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Que es Razon y Proporcion? Cuarto proporcional, Medio proporcional, Tercero proporcional

¿Que es Razon y Proporcion?
Proporción, en aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 estan en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee “12 es a 3 como 8 es a 2”. En una proporción valida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética esta basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción continua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 , 2:4::4:8 y 4:8::8:16.


En la antigua Grecia, la teoría de números no era adecuada para describir aritméticamente las magnitudes geométricas. Por tanto, el astrónomo y matematico griego Eudoxo propuso una teoría separada parala proporción geométrica en el siglo IV a. C. Una descripción detallada de esta teoría, escrita por el matematico griego Euclides, se puede encontrar en los libros quinto y sexto de los Elementos de geometría.

Proporcionalidad
Magnitud
Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.

Son magnitudes:
La longitud del lado un cuadrado.
La capacidad de una botella de agua.
Razón
Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.

Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor.
Diferencia entre razón y fracción
La razón en los lados de un rectangulo de 5 cm de altura y 10 cm de base es: 
No hay que confundir razón con fracción.
Si  es una fracción, entonces a y b son números enteros con b≠0, mientras que en larazón  los números a y b pueden ser decimales.




Proporción
Una proporción es una igualdad entre dos razones.


Constante de proporcionalidad

Propiedades de las proporciones
En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.

Cuarto proporcional
Es uno cualquiera de lostérminos de una proporción.

Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos.

Medio proporcional
Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales.
Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Tercero proporcional
En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales.

Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual.

Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:
A mas corresponde mas.
A menos corresponde menos.
Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.

Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:
A mas corresponde menos.
A menos corresponde mas.
Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo:
A mas velocidad corresponde menos tiempo.A menos velocidad corresponde mas tiempo.

Regla de tres directa

Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuantos kilómetros habra recorrido en 2 horas?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrera menoskilómetros.
240 km 3 h
x   km   2 h
Regla de tres simple inversa

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuanto tardaran en construirlo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a mas obreros tardaran menos horas.
3 obreros  12 h
6 obreros      x h

Regla de tres compuesta
Regla de tres compuesta directa

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.
9 grifos   10 horas  20
15 grifos  12 horas     x €

Regla de tres compuesta inversa

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuanto tardaran 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
5 obreros   6 horas  2 días
4 obreros  7 horas     x días

Regla de tres compuesta mixta

Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuantos días necesitaran 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?


8 obreros     9 días  6 horas  30 m
10 obreros  x días  8 horas  50 m

Repartos directamente proporcionales

Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabode un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

Repartos inversamente proporcionales

Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.


Porcentajes

Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuanto hay que pagar por el vehículo?
100 €   7.5 €
8800 €  x

8800 € − 660 € = 8140 €

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuanto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?
100 €   116 €
1200 €  x

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Regla de tres
La regla de tres o regla de tres simple es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o mas valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.
Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.1 2 3
La regla de tres mas conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy practico conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución de problemas cotidianos de manera efectiva.
Índice  [ocultar]  * 1 Regla de tres simple * 1.1 Regla de tres simple directa * 1.2 Regla de tres simple inversa * 2 Regla detres compuesta * 3 Campo de aplicación * 4 Ejemplos * 5 Referencias * 6 Bibliografía * 7 Enlaces externos |
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[editar]Regla de tres simple
En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valorX, calculamos un cuarto valor. Y,4

La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, sera directa cuando a un mayor valor de A habra un mayor valor de B, y sera inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos.
[editar]Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que rapidamente se observa que:

Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar:

y diremos que: A es a B directamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de Bpor X dividido entre A.
Imaginemos que se nos plantea lo siguiente:
Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuantos litros necesito para pintar 5 habitaciones? |
Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hara falta maspintura, y lo representamos así:

[editar]Regla de tres simple inversa

En la regla de tres simple inversa5 , en la relación entre los valores se cumple que:

donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:

y diremos que: A es a B inversamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de Apor B dividido por X.
Si por ejemplo tenemos el problema:
Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuanto tardaran 5 trabajadores en levantar el mismo muro? |
Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos mas obreros trabajen, menos horas necesitaran para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).

