. La manipulación y. procesamiento de información binaria. La manipulación de información binaria se hace por circuitos lógico que se denominan Compuertas.
Las compuertas son bloques del hardware que producen señales del binario 1 ó 0 cuando se satisfacen los requisitos deentrada lógica. Las diversas compuertas lógicas se encuentran comúnmente en sistemas de computadores digitales. Cada compuerta tiene un símbolo gráfico diferente y su operación puede describirse por medio de una función algebraica. Las relaciones entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden representarse en forma tabular en una tabla de verdad.
A continuación se detallan los nombres, símbolos, gráficos, funciones algebraicas, y tablas de verdad de ocho compuertas.
 
Compuerta AND: 
Cada compuerta tiene una o dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la unión lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1 . El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*). Podemos utilizar o un punto entre las variables o concatenar las variables sin ningún símbolo de operación entre ellas. Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
 
Compuerta OR: 
La compuerta OR produce la función OR inclusiva, esto es, lasalida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), similar a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
 
Compuerta NOT (Inversor):
El circuito inversor invierte el sentido lógico de una señal binaria. Produce el NOT,. o función complemento. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un complemento lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.
 
Compuerta Separador:
Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador no produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada. Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza i volt para el binario 1 producirá una salida de 3 volt cuando la entrada es 3 volt. Sin embargo, la corriente suministrada en la entrada es mucho más pequeña que la corriente producida en la salida. De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor decorriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador.
 
Compuerta NAND:
Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico que consiste en un símbolo gráfico AND seguido por un pequeño círculo. La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que Es la función AND la que se ha invertido.
 
Compuerta NOR:  
La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza un símbolo gráfico OR seguido de un círculo pequeño. Tanto las compuertas NAND como la NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de las funciones AND u OR, respectivamente.
 
Compuerta OR exclusivo (XOR):
La compuerta OR exclusiva tiene un símbolo gráfico similar a la compuerta OR excepto por una línea adicional curva en el lado de la entrada. La salida de esta compuerta es 1 si cada entrada es 1 pero excluye la combinación cuando las dos entradas son 1. La función OR exclusivo tiene su propio símbolo gráfico o puede expresarse en términos de operaciones complementarias AND, OR .

Compuerta NOR exclusivo (XOR):
El NOR exclusivo como se indica por el círculo pequeño en el símbolo gráfico. La salida de ésta compuerta es 1 solamente si ambas entradas son tienen el mismo valor binario. Nosotros nos referiremos a lafunción NOR exclusivo como la función de equivalencia. Puesto que las funciones OR exclusivo y funciones de equivalencia no son siempre el complemento la una de la otra. Un nombre más adecuado para la operación OR exclusivo sería la de una función impar; esto es, la salida es 1 si un número impar de entrada es 1. Así en una función OR (impar) exclusiva de tres entradas, la salida es 1 si solamente la entrada es 1 o si todas las entradas son 1. La función de equivalencia es una función par; esto es, su salida es 1 si un número par de entradas es 0. Para un función de equivalencia de tres entradas, la salida es 1 si ninauna de las entradas son 0 ( todas las entradas son 1 ) o si dos de las entradas son 0 ( una entrada es 1 Una investigación cuidadosa revelará que el OR exclusivo y las funciones de equivalencia son el complemento la una de la otra cuando las compuertas tienen un número par de entradas, pero las dos funciones son iguales cuando el número de entradas es impar. Estas dos compuertas están comúnmente disponibles con dos entradas y solamente en forma rara se encuentran con tres o más entradas. 

 
 
Retornemos el teorema De Morgan:
El teorema De Morgan es muy importante al tratar compuertas NOR y NAND. Expresa que una compuerta NOR que realiza la función (x + y)' es equivalente a la expresión función xy' . Similarmente, una función NAND puede ser expresada bien sea por (xy)' o por x'+ y' por esta razón, las compuertas NOR y NAND tienen dos símbolos gráficos distintos como se muestra en la figura:

En vez de representar una cornpuerta NOR por el símbolo gráfico OR seguido por un círculo, nosotros podemos representarla por un símbolo gráfico AND precedido por círculos en todas las entrada. El inversor AND para la compuerta NOR proviene M teorema De Morgan y de la convención de que los círculos pequeños denotan complementación. Similarmente la compuerta NAND también posee dos símbolos gráficos.

