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Ampliacion de analisis matematico: ecuaciones diferenciales ordinarias - la edo lineal de primer orden



AMPLIACION DE ANALISIS MATEMATICO: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

x

x + ω 2x = f0 cos(a„¦t)



£

¢

t

 

t


 

´ Indice
Programa de la asignatura o 1. Introducci´n a las EDOs: la EDO lineal de primer 1.1. Ecuaciones diferenciales “ordinarias” . . . . . . . . 1.2. La EDO lineal de primer orden . . . . . . . . . . . 1.3. Algunas aplicaciones de las EDOs lineales de primer 1.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . orden . . . . . . . . . . orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 1 2 3 5 7 7 10 11 12 13 14 18 23 26 27 28 29 31 34 35 38 39 41 43 49 51 52 53 55 56 58 58 60 64 65



2. Otras EDOs de primer orden 2.1. Ecuacionesseparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ecuaciones que se reducen a EDOs lineales o separables 2.4. Las EDOs homog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5. Otras EDOs de primer orden: la EDO de Clairaut . . . 2.6. Ecuaciones exactas y factores integrantes . . . . . . . . 2.7. Aproximaciones num´ricas: el m´todo de Euler . . . . . e e 2.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sistemas de EDOs 3.1. La ecuaci´n lineal Y = A(x)Y + B(x) . . . . o 3.2. Los SEDO lineales con coeficientes constantes 3.3. La exponencial matricial exp(xA) . . . . . . . 3.4. El caso de autovalores m´ltiples . . . . . . . . u 3.5. El SEDO lineales no homog´neo . . . . . . . . e 3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. La ecuaci´n lineal de orden n o 4.1. Soluci´n de la ecuaci´n lineal homog´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o e 4.2. La EDO lineal de segundo orden no homog´nea con coeficientes constantes e 4.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Soluciones de EDOs en serie de potencias 5.1. El m´todo de reducci´n de orden . . . . . e o 5.2. Puntos regulares y singulares de una EDO 5.3. La ecuaci´n hipergeom´trica de Gauss . . o e 5.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Los 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



polinomios ortogonales cl´sicos a La ecuaci´n diferencial hipergeom´trica. . . . o e Los Polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi. Los momentos de los polinomios cl´sicos . . . a Las funciones generatrices . . . . . . . . . . .


6.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. El teorema de existencia y unicidad para las EDOs 7.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. La transformada de Laplace 8.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Anexo: C´lculo de primitivas a A.1. M´todos de integraci´n.. . . . . . e o A.2. Integraci´n de funciones racionales. o A.3. Integrales trigonom´tricas. . . . . . e A.4. Integrales irracionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 69 70 72 73 75 76 78 80 81 83 83 84 85 86 90 94 97 102

´ B. Anexo: Algebra lineal B.1. Sistemas lineales y matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . B.2. Formas escalonadas y el algoritmo de reducci´n por filas. o B.3. Soluci´n de un sistema de ecuaciones lineales. . . . . . . o B.4. Vectores y ecuaciones matriciales. . . . . . . . . . . . . . ´ B.5. Algebra de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.6. Determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.7. Espacios Vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.8. El problema de autovalores de una matriz. . . . . . . . .

C. Anexo: Series de potencias 105 C.1. Propiedades de las series de potencias . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 105


Diplomatura de Estad´ A±stica “Ampliaci´n de An´lisis Matem´tico”. o a a Programa de la asignatura. Curso 2003/2004
Cap´ A±tulo 1: Introducci´n a las ecuaciones diferenciales ordinarias. La EDO lineal o de primer orden. Motivaci´n de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). La EDO lineal de primer o orden. Teorema de existencia y unicidad para la EDO lineal de orden 1. Aplicaciones. Cap´ A±tulo 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuaciones separables. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de Bernoulli y de Ricati. Ecuaciones diferenciales exactas. Aplicaciones. M´todos e en diferencias para resolver EDOs de primer orden: El m´todo de Euler. e Cap´ A±tulo 3: Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Sistemas lineales con coeficientes constantes. La matriz exponencial eA y sus propiedades. Ejemplos y aplicaciones. Cap´ A±tulo 4: Ecuaciones diferenciales de orden n. EDOs de orden n. Relaci´n con los sistemas de ecuaciones de primer orden. Ecuaciones o lineales. EDOs lineales de orden 2. M´todo de variaci´n de coeficientes. Reducci´nde orden. e o o Cap´ A±tulo 5: M´todo de las series de potencias. e M´todo de integraci´n por series. Puntos regulares y singulares. La ecuaci´n hipere o o geom´trica de Gauss. La ecuaci´n de Bessel. Aplicaciones. e o Cap´ A±tulo 6: Polinomios ortogonales cl´sicos. a La ecuaci´n de tipo hipergeom´trico y sus soluciones polin´micas. Los polinomios cl´sio e o a cos. Ortogonalidad y relaci´n de recurrencia. F´rmula de Rodrigues. Los momentos de las o o distribuciones continuas de probabilidad. Funciones generatrices. Cap´ A±tulo 7: EDOs: Existencia y unicidad de las soluciones. M´todo de Pic´rd. Teorema de existencia y unicidad para una ecuaci´n diferencial ordie a o naria de primer orden. Los sistemas lineales y la EDO de orden n. Cap´ A±tulo 8: Ecuaciones en diferencias finitas. Introducci´n a las ecuaciones en diferencias finitas: Ejemplos. Existencia de la soluci´n. o o o e a La ecuaci´n de segundo orden de tipo hipergeom´trico. Polinomios cl´sicos discretos. La ecuaci´n de Pearson y los momentos de las distribuciones discretas de probabilidad. Funcioo nes generatrices.


Metodolog´ y Evaluaci´n A±a o
La asignatura est´ dividida en 3 horas te´ricas y 2 horas pr´cticas semanales. Las horas a o a de teor´ sededicar´n a la explicaci´n de los principales conceptos y m´todos de resoluci´n A±a a o e o de EDOs tanto de orden uno como de ordenes superiores. Adem´s se desarrollar´n distintos ´ a a ejemplos que permitan aplicar y profundizar los m´todos aprendidos. Las horas pr´cticas se e a dedicar´n a proponer y resolver diversos ejercicios que permitan al alumno una comprena si´n m´s profunda de los conceptos te´ricos y que sirvan de complemento a las clases te´ricas. o a o o Al final del cuatrimestre se se efectuar´ un ex´men final constituido por una parte te´ricaa a o a pr´ctica y otra de problemas. Para aprobar el examen es necesario obtener al menos 5 puntos. Tambi´n se entregar´n varios proyectos sobre temas relacionados con el programa e a que complementen los tratados en clase. Dichos proyectos son totalmente voluntarios y no ser´n evaluados en el ex´men aunque si pueden complementar la nota de ´ste, s´lo en caso a a e o de mejorarla.



Bibliograf´ A±a
Bibliograf´ b´sica A±a a
C. H. Edwards, Jr y David E. Penney, Ecuaciones diferenciales elementales. Pearson Educaci´n o Nagle R.K. y Saff E.B. Fundamentos de ecuaciones diferenciales. Pearson Educaci´n. o

Colecciones de problemas
A. K. BOIARCHUK y G. P.GOLOVACH, Matem´tica Superiores. Problemas Resuea tos: Ecuaciones diferenciales (Anti-Demidovich) Vol 8, 9 y 10 (URSS, 2002).

Bibliograf´ complementaria A±a
Braun M. Differential Ecuations and their Applications. Springer Verlag. Bugrov Ya.S., Nikolski S.M. Ecuaciones diferenciales. Integrales mltiples. Series. Funciones de variable compleja. MIR. Elsgoltz L. Ecuaciones diferenciales y c´lculo variacional. MIR. a Kisilev A., Krasnov M. y Makarenko G. Problemas de Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ed. MIR. Marcell´n, F., Casas´s, L. y Zarzo, A., Ecuaciones diferenciales: Problemas lineales y a u aplicaciones. McGraw-Hill. Rainville E.D., Bedient P.E. y Bedient R.E. Ecuaciones diferenciales. Prentice Hall. Simmons, G.F. Ecuaciones diferenciales : con aplicaciones y notas hist´ricas. McGrawo Hill. ´ Renato Alvarez Nodarse. Facultad de Matem´ticas. Despacho: 1er piso, Mod 15, No. 15-06 a

´ 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN

1

1.

Introducci´n a las EDOs: la EDO lineal de primer o orden
Todos sabemos que es una ecuaci´n. Por ejemplo o 3x + 2 = 5, x2 + 4x = −3, x2 + 1 = 0, x2 − 2x + 1 = 0. x2 − 1

Estas ecuaciones, quiz´ las m´s sencillas, son ecuaciones algebraicas ya queinvolucran s´lo a a o las operaciones suma, resta, multiplicaci´n y divisi´n. La inc´gnita en este caso es una unica o o o ´ variable x que puede ser real o compleja. Por ejemplo, para la primera ecuaci´n es f´cil ver o a que x = 1 es la unica soluci´n posible, mientras que la segunda tiene dos soluciones reales ´ o x = 1 y x = 3. La tercera sin embargo no tiene soluciones reales, pero si complejas x = ±i. Finalmente la ultima no tiene ninguna soluci´n pues la unica posible ser´ x = 1 que no ´ o ´ A±a puede ser soluci´n ya que la propia ecuaci´n no est´ definida en x = 1 (divisi´n por cero). o o a o Hasta ahora hemos visto ecuaciones “sencillas” en el sentido que su soluci´n es un conjuno to de n´meros determinado. Existen ecuaciones m´s “complicadas”, las ecuaciones funcionau a o e les donde las inc´gnitas son funciones. En ejemplo de ´stas son las ecuaciones diferenciales ´ “ordinarias”. Estas son ecuaciones que involucran tanto a las funciones buscadas como sus derivadas “ordinarias”. Por ejemplo, y (x) = sen x, y (x) = y, y (x) − ey(x) + 7 cos x = 0, y (x) + 3y (x) + 2y(x) = 2 cos(2x).

Estas ecuaciones son el objetivo del presente curso. Es f´cil entender que el problema de a encontrar la soluci´n de lasecuaciones diferenciales es m´s complicado que el de los casos o a anteriores. En primer lugar por que estamos buscando funciones de x y no simples valores de x. En segundo, porque tarde o temprano tendremos que calcular primitivas lo cual es bastante complicado en general.

1.1.

Ecuaciones diferenciales “ordinarias”
F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0,

Nos centraremos en las ecuaciones del tipo (1.1)

donde y = y(x) es cierta funci´n n veces derivable en alg´n intervalo I R. Diremos que o u una ecuaci´n diferencial del tipo (1.1) es de orden n si en ella aparece la derivada y (n) , es o decir el orden de una EDO coincide con el mayor orden de la derivada de la funci´n inc´gnita o o y y. As´ por ejemplo la ecuaci´n y + 3y = 2 es de orden uno, y + e − 1 = 0 es de orden dos, A±, o y (5) + 3 sen x − y = 0 es de orden cinco. Diremos que y = y(x) es una soluci´n de la (1.1) en cierto dominio A R si al sustituir o la funci´n y = y(x), (1.1) se transforma en una identidad para todo x A, o sea o y = y(x) es soluci´n en A o F (x, y(x), y (x), . . . , y (n) (x)) = 0, x A.

Nuestro principal objetivo es aprender a resolver EDOs. En particular el denominado problema de valores iniciales (PVI), esdecir encontrar aquella soluci´n y de la ecuaci´n o o (n) F (x, y, y , y , . . . , y ) = 0 que cumpla con las condiciones iniciales y(x0 ) = y0 , y (x0) = y0, , y (n−1) (x0) = y0
(n−1)

.

´ 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN

2

1.2.