El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo haran en 40 horas, etc. En todos los casos el numero total de horas permanece constante.
Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa, tenemos:

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[editar]Regla de tres compuesta
En ocasiones el problema planteado involucra mas de tres cantidades conocidas, ademas de ladesconocida. 6 Observemos el siguiente ejemplo:

Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuantos trabajadores se necesitaran para levantar un muro de 75 metros en 26 horas? |
En el problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo. Ademas, para completar el ejemplo, se ha incluido una relación inversa y otra directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12 trabajadores, es evidente que para construir un muro de 75 metros se necesitaran menos trabajadores. Cuanto mas pequeño es el muro, menos número de obreros precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad directa. Por otro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente que disponiendo de 26 horas necesitaremos menos obreros. Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata de una relación de proporcionalidad inversa.
El problema se enunciaría así:
100 metros son a 15 horas y 12 trabajadores como 75 metros son a 26 horas e Ytrabajadores. |
La solución al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado dividirlo entre el producto de 100 por 26. Por tanto, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que por redondeo resultan ser 6 trabajadores ya que 5 trabajadores no serían suficientes).
Formalmente el problema se plantea así:

* La resolución implica plantear cada regla de tres simple por separado. Por un lado, la primera, que, recordemos, es directa, y se resuelveasí:

* A continuación planteamos la segunda, que, recordemos, es inversa, y se resuelve así:

* A continuación unimos ambas operaciones en una sola, teniendo cuidado de no repetir ningún término (es decir, añadiendo el término C una sola vez):

lo que nos da la solución buscada.
El problema se puede plantear con todos los términos que se quiera, sean todas las relaciones directas, todas inversas o mezcladas, como en el caso anterior. Cada regla ha de plantearse con sumo cuidado, teniendo en cuenta si es inversa o directa, y teniendo en cuenta (esto es muy importante) no repetir ningún término al unir cada una de las relaciones simples.
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[editar]Campo de aplicación
Como se ha comentado, la regla de tres es un mecanismo sencillo y extremadamente útil que sólo se puede establecer cuando existe una relación de linealidad entre los valores que pueden tomar las variables que intervienen. Sin embargo no es siempre facil averiguar si existe tal relación, de modo que es necesario utilizar para ello el sentido común y la experiencia.
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[editar]Ejemplos
* Para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres:
Ubicamos la incógnita en la primera posición:

Esto formaliza la pregunta '¿Cuantos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180 grados?'. Así tenemos que:

Donde π es el Número π.Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que esta frente a X.
* Calcular cuantos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos:

El resultado es:

Regla de tres
La regla de tres es un procedimiento para calcular el valor de una cantidad comparandola con otras tres o mas cantidades conocidas.

Regla de tres simple y directa
Se aplica cuando dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, hay que calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:
A mas  mas.
A menos  menos.
Ejemplos
Un
automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuantos kilómetros habra recorrido en 2 horas?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrera menoskilómetros.
240 km 3 h
x   km   2 h

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuanto pagara Ana?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a mas kilos, mas euros.
2 kg 0.80 €
5   kg  x

Regla de tres simple inversa
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a unacantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:
A mas  menos.
A menos  mas.
Ejemplo
Un
grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuanto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardaramas en llenar el depósito.
18 l/min  14 h
7 l/min       x h

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuanto tardaran en construirlo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a mas obreros tardaran menos horas.
3 obreros  12 h
6 obreros      x h

Regla de tres compuesta
La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o mas magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.
Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.
Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:
Regla de tres compuesta directa

Ejemplo
Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.
A mas grifos, mas euros  Directa.
A mas horas, mas euros  Directa.

9grifos   10 horas  20
15 grifos  12 horas     x €

Regla de tres compuesta inversa

Ejemplo
5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuanto tardaran 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
A menos obreros, mas días Inversa.
A mas horas, menos días Inversa.

5 obreros   6 horas  2 días
4 obreros  7 horas     x días

Regla de tres compuesta mixta

Ejemplo
Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuantos días necesitaran 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?
A mas obreros, menos días Inversa.
A mas horas, menos días Inversa.
A mas metros, mas días  Directa.

