MOMENTO Y PAR DE FUERZAS
El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto O
viene dado por el producto vectorial del vector por el vector fuerza; esto es,
Donde
es el vector que va desde O a P.
Por la propia definición del producto vectorial, el momento es un vector
perpendicular al plano determinado por los vectores y .
Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una
fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o
directriz.
La definición de momento se aplica a otras magnitudes
vectoriales. Así, por ejemplo, el momento de la cantidad de movimiento o
momento lineal, , es el momento cinético o momento angular, , definido como
El momento de fuerza conduce a los concepto de par, par de fuerzas, par motor,
etc.
Centro de gravedad
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Paso 1: Considerar una figura 2D arbitraria.
Paso 2: Suspéndase la figura desde un punto cercano a
una arista. Marcar con línea vertical con una plomada.
Paso 3: Suspéndase la figura de otro punto no demasiado cercano al primero. Marcar otra línea vertical con la plomada. La intersección
de las dos líneas es el centro de gravedad.
El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las
fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un
cuerpo, de tal forma que elmomento respecto a cualquier punto de esta
resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por
los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.
En otras palabras, el
centro de gravedad de un cuerpo es el punto
respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos
materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.
El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a
un punto material del
cuerpo. Así, el c.g. de una esfera hueca está situado en el centro de la
esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.
Centroide
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En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un
espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a
X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente,
es el promedio de todos los puntos de X.
Enumeración de máquinas simples
Se cumple que D1 x F1 = D2 x F2
Rueda
Mecanismo de biela - manivela
Cuña
Palanca
Plano inclinado
Polea
Tuerca husillo
Esta lista, sin embargo, no debe considerarse definitiva e inamovible. Algunos
autores consideran a la cuña y al tornillo como aplicaciones del
plano inclinado; otros incluyen a la rueda como una máquina simple;
también se considera el eje con ruedas una máquina simple, aunque sean dos de
estas juntaspor ser el resultado.
La cuña transforma una fuerza vertical en dos horizontales antagonistas. El
ángulo de la cuña determina la proporción entre las fuerzas aplicada y
resultante, de un modo parecido al plano inclinado.
La palanca es una barra rígida con un punto de apoyo,
a la que se aplica una fuerza y que, girando sobre el punto de apoyo, vence una
resistencia. Se
cumple la conservación de la energía y, por tanto, la fuerza aplicada por su
espacio recorrido ha de ser igual a la fuerza de resistencia por su
espacio recorrido.
En el plano inclinado
se aplica una fuerza para vencer la resistencia
vertical del peso del objeto a levantar. Dada la conservación
de la energía, cuando el ángulo del
plano inclinado
es más pequeño se puede levantar más peso con una misma fuerza aplicada pero, a
cambio, la distancia a recorrer será mayor.
La polea simple transforma el sentido de la fuerza; aplicando una fuerza
descendente se consigue una fuerza ascendente. El valor de la
fuerza aplicada y la resultante son iguales, pero de sentido opuesto. En
un polipasto la proporción es distinta, pero se
conserva igualmente la energía.
Tuerca husillo.
El mecanismo tuerca husillo trasforma un movimiento
giratorio aplicado a un volante o manilla, en otro rectilíneo en el husillo,
mediante un mecanismo de tornillo y tuerca. La fuerza aplicada por la longitud
de la circunferencia del
volante ha de ser igual a la fuerzaresultante por el avance del husillo. Dado el gran desarrollo de la
circunferencia y el normalmente pequeño avance del husillo, la
relación entre las fuerzas es muy grande.
Todas las máquinas simples convierten una fuerza
pequeña en una grande, o viceversa. Algunas convierten
también la dirección de la fuerza. La relación entre la intensidad de la
fuerza de entrada y la de salida es la ventaja mecánica. Por ejemplo, la
ventaja mecánica de una palanca es igual a la relación entre la longitud de sus
dos brazos. La ventaja mecánica de un
plano inclinado, cuando la fuerza actúa en
dirección paralela al plano, es la cosecante del ángulo de
inclinación.
A menudo, una herramienta consta de dos o más máquinas o artefactos simples, de
modo que las máquinas simples se usan habitualmente en una cierta combinación, como
componentes de máquinas más complejas. Por ejemplo, en el tornillo de
Arquímedes, una bomba hidráulica, el tornillo es un plano inclinado
helicoidal.