La EDO lineal de primer orden
d y(x) + a(x)y(x) = b(x), dx

Definici´n 1.1 La ecuaci´n o o a(x), b(x)
CI . (1.2)

(como inc´gnita tenemos a la funci´n derivable y(x)) se denomina ecuaci´n diferencial lineal o o o de primer orden. Si b(x) ≡ 0 la ecuaci´n se denomina ecuaci´n homog´nea y si b(x) = 0, o o e ecuaci´n no homog´nea. o e La soluci´n general de (1.2) se expresa de la forma o y(x) = Ce−
a(x) dx

+ e−

a(x) dx

e

a(x) dx

b(x) dx

(1.3)

Ejemplo 1.2 Encontrar la soluci´n de la ecuaci´n lineal o o Tenemos y = Ce− 2 + e− 2
x2 x2

dy + x y = 2x. dx

e 2 2x dx = Ce− 2 + 2e− 2 e 2 = Ce− 2 + 2.

x2

x2

x2

x2

x2

Definici´n 1.3 El problema de encontrar una soluci´n de la ecuaci´n (1.2) con la condici´n o o o o que y(x) tome cierto valor y0 cuando x = x0 se denomina problema de valores iniciales PVI para la EDO lineal de primer orden, o sea, d y(x) + a(x)y(x) = b(x), dx a(x), b(x)
CI , y(x0) = y0.(1.4)

o Ejemplo 1.4 Resolver la EDO del ejemplo 1.2 con la condici´n inicial y(0) = 1. Como la soluci´n general es y(x) = Ce− 2 + 2, tenemos y(0) = 1 = C + 2, de donde C = −1 o
x2 x2

y y(x) = 2 − e− 2 .

Teorema 1.5 (existencia y unicidad de la soluci´n del PVI para una EDO lineal 1er orden) o Sea el problema de valores iniciales (1.4). Si a(x) y b(x) son funciones continuas en cierto intervalo I
R que contenga al punto x0 I, entonces, para cualquiera sea el valor y0 , existe una unica soluci´n del problema de valores iniciales (1.4). ´ o En general, la soluci´n del PVI es o
x t x t

y(x) = y0 exp −

x0

a(s) ds + exp −

a(s) ds
x0 x0

exp
x0

a(s) ds b(t) dt .

(1.5)

´ 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN

3

1.3.

Algunas aplicaciones de las EDOs lineales de primer orden

Ejemplo 1.6 Encontrar una familia de curvas y(x) tal que el segmento de la tangente t a la curva y en un punto cualquiera P (x, y) dibujado entre P y el eje 0y quede bisecado por el eje Ox. y = 2y/x Ejemplo 1.7 Encontrar una familia de curvas y(x) tal que la pendiente de la tangente t a la curva y en cada punto sea la suma de las coordenadas del punto. Encuentra adem´s la acurva que pasa por el origen. Ejemplo 1.8 Se sabe que la intensidad i del circuito el´ctrico representado en la figura 1 e est´ gobernada por la ecuaci´n diferencial a o L di + Ri = U, dt

donde L es la impedancia, R la resistencia y U el voltaje. Supongamos que el voltaje U es constante y que i(0) = i0. Encontrar la dependencia de i respecto al tiempo t. Realizar el mismo estudio si U = U0 sen(ωt).
y t y(x)

P(x,y)

R

0 (x/2,0) x

U

L

Q

Figura 1: Curva del ejemplo 1.6 (derecha) y circuito el´ctrico del ejemplo 1.8 (izquierda) e

Ejemplo 1.9 La ecuaci´n barom´trica de Pascal es la EDO o e p (h) = −λp(h), λ > 0,

donde p es la presi´n en funci´n de la altura h. Si h = 0, la presi´n al nivel del mar (1 atm). o o o sC´mo var´ la presi´n con la altura? o A±a o Ejemplo 1.10 La descomposici´n radioactiva o Si N es el n´mero de atomos de una substancia radioactiva, entonces u ´ N (t + h) − N (t) = −λN (t)h
N (t + h) − N (t) = −λN (t). h

´ 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN Sierra Grazalema (C´diz) a Picos de Europa (Cantabria) Sierra Nevada (Granada) Teide (tenerife) Everest (Himalaya) altura m´xima (metros) presi´n (atm) a o 1654 2648 3478 3710 8848 0.81 0.710.64 0.62 0.32

4

Si h → 0, entonces podemos aproximar la ecuaci´n anterior mediante la siguiente EDO o N (t) = −λN (t), N (t0) = N0. (1.6)

Se llama per´ A±odo de semi-desintegraci´n al tiempo necesario para disminuir en la mitad o el n´mero de atomos, u ´ N0 = N0 e−λT , 2 =
λ= log 2 0,693147 = . T T

Elemento Radio 226 → Plomo 214 Plomo 214 → Plomo 210 Plomo 210 → Polonio 210 Polonio 210 → Plomo 206 Carbono 14 → Nitr´geno 14 o Uranio 238 → Torio 234

Per´ A±odo T λ 1600 a˜os n 0.000433217 1/a˜os n 47 min 0.0147478 1/min 22 a˜os n 0.0315067 1/a˜os n 138 d´ A±as .00502281 1/dias 5568 a˜os n 0.000124488 1/a˜os n 9 −10 4,5110 a˜os 1,5101210 n 1/a˜os n

En muchos casos un elemento radioactivo puede obtenerse a partir de otros mediante una cadena radioactiva. E.g.

Uranio 238

Torio 234

Uranio 234

Radio 226

Plomo 206

Polonio 210

Plomo 210

Plomo 214

As´ por ejemplo, si estudiamos la cantidad de Plomo 210 que hay en una muestra tenemos A±, que tener en cuenta no s´lo la cantidad que se desintegra sino la que aporta cualquiera de los o elementos que aparecen por encima de ´l en la cadena radioactiva. Por ejemplo, pr´cticamente e a en cualquier muestra que tomemos siempre hay unadeterminada cantidad de Radio 226, lo que implica una aportaci´n a la cantidad de Plomo 210 despu´s de varias desintegraciones. o e Si llamamos a esa aportaci´n r(t), entonces la ecuaci´n que gobierna la desintegraci´n del o o o Plomo 210 es la siguiente N (t) = −λN (t) + r(t), N (t0) = N0, (1.7)

´ 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN

5

donde r(t) representa la cantidad de atomos de Radio que se desintegra en la muestra. La ´ soluci´n de la ecuaci´n anterior es f´cil de encontrar usando la f´rmula (1.5). o o a o

1.4.

Problemas

Problema 1.11 Decide si las funciones y(x) definidas expl´ A±citamente o impl´ A±citamente son soluciones de la EDO F (x, y, y) = 0 dada y determina la regi´n de R donde dicha soluci´n o o est´ definida: a 1. f (x, y) = y − ex + 2 = 0, 2. f (x, y) = y −
2 2+x

F (x, y, y ) = y − y = 0 F (x, y, y ) = xy + y − y 2 = 0 F (x, y, y ) = yy + x = 0 F (x, y, y ) = (y 2 − x)y − y + x2 = 0 F (x, y, y ) = yy + x = 0 F (x, y, y ) = (1 + x2)y − xy = 0 F (x, y, y ) = ex−y + ey−xy = 0 F (x, y, y ) = y + y/x = 0

= 0,

3. f (x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0, 4. f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy = 0, 5. f (x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0, √ 6. f (x, y) = 1 + x2 − y = 0, 7. f (x, y) =e2x + ey−x − 1 = 0, 8. f (x, y) = x2 + y 2 + 1 = 0, Problemas de EDOs lineales

Problema 1.12 Encuentra la soluci´n general de las siguientes EDO lineales de primer o orden 1. y + y cos x = 0 √ 2. y + y x = 0 3. y + 2xy = x 4. y + y = xex 5. y + x2y = x2 6. x y + y = x3 7. y = (y + e−x ) tan x 8. y + 2y = f (x), f (x) = 3e−2x , 9. y + xy = f (x), f (x) = 3/4e−2x , f (x) = sen x 10. x y + y cos x = 1/2 sin(2x) 11. x y + y = x sen x Problema 1.13 Encontrar la soluci´n general de las siguientes ecuaciones diferenciales y o la soluci´n correspondiente a las condiciones iniciales indicadas: o 1. y = 3y + e5x , 2. y = 6y + x2, y(1) = 0. y(0) = 2.

´ 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN 3. y = y + e−x sen(2x), y(0) = 1. 4. (1 + x2)y + 4xy = x, y(1) = 1/4. g(x) = 2, 0 ≤ t ≤ 1 0, t > 1

6

5. y + y = g(x), y(0) = 0,

Problema 1.14 Encontrar la ecuaci´n de la familia de curvas tal que el segmento de la o normal entre la curva y y el eje 0y es biseccionado por el eje 0x. Encontrar la curva que pasa por (4, 2). (sol. x2 + 2y 2 = 24).
y

0 (x/2,0) y(x) t P(x,y) Q x

n

Curva del problema 1.14. Problema 1.15 a) Prueba que cualquier soluci´n y(x) de la ecuaci´n o o y + ay = be−cx ,x→∞

a, c
(0, ∞),

b
R,

es tal que l´ y(x) = 0 independientemente del valor y(0) = y0 inicial. A±m b) Prueba que cualquier soluci´n y(x) de la ecuaci´n o o y + a(x)y = b(x),
x→∞

a(x) ≥ c > 0,

x R,

x→∞

l´ b(x) = 0, A±m

a(x), b(x)
CR ,

es tal que l´ y(x) = 0 independientemente del valor y(0) = y0 inicial. A±m


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

7

2.
2.1.

Otras EDOs de primer orden
Ecuaciones separables

Comenzaremos por las ecuaciones separables. Supongamos que la funci´n f (x, y) en la o EDO y = f (x, y) (2.1) admite la factorizaci´n f (x, y) = a(x)b(y). Cuando esto ocurre se dice que la EDO (2.1) es o una ecuaci´n separable. Un ejemplo trivial de ecuaci´n diferencial separable es la ecuaci´n o o o diferencial lineal homog´nea (1.2) cuando b ≡ 0. e En general tenemos dy = a(x)b(y) dx
dy = a(x)dx b(y) dy dy = b(y) a(x)dx,

luego la soluci´n de la ecuaci´n separable es o o G[y(x)] = A(x) + C, donde G(y) es una primitiva de 1/b(y) y A(x) es una primitiva de a(x). Ejemplo 2.1 Resolver la ecuaci´n y = x/y. o Usando lo anterior tenemos ydy = xdx
y 2 = x2 + C.

La expresi´n anterior define una familia de curvas en R2 √ son soluci´n de la ecuaci´n o que o o 2 ,donde el signo + o − o diferencial propuesta. En general la soluci´n es y(x) = ± C + x depender´ de las condiciones iniciales. Por ejemplo, si nos interesa el PVI con la condici´n a o √ 2. y(0) = 3, entonces C = 9 y la soluci´n ser´ y(x) = 9 + x o a 2.1.1. Aplicaciones

Ejemplo 2.2 Supongamos que tenemos una reacci´n qu´ o A±mica A + B → C y que en t = 0 la concentraci´n de A es a y la de B es b. Se sabe que la velocidad la velocidad de formaci´n o o de C es proporcional a la concentraci´n de A y B. Lo anterior nos conduce a la EDO o x = κ(a − x)(b − x), donde κ es la constante de proporcionalidad. Supongamos que a = b, entonces tenemos dx = κdt (a − x)(b − x) =
log a−x = (a − b)κt + C, b−x 1 − e(a−b)κt . b − ae(a−b)κt = a−x = Ce(a−b)κt , b−x x(0) = 0, (2.2)

como x(0) = 0, C = a/b, luego x(t) = ab

Ejemplo 2.3 La velocidad de escape de la Tierra


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

8

Nos interesa resolver el problema de encontrar la velocidad de escape al espacio exterior de un cuerpo que se encuentre en la superficie de la tierra. Si usamos la ley de Newton tenemos dv GMT =− 2 , dt r donde G es la constante universal gravitatoria y MT es la masa de la tierra. Como g = GMT /R2 , siendo R el radio dela tierra (que supondremos una esfera), tenemos GM T = gR2. Obviamente r varia con el tiempo por lo que la ecuaci´n anterior se torna algo complicada o a simple vista. Usando la regla de la cadena tenemos v gR2 dv =− 2 . dr r

La soluci´n de esta EDO usando el m´todo de separaci´n de variables es v 2 = 2gR2 /R + C. o e o Supongamos que v0 es la velocidad inicial del cuerpo sobre la superficie terrestre, entonces, la velocidad del cuerpo a cualquier distancia de la tierra viene dada por v2 = 2gR 2 + v0 − 2gR. r

Para que nuestra nave escape definitivamente de la tierra es suficiente que v ≥ 0 cuando √ r → ∞, lo cual nos conduce al valor v0 ≥ 2gR. Poniendo los datos R = 6400000 metros g = 9,8m/s2 obtenemos v0 = 11200m/s = 11,2Km/s. Ejemplo 2.4 La ca´ de un cuerpo en un medio viscoso se puede modelizar mediante la A±da ecuaci´n para la velocidad v(t) o v = g − κv r , v(0) = v0, (2.3)

donde g y κ son ciertas constantes (la gravedad y la viscosidad). o Resolvamos la ecuaci´n dv = dt g − κv r
v v0 v

=


t − t0 =

v0

dv 1 = g − κv r g

v v0

dv , 1 − ω2 vr

ω2 =

κ . g

Escojamos r = 2, por ejemplo. Entonces dv 1 (1 + ωv) (1 − ωv0 ) = log = g(t − t0 ). 2 vr 1−ω 2ω (1 − ωv) (1 + ωv0 )Despejando v tenemos la soluci´n o 1 v(t) = ω
1+ωv0 1−ωv0 1+ωv0 1−ωv0

e2gω(t−t0) − 1 e2gω(t−t0) + 1

,

ω=

κ > 0. g

Como ω > 0, entonces si t → ∞ el cuerpo s´lo podr´ alcanzar la velocidad l´ o a A±mite vmax = 1/ω independiente del valor v0 inicial. Ejercicio 2.5 Resolver el caso r = 3.


