DETERMINACION EXPERIMENTAL DEL NÚMERO π MEDIANTE EL METODO DE REGRESION LINEAL.

Departamento de Biología
Facultad de ciencias Naturales y Exactas
Universidad del Valle.

Numero π, diametro, perímetro, mínimos cuadrados, coeficiente de correlación.

0. Resumen.
El experimento inicio midiendo los perímetros (con el pie de rey) y diametros (con la cinta métrica) de diferentes círculos (5 en total) estos resultados son anotados en una tabla y con ellos se aplican los modelos de cada una de las formulas necesarias para hallar el número π de forma indirecta, ademas se realizaron las graficas correspondientes al experimento y la fórmula para calcular el error y el error relativo de una medida (esto teniendo en cuenta la precisión de los instrumentos de medidas utilizados)donde se observó una desviación del valor teórico de π con el experimental, debido a una mala medida con la cinta métrica.

1. INTRODUCCIÓN

El numero pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diametro.

[pic]

Este no es un número exacto, sino que es un numero irracional que tiene infinitas cifras decimales. En la antigüedad se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan solo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un digito y fue identificado con el nombre de pi, (de periphereaia, denominación que los griegos daban al perímetro de un circulo). A lo largo de lahistoria, este ilustre 3, en babilonia 3 1/8; los egipcios le otorgaban 4 (8/9) E 2; y en china 3 . sin embargo fue en Grecia donde la correspondencia entre el radio de y la longitud de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los mas enigmas a resolver.
En esta practica se determinara de manera experimental el valor del número pi mediante la utilización de mínimos cuadrados.

2. MARCO TEÓRICO

Formula del perímetro de un círculo

[pic]

Donde P es perímetro, π es la relación entre el perímetro y el diametro, d es diametro.

Ecuación de una línea recta

[pic]

Donde m la pendiente de la recta y b es el intercepto.

Fórmulas de mínimos cuadrados.

Intercepto de la grafica [pic]vs [pic]

[pic]

Pendiente de la grafica, numéricamente igual ha [pic].

[pic]

Desviación en el eje y

[pic]
Desviación en la intercepción [pic]
[pic]
Desviación de la pendiente o el valor de [pic]
[pic]

Coeficiente de correlación lineal.

[pic]

Caracteriza el grado dependencia de la variable y con respecto a la variable. Si [pic] significa que la correlación entre [pic] e [pic] es perfecta al contrario, si [pic], entre e y no hay correlación. Una correlación imperfecta significa que [pic] [1

Porcentaje de error

[pic]

3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL.

En la practica de laboratorio se utilizaron 5 círculos de diferentes tamaños, los cuales fueron medidos con una cinta métrica de incertidumbre[pic] y el diametro con un Pie de Rey de incertidumbre [pic]

Cada círculo se rodeó con la cinta métrica para tomar la medida del perímetro. Con el pie de rey se midió el diametro, colocando cada círculo entre los dientes de este, la lectura se tomó teniendo presente que el instrumento tomara la circunferencia y la dividiera en partes iguales, se tuvo en cuenta los parametros para hacer una correcta medición en un Pie de Rey.

Con la datos obtenidos en el experimento se realizaron calculos mediante el método de mínimos cuadrados, igualmente se realizo una grafica que relaciona estos valores.

4. RESULTADOS EXPERIMENTALES

Los resultados de las mediciones de los cinco círculos fueron registrados en la tabla1 (ver anexo1), los datos necesarios para el calculo de mínimos cuadrados estan contenidos en la tabla 2 (ver anexo1), los resultados de los valores experimentales fueron graficados (ver anexo2).

Experimentalmente tenemos:

Intercepto de la grafica es

[pic]

[pic] (Ec4)

La pendiente de nuestra grafica es

[pic]

[pic]

La desviación en el eje tiene un valor de
[pic]

Las deviaciones tanto en el intercepto [pic] con en la pendiente [pic] de nuestros datos es

[pic]
[pic](Ec7)

[pic]
[pic]

La correlación entre el perímetro y el diametro es de
[pic]

[pic] ([pic]

Por ende nuestra ecuación de la recta es

[pic]

El porcentaje de error de esta grafica es
[pic]
[pic]

5. Analisis

los valores obtenidos en elapartado anterior nos permite darnos cuenta de que en el momento de hacer la medición de los círculos con el pie de rey y la cinta métrica se cometió un error, lo mas probable es que este error se produjera cuando se midió el perímetro con la cinta métrica, esta al tener la mayor incertidumbre hizo que nuestras mediciones tuvieran un error de 5.4%, haciendo de que nuestra grafica tuviera una pendiente un poco mas inclinada, sin embargo aunque se produjo este error nuestros datos también muestran que entre x e y existe una relación, que es pi.
Con estos datos muestran que para tener una mejor aproximación al número pi no basta con una medición, se deben hacer varias, y ademas que entre menos incertidumbre tenga nuestros instrumentos mayor sera la precisión del numero pi.

6. CONCLUSIONES.

• los resultados obtenidos en el experimento presenta un error puesto que el valor obtenido no es igual al número pi, ademas el porcentaje de error es un poco alto.

• Entre mayor sea la incertidumbre de los instrumentos utilizados menos confiables sera nuestra medida.

• La grafica del perímetro vs el diametro es aproximadamente igual a una línea recta con pendiente pi.

• El perímetro y el diametro en una circunferencia estan relacionados, esta relación es número irracional [pic].

7. REFERENCIAS BIBLIOGRACICAS.

[1] Guía de experimentación de física para ciencias de la salud

ANEXO 1.

TABLAS Y GRAFICAS.
Tabla1. Valores experimentales delperímetro y el diametro.
|[pic]mm[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|39,95 |± 0.05 |124 |± 1 |3,103 |0,028 |
|60,5 |± 0.05 |187 |± 1 |3,114 |0,0192 |
|78,85 |± 0.05 |252 |± 1 |3,195 |0,014 |
|98,7 |± 0.05 |317 |± 1 |3,252 |0,012 |
|119,35 |± 0.05 |385 |± 1 |3,225 |0,097 |

Tabla 2. Datos para determinar los valores de [pic], [pic] y [pic].
[pic]
(mm) |[pic]
(mm) |[pic]
|[pic]
|[pic]
|[pic]
(mm) |[pic]
(mm) |[pic]
(mm) | |39,95 |124,00 |1596,00 |15376,00 |4953,80 |122,24 |1,76 |3,11 | |60,50 |187,00 |3660,25 |34969,00 |11313,50 |190,23 |-3,23 |10,45 | |78,85 |252,00 |6217,32 |63504,00 |19870,20 |250,95 |1,05 |1,11 | |98,70 |317,00 |9741,69 |100489,00 |31287,90 |316,63 |0,37 |0,14 | |119,35 |385,00 |14244,42 |148225,00 |45949,75 |384,95 |0,05 |0,00 | |[pic]
|[pic]
|[pic]
|[pic]
|[pic]
|[pic]
|[pic]
|[pic]
| |397,35 |1265,00 |35459,69 |362563,00 |113375,15 |1265,00 |0,00 |14,80 | |

ANEXO 2

[pic]

FIG1.grafica de los valores del perímetro y el diametro.