ESFUERZO Y DEFORMACION
Introducción
El diseño de cualquier elemento o de un sistema
estructural implica responder dos preguntas: sEl elemento es
resistente a las cargas aplicadas? y sTendrá la
suficiente rigidez para que las deformaciones no sean excesivas e
inadmisibles? Las respuestas a estas preguntas implican el análisis de la resistencia y rigidez de
una estructura
aspectos que forman parte de sus requisitos. Estos análisis
comienzan por laintroducción de nuevos conceptos que
son el esfuerzo y la deformación, aspectos que serán definidos a continuación
(Salvadori y Heller, 1998; Timoshenko
y Young, 2000).
Esfuerzo
Idea y necesidad del concepto de esfuerzo
Las fuerzas internas de un elemento están ubicadas dentro del material por lo
que se distribuyen en toda el
área; justamente se denomina esfuerzo a la fuerza por unidad de área, la cual
se denota con la letra griega sigma (σ) y
es un parámetro que permite comparar la resistencia de dos materiales, ya que
establece una base común de
referencia.
A
σ = P (Ec. 1
Donde: P≡ Fuerza axial;
A≡ Area de la sección transversal.
Cabe destacar que la fuerza empleada en la ec. 1 debe
ser perpendicular al área analizada y aplicada en el
centroide del
área para así tener un valor de σ constante que se distribuye
uniformemente en el área aplicada. La ec. 1
no es válida para los otros tipos de fuerzas internas1; existe otro tipo de
ecuación que determine el esfuerzo para las
otras fuerzas, ya que los esfuerzos se distribuyen de otra forma.
Unidades
El esfuerzo utiliza unidades de fuerza sobre unidades de área, en el sistema
internacional (SI) la fuerza es en
Newton (N) y el área en metros cuadrados (m2), el esfuerzo se expresa por N/m2
o pascal (Pa). Esta unidad es
pequeña por lo que se emplean múltiplos como el es el kilopascal (kPa),
megapascal (MPa) o gigapascal (GPa). En
el sistemaamericano, la fuerza es en libras y el área en pulgadas cuadradas,
así el esfuerzo queda en libras sobre
pulgadas cuadradas (psi). Particularmente en Venezuela la unidad más empleada es
el kgf/cm2 para denotar los
valores relacionados con el esfuerzo (Beer y Johnston, 1993; Popov, 1996; Singer
y Pytel, 1982; Timoshenko y
Young, 2000).
Deformación
Concepto
La resistencia del material no es el único parámetro que
debe utilizarse al diseñar o analizar una estructura
controlar las deformaciones para que la estructura cumpla con el propósito para
el cual se diseñó tiene la misma o
mayor importancia. El análisis de las deformaciones se relaciona con los
cambios en la forma de la estructura que
generan las cargas aplicadas.
1 Fuerza cortante, momento flector y momento torsor.
Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 10
Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
Una barra sometida a una fuerza axial de tracción aumentara su longitud
inicial; se puede observar que bajo la
misma carga pero con una longitud mayor este aumento o alargamiento se
incrementará también. Por ello definir la
deformación (ε) como
el cociente entre el alargamiento δ y la longitud inicial L, indica que
sobre la barra la
deformación es la misma porque si aumenta L también aumentaría δ.
Matemáticamente la deformación sería
L
δ
ε =
(Ec. 2)
Al observar la ec. 2 se obtiene que la deformación es un valoradimensional
siendo el orden de magnitud en
los casos del
análisis estructural alrededor de 0 , lo cual es
un valor pequeño (Beer y Johnston, 1993; Popov,
1996; Singer y Pytel, 1982).
Diagrama esfuerzo – deformación
El diseño de elementos estructurales implica determinar la resistencia y rigidez del material estructural, estas
propiedades se pueden relacionar si se evalúa una barra sometida a una fuerza
axial para la cual se registra
simultáneamente la fuerza aplicada y el alargamiento producido. Estos valores permiten determinar el esfuerzo y la
deformación que al graficar originan el denominado diagrama de esfuerzo y
deformación.
Los diagramas son similares si se trata del mismo material y de manera
general permite agrupar los materiales
dentro de dos categorías con propiedades afines que se denominan materiales
dúctiles y materiales frágiles. Los
diagramas de materiales dúctiles se caracterizan por ser capaces de resistir
grandes deformaciones antes de la rotura
mientras que los frágiles presenta un alargamiento bajo cuando llegan al punto
de rotura.
Elementos de diagrama esfuerzo – deformación
En un diagrama se observa un tramo recta inicial hasta
un punto denominado límite de proporcionalidad. Este
límite tiene gran importancia para la teoría de los sólidos elásticos, ya que
esta se basa en el citado límite. Este límite
es el superior para un esfuerzo admisible.