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN 2.1.2. El modelo de crecimiento de poblaciones

9

Imaginemos que tenemos una poblaci´n de cierta especie (consideraremos que tenemos o un n´mero bastante alto de individuos) y sea p(t) el n´mero de individuos de dicha especie en u u el momento t (evidentemente p(t)
N). Sea r(t, p) la diferencia entre en ´ A±ndice de natalidad y mortalidad de la poblaci´n. Supongamos que la poblaci´n est´ aislada (o sea, no hay o o a emigraci´n ni inmigraci´n). Entonces la variaci´n p(t + h) − p(t) es proporcional a p(t)h y o o o el coeficiente de proporcionalidad es r(t, p). Luego p(t + h) − p(t) = r(t, p)p(t)h, h → 0, = p (t) = r(t, p)p(t).

La ecuaci´n m´s sencilla posible se obtiene si consideramos r(t, p) = r, constante. As´ la o a A±, poblaci´n de individuos de la especie puede ser modelizada mediante el PVI o p (t) = r p(t), p(t0) = p0 , r > 0, (2.4)

cuya soluci´n p(t) = p0 er(t−t0). El modelo anterior se conoce como modelo de Malthus o o modelo maltusiano pues fu´ propuesto por el economista ingl´s Thomas R. Malthus (1766– e e 1834). Si r < 0 la especie esta condenada a la extinci´n y si r > 0 ´sta crece en proporci´n o e o geom´trica. e Aunque el modelo funciona razonablemente bien para poblaciones grandes, hay que hacer varias correcciones pues si p(t) empieza a crecer demasiado habr´ muchos otros factores como a la falta de espacio o de alimentos que frenar´ el crecimiento. Por tanto varios a˜os despu´s en a n e 1837 un matem´tico y bi´logo holand´s, P. F. Verhulst, propuso un modelo algo m´s realista a o e a conocido como el modelo log´ A±stico. Verhulst razon´ que como estad´ o A±sticamente el encuentro 2 de dos individuos es proporcional a p (spor qu´?) entonces tendremos que sustraerle al e t´rmino rp un t´rmino cp2 , de forma que la EDO que modeliza una poblaci´n ser´ e e o a p (t) = r p(t) − cp2 (t),
p r/c

p(t0) = p0,

r, c > 0.

(2.5)

En general c ha de ser mucho m´s peque˜o a n que r ya que si r no es muy grande la EDO (2.4) es una aproximaci´n bastante buena, pero si p o comienza a crecer demasiado entonces el t´rmie 2 no −cp no se puede obviar y terminafrenando el crecimiento exponencial. Resolviendo la EDO (2.5) tenemos p(t) = rp0er(t−t0) . r − cp0 + cp0 er(t−t0) (2.6)

Adem´s, l´ t→∞ p(t) = r/c independientemente a A±m de p0 . En el caso cuando 0 < p0 < r/c la evoFigura 2: Evoluci´n de la poblaci´n seg´n luci´n de la poblaci´n est´ representada en la o o u o o a el modelo log´ A±stico 2.5. gr´ï¬ca 2. a
0

t0

t

Este modelo se ha comprobado con varias especies y ha dado muy buenos resultados, en particular, el hecho de que la poblaci´n se o estabilice ha sido comprobado en distintos experimentos con paramecios obteni´ndose una e gran concordancia entre los resultados te´ricos y experimentales. o


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

10

2.2.

Problemas

Problema 2.6 Encuentra a ser posible todas las soluciones y(x) definidas expl´ A±citamente si se puede o impl´ A±citamente de las EDOs siguientes 1. (1 + x2)y = 1 + y 2 2. y = xy(y + 2) 3. y(1 + x2)y + x(1 + y 2 ) = 0 4. y = 1 − x + y 2 − xy 2 5. cotg(y)y = x2 + 2 6. (x log x)y + 1 + y2 = 0

7. cos(y)y + ex+1 tan y = 0 8. (xy + y)y + ey (x2 + 2x + 1) = 0 Problema 2.7 Encuentra las soluciones y(x) de los siguientes problemas de valores iniciales: 1. y = y(a + by), y(x0) = y0 > 0, a, b > 0. 2. (1 − x)y =(x + 1)y, y(0) = 0 3. yy + x − 3xy 2 = 0, y(2) = 1 4. cos(y)y = − x sen2y , y(1) = π/2 1+x 5. 3xy = y cos x, y(1) = 0 6. x2y − 1 = cos(2y), l´ x→∞ y(x) = 5π/4 A±m
2


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

11

2.3.
2.3.1.

Ecuaciones que se reducen a EDOs lineales o separables
Ecuaciones reducibles a EDOs lineales: Las EDOs de Bernoulli y Riccati

En 1695 Johann Bernoulli propuso la resoluci´n de la EDO o y + a(x)y = b(x)y n, n = 0, 1. (2.7)

La resolvi´ su hermano Jacob en 1696. Ese mismo a˜o Leibniz propuso el cambio z = y 1−n o n que transformaba la EDO (2.7) en una EDO lineal. En efecto, haciendo z = y 1−n , z = (1 − n)y −n y , =
z + (1 − n)a(x)z = (1 − n)b(x),

que es lineal y por tanto podemos usar la f´rmula (1.3) para resolverla. o Ejemplo 2.8 Resolver la EDO y − 1/(3x)y = y 4 log x. Esta ecuaci´n es una EDO de Bernoulli con n = 4. Hacemos el cambio z = y −3 , y tenemos o 4 y = −y y /3, y = y 4 z, luego la EDO se transforma en 1 z + z = −3 log x, x de donde obtenemos y= C 3 3 − − x log x + x x 2 4 =
z=− C 3 3 − x log x + x, x 2 4
−1/3

.

Pasemos a estudiar la EDO de Riccati. En 1724 Jacopo Francesco Riccati estudi´ la EDO o y + p(x)y + q(x)y 2 = f (x), (2.8)

que hab´ consideradoa˜os antes Jacob Bernoulli. La ecuaci´n anterior generalmente es A±a n o imposible de resolver anal´ A±ticamente (en cuadraturas) a no ser que se sepa una soluci´n o particular yp . Supongamos que yp es una soluci´n particular de (2.8), y hagamos el cambio o z = y − yp . Obtenemos z + [p(x) + 2q(x)]z + q(x)z 2 = 0, que es una ecuaci´n de Bernoulli la cual mediante el cambio w = 1/z podemos convertir en o una lineal. En general, dada una EDO de Riccati (2.8), mediante el cambio y = yp + 1/z, la podemos convertir en una EDO lineal. Veamos un ejemplo. Ejemplo 2.9 Resolver la EDO de Riccati y = y 2 − 2/x2. La forma de la EDO nos induce a buscar una soluci´n del tipo y = c/x. Sustituyendo en la o EDO descubrimos que las funciones y = 1/x e y = −2/x son soluciones particulares. Usemos la primera para resolver la EDO. Hacemos el cambio y = 1/x + 1/z, y =− 1 z − 2, 2 x z =
2 z + z = −1. x

La soluci´n la encontramos usando la f´rmula (1.3) que nos da o o x C z = − + 2, 3 x =
y= 3x2 1 + . x C − x3


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN 2.3.2. Ecuaciones del tipo y = F (αx + βy) y = F (αx + βy),

12

Sea la EDO (2.9) y hagamos el cambio z = αx + βy, entonces z = α + βy , luego (2.9) se transforma en la EDO separable dz= x + C. z = α + βF (z), =
α + βF (z) Ejemplo 2.10 Resolver la EDO y = y − x − 1 +
1 . x−y+2

Esta ecuaci´n puede ser escrita en la forma y = F (αx + βy) si hacemos z = y − x, entonces o F (z) = z − 1 + 1/(2 − z). Como z = y − 1 tenemos z = z−2− 1 , z−2 =
(z − 2)dz = x + C, (z − 2)2 − 1

luego la soluci´n en cuadraturas es o √ log |(z − 2)2 − 1| = x + C, =
(z − 2)2 − 1 = Cex , = z = 2 ± 1 + Cex , √ por tanto y = 2 + x ± 1 + Cex . N´tese que hemos dividido por (z − 2)2 − 1 por lo que o podemos haber perdido soluciones. En efecto, como (z − 2)2 − 1 = 0 se anula en z = 1 y 3, podemos perder las soluciones y = x + 1 e y = x + 3.

2.4.

Las EDOs homog´neas e

Un tipo especial de EDOs resolubles son las denominadas EDOs homog´neas. Una funci´n e o f (x, y) se denomina homog´nea de orden k si para todo x, y y para todo t
R, f (tx, ty) = e tk f (x, y). Adem´s, si f es homog´nea de orden 0, entonces f (tx, ty) = f (x, y). Sea f una a e funci´n homog´nea de orden 0. Sea y = u x. Entonces o e f (x, y) = f (x, ux) = x0f (1, u) = g(u) = g(y/x), o sea, toda funci´n homog´nea de orden 0 es una funci´n de y/x. o e o Supongamos que tenemos la EDO y = f (x, y) y f es una funci´n homog´nea de orden o e 0,entonces la EDO anterior se transforma en la EDO y = f (y/x). (2.10)

A la ecuaci´n y = f (y/x) anterior se le suele denominar EDO homog´nea. Si hacemos el o e cambio y = ux, entonces y = xu + u y la EDO (2.10) se transforma el la EDO separable xu + u = f (u), u = y/x,

que se puede resolver en cuadraturas ya que es una EDO separable du = log |x| + C. f (u) − u Ejemplo 2.11 Resolver la EDO y = (y + x2 − y 2 )/x.


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

13

Sea f (x, y) = (y + x2 − y 2 )/x, es f´cil comprobar que f (tx, ty) = f (x, y), as´ que hacemos a A± el cambio y = u x y obtenemos, si u = ±1, xu = de donde se deduce que arc sen u = log |x| + C
arc sen(y/x) = log |x| + C. √ 1 − u2 , = √ dx du = , x 1 − u2

Ahora bien, como hemos visto u = ±1, lo que puede hacernos perder las soluciones y = ±x. Sustituyendo y = ±1 en la EDO inicial comprobamos que y = x e y = −x son tambi´n dos e soluciones de la EDO original.

2.5.