8 obreros     9 días  6 horas  30 m
10 obreros  x días  8 horas  50 m

11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuantos obreros seran necesarios para labrar otro campo analogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?
220 · 48 m²  6 días  11 obreros
300 · 56 m²  5 días  x obreros

Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuantas horas tardaran cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?
6 grifos  10 horas  1 depósito   400 m³
4 grifos  x  horas    2 depósitos  500 m³

Porcentaje
Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.
Ejemplos de porcentajes
Una moto cuyo precio era de 5.000 €,cuesta en la actualidad 250 € mas. ¿Cual es el porcentaje de aumento?
5000 €  250
100 €    x €

El 5%.
Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuanto hay que pagar por el vehículo?
100 €   7.5 €
8800 €  x

8800 € − 660 € = 8140 €
También se puede calcular directamente del siguiente modo:

100 €   92.5 €
8800 €  x €

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuanto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?

100 €   116 €
1200 €  x

Repartos proporcionales
Repartos directamente proporcionales
Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

Ejemplo
Un
abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuanto corresponde a cada uno?
Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno.
1º El reparto proporcional es:

2º Por la propiedad de las razones iguales:

3º Cada nieto recibira:

Repartos inversamente proporcionales
Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes.
Ejemplo
Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €.
Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuanto aporta cada uno?
1º Tomamos losinversos:

2º Ponemos a común denominador:

3º Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: 24, 20 y 15.

Ejercicios
Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €.
Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.

Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

Ejercicios y problemas de proporcionalidad
1Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades.
¿Cuanto corresponde a cada uno?
2 Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?
3 Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.
4Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le corresponden 2500 €. ¿Cuanto corresponde a los otros dos?
5Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si susedades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuanto aporta cada uno?
6Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.
7¿Durante cuanto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €?
8Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés.
9Hallar él tanto por ciento de interés simple al que debera prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.
10¿En cuanto tiempo se triplica un capital colocado al 6%?
Ejercicios y problemas de proporcionalidad
1Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:
1
2
3
4
5
1
Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:
1

2

3

4

5

2Dos ruedas estan unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuantas vueltas habra dado la segunda?
3Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuanto costara el hotel de 15 personas durante ocho días?
4Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuantos botes de 2 kg de pintura seran necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.
511 obreroslabran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuantos obreros seran necesarios para labrar otro campo analogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?
6 Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuantas horas tardaran cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?
7De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?
8Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuanto hay que pagar por el vehículo?
9El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuanto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?
10Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuanto tenemos que pagar?
11 Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.
12 Cual sera el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.
13 ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?
14Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.

¿En qué casos pi vale 180 y en cuales es igual a 3,14?
Hola a todos!
En diferentes problemas se usan diferentes valores para pi.
Por ejemplo si tengo que calcularsen(π/6) ¿cuanto valdría en este caso π?
Desde ya muchas gracias por su tiempo. Espero que puedan explicarme los dos casos. Saludos
El valor de 180 es igual que el 3.14, el problema son las unidades de medida.


180° grados= pi (esta es la medida en radianes)

3.14 es la expansión decimal de pi.

sen(π/6)= sen (180/6) = sen (30°), aqui se usa 180° porque estamos trabajando en angulos(radianes).
Pues bueno, π siempre sera π, y tendra el mismo valor.

Lo que sucede es que se puede tomar en grados, que equivale a 180, o se puede tomar en radianes, que equivale a 3.1416 (busca por la definición de radianes, y llegaras a entender de donde sale el π)

La utilidad de uno o de otro, depende de que estés usando. Por ejemplo, si tienes la calculadora en el modo D, al momento de evaluar sen(π/6), no debes colocar el (π/6) poniendo a π como sale en la calculadora al aplicar shift, pues estarias poniendo esto : π/6 = 3.1416 / 6, que daría un número en radianes, y no correspondería a lo que buscas.

Debes pone entonces: π/6 = 180 / 6 = 30 grados, y entonces lo que pones en la calculadora es sen(30). 
eso dependera de si el calculo lo estas realiando en grados o en radianes, si trabajas en grados el valor de pi es de 180 en cambio en radianes el valor sera 3.1416. el calculo en papel es sencillo pues normalmente sabes si estas trabajando con grado o con radianes, donde se debe tener cuidado es en el uso de la calculadora





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