Para ver cómo se utiliza la manipulación del álgebra Booleana para simplificar circuitos digitales considere el diagrama lógico de la siguiente figura. La salida de la primera compuerta NAND es, por el teorema De Morgan, (AB)' = A' + B'  . La salida del circuito es la operación NAND de este término y B' .
X = [( A' + B ) * B' ] '

 
Utilizando el teorema De Morgan dos veces, obtenemos:
X = (A' + B)' + B = AB' + B
Note que el teorema De Morgan ha sido aplicado tres veces   ( para demostrar su utilización ) pero podría ser aplicado solamente una vez de la siguiente manera:
X = [ ( AB' )*B']' = AB' + B
La expresión para x puede simplificarse por aplicación de las relaciones mencionadas anteriormente
X  = AB'+ B
    = B + AB'
    = ( B + A) ( B + B')
    = (B+A)* 1
    = B + A
    = A + B
El resultado final produce una función OR y puede ser implementado conuna sola compuerta OR como se muestra en la figura parte (b). Uno Puede demostrar que dos circuitos producen relaciones binarias idénticas Entrada - Salida simplemente obteniendo la tabla de verdad para cada uno de ellos.

Configuración interna de las compuertas lógicas más comunes:

NAND 7400

NOR 7402

INVERSOR

AND 7408

OR 7432

XOR 7486

Utilidad del Álgebra de Boole
La lógica binaria a dado un gran aporte a los circuitos lógicos porque es lo mas sencillo de manejar ya que en la lógica binaria solamente hay dos posibles estados; Cero o Uno (un 1 equivale a 5 voltios) o es un cero (un 0 como lo indica su nombre tiene un valor de cero voltios) y esto nos simplifica el trabajo, pues con sólo dos estados posibles son menos variables las que debemos de tomar en cuenta al realizar diseños, pudiendo realizarlos desde una complejidad mínima hasta una complejidad considerablemente alta.

El álgebra Booleana se aprovecha para expresar y simular los efectos que los diversos circuitos digitales ejercen sobre las entradas lógicas, y para manipular variables lógicas con el objeto de determinar el mejor método de ejecución de cierta función.

Ya que sólo puede haber dos valores, el álgebra Booleana es relativamente fácil de manejar, comparándola con el álgebra ordinaria. En el álgebra Booleana, no hay fracciones, números negativos, raíces cuadradas, raíces cúbicas, logaritmos,números imaginarios ni nada de esas operaciones que empleamos en el álgebra decimal.



Operaciones lógicas con variables binarias
Indice:
Lógica binaria
Operaciones lógicas
* Función EQUAL
* Función NOT
* Función OR
* Función AND
* Función NOR
* Función NAND
* Función OREX
* Función NOREX

Lógica binaria
Una de las funciones de la Unidad Aritmético Lógica (ALU), situada en el núcleo del procesador es la de realizar las operaciones lógicas con los datos contenidos en una instrucción del programa. Pero, squé es una operación lógica?

Operaciones lógicas
Una operación lógica asigna un valor (CIERTO o FALSO) a la combinación de condiciones (CIERTO o FALSO) de uno o más factores. Los factores que intervienen en una operación lógica sólo pueden ser ciertos o falsos. Y el resultado de una operación lógica puede ser, tan sólo, cierto o falso.
Por ejemplo, imagínate el sistema de control del toldo de una cafetería, que se gobierna mediante una operación lógica. Para que el motor que extiende el toldo se accione deberá tener en cuenta dos factores: ses de día? sestá lloviendo? Si estos dos factores son ciertos, el motor debe ponerse en marcha y extender el toldo.