Otras EDOs de primer orden: la EDO de Clairaut

La EDO y = xy + f (y ), f derivable y con primera derivada continua (2.11)

se denomina EDO de Clairaut en honor a Alexis Clairaut que las estudi´ en 1734. Vamos a o o intentar encontrar alguna soluci´n de la EDO Clairaut para locual derivamos (2.11) y = xy + y + f (y )y
[x + f (y)]y = 0,

de donde deducimos que o y = 0 o x + f (y ) = 0. La primera condici´n nos da una familia o de rectas y = mx + n. Lo curioso de esta EDO es que la envolvente1 de todas las rectas tambi´n es soluci´n. Para descubrir cuales son las rectas soluci´n basta notar que si y = c, e o o entonces la EDO nos da la ecuaci´n y = xc + f (c), c
R. Para encontrar la otra soluci´n o o usamos que x = −f (y ). Luego si hacemos y = t, siendo t un par´metro real tenemos la a siguiente soluci´n param´trica conocida com´nmente como soluci´n singular o e u o   x = −f (t), Ejemplo 2.12 Resolver la EDO y = xy + (y )2. Esta es una EDO de Clairaut con f (z) = z 2, luego las soluciones son las familias de rectas y = cx + c2 , y la soluci´n singular o   x = −2t
1



y = xt + f (t).

La envolvente de una familia de rectas (curvas en general) es una curva que es tangente a todas dichas rectas (curvas).



=


y = xt + t2

x t=− , 2

y=−

x2 . 4


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

14

2.6.

Ecuaciones exactas y factores integrantes

Sea
una EDO del tipo y = f (x, y). Est´ claro que si la EDO anterior la podemos a d reescribir en la forma dx (φ(x,y)) = 0, para cierta funci´n φ(x, y), entonces la soluci´n de la o o EDO ser´ φ(x, y) = C. a Nuestro objetivo en este apartado es estudiar cuando una EDO se puede escribir de la forma anterior. Por conveniencia reescribiremos la EDO y = f (x, y) en la forma equivalente N (x, y)y + M (x, y) = 0. (2.12)

La EDO (2.12) tendr´ una soluci´n en cuadraturas del tipo φ(x, y) = C si y s´lo si (2.12) a o o d es equivalente a la expresi´n dx (φ(x, y)) = 0, o lo que es lo mismo, φ(x, y) = C es una o d soluci´n de (2.12) si y s´lo si (2.12) se puede reescribir de la forma dx (φ(x, y)) = 0. o o Como 0= d ∂φ(x, y) ∂φ(x, y) ∂y ∂φ(x, y) ∂φ(x, y) (φ(x, y)) = + = + y, dx ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y

d entonces la EDO (2.12) se puede escribir de la forma dx (φ(x, y)) = 0 si y s´lo si, dadas dos o funciones M (x, y) y N (x, y) existe una funci´n φ(x, y) tal que o

∂φ(x, y) = M (x, y), ∂x

∂φ(x, y) = N (x, y). ∂y

(2.13)

d Por ejemplo, la EDO x + yy = 0 se puede escribir en la forma dx [x2 + y 2 ] = 0 y la EDO d 2x − exp(x + y) + [2y + exp(x + y)]y = 0 se puede escribir como dx [x2 + y 2 − exp(x + y)] = 0. En general no es trivial deducir si una EDO del tipo (2.12) se puede expresar de la forma d (φ(x, y)) = 0. Por ejemplo, noes f´cil intuir que la EDO a dx

y 3 + yey cos(xy) − se puede escribir como

3 + [3xy 2 + ey sen(xy) + xey cos(xy)]y = 0 x2

3 d xy 3 + ey sen(xy) + = 0. dx x Obviamente no cualquier EDO del tipo (2.12) se puede escribir de la forma 0, por ejemplo, la EDO lineal (1.2) y + [a(x)y − b(x)] = 0. As´ surge la pregunta scu´ndo la EDO (2.12) se puede escribir de la forma A± a y por tanto su soluci´n es φ(x, y) = C?. La respuesta la da el siguiente o
d (φ(x, y)) dx

=

d (φ(x, y)) dx

= 0,

Teorema 2.13 Sean M (x, y) y N (x, y) dos funciones tales que existan todas las derivadas parciales ∂M , ∂N , ∂M y ∂N y sean funciones continuas en cierto dominio2 a„¦
R2 . Entonces, ∂x ∂x ∂y ∂y para que exista una funci´n φ(x, y) tal que se cumpla la condici´n (2.13) o o ∂φ(x, y) = M (x, y), ∂x es necesario y suficiente que ∂N (x, y) ∂M (x, y) = , ∂x ∂y
2

∂φ(x, y) = N (x, y), ∂y

(x, y) a„¦.

(2.14)

Por dominio entenderemos un conjunto abierto de R2 y convexo, o sea, sin agujeros.


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

15

Definici´n 2.14 Una EDO del tipo (2.12) se llama exacta si N y M son funciones tales o (x,y) (x,y) que ∂N∂x = ∂M∂y . Corolario 2.15 Para que la EDO (2.12) sea exacta es necesario ysuficiente que se cumpla la condici´n (2.14) en cierto dominio a„¦
R2. Adem´s, toda EDO exacta tiene una soluci´n o a o en cuadraturas en a„¦, es decir existe una funci´n φ(x, y) tal que φ(x, y) = C, define la o soluci´n de (2.12) en a„¦. o Ejemplo 2.16 Decidir si la EDO (2x + y − sen x) + (3y 2 + cos y + x)y = 0, es exacta, y encontrar su soluci´n. o
(x,y) (x,y) En este caso M (x, y) = 2x + y − sen x y N (x, y) = 3y 2 + cos y + x, luego ∂M∂y = 1 = ∂N∂x , luego seg´n el corolario 2.15 es exacta. Vamos a resolverla. Como la EDO es exacta entonces u existe φ(x, y) tal que se cumple (2.13), o sea,

∂φ(x, y) = 2x + y − sen x, ∂x De la primera deducimos

∂φ(x, y) = 3y 2 + cos y + x. ∂y

φ(x, y) = x2 + xy + cos x + h(y). Para calcular h(y) usamos que φ(x, y) = C, luego ∂φ(x, y) = x+h (y) = 3y 2 +cos y +x, ∂y =
h (y) = 3y 2 +cos y, = h(y) = y 3 +sen y,

y la soluci´n, en cuadraturas, es φ(x, y) = x2 + xy + cos x + y 3 + sen y = C. o Obviamente pod´ A±amos haber comenzado por la segunda ecuaci´n o entonces φ(x, y) = y 3 + sen y + xy + g(x), pero ∂φ(x, y) = y + g (x) = 2x + y − sen x, ∂x as´ φ(x, y) = y 3 + sen y + xy + x2 + cos x = C. A± =
g(x) = x2 + cos x,
∂φ(x,y) ∂y

= 3y 2 +cos y +x,

Ejemplo 2.17 Comprobarsi la EDO lineal (1.2) es exacta. En este caso y + [a(x)y − b(x)] = 0, luego M (x, y) = a(x)y − b(x) y N (x, y) = 1, luego (x,y) ∂M (x,y) = ∂N∂x , as´ que no es exacta. sQu´ hacer en este caso? A± e ∂y Definici´n 2.18 Una EDO del tipo (2.12) es inexacta (o no es exacta) si o
∂M (x,y) ∂y

=

∂N (x,y) . ∂x


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN 2.6.1. Factores integrantes

16

Definici´n 2.19 En general, dada la EDO (2.12), se dice que ρ(x, y) ≡ 0 es un factor o integrante de (2.12) si la EDO ρ(x, y)M (x, y) + ρ(x, y)N (x, y)y es exacta. Ahora bien, una EDO es exacta si y s´lo si se tiene la condici´n (2.14), luego ρ(x, y) ha o o de satisfacer la ecuaci´n o ∂ρ(x, y)M (x, y) ∂ρ(x, y)N (x, y) = ∂y ∂x si y s´lo si o M (x, y) ∂ρ(x, y) ∂M (x, y) ∂ρ(x, y) ∂N (x, y) + ρ(x, y) = N (x, y) + ρ(x, y) . ∂y ∂y ∂x ∂x (2.15)

Es decir, una ecuaci´n inexacta tiene un factor integrante ρ(x, y) si y s´lo si ρ(x, y) cumple o o o con la condici´n (2.15). Por ejemplo consideremos la EDO x2 sen y + xey y = 0. Obviamente no es exacta. Entonces, para que admita un factor integrante ρ(x, y) ´ste debe satisfacer la ecuaci´n e o x2 sen y ∂ρ(x, y) ∂ρ(x, y) + ρ(x, y)x2 cos y = xey + ρ(x, y)ey , ∂y ∂x

la cual es no trivial deresolver. De hecho en la mayor´ de los casos la ecuaci´n (2.15) es A±a o m´s complicada de resolver que la EDO original, por tanto el uso de ´sta estar´ restringido a a e a aquellos casos en los que (2.15) es f´cilmente resoluble. Veamos a continuaci´n dos de ellos: a o 1. cuando la funci´n ρ es una funci´n que s´lo depende de x o sea, ρ = ρ(x) o o o 2. cuando la funci´n ρ es una funci´n que s´lo depende de y, o sea, ρ = ρ(y). o o o En el primer caso (2.15) nos da ρ(x) luego ∂M (x, y) ∂N (x, y) − 1 dρ(x) ∂y ∂x = = R(x, y). ρ(x) dx N (x, y) La expresi´n anterior es sencilla de resolver si la funci´n R(x, y) de la derecha es una funci´n o o o s´lo de x, en cuyo caso ρ(x) = exp( R(x)dx). o En el segundo caso tenemos M (x, y) luego ∂N (x, y) ∂M (x, y) − 1 dρ(y) ∂x ∂y = = S(x, y). ρ(y) dy M (x, y) La expresi´n anterior es sencilla de resolver si la funci´n S(x, y) de la derecha es una funci´n o o o s´lo de y, en cuyo caso ρ(y) = exp( S(y)dy). o ∂M (x, y) ∂N (x, y) ∂ρ(y) + ρ(y) = ρ(y) , ∂y ∂y ∂x ∂ρ(x) ∂N (x, y) ∂M (x, y) = N (x, y) + ρ(x) , ∂y ∂x ∂x


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 2.20 Resolver la EDO (x2 − sen2 y) + x sen(2y)y = 0. ∂M (x, y) ∂N (x, y) − = −2 sen(2y), ∂y ∂x =
∂M (x, y) ∂N (x, y) − ∂y ∂x /N (x,y) = −

17

ρ 2 = , x ρ

luego ρ(x) = 1/x2. Multiplicando la EDO por 1/x2 obtenemos la EDO exacta sen2 y 1− x2 as´ A± y ∂φ(x, y) sen(2y) sen(2y) = + h (y) = N (x, y) = , ∂y x x y la soluci´n es, por tanto, φ(x, y) = x + o Ejemplo 2.21 Resuelve la EDO (x3/y + 5xy)y + (x2 + y 2 ) = 0. Tenemos ∂M (x, y) ∂N (x, y) 3 − = (x2 + y 2 ), ∂y ∂x y =
3 ρ ∂N (x, y) ∂M (x, y) /M (x, y) = = , − ∂y ∂x x ρ
sen2 y x

+

sen(2y) x

y = 0, sen2 y + h(y), x

∂φ(x, y) sen2 y =1− , ∂x x2

=


φ(x, y) = x +

=


h (y) = 0,

=


h(y) = C,

= C.

luego ρ(y) = y 3 . Multiplicando la EDO por y 3 obtenemos la EDO exacta (x3y 2 + 5xy 4)y + (x2y 3 + y 5 ) = 0. Usando el m´todo descrito tenemos e ∂φ(x, y) = x2 y 3 + y 5 , ∂x y ∂φ(x, y) = x3y 2 + 5xy 4 = N (x, y) = x3y 2 + 5xy 4 , ∂y =
h (x) = 0, = h(x) = C, = φ(x, y) = x3 y 3 + xy 5 + h(x), 3

1 y la soluci´n es, por tanto, φ(x, y) = 3 x3y 3 + xy 5 = C. o


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

18

2.7.
2.7.1.

