sSe conserva la energía? 2.2
Una situación especialmente interesante sucede cuando no se realiza trabajo
exterior sobre el sistema, es decir, o no se ejercen fuerzas exteriores o, si
se ejercen sobre alguna parte del sistema, su punto de
aplicación no se desplaza o lo hace perpendicularmente a la fuerza, de manera
que su trabajo es nulo. En este caso, el sistema podrá cambiar de estado, pero
de manera que no cambie su energía mecánica
Si Wext = ΔE y Wext= 0 → ΔE = 0
La energía del
sistema no cambiará, se «conservará».
En general, podemos decir que el trabajo realizado es igual al incremento
(positivo o negativo) que han sufrido las energías
Wext = ΔEP + ΔEC = (EP final - EP inicial) + (EC final - EC inicial)
Cuando el trabajo tiene valor negativo, debemos conservar su signo a la hora de
sustituirlo en la ecuación.
Se dice entonces que la energía no se crea ni se
destruye, solo se transfiere a otros cuerpos o se transforma en otras formas de
energía.
Este principio, uno de los más importantes de física, es conocido como
principio de conservación de la energía.
Trabajo y energía
Concepto de trabajo
Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza
por elvector desplazamiento.
Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento
dr, y ï± el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma
de todos los trabajos infinitesimales
Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la
función que relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el
desplazamiento s
Ejemplo: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la
constante del muelle es 1000 N/m.
La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000•x N, donde x es la
deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral
El área del triángulo
de la figura es (0.05•50)/2=1.25 J
Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la
componente de la fuerza a lo largo del
desplazamiento por el desplazamiento.
W=Ft•s
Ejemplo:
Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación
se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del
desplazamiento son 0s, 60s, 90s, 135s, 180s.
• Si la fuerza y el desplazamientotienen el mismo sentido, el trabajo es
positivo
• Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es
negativo
• Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
Concepto de energía cinética
Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula
de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor
final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.
En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton;
la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración
tangencial.
En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del
módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt
que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.
Se define energía cinética como
la expresión
El teorema del
trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa
sobre una partícula modifica su energía cinética.
Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una
tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La
velocidad inicial de la balaes de 450 m/s y su masa es de 15 g
El trabajo realizado por la fuerza F es -1800•0.07=-126 J
La velocidad final v es
Fuerza conservativa. Energía potencial
Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha
fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una
función que solo depende de las coordenadas. A dicha función
se le denomina energía potencial.
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.
Ejemplo
Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N
Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado
ABCA.
• La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.
• BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y
• CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)
El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el
vector desplazamiento
dW=F•dr=(Fxi+Fyj)•(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy
Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoria
y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de
lainterpretación geométrica de la derivada dy=f’(x)•dx. Donde f’(x) quiere
decir, derivada de la función f(x) con respecto a x.
Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el
camino cerrado.
• Tramo AB
Trayectoria y=x2/3, dy 2/3)x•dx.
• Tramo BC
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0 )
y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.
y=(2/3)x+1, dy=(2/3)•dx
• Tramo CD
La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo
WCA=0
• El trabajo total
WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0
El peso es una fuerza conservativa
Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza
desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es
yB.
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la
forma funcional
Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la
energía potencial.
La fuerza que ejerce un muelle es conservativa
Como vemos en
la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la partícula
proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.
Para x>0, F=-kx
Para x