Los puntos importantesdel diagrama de esfuerzo deformación son
− Límite de proporcionalidad: hasta este punto la relación entre el
esfuerzo y la deformación es lineal;
− limite de elasticidad: más allá de este límite el material no recupera
su forma original al ser descargado,
quedando con una deformación permanente;
− punto de cedencia: aparece en el diagrama un considerable alargamiento
o cedencia sin el
correspondiente aumento de carga. Este fenómeno no se observa en los materiales
frágiles
− esfuerzo último: máxima ordenada del
diagrama esfuerzo – deformación;
− punto de ruptura: cuanto el material falla.
Dado que el límite de proporcionalidad, elasticidad y punto de cedencia están
tan cerca se considera para la
mayoría de los casos como el mismo punto. De manera que
el material al llegar a la cedencia deja de tener un
comportamiento elástico y la relación lineal entre el esfuerzo y la deformación
deja de existir (Beer y Johnston
1993; Popov, 1996; Singer y Pytel, 1982).
Ley de Hooke
En el diagrama esfuerzo – deformación, la
línea recta indica que la deformación es directamente proporcional
al esfuerzo en el tramo elástico, este principio conocido como la ley de Hooke (véase Ecuación 3).
Asimismo, la
proporción representada por la pendiente de la recta, es constante para cada
material y se llama módulo de
elasticidad (E), valor que representa la rigidez de un
material.
2 Corresponde a un alargamiento del0 por ciento de
la longitud inicial.
Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 10
Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
ε
σ
E = (Ec. 3)
Desarrollando la Ecuación 3, podemos inferir la expresión de alargamiento
indicada en la Ecuación 4 (Beer y
Johnston, 1993; Singer y Pytel, 1982; Timoshenko y Young, 2000).
AE
PL
A
E E PL
L
A
P
= δ
=
δ δ (Ec. 4
Seguridad
El diseño de estructuras implica obtener dimensiones de elementos que sean
tanto económicos como
seguros
durante la vida de la estructura. Para ello se emplea el término estado límite3
el cual según las nuevas
especificaciones puede estar relacionado con la pérdida de la capacidad de
carga o con el deterioro gradual que hace
que la estructura no cumpla con la función asignada o con la fatiga4 del
material.
El concepto de estado límite permite establecer un
enfoque más racional al problema de la seguridad
estructural5 al emplear la estadística como
medio para analizar la variabilidad de la magnitud de la cargas así como
de las propiedades de los materiales. Siendo el diseño seguro de un elemento la relación entre los efectos de las
cargas multiplicados por un factor que deben ser menores a la resistencia
del material
disminuida (véase la Ecuación
5).
Σ ≤ i i n γ Q φR (Ec. 5)
Donde: Qi ≡ Efecto de la carga i;
γ ≡ Factor de mayoración de carga que debe ser mayor a 1;
Rn ≡ Resistencianominal del material;
φ ≡ Factor de resistencia que debe ser menor a 1.
La ecuación 5 dice que el diseño consiste en trabajar con cargas mayores a las
esperadas actuando sobre un
material con una resistencia
menor a la supuesta. La resistencia supuesta de un material o esfuerzo último
para
efectos de diseño se dice que es el esfuerzo de cedencia, ya que una estructura
con un comportamiento más allá del
límite elástico es lo que se considera para la mayoría de los casos como un
estado no deseado en la estructura por las
implicaciones de las deformaciones permanentes y la pérdida de la relación
lineal entre el esfuerzo y la deformación.
El anterior enfoque se denominaba diseño por el diseño por esfuerzos de trabajo
y consistía en usar un
esfuerzo admisible que es una fracción del esfuerzo último, así, esta fracción
se convertía en el factor de seguridad de
la estructura (Galambos, Lin y Johnston, 1999; Nowak y Collins, 2000; Popov,
1996; Segui, 2000; Timoshenko y
Young, 2000).
Diseño de elementos sometidos a fuerza axial
El empleo de la Ecuación 1 no tiene muchas aplicaciones en los problemas del análisis estructural, el
objetivo
de un diseño de estructuras es determinar las dimensiones de un elemento
estructural que sea la sección más
económica dentro del
límite de la seguridad. Así el diseño de secciones sometidas a fuerzas de
tracción según los dos
enfoques de diseños es
3 Margen que separa unestado deseado de un estado no deseado en la estructura.
4 Pérdida de esfuerzos bajo cargas repetidas.
5 Este método se denomina LRFD según sus siglas en inglés,
Load and Resistance Factor Design.