Aproximaciones num´ricas: el m´todo de Euler e e
El m´todo de Euler e

Como ya hemos visto son pocas las EDOs que se pueden resolver anal´ A±ticamente, es por ello que se necesita de m´todos fiables para obtener la soluci´n de una EDOnum´ricamente. e o e Supongamos que queremos resolver el problema de valores iniciales d y(x) = f (x, y), dx y(x0 ) = y0 . (2.16)

Obviamente usando un ordenador s´lo podremos resolver el problema en un intervao lo acotado, digamos [x0 , x0 + l]. Para ello vamos a dividir el intervalo en N subintervalos [x0 , x1]
[x1 , x2 ] [xN −1 , xN ], xN = x0 + l. Supongamos que hemos encontrado los valores de y en los puntos x0 , x1, . . . , xN , que denotaremos por y0 , y1 , . . . , yN . Entonces, para encontrar una soluci´n aproximada y(x) podemos unir los puntos (x i , yi ), i = 0, 1, . . . , N o mediante l´ A±neas rectas (ver figura 3). Es evidente que si el valor yi es bastante cercano al valor real y(xi ) para todos los i = 0, 1, . . . , N , entonces, al ser y e y funciones continuas, la soluci´n aproximada y(x) estar´ “muy cercana” a la soluci´n real y(x) en cada uno de los o a o intervalos [xi , xi+1 ].
y ^ y(x) y(x)

x

x0

x1

x2

xk

Figura 3: Construcci´n de un esquema num´rico. o e Vamos a usar por simplicidad intervalos iguales, es decir, vamos a escoger los nodos xi equidistantes. Lo anterior se conoce en la teor´ de m´todos num´ricos como una red A±a e e equiespaciada o uniforme de paso h= l/N . As´ pues tendremos las siguientes ecuaciones A± l xk = x0 + kh = x0 + k N , k = 0, 1, . . . , N , xk+1 = xk + h. Obviamente la unica informaci´n ´ o que tenemos para calcular los valores yi es la EDO que satisface nuestra inc´gnita y(x). o sC´mo encontrar entonces los valores yi ? La idea es como sigue: o 1. Usando la EDO y la condici´n inicial calculamos el valor de y1 en el punto x1 = x0 + h o 2. A continuaci´n usando el valor y1 calculamos el valor aproximado y2 de y(x) en x2 , y o as´ sucesivamente. A± 3. Conocido el valor yk encontramos el valor yk+1 de y(x) en xk+1 . Para resolver nuestro problema de encontrar en valor de y(xk+1 ) conocido el valor de y(xk ) usamos el teorema de Taylor y(xk+1 ) = y(xk + h) = y(xk ) + y (xk )h + y (xk ) 2 h + ···. 2! (2.17)


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN Pero y (xk ) = f (xk , y(xk )), adem´s, a y (xk ) = = d dx dy dx =
x=xk

19

d (f (x, y(x))) dx

=
x=xk

∂f (x, y) ∂f (x, y) ∂y + ∂x ∂y ∂x

(x,y)=(xk ,y(xk )

∂f (x, y) ∂f (x, y) + f (x, y) ∂x ∂y

.
(x,y)=(xk,y(xk )

Luego, (2.17) nos da y(xk+1 ) = y(xk ) + hf (xk, y(xk )) + ∂f ∂f h2 (xk , y(xk )) + f (xk , y(xk )) (xk , y(xk )) + ···. ∂x ∂y 2!

La aproximaci´n m´s sencilla es por tantocuando nos quedamos en la serie anterior con o a el t´rmino de primer orden, o sea, cuando tenemos el esquema n´merico e u y1 = y0 + hf (x0, y0 ), y2 = y1 + hf (x1, y1 ), , yk+1 = yk + hf (xk , yk ), (2.18)

donde obviamente y0 = y(x0 ). El esquema anterior se conoce por el nombre de esquema o m´todo de Euler y constituye e el m´todo m´s sencillo para resolver n´mericamente una EDO de primer orden. N´tese que e a u o dicho esquema necesita en cada paso del valor y(xk ), por tanto cuanto m´s cercano sea el a valor yk calculado del y(xk ) real m´s preciso ser´ el m´todo. Obviamente en cada paso arrasa a e tramos el error del c´culo del paso anterior. En efecto, para calcular y1 usamos el valor real a y0 pero cuando calculamos y2 , sustituimos el valor exacto y(x1) desconocido por su valor aproximado y1, para calcular y3 sustituimos el valor y(x2) por su valor aproximado y2 , y as´ sucesivamente. A± Veamos algunos ejemplos. Comenzaremos con una ecuaci´n que sepamos resolver exactamente. Por ejemplo, estuo diemos el problema de valores iniciales y + y = x, y(0) = 1, x
[0, 1],

cuya soluci´n exacta es y(x) = 2e−x − 1 + x. Escogeremos una discretizaci´n equidistante o o con paso h = 1/20 (20 subintervalosiguales). Los resultado est´n escritos en la tabla 1 o a dibujados en la gr´ï¬ca 4 (izquierda). a
0.2 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.4 0.6 0.8 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 4: Soluci´n num´rica (•) y exacta (l´ o e A±nea clara) de y + y = x, y(0) = 1 para N = 20 (izquierda) y N = 40 (derecha)


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN
k 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. xk 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1. y(xk ) 1. 0.95 0.905 0.86475 0.829012 0.797562 0.770184 0.746675 0.726841 0.710499 0.697474 0.6876 0.68072 0.676684 0.67535 0.676582 0.680253 0.686241 0.694429 0.704707 0.716972 y(xk ) 1. 0.952459 0.909675 0.871416 0.837462 0.807602 0.781636 0.759376 0.74064 0.725256 0.713061 0.7039 0.697623 0.694092 0.693171 0.694733 0.698658 0.70483 0.713139 0.723482 0.735759 y(xk ) − y(xk ) 0 -0.00245885 -0.00467484 -0.00666595 -0.00844901 -0.0100397 -0.0114527 -0.0127016 -0.0137992 -0.0147575 -0.0155874 -0.0162994 -0.0169031 -0.0174074 -0.0178206 -0.0181506 -0.0184046 -0.0185892 -0.0187107 -0.0187748 -0.018787

20

Tabla 1: Soluci´n n´merica de la ecuaci´n y + y = x, y(0) = 1 con N = 20. o u o Comparemosahora la soluci´n n´merica con la exacta (ver figura 4). Para ello primero o u resolvemos la ecuaci´n exactamente y(x) = x − 1 + 2e−x . o Si hacemos un simple cambio como aumentar en n´mero de subintervalos hasta 40 (el u doble) vemos que la precisi´n mejora notablemente. Los resultados se pueden apreciar en la o gr´ï¬ca 4 (derecha). a Consideremos ahora el problema y − 1 − y 2 = 0,
40

y(0) = 0,

x ≥ 0.

60 40

30 20 20 0.5 10 -20 -40 0.5 1 1.5 2 1 1.5 2

Figura 5: Soluciones num´ricas de y − 1 − y 2 = 0, y(0) = 0, x
[0, 2] (izquierda) y e comparaci´n con la soluci´n exacta (derecha). o o Si usamos un esquema de 20 puntos en el intervalo [0, 1] tenemos la soluci´n representada o en la gr´ï¬ca 5(izquierda). Adem´s, como la soluci´n exacta de esa ecuaci´n es y(x) = tan x, a a o o podemos ver en la gr´ï¬ca 5 derecha que pr´cticamente coinciden. sQu´ ocurre si aumentamos a a e el intervalo hasta llegar a x = 2?. Si repetimos los c´lculos con 40 puntos (para que el h sea el mismo) pero tomando l = 2 a obtenemos los resultados que est´n representados en la gr´ï¬ca 5 (derecha). a a La principal raz´n de la divergencia consiste en que la soluci´n tan x no est´ definida en o o a x = π/2. Una pregunta naturales, por tanto, sc´mo decidir a priori si el m´todo de Euler o e nos est´ dando la souci´n correcta? y sen qu´ intervalo podemos asegurar que y es una buena a o e aproximaci´n de y? Eso nos conduce una vez m´s a preguntarnos condiciones suficientes que o a nos garanticen la existencia y unicidad de las soluciones de una EDO.


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN 2.7.2. El m´todo de Euler mejorado e

21

El m´todo de Euler es el m´s sencillo pero tiene un problema, es un m´todo de orden e a e uno, o sea, es “poco preciso”. sC´mo mejorarlo? o Una posibilidad es truncar la serie de Taylor (2.17) en el tercer orden, de forma que tengamos yk+1 = yk + hf (xk , yk ) + h2 ∂f ∂f (xk , yk ) + f (xk , yk ) (xk , yk ) , ∂x ∂y 2 y0 = y(x0 ).

La ecuaci´n anterior se conoce como el m´todo de la serie de Taylor de tres t´rminos y o e e aunque es m´s preciso que el de Euler (se puede probar que es un m´todo de orden 2), es a e algo inc´modo sobre todo si f es una funci´n algo “complicada”. Por ello se suele usar una o o modificaci´n del mismo. o Para ello escribamos la EDO original y = f (x, y) en el intervalo xk , xk + h en su forma integral
xk +h

y(xk+1 ) = y(xk ) +
xk

f (x, y(x))dx.

(2.19)

Para resolver esteproblema aproximamos la integral mediante un rect´ngulo de altura a f (xk , yk ) (ver figura 6 izquierda)
xk +h xk

f (x, y(x))dx ≈ hf (xk, yk ),

lo que nos conduce nuevamente al esquema de euler (2.18)
f(x,y(x))

y

k

xk

Figura 6: Regla del rect´ngulo (izquierda) y del trapecio (derecha) para aproximar una a integral Esta aproximaci´n es muy burda. Una mejor aproximaci´n es usar la regla de los trapecios o o (ver figura 6 derecha) para aproximar la integral, es decir
xk +h xk

f (x, y(x))dx ≈

de donde se deduce el esquema impl´ A±cito h [f (xk , yk ) + f (xk+1, yk+1 )] , k = 0, 1, . . . , N, y0 = y(x0 ). 2 Obviamente este esquema es muy inc´modo pues hay que resolver la ecuaci´n impl´ o o A±cita para hallar yk+1 . Una forma de obviar esta dificultad es usar la predicci´n que da el m´todo de o e Euler yk+1 = yk + hf (xk , yk ), de esta forma obtenemos el m´todo de Euler mejorado e yk+1 = yk + yk+1 = yk + h [f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk + hf (xk , yk ))] , 2 k = 0, 1, . . . , N, y0 = y(x0 ). (2.20)

¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢ ¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t ¢   t t t t t t t t t t t t t t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t t t t t t t t t t t t t t¢  ¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t t t t t t t t t t t t t t ¢ ¢ ¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢  t t t t t t t t t t t t t  ¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢  t t t t t t t t t t t t t ttttttttttttt ¢ 
y
k

x k+1

h [f (xk, yk ) + f (xk+1 , yk+1 )] , 2


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN Veamos algunos ejemplos. Comenzaremos con la misma primera ecuaci´n de antes o y + y = x, y(0) = 1, x
[0, 1],

22

cuya soluci´n exacta es y(x) = 2e−x − 1 + x. Escogeremos una discretizaci´n equidistante con o o paso h = 1/20 (20 subintervalos iguales). Los resultados los vemos en la gr´ï¬ca 7 izquierda) a
k 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. xk 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1. y(xk ) 1. 0.95125 0.907314 0.867958 0.832957 0.8021 0.775186 0.75202 0.732422 0.716216 0.703238 0.69333 0.686343 0.682134 0.680567 0.681515 0.684853 0.690467 0.698244 0.708079 0.719873 y(xk ) 1. 0.952459 0.909675 0.871416 0.837462 0.807602 0.781636 0.759376 0.74064 0.725256 0.713061 0.7039 0.697623 0.694092 0.693171 0.694733 0.698658 0.70483 0.713139 0.723482 0.735759 y(xk ) − y(xk ) 0 -0.00120885 -0.00236077 -0.00345845 -0.00450443 -0.00550115 -0.00645092 -0.00735595 -0.00821835 -0.00904012 -0.00982318 -0.0105693-0.0112803 -0.0119578 -0.0126034 -0.0132186 -0.0138047 -0.0143632 -0.0148955 -0.0154026 -0.0158858

Tabla 2: Soluci´n n´merica de la ecuaci´n y + y = x, y(0) = 1 con N = 20 usando el m´todo o u o e de Euler mejorado.