De dia | Llueve | Toldo |
Falso | Falso | Falso |
Falso | Cierto | Falso |
Cierto | Falso | Falso |
Cierto | Cierto | Cierto |

Los resultados de una operación lógica, para cadauno de los valores posibles de las variables, se fijan en una tabla denominada Tabla de Verdad, como la del ejemplo anterior.
Para que un procesador pueda ejecutar las operaciones lógicas, es preciso asignar un valor binario a cada una de las condiciones posibles. Se suele asignar un UNO (1) al valor CIERTO y un CERO (0) al valor FALSO, con el criterio denominado lógica positiva.
Las operaciones lógicas más importantes son: EQUAL (idéntico), NOT (negación), OR (O), AND (Y), NOR (O negada), NAND (Y negada), OREX (O exclusiva) y NOREX (O exclusiva negada). Veamos con detalle estas operaciones:

Función EQUAL
El resultado S de aplicar la función lógica equal, sobre una variable a, es muy simple: si a es CIERTO (1) S es CIERTO (1) y, si a es FALSO (0), S es FALSO (0). Estas dos resultados posibles se muestran en la tabla de verdad adjunta:

a | S |
1 | 1 |
0 | 0 |

Un ejemplo sencillo de aplicación práctica de esta función lógica sería el encendido de las luces del alumbrado público.
En algún lugar de la ciudad se instala un detector crepuscular, que detecta cuándo es de noche y controla un interruptor que enciende las luces de las calles: si es de noche (1) se encienden las lámparas (1); si NO es de noche (0) NO se encienden las lámparas (0).
Un circuito eléctrico capaz de implementar esta función lógica es el siguiente:

Función NOT
El resultado S de aplicar la funciónlógica NOT, sobre una variable a, es muy simple: si a es CIERTO (1) S es FALSO (0) y, si a es FALSO (0), S es CIERTO (1). Estas dos resultados posibles se muestran en la tabla de verdad adjunta. Se conoce también como función negación: S equivale a a negada.
a | S |
1 | 0 |
0 | 1 |

Un ejemplo sencillo de aplicación práctica de esta función lógica sería el circuito que controla el acceso a una oficina bancaria, a través de una puerta automática equipada con un detector de metales que cierra un interruptor.
Si el detector de metales SI nota que el cliente lleva objetos metálicos (1) y la puerta NO se abre (0); en cambio, si el cliente NO lleva objetos metálicos (0), la puerta SI se abre (1).

Función OR
La función OR equivale a la conjunción disyuntiva O. El resultado S de aplicar la función lógica OR, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es cierto si a es CIERTO (1) o si b es CIERTO (1). Cuando se aplica una operación lógica sobre 2 variables caben 4 combinaciones posibles. Los resultados de la operación lógica OR, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta.

a | b | S |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |

Una aplicación práctica sencilla de la operación lógica OR, sería el circuito de señalización instalado en un comercio, en el que se puede entrar por dos puertas distintas, que avisaríaal dependiente al entrar un cliente por cualquiera de las dos puertas del establecimiento. Si un cliente entra por la puerta a (1) O si un cliente entra por la puerta b (1), el timbre suena (1). Si no entra ningún cliente por ninguna de las puertas a (0) ni b (0). El timbre NO suena (0).
Un circuito eléctrico compuesto por dos interruptores en paralelo, cumple la lógica OR. La lámpara SI se encenderá (1) si se acciona el interruptor a (1) O si se acciona el interruptor b (1) O si se accionan ambos interruptores. Si no se acciona ningún interruptor, la lámpara NO se encenderá (0).

Función AND
La función AND equivale a la conjunción copulativa Y: El resultado S de aplicar la función lógica AND, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a es CIERTO (1) Y si b es CIERTO (1).
Los resultados de la operación lógica AND, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta.

a | b | S |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |

Una aplicación de la operación lógica AND, sería el sistema de control de los pasajeros en un aeropuerto. Cada pasajero debe pasar por tres controles: sTiene tarjeta de embarque? sTiene pasaporte en regla? sNo lleva objetos metálicos peligrosos? Una empleada del aeropuerto comprueba que tiene un billete válido y le da una tarjeta de embarque; a continuación, un agente de policíaverifica que su pasaporte está en regla y no está en la lista de personas reclamadas y, finalmente, un grupo de agentes comprueban su equipaje de mano con un escáner y un arco detector de metales. Un pasajero sólo puede embarcar en el avión si tiene tarjeta de embarque (1), su pasaporte está en regla (1) y no lleva consigo objetos peligrosos (1). En los demás casos no puede embarcar.
Es fácil construir un circuito eléctrico que cumple la lógica AND: dos interruptores en serie, a y b, por ejemplo. La lámpara S se encenderá tan sólo si se actúa sobre el interruptor a (1) Y sobre el interruptor b (1). En todos los demás casos, la lámpara NO se encenderá.