Lei Zero da Termodinamica
Ver artigo principal: Lei Zero da Termodinamica
Lei Zero é, essencialmente, uma definiçao microscópica de temperatura. Embora
seja de uso corrente a noçao de quente ou frio, pelo
contato com a pele, ela pode levar a avaliações erradas de temperatura. É bem conhecido o exemplo de que a mesma água pode parecer mais
fria ou mais quente ao contato da mao, quando, anteriormente, a mao foi
mergulhada em água gelada ou água quente, respectivamente. De qualquer forma, é da observaçao cotidiana de que corpos quentes
e frios, postos em contato, produzem, no fim de algum tempo, a mesma sensaçao,
que se chega ao conceito de temperatura. Está claro
que, dependendo da superfície do corpo (metálica, porosa, etc.), essa sensaçao
pode ser falha.
Levando-se em conta as observações anteriores, a Lei Zero assim postula: se A e
B sao dois corpos em equilíbrio térmico com um terceiro corpo C, entao A e B
estao em equilíbrio térmico um com o outro, mas, formalmente, existe uma
grandeza escalar, a temperatura, que é uma propriedade de todos os sistemas em
equilíbrio termodinamico; essa grandeza é tal que a condiçao necessária e
suficiente para que haja equilíbrio térmico entre vários sistemas é que atemperatura
desses sistemas seja a mesma.
[editar] Escalas termométricas
Ver artigo principal: Escalas termométricas
Existem muitas grandezas físicas mensuráveis, que variam quando a temperatura
do corpo é alterada; em princípio, essas grandezas podem ser utilizadas como
indicadoras de temperatura dos corpos. Entre elas, podem-se citar: o volume de
um líquido, a resistência elétrica de um fio, e o volume de um gás mantido a
pressao constante.
Escolhendo-se, arbitrariamente, grandezas que possam servir para aferir
temperatura, conhecidas como grandezas termométricas,
pode-se construir uma infinidade de termômetros, com escalas arbitrárias e
muitas vezes incomuns. A fim de evitar esse inconveniente, pode-se estabelecer
certas regras para tais grandezas ou propriedades das
substancias, regras essas que devem ser adotadas internacionalmente.
Usando regras definidas, obtêm-se as escalas termométricas, como a Celsius (centígrada) e a Fahrenheit, ou
escalas absolutas como
a Kelvin. Na teoria cinética, quando dois gases estao à mesma temperatura, a energia média dos átomos e moléculas é a mesma, e essa
propriedade pode ser utilizada como
definiçao de temperatura. A escala microscópica que
coincide com as escalas absolutas usuais é aquela em que a temperatura é
escolhida proporcionalmente à energia cinética média, sendo 2/3k (onde k é a
constante de Boltzmann, unidades do SI) a constante de proporcionalidade.
Asescalas internacionais de temperatura utilizam o ponto triplo da água (ponto
de equilíbrio entre as fases sólida, líquida e de vapor) como
padrao; sua temperatura em graus Kelvin é escolhida como igual a 273
K. A partir desse ponto base, escolhem-se outros pontos úteis
para a construçao e aferiçao de termômetros.
Un minero necesita levantar una roca que pesa 400 kg (fuerza) con una palanca
cuyo brazo de palanca (a) mide 3 m, y el de resistencia (b) 70 cm, ïs½quïs½
fuerza se necesita aplicar para mover la roca?
ïs½Quïs½ longitud tiene el brazo de palanca (a) de una carretilla, si al
aplicarle una fuerza de 4 kgf levanta una carga de 20 kgf de arena (R) y su
brazo de palanca mide 0.20 m?
La fuerza (F) que se aplica a unas cizallas es de 20 N, siendo su brazo de
palanca (a) de 60 cm. ïs½Cuïs½l serïs½ la resistencia de una lïs½mina si se
encuentra a 20 cm (b) del punto de apoyo?
Si se requiere levantar una carga de 80 kgf con una polea fija, ïs½quïs½ fuerza
deberïs½ aplicarse?
c = 8 kgf
F
F = c
F = 80 kgf
F = 80 kgf
ïs½Quïs½ fuerza se requiere para levantar una carga de 74 kgf, si se utiliza
una polea mïs½vil?
ïs½Quïs½ fuerza necesitarïs½ aplicar un individuo para
cargar un muelle de 350 kgf, si utiliza un polipasto de 3 poleas?
ïs½Quïs½ fuerza necesita aplicar un individuo para
subir un barril a un camiïs½n que pesa 150 N por un plano inclinado de 3 m de longitud, colocado
a una altura de 1.50 m?