0.2 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75

0.4

0.6

0.8

1

0.0175 0.015 0.0125 0.01 0.0075 0.005 0.0025

0.7 5 10 15 20

Figura 7: Comparaci´n gr´ï¬ca de la soluci´n num´rica y exacta de y + y = x, y(0) = 1 para o a o e N = 20 (izquierda) usando los m´todos de Euler y Euler mejorado. A la derecha vemos la e comparaci´n de los errores del del m´todo de Euler (c´ o e A±rculos obscuros) con los del m´todo e de Euler mejorado (c´ A±rculos claros)


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

23

2.8.

Problemas

Problemas de EDOs de Bernoulli y Riccati Problema 2.22 Resolver las EDOs de Bernoulli 1. y + y = xy 3 , 2. xy + y = y 2 log x, 3. y + 2y = ex y 2 , 4. 4y 3 y + 4xy 4 = 4x, 5. (1 − x3)y − 2(1 + x)y = y 5/2 , 6. xy − y = xk y n , n = 1, n + k = n, 7. x3 sen yy +2y = x (resolverla respecto a x y no a y, para ello usar que y (x) = dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/x (y)). Problema 2.23 Resolver las EDOs de Riccati 1. y = x3 + 2y/x − y 2 /x, yp = −x2, 2. y = 1 + y/x + (y/x)2, yp = x, 3. 3y + y 2 + 2/x2 = 0, 4. y +2yex − y 2 = e2x + ex , 5. y − 2xy + y 2 = 5 − x2. Problemas de EDOs reducibles a EDOs lineales o separables Problema 2.24 Supongamos que tenemos la EDO y = f (y/x). Prueba que esta ecuaci´n o es equivalente a la EDO separable xv + v = f (v), v = y/x.

A la ecuaci´n y = f (y/x) se le suele denominar EDO homog´nea. Resuelve las siguientes o e EDOs 1. y = 2(y/x) + (y/x)2 √ 2. (x − x y)y = y 3. y = y/x + tan(y/x), 4. (x + y + 2)y = 3x − y − 6, 5. (4x − 3y − 6)y + x − 2y + 1 = 0, 6. (2x + 4y + 3)y + 2 + 2y + 3 = 0. 7. y = (ax + by)/(cx + ey). Considerar los casos ae = cb y ab = cd. Como caso particular resolver la EDO y = (x + y)/(x − y).


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

24

8. Resolver la EDO y = (ax + by + m)/(cx + ey + n). Para ello prueba que existe un cambio de variable y = Ay + B y x = Cx + D que transforma la EDO en la EDO del apartado anterior y = (ax + by)/(cx + ey). Como caso particular resolver la EDO y = (x + y + 1)/(x − y + 2). Problema 2.25 Resolver las EDOs del tipo y = F (ax + by) √ 1. y = x + y − 1, 2. y = (x − y + 5)2, 3. y = 2(y − x) + (y − x)2, 4. y = sen(x − y). Problema 2.26 Haciendo un cambio de variables o derivando transforma las siguientes e EDOs en EDOs lineales y resu´lvelas.1. (x2 − 2y + 1)y = x, 2. x(ey − y ) = 2, 3. y(x) = x + 1 +
0 x x x

y(t)dt, y(t)dt.
0

4.
0

(x − t)y(t)dt = 2x +

Problemas de EDOs exactas y factores integrantes Problema 2.27 Decide si las siguientes ecuaciones ecuaciones son exactas y resu´lvelas. e En caso de que no lo sean, encuentra, a ser posible, un factor integrante. 1. (3y 2 + 2xy + 2x) + (6xy + x2 + 3)y = 0, 2. 2x(1 + x2 − y) − x2 − yy = 0,

3. (x2 + y 2 − a)x + (y 2 + x2 + a)yy = 0, 4. 2xy + (x2 − y 2 )y = 0, 5. e−y − (2y + xe−y )y = 0, 6. y/x + (y 3 + log x)y = 0, 7. 3x2(1 + log y) − (2y − x3/y)y = 0, 8. (x2 + y 2 + x) + yy = 0, Problema 2.28 Resuelve los siguientes problemas de valores iniciales 1. 2xy 3 + 3x2y 2 y = 0, y(1) = 1, 2. 3x2 + 4xy + 2(y + x2)y = 0, y(0) = 1, 3. 3xt + y 2 + (x2 + xy)y = 0, y(2) = 1, 4. xy − y − y 2 = 0, y(2) = 1,


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN Problemas de EDOs de Clairaut Problema 2.29 Resolver las EDOs de Clairaut 1. (y )2 + x3y − 2x2y = 0, 2. y = xy + (y )n, n = 0, 1, 3. y = xy + log(y ), 4. y = xy + 1 + (y )2 ,

25

5. y = xy − ey . Problemas del m´todo de Euler e Problema 2.30 Encuentra las soluciones y(x) de los siguientes problemas de valores iniciales usando el m´todo de Euler y el deEuler mejorado. e 1. y = ex y, y(2) = 1, 2. y = ex y −2 , y(0) = 1, √ 3. y = 1 + sen x(1 + y 2 ), y(0) = 1, 4. y = k(a − y)(b − y), a, b, k > 0, y(0) = 0, (toma distintos valores de a, b y k, 5. z − 2xz = 2, z(0) = 1, 6. y + sen(x)y − cos(x)y 3 = 1 + x2, y(0) = 1, 7. y + 2ey = x2 + y 2 , y(0) = 0.
2 2


3 SISTEMAS DE EDOS

26

3.

Sistemas de EDOs

Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (SEDO) es un sistema de la forma   y1 (x) = f1(x, y1 , y2 , . . . , yn ),    y (x) = f2(x, y1 , y2 , . . . , yn ), 2 (3.1) . .  .    y (x) = f (x, y , y , . . . , y ), n 1 2 n n donde y1 ,. . . yn son funciones de x desconocidas y f1, . . . fn son ciertas funciones conocidas. Por comodidad vamos a usar la forma vectorial del sistema anterior, o sea, vamos a denotar por Y , Y y F son los vectores       y1 (x) y1 (x) f1(x, y1 , y2 , . . . , yn )  y2 (x)   y (x)   f2(x, y1 , y2 , . . . , yn )     2    Y (x) =  .  , Y (x) =  .  , F (x, Y ) =  , . .  .  .  .  .   . yn (x) yn (x) fn (x, y1, y2 , . . . , yn ) es decir la derivada de un vector Y la definiremos como el vector que tiene como componentes las derivadas de cada una de las componentes del vectororiginal. Usando lo anterior podemos reescribir (3.1) en la forma vectorial d Y (x) = Y (x) = F (x, Y ). dx

(3.2)

Evidentemente que el caso n = 1 recuperamos las EDOs de primer orden estudiadas en el cap´ A±tulo anterior. Est´ claro que si el estudio de una EDO de primer orden era “bastante” a complicado, un sistema de ´stas es mucho m´s complejo, as´ que nos restringiremos al estudio e a A± de los SEDOs lineales, es decir cuando fk , k = 1, . . . , n es una funci´n lineal de la forma o
n

fk (x, y1, y2 , . . . , yn ) =
j=1

akj (x)yj (x) + bk (x),

k = 1, . . . , n,

lo que nos conduce a los sistemas lineales   y1 (x) = a11 (x)y1(x) + a12 (x)y2(x) + · · · + a1n(x)yn(x) + b1 (x),    y (x) = a21 (x)y1(x) + a22 (x)y2(x) + · · · + a2n(x)yn(x) + b2 (x), 2 , . .  .    y (x) = a (x)y (x) + a (x)y (x) + · · · + a (x)y (x) + b (x). n1 1 n2 2 nn n n n El sistema anterior se puede escribir en forma matricial Y (x) = A(x)Y (x) + B(x), donde   A(x) =     a11(x) a12(x) a13(x) · · · a1n (x) a21(x) a22(x) a23(x) · · · a2n (x)   , . . . . . . . .  . . . . an1(x) an2 (x) an3(x) · · · ann (x)   B(x) =    b1 (x) b2 (x) . . . bn (x)    , 

(3.3)

(3.4)

Cuando B(x) = 0, o seacuando todas las componentes del vector B son cero, diremos que SEDO es homog´neo, y si al menos una componente de B es no nula, no homog´neo. e e


3 SISTEMAS DE EDOS

27

3.1.

La ecuaci´n lineal Y = A(x)Y + B(x) o

Comenzaremos enunciando un teorema que demostraremos al final de este cap´ A±tulo. Teorema 3.1 Sean A(x)
Rn×n y B(x) Rn una matriz un un vector cuyos elementos son funciones continuas en R. Entonces el PVI, Y = A(x)Y + B(x), Y (x0) = Y0 tiene una unica soluci´n cualquiera sean las condiciones iniciales Y0 escogidas. ´ o Comenzaremos estudiando el sistema hom´geneo, o sea cuando B(x) = 0 o Y (x) = A(x)Y (x), Teorema 3.2 Sea A(x) Rn×n . Si Y1 e Y2 son soluciones del sistema Y = A(x)Y , entonces cualquiera de sus combinaciones lineales son tambi´n soluci´n. e o Teorema 3.3 Sean Y1 (x), . . . , Yk (x) soluciones del sistema Y = A(x)Y . Para que los vectores (funciones) Y1 (x), . . . , Yk (x) sean linealmente dependientes para todo x R es necesario y suficiente que lo sean para alg´n t R. u Corolario 3.4 Para que las soluciones Y1 (x), . . . , Yk (x) del PVI, Y = A(x)Y , Yi (x0) = Y0,i , i = 1, . . . , k sean linealmente independientes es suficiente que las condiciones iniciales, osea los vectores, Y0,1 , . . . Y0,k sean linealmente independientes. A(x) Rn×n y continua en R. (3.5)

El corolario anterior se puede parafrasear de la siguiente forma: conjuntos de condiciones linealmente independientes generan soluciones linealmente independientes y conjuntos de condiciones linealmente dependientes generan soluciones linealmente dependientes. Nota 3.5 Es importante destacar que el resultado que hemos probado en relaci´n con la o dependencia lineal s´lo es cierto para vectores soluci´n de un SEDO lineal lo cual queda de o o manifiesto en el siguiente ejemplo. Los vectores (funciones) x x y x2 x2 ,

son vectores linealmente independientes (lo son los polinomios x y x2) ya que es imposible obtener una de otro al multiplicar por constantes, no obstante, para x = x0, obviamente son dependientes pues x0 x2 0 . = x0 2 x0 x0 Teorema 3.6 Sea A(x)
Rn×n . Entonces, el conjunto de todas las soluciones del sistema homog´neo Y = A(x)Y es un espacio vectorial de dimensi´n n. e o Corolario 3.7 Si Y1 (x), . . . , Yn (x) son soluciones linealmente independientes del sistema o ´ Y = A(x)Y , entonces toda soluci´n de Y = A(x)Y se puede expresar como una unica combinaci´n lineal de dichas soluciones. Osea, existen unos unicos coeficientes c1 , . . . cn o ´ tales que Y (x) = c1 Y1 (x) + c2 Y2 (x) + · · · + ck Yn (x).

En particular, la soluci´n del PVI, Y = A(x)Y , Y (x0) = Y0 se expresa de manera unica o ´ o e como una combinaci´n lineal de las soluciones del sistema homog´neo correspondiente. Nota 3.8 Juntando los teoremas 3.3 y 3.6 tenemos un criterio para encontrar una base del espacio S de todas las soluciones de Y = AY : Para que las soluciones Y1 (x), . . . , Yn (x) del sistema Y = A(x)Y sean linealmente dependientes para todo x
R es necesario y suficiente que para alg´n x0 R u det |Y1 (x0) Y2 (x0) . . . Yn (x0)| = 0.

Nota 3.9 Todos estos resultados son ciertos para toda matriz A cuyos elementos son funciones continuas en todo R.


3 SISTEMAS DE EDOS

28

3.2.