Función NOR
La función NOR equivale a la función OR negada.
El resultado S de aplicar la función lógica NOR, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a es FALSO (0) y si b es FALSO (0). Los resultados de la operación lógica NOR, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta:

a | b | S |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 |

Una aplicación práctica sencilla de la operación lógica NOR, sería el sistema de seguridad de un puente levadizo. Un detector a se activa cuando entra un vehículo en el puente, por el carril derecho. Otro detector b se activa cuando entra otro vehículo por el carril contrario. Los motores que accionan el sistema deelevación del puente sólo deben ponerse en marcha si se da la condición NOR: no hay ningún vehículo circulando por el carril derecho NI por el carril izquierdo.
Un circuito eléctrico compuesto por dos interruptores normalmente cerrados, en serie, cumple la lógica NOR: la lámpara SI se encenderá (1) si NO se acciona el interruptor a (0) NI se acciona el interruptor b (0). Si se acciona cualquiera de los dos interruptores, la lámpara NO se encenderá (0).

Función NAND
La función NAND equivale a la función AND negada.
El resultado S de aplicar la función lógica NAND, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a es FALSO (0) o si b es FALSO (0) o si son FALSAS ambas variables. Los resultados de la operación lógica NAND, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta:

a | b | S |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |

Una aplicación práctica sencilla de la operación lógica NAND sería, por ejemplo, el control del aire acondicionado de un edificio inteligente. Supongamos que el edificio está equipado con un detector crepuscular, que se activa al llegar la noche. Durante el día el detector está desactivado (0) y durante la noche el detector está activado (1).
Supongamos también que en la entrada del edificio hay un sistema de recuento de personas que se pone a CERO (0) cuando hay alguien en el edificioy se pone a UNO (1) cuando todo el mundo ha salido ya. sCómo controlar la puesta en marcha del aire acondicionado? Muy fácil, con un circuito que siga la lógica NAND: el aire acondicionado se parará cuando sea de noche y no quede nadie en el edificio.
Un circuito eléctrico compuesto por dos interruptores normalmente cerrados, en paralelo, cumple la lógica NAND: la lámpara SI se encenderá (1) si NO se acciona el interruptor a (0) o si NO se acciona el interruptor b (0) o si NO se accionan ambos interruptores.

Función OREX
La función OREX se conoce también con el nombre de OR EXCLUSIVA.
El resultado S de aplicar la función lógica OREX, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO solo si a es CIERTO (1) o si b es CIERTO (1), pero no si ambas variables son ciertas. Los resultados de la operación lógica OREX, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta:

a | b | S |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |

Un circuito eléctrico como el del esquema siguiente, compuesto por dos pulsadores dobles NA + NC, cumple la lógica OREX: la lámpara S se encenderá (1) EXCLUSIVAMENTE si se acciona el pulsador a o si se acciona el pulsador b, pero NO se encenderá si se accionan simultáneamente ambos pulsadores. Tampoco se encenderá si no se acciona ninguno de los dos pulsadores.

Función NOREX
La función NOREXse conoce también con el nombre de OR EXCLUSIVA NEGADA.
El resultado S de aplicar la función lógica NOREX, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a y b son ciertos O si a y b son falsos. Es decir, si ambas variables tienen el mismo valor. Los resultados de la operación lógica NOREX, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta:

a | b | S |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |

Un circuito eléctrico como el del esquema siguiente, compuesto por dos pulsadores dobles NA + NC, cumple la lógica NOREX: la lámpara S se encenderá si se accionan ambos pulsadores o si no se acciona ninguno de ellos.

Otro ejemplo de aplicación de la función lógica NOREX es la corrección automática de textos: si una persona escribe una palabra en su procesador de textos, el corrector ortográfico la comparará con todas las palabras semejantes de su diccionario aplicando una función NOREX entre ellas.
Si alguna letra no coincide, detectará que hay un error, porque el resultado de la función NOREX no entrega unos en todos los bit. Por ejemplo, si escribimos con una falta de ortografía la palabra lobo:

Palabra | Código ASCII | Código binario |
lovo | 6C6F766F | 01101100011011110111011001101111 |
lobo | 6C6F626F | 01101100011011110110001001101111 |
Función NOREX: | 11111111111111111110101111111111 |

deeste modo, el procesador es capaz de detectar que el error está en el tercer carácter.