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El Principio de superposición - euler (1707-1783)



El Principio de superposición fue explicitado por Euler (1707-1783).
' Si los desplazamientos y las tensiones, en los sistemas elasticos, son proporcionales a las cargas que los producen, entonces, los desplazamientos totales y las tensiones totales, resultantes de la aplicación de varias cargas, seran la suma de los desplazamientos y de las tensiones originadas por cada una de las cargas'

Para que podamos aplicar el Principio de Superposición tanto en el campo de los esfuerzos como en el de los desplazamientos es necesario que se cumpla una primera condición:
Proporcionalidad, es decir una relación lineal en el comportamiento del material sobre el que actúan las cargas.
Lo anterior se cumple en los materiales elasticos como por ejemplo el acero.
Pero ademas ha de cumplirse una segunda condición ya que aunque el sistema de cargas esté actuando sobre un material elastico puede suceder que no sea aplicable el Principio de Superposición, como sucede en el caso de Pandeo, dado que no se produce una relación lineal entre la solicitación y la deformación.



El principio de superposicion suele usarse para determina el esfuerzo o el desplazamienti en un punto de un miembro cuando este esta sometido a una carga complicada. Al subdividir la carga en componentes, el principio de superposicion establece que el esfuerzo odesplazamiento resultantes en el punto puede determinarse encontrando primero el esfuerzo o desplazamiento causado por cada carga componente actuando independientemente sobre el miembro. El esfuerzo o desplazamiento resultante se determina entonces sumando algebraicamente las contribuciones causadas por cada componente.
Las siguientes condiciones deben cumplirse para que el principio de superposicion pueda aplicarse.
1.- La carga debe estar relacionada linelamnete con el esfuerzo o el desplazamiento que va a determinarse. Por ejemplo, las ecuaciones implica una relacion lineal entre P y .
2.- La carga no debe cambiar significativamente la geometria original o configuracion del miembro. Si tienen lugar cambios significativos, la direccion y localizacion de las fuerzas aplicadas asi como sus brazos de momento cambiaran, y en consecuencia la aplicacipon de las ecuaciones de equilibrio conducira a resultados diferentes. Por ejemplo, considere la barra esbelta mostrada en la figura, que esta sometida a la carga P. En la figura se ha reemplazado por sus componentes Si P ocaciona que la barra se deflexione considerablemente, como se muestra, el momento de la carga respecto a su soporte. Pd, no sera igual a la suma de los momentos de sus cargas componentes, porque


Luego se colocó en el porta pesas una masa total de 60 g. Luego se midió el tiempo necesario para 10 oscilaciones para una longitud del hilo del péndulo de 5, 10, 20, 30, 40 y 50cm este procedimiento se repitió tres veces y los tiempos se registraron en una tabla y se calculó el tiempo promedio de éstos tres tiempos.













RESULTADOS
Los datos obtenidos producto de las mediciones realizadas en el laboratorio se registran en la Tabla1 y en la tabla 2; el porcentaje de error calculado se analiza en los analisis de datos.

Tabla
m/g
t/s
T/s
60
17,626
1,762
110
17,540
1,754

Tabla
L(cm)

t(s)
T(s)
50

14,185
1,418
40

12,740
1,274
30

11,175
1,117
20
2
8,725
0,872
10

6,345
0,634
5

5,255
0,525

Cuestionario
2) Esta el periodo en función de la masa?
Según la practica realizada en el laboratorio los valores del periodo para las masa de 60 y 110 gramos son similares 1.762 y 1.754 respectivamente, teniendo en cuenta los posibles errores humanos, en la toma del tiempo, podríamos decir que estos valores son iguales .Debido a lo anterior es posible afirmar que el periodo no esta en función de la masa. En las oscilaciones de un péndulo la masa que colgamos no afecta dado que la gravedad atrae a todos los cuerpos con la misma intensidad.
Ademas esto lo podemos corroborar con la fórmula para calcular que el periodo
T
En donde vemos que 2π y g pasan a ser unas constantes dejando así el periodo solo en función de la longitud.
3) Lleva a un diagrama el periodo T sobre la longitud del péndulo L y une los puntos con una línea. Utiliza los valores de las dos tablas. ¿Cómo influye la longitud del péndulo sobre el periodo?

L
PERIODO(T)
50
1,418
40
1,279
30
1,117
20
0,900
10
0,650
5
0,525



De T vs L, se observa que la grafica nos da una curva, por lo que podemos decir que nuestras variables son proporcionales pero no de una manera lineal, sino de otro tipo y es claro este resultado ya que en los datosobtenidos se observaba que a medida que la longitud del hilo se aumentaba o se acortaba el periodo de oscilación del péndulo respondía de igual manera.
4) Halla la raíz de las longitudes del péndulo y anótalas en las tablas.
Lleva a un diagrama con los valores de las dos tablas, T=f() y trace la grafica.

RAIZ DE L
PERIODO(T)
7,071
1,418
6,325
1,279
5,477
1,117
4,472
0,900
3,162
0,650
2,236
0,525




¿Cómo es la grafica?
Al hacer la grafica obtuvimos una línea recta ascendente, por lo tanto podemos decir que T guarda una relación de proporcionalidad directa con .
En este caso, observamos que no es una línea recta en su totalidad puesto que algunos puntos estan dispersos, debido a los errores experimentales al hacer la practica.
Expresa estas relaciones con una proporcionalidad.
Tα , El periodo T es directamente proporcional a la raíz de la longitud del péndulo.
T= K , donde K= constante de proporcionalidad (1)

5) Calcula a partir del diagrama el factor de proporcionalidad k,y comparalo con el resultado de dividir 2π por la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad g: k´=2π/
-¿Es k=k´?
Según la ecuación (1) hallada en el punto 4, despejamos la constante de proporcionalidad k y nos quedad así
K=T/
Ahora comparamos k con k´=2π/ .Como las unidades de la gravedad son m/s^2, convertimos nuestros valores de las longitudes a metros.

L(METROS)
(METROS)
0.5
0,707
0.4
0,632
0.3
0.547
0.2
Si se cumple la ley de hooke y se supone que losdesplazamientos producidos por las fuerzas actuantes son muy pequeños en relacion a las dimensiones del cuerpo, de tal manera que se pueda considerar que este mantiene la forma y dimensiones originales, entonces puede aplicarse el Principio de Superposicion o Principio de Linealidad. Este mismo, establece que los efectos que un sistema de fuerzas aplicadas origina en un cuerpo son iguales a la suma de los efectos que originan esas mismas fuerzas actuando por separado.
Si sobre un cuerpo actua un sustema formado por tres fuerzas P1, P2 y P3, el principio de superposicion establece que la componente u del desplazamiento de un punto interior O, según una cierta direccion de referencia, sera

Donde u1, u2 y u3 son los valores que toman el correspondiente desplazamiento cuando actuan P1, P2 y P3 solas, respectivamente. Si la ley de Hooke es aplicables, sera

En virtud de las propiedades conmutativas y asociativas de la suma, resulta claro que el enunciado del Principio de Superposicion es equivalente a establecer que “Los efectos que un sistema de fuerzas aplicadas originan en un cuerpo son independientes del orden de aplicación de las fuerzas”. Matematicamente, el principio de Superposicion establece que la relacion accion-respuesta es lineal, y tiene, por tanto, las propiedades de las funciones lineales.





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