Los SEDO lineales con coeficientes constantes

En adelante asumiremos que A es una matriz n × n real de coeficientes constantes, es decir estudiaremos el problema (3.5) cuando la matriz A es de coeficientes constantes Y (x) = AY (x), 3.2.1. Autovalores simples A
Rn×n . (3.6)

o Busquemos la soluci´n de (3.6) en la forma Y (x) = eλx v, (3.7)

donde λ es cierta constante y v un vector constante. Sustituyendo (3.7) en (3.6)tenemos, como v es constante3 Y (x) = (eλx v) = λeλxv =
λeλxv = A eλx v.

o e o Es decir, (3.7) es soluci´n del sistema homog´neo si y s´lo si λ es un autovalor de A y v su autovector asociado, por tanto para resolver nuestro sistema lineal basta encontrar n autovectores v1 , . . . , vn linealmente independientes en cuyo caso la soluci´n general es, seg´n o u el teorema 3.3, de la forma
n

Y (x) =
k=1

c k e λk v k ,

(3.8)

donde c1 , . . . , cn son constantes arbitrarias y λk , k = 1, . . . , n, son los autovalores asociados a los autovectores vk , k = 1, . . . , n. Ejemplo 3.10 Encontrar la soluci´n general del SEDO o Y = 1 12 3 1 Y.

Comenzamos calculando los autovalores y autovectores det(A − λI) = −35 − 2 λ + λ2 = 0 =
λ1 = −5, λ2 = 7.

Calculamos los autovectores. Comenzamos con el correspondiente a λ1 = −5 (A − λI)v = 0 Para λ1 = 7 (A − λI)v = 0 =
−6 12 3 −6 x1 x2 =0 = x1 = 2x2, = v2 = 2 1 . = 6 12 3 6 x1 x2 =0 = x1 = −2x2 , = v1 = −2 1 .

Por tanto la soluci´n general es o Y (x) = c1 e−5x
3

−2 1

+ c2 e7x

2 1

.

Entenderemos que la derivada de un vector o una matriz es la derivada t´rmino a t´rmino. e e


3 SISTEMAS DE EDOS Ejemplo 3.11 Encontrar la soluci´ngeneral del SEDO o Y = Calculamos los autovalores y autovectores det(A − λI) = 2 + 2 λ + λ2 = 0 =
λ1 = −1 − i, λ2 = −1 + i. 2 −5 2 −4 Y.

29

Es decir, son complejos. sQu´ hace en este caso? e Si A es real y λ es el autovalor complejo asociado al autovector v, entonces el complejo conjugado λ es el autovalor asociado al autovector v. Ahora bien, si tenemos Y (x) = eλx v = Y (x) + i Y (x), Y (x) y Y2 (x) = Y (x) son soluci´n de o

Y ser´ soluci´n de Y = AY si y s´lo si Y1 (x) = a o o Y = AY , entonces Y (x) = eax ( v cos bx − v sen bx),

Y (x) = eax ( v sen bx + v cos bx)

son soluciones linealmente independientes de Y = AY . A± As´ pues, en nuestro ejemplo λ1 = −1 − i, Y1 (x) = e−x por tanto Y (x) = c1 e−x 5 3 cos x + 0 1 sen x + c2 e−x − 5 3 sen x + 0 1 cos x . 5 3 cos x + 0 1 v1 = 5 3+i =
5 3 sen x + 0 1 cos x ,

sen x ,

Y2 (x) = e−x −

3.3.

La exponencial matricial exp(xA)
∞ k=0

Sea A una matriz n × n y x
R. Definiremos la funci´n exp(xA) mediante la serie formal o exp(xA) = xk Ak x2 A2 xn An = In + xA + + ···+ + ···, k! 2 n! (3.9)

donde la convergencia la entenderemos elemento a elemento. La serie anterior converge para todo x
R quienquiera sea la matriz A (de hechoconverge en todo C). Proposici´n 3.12 La funci´n exp(xA) satisface las siguientes propiedades: o o 1. Para toda matriz A, exp(0A) = In y para todo x R exp(xOn) = In , donde On es la matriz nula. 2. Para toda matriz A,
d dx

exp(xA) = A exp(xA) = exp(xA)A.

3. Para todos x, t
R y toda matriz A, exp[(x + t)A] = exp(xA) exp(tA). 4. Para toda matriz A, la inversa [exp(xA)]−1 = exp(−xA). 5. Para todas las matrices A, B con AB = BA, exp[x(A + B)] = exp(xA) exp(xB).


3 SISTEMAS DE EDOS 6. Para todo x
R, exp(xIn) = ex In. Dado cualquier vector constante v Rn se cumple d [exp(xA)v] = A[exp(xA)v], dx

30

por tanto exp(xA)v es soluci´n de la ecuaci´n homog´nea Y = AY y Y (0) = v. Si escogemos o o e v sucesivamente como ei , i = 1, 2, . . . , n obtenemos n soluciones v1, . . . , vn del PVI, Y = AY , Y (0) = ei que adem´s son linealmente independientes por el teorema 3.3 y por tanto a constituyen una base del espacio de soluciones del sistema homog´neo correspondiente. e Definici´n 3.13 Una matriz V
Rn×n es una matriz fundamental del sistema Y = AY si o sus n columnas son un conjunto linealmente independiente de soluciones de Y = AY . De esta definici´n y de lo anterior deducimos entonces que exp(xA) esuna matriz funo damental del sistema Y = AY . En efecto, como hemos visto, las columnas de exp(xA) son soluci´n de los PVI, Y = AY con Yi (0) = ei , siendo (ei)i la base can´nica de Rn . o o Corolario 3.14 (de existencia y unicidad de la soluci´n del SEDO homog´neo) o e n×n e siempre tiene n soluciones linealmente El sistema homog´neo Y = AY , con A R independientes, y por tanto el PVI, Y = AY , Y (x0) = Y0 siempre tiene una unica soluci´n ´ o n cualquiera sea Y0 R y es de la forma Y (x) = exp[(x − x0)A]Y0 . As´ pues, para encontrar la soluci´n general del sistema Y = AY basta saber calcular la A± o exponencial de xA. Comencemos por el caso m´s sencillo cuando la matriz es diagonalizable. a En este caso existe una matriz P tal que A = P DP −1, siendo D una matriz diagonal. Entonces como para todo k N, Ak = P D k P −1 tenemos exp(xA) = pero, como   D=   λ1 0 · · · 0 0 λ2 . . . 0 . . .. . . . . . . . . . . λn 0 0 .        exp(xD) =    e λ1 x 0 · · · 0 0 e λ2 x . . . 0 . . . .. . . . . . . . . . exλn 0 0 .   ,  
∞ k=0

A

kx

k

k!

=

∞ k=0

PD P

k

−1 x

k

k!

=P

∞ k=0

Dk

xk k!

P −1 = P [exp(xD)]P −1,

=


de donde se deducen nuevamente lassoluciones del sistema. N´tese que el caso de n autovao lores distintos se puede resolver por este m´todo. e Como ejemplo calculemos la matriz exponencial de la matriz A= 1 −6 −1 2 .

Ante todo tenemos que el polinomio caracter´ A±stico de A es 1 − λ −6 = 4 − 3 λ + λ2 = 0, −1 2 − λ =
λ1 = −1, λ2 = 4.


3 SISTEMAS DE EDOS Calculamos los autovectores. Para λ1 = −1 tenemos 2 −6 −1 3 x1 x2 = 0 0 , =
x1 = 3x2, = v1 = 3 1 .

31

An´logamente, para λ2 = 4 obtenemos v2 = (−2, 1)T , luego a exp(xD) = Luego exp(xA) = P exp(xD)P
−1

e−x 0

0 e4 x

,

P =

3 −2 1 1

,

P −1 =
6 5 ex 2 5 ex

−1 5 .

1 5

2 5 3 5

,

=

4x 3 + 2 e5 5 ex 4x 1 − e5 5 ex

− +

6 e4 x 5 3 e4 x 5

3.4.

El caso de autovalores m´ ltiples u

pero

Vamos a explotar las propiedades de la matriz exponencial. Usando la propiedad 5 de exp(xA) tenemos exp(xA)v = exp[(A − λIn)x] exp(λIx)v, exp(λIx)v = eλx v =
exp(xA)v = eλx exp[(A − λIn)x]v. x2 xk (A − λIn)2 v + . . . + (A − λIn )k v + . . . . 2 k!

Es decir, exp(xA)v = eλx v + x(A − λIn)v +

En el caso de un autovalor simple tenemos obviamente (A − λIn)v = 0 si v es el correspondiente autovector, luego exp(xA)v = eλx v que es lo mismo que ten´A±amos antes. Si tenemos entonces n autovectores v1 , . . . vn linealmente independiente entonces encontramos n soluciones linealmente independientes Yi = eλk x vk , k = 1, . . . , n. e A±z u a sQu´ hacer cuando hay una ra´ m´ltiple, o m´s exactamente si la matriz A no es diagonalizable? Supongamos, por ejemplo, que el autovalor λ es doble y que tiene asociado un unico ´ autovector (el autoespacio asociado es de dimensi´n 1). Una soluci´n es por tanto e λx v1, o o donde v1 es el autovector asociado a λ. El otro vector v2 que necesitaremos lo buscaremos de forma que (A − λIn)v2 = 0 pero (A − λIn)2v2 = 0. Entonces otra soluci´n, independiente o de la anterior es exp(xA)v2 = eλx v2 + x(A − λIn )v2 + = eλx v + eλx x(A − λIn)v2 . xk x2 (A − λIn)2 v2 + . . . + (A − λIn )k v + . . . 2 k!
=0 =0

En el caso que la multiplicidad de λ sea de orden mayor seguimos el siguiente procedimiento para resolver el sistema homog´neo e 1.) Calculamos todos los autovalores λi y los correspondientes autovectores vi , i = 1, 2, . . . , k y formamos k soluciones linealmente independientes de nuestro sistema Y i (x) = eλix vi , i = 1, . . . , k. Si k = n entonces las Yi (x) generan a todo el espacio soluci´n. o 2.) Si k < n entonces hayautovalores m´ltiples. Sea λ uno de tales autovalores y sea m a u la multiplicidad algebraica de dicho autovalor y mg la multiplicidad geom´trica (o sea la e


3 SISTEMAS DE EDOS

32

dimensi´n de autoespacio asociado a λ). Si ma = mg entonces los vectores Yi (x) = eλi x vi o i = 1, . . . , aa generan todo el subespacio correspondiente a λ. Supongamos que ma > mg , entonces para completar el espacio soluci´n asociado al autovalor λ (nos falta encontrar m a −mg o soluciones linealmente independientes) buscamos los vectores v1 , . . . , vl (l ≤ ma − mg ) tales que (A−λIn )v = 0 pero que (A−λIn )2v = 0, luego los los vectores v tales que (A−λIn )v = 0 A± y (A − λIn)2 v = 0, y (A − λIn)3 v = 0, y as´ sucesivamente hasta completar el subespacio. Y as´ con cada uno de los autovalores m´ltiples. A± u Veamos un ejemplo:  1 1 0 Y =  0 1 0  Y. 0 0 2 

Obviamente los autovalores son λ1 = 2 y λ1 = 1 siendo ´ste ultimo de multiplicidad 2. e ´ Adem´s, los autovectores correspondientes son v1 = (0, 0, 1)T y v2 = (1, 0, 0)T , respectivaa mente. Luego tenemos dos soluciones independientes     0 1 2x  x , 0 0 , Y1 (x) = e Y2 (x) = e 1 0 y necesitamos una tercera soluci´n. Aplicando el m´todo antes descritobuscamos un tercer o e vector v3 que no sea autovector de A asociado a λ2 = 1 y tal que (A − I3 )2v = 0, es decir    x1 0 0 0 (A − I)2 v = 0,
 0 0 0   x2  = 0, = x1 = 0, x2 , x3 R, x3 0 0 1 o sea    0 1 v3 = α  0  + β  1  , 0 0 

pero como (A − I)v3 = (β, 0, 0)T = 0, deducimos que β = 0, luego tomando4 β = 1, α = 0 obtenemos la tercera soluci´n que buscabamos o       x 0 0 x  1  = ex [I3 + x(A − I3 )]  1  = ex  1  . Y3 (x) = e exp(A − I3 ) 0 0 0 A± As´ pues      x 1 0 2x   + c2 ex  0  + c3 ex  1  . 0 Y (x) = c1 e 0 0 1 

El m´todo anterior nos indica un procedimiento general para resolver el SEDO (3.6) en e general conocido como m´todo de Euler que consiste en lo siguiente: e 1. Calculamos los autovalores λk de la matriz A
Rn×n del sistema Y = AY y sea mk la multiplicidad algebraica del autovalor. o 2. Para cada autovalor, buscamos la soluci´n del correspondiente subespacio (o sea, la soluci´n “generada” por el autovalor) en la forma o Yk (x) = e
4

λk x

mk −1 j=0

Aj xj ,

Aj
Rn ,

(3.10)

Cualquier elecci´n de α y β es posible siempre que β = 0. o


3 SISTEMAS DE EDOS donde puede ocurrir que alguno de los vectores Aj , j = 0, 1, . . . ,mk − 1 sean nulos. Veamos como funciona este m´todo en el e  1 0 Y = 0 ejemplo anterior.  1 0 1 0  Y. 0 2

33

Sustituyendo en el sistema tenemos         a1 + a2 + (a4 + a5)x a4 a4 a1 . a2 + a 5 x Y2 (x) = ex  a2  +  a5  x +  a5  =  2a3 + 2a6x a6 a6 a3 Igualando componentes   a4 a5  a6 tenemos el sistema = a2 + a5 = 0 = a3 + a6 x

Tenemos que λ1 = 2 y λ1 = 1 siendo ´ste ultimo de multiplicidad 2. Para el primero tenemos e ´ al igual que antes Y1 (x) = e2x (0, 0, 1)T y para el segundo buscamos las soluciones en la forma      a1 a4 Y2 (x) = ex  a2  +  a5  x . a3 a6

=


a3 = a5 = a6 = 0, a4 = a2 ,

con a1 y a2 cualesquiera, es decir,            x 1 a2 a1 Y2 (x) =  a2  +  0  x ex = ex a1  0  + a2  1  x , 0 0 0 0 que coincide con la soluci´n encontrada por el m´todo anterior. o e 3.4.1. La matriz fundamental de soluciones y la matriz exp(xA)

Sea V (x) una matriz fundamental, entonces si definimos el vector c = (c 1, . . . , cn )T , la soluci´n general de Y = AY se puede escribir de la forma Y (x) = V (x)c. Sea ahora el PVI, o Y = AY con Y (x0) = Y0 , entonces tenemos Y (x0) = Y0 = V (x0)c, luego c = V −1 (x0)Y0 , por tanto la soluci´nes o Y (x) = V (x)V −1 (x0)Y0 . (3.11) Lo anterior nos permite encontrar una expresi´n para la matriz exponencial conocida o una matriz fundamental. En efecto, usando que la matriz exp(xA) es la soluci´n del sistema o matricial V = AV con las condiciones iniciales V (0) = In deducimos, exp(xA) = V (x)V −1 (0)I = V (x)V −1 (0). Ejemplo 3.15 Calcular exp(xA) para la matriz A = 1 3 12 1 del ejemplo 3.10. (3.12)


3 SISTEMAS DE EDOS

34

Los autovalores y autovectores son λ1 = −5, v1 = (−2, 1)T y λ2 = 7 y v2 = (2, 1)T y por tanto una matriz fundamental es V (x) = luego exp(xA) = V (x)V −1 (0) = =
1 −5x 1 e + 2 e7x 2 1 − 4 e−5x + 1 e7x 4

−2e−5x 2e7x e−5x e7x

,

−2e−5x 2e7x e−5x e7x −e−5x + e7x 1 −5x e + 1 e7x 2 2 .

−2 2 1 1

−1

=

−2e−5x 2e7x e−5x e7x

1 −4 1 4

1 2 1 2

3.5.

El SEDO lineales no homog´neo e
Y (x) = AY (x) + F (x). (3.13)

Pasemos a estudiar el sistema no homog´neo e

Para resolverlo usaremos la linealidad. Proposici´n 3.16 La soluci´n general del SEDO (3.13) es de la forma Y (x) = Yh(x) + o o Yp (x), donde Yh es la soluci´n general del SEDO homog´neo Y = AY y Yp es cualquier o e soluci´n particular de (3.13), es decir Yp (x) = AYp (x) + F (x). Enparticular, si V (x) es una o matriz fundamental Y (x) = V (x)C + Yp (x), donde C
Rn . Teorema 3.17 La soluci´n del problema de valores iniciales Y (x) = AY (x)+F (x), Y (x0) = o Y0 , cualquiera sea Y0 Rn existe y es unica y se expresa mediante la f´rmula ´ o
x

Y (x) = exp[(x − x0 )A]Y0 +

x0

exp[(x − t)A]F (t)dt.

(3.14)

Ejemplo 3.18 Resolver el siguiente sistema lineal de EDOs Y = 1 12 3 1 Y + 0 ex , Y (0) = 0 1 .

En este caso la matriz exponencial es la matriz del ejemplo 3.15, luego aplicamos (3.14). Comenzamos por
x 0 x

exp[(x − t)A]F (t)dt = =

0 x 0

1 5(x−t) e + 1 e7(x−t) 2 2 1 − 1 e5(x−t) + 4 e7(x−t) 4

−e−5(x−t) + e7(x−t) 1 5(x−t) 1 e + 2 e7(x−t) 2 dt = 0 1
1 −5x 12x e (e 12

0 et

dt = .

−e6t−5x + e−6t+7x

1 − 3 ex + 1 e−5x (1 + e12x ) 6

1 6t−5x e 2

+ 1 e−6t+7x 2 −e−5x + e7x 1 −5x 1 e + 2 e7x 2

− 1) ,

exp[(x − x0)A]Y0 =

1 −5x e + 1 e7x 2 2 1 − 4 e−5x + 1 e7x 4

=

−e−5x + e7x
1 −5x e 2 1 + 2 e7x

luego la soluci´n del PVI es o Y (x) =
1 7 − 5 e−5x − 3 ex + 6 e7x 6 5 −5x e 12

+

7 7x e . 12

.


3 SISTEMAS DE EDOS

35

3.6.

Problemas

Problema 3.19 Encuentra la soluci´n general del sistema hom´geneo Y (x) = AY (x) y, o o ensu caso, del problema de valores iniciales en los siguientes casos: 1. a) A = 2. a) A =  4 −1 −4 4 4 1 −8 8 , b) A = −2 3 2 −5 2 −4 , , 1 12 3 1  , Y (0) = 2 1

, Y (0) =

b) A =

Problema 3.20 Prueba las siguientes propiedades de la matriz exA con A
Rn×n : 1. e0A = In , In es la matriz identidad n × n. 2.
d xA e dx

    1 −1 4 1 0 0 1  3 2 −1 ,  0 1 −1 , Y (0) =  1 , 3. a) A = b) A = 2 1 −1 0 1 1 1       1 2 1 1 1 1 0 4. a) A =  0 1 2 , Y (0) =  2 , b) A =  0 1 0 . 0 1 2 −1 0 0 2

= AexA .

3. e(x+t)A = exA etA ,
x, t R. 4. Para todo x R, exA es invertible y su inversa (exA )−1 = e−xA . 5. Si A y B conmutan, o sea AB = BA, entonces ex(A+B) = exA exB = exB exA . 6. exI = ex I. Problema 3.21 Sean las matrices A = 0 1 1 0 B= 0 1 −1 0 .

1. Prueba que A2n+1 = A, A2n = I2 , B 2n+1 = (−1)n B, y B 2n = (−1)nI2 . 2. Usando lo anterior calcula las matrices exA y exB . 3. Como aplicaci´n calcula exC con C = o a b −b a .

Problema 3.22 Usando las propiedades de la matriz exA con A
Rn×n encuentra la soluci´n de los SEDO del ejercicio (3.19). o Problema 3.23 Resuelve los sistemas hom´geneos o 1. a) y1 = y1 + 2y2 , y2 = 4y1 + 3y2 y1 = y 1 − y 2 y1 = y1 − 5y2 , c) y2 = y1+ 3y2 y2 = 2y1 − y2     2 1 3 1 1 0 a) A =  0 1 0 , b) A =  0 2 −1 , 0 0 2 0 0 2 b)

2. Y = AY , con

Problema 3.24 Encuentra una matriz fundamental de soluciones de los sistemas Y = AY , cuya matriz de coeficientes es


3 SISTEMAS DE EDOS 1 −5 0 1  1 12 2 −5 , c) A = , 3 1 2 −4     1 1 1 1 0 0 b) A =  0 3 2 , c) A =  2 1 −2 . 0 0 5 3 2 1

36

1. a) A =

,

b) A =

Problema 3.25 Encuentra la soluci´n general del sistema de EDOs no homog´neo Y (x) = o e o AY +B(x) y, en su caso, la correspondiente soluci´n del problema de valores iniciales cuando 1. A = 2. A =  1 12 3 1 2 −5 2 −4 , B(x) = , B(x) = x ex , Y (0) = 2 1 0 0 

 1 −1 4 2. a) A =  3 2 −1 , 2 1 −1

Problema 3.26 Resuelve los sistemas lineales 1. y1 = 2y1 + y2 − 7xe−x − 3 y2 = −y1 + 2y2 − 1

   1 −1 4 0 2 3. A =  3 2 −1 , B(x) =  0 , Y (0) =  1  2 1 −1 ex 1       1 0 0 0 0  2 1 −2 , B(x) =  , Y (0) =  1  4. A = 0 3 2 1 ex cos(2x) 1

1 sen x 

, Y (0) =

, sabiendo que su soluci´n es acotada si x → +∞. o

2.

x =v , con x(0) = x0, v(0) = 0, β < ω. Este sistema modeliza el v = −ω 2 x − 2βv + f (t) movimiento de un p´ndulo con rozamiento y una fuerza externa f . e

3. Seconsidera el siguiente circuito el´ctrico e
L
1

R

L
1

2

R

2

i1
+ −

Uc C R

i2

V

Las intensidades i1, i2 y las tensiones Uc y V satisfacen el siguiente sistema diferencial        −10 0 −20 i1 V i1  i2  =  0 −10 20   i2  + 20  0  . Uc 50 −50 −50 Uc 0 Se pide determinar i1, i2, Uc en los siguientes casos: (a) V (t) = 0, i1(0) = i2(0) = 0, Uc(0) = 10.


3 SISTEMAS DE EDOS (b) V (t) = 10, i1(0) = i2(0) = 0 = Uc(0) = 0. Problema 3.27 Demuestra que si la matriz A(x) es tal que
x x

37

A(x) ·

A(t)dt =
0 0

A(t)dt · A(x),

entonces, la soluci´n del SEDO Y = A(x)Y , Y (0) = Y0 se puede expresar mediante la o x o o expresi´n Y (x) = exp( 0 A(t)dt)Y0. Como aplicaci´n calcula la soluci´n general del sistema o y1 = cos x y1 + sen x y2 y2 = sen x y1 + cos x y2 Problema 3.28 Demuestra el siguiente principio de superposici´n: La soluci´n del sistema o o de EDOs lineales Y = A(x)Y + m fk (x), k = 1, 2, . . . , m, Y, fk
Rn , A Rn×n es la k=0 suma m Yk de las soluciones Yk de las ecuaciones Yk = A(x)Yk + fk (x), k = 1, 2, . . . , m. k=0

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

38

4.

La ecuaci´n lineal de orden n o

Vamos a continuaci´n a aplicar losresultados obtenidos a un grupo de EDOs muy imo portante: las EDOs lineales con coeficientes constantes de orden mayor que 1 definida por la ecuaci´n: o y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1)(x) + · · · + a1(x)y (x) + a0(x)y(x) = f (x). (4.1)

Cuando f (x) ≡ 0, diremos que la EDO (4.1) es hom´genea, en caso contrario es no hoo mog´nea. e Si adem´s imponemos que la soluci´n y sea tal que a o y(x0 ) = y0 , y (x0) = y0 , y (n−1) (x0) = y0
(n−1)

,

entonces diremos que y es la soluci´n del correspondiente problema de valores iniciales. o Por comodidad introduciremos el operador L[y] definido sobre el espacio de las funciones n veces derivables con n-`sima derivada continua definido por e L[y] = y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1) (x) + · · · + a1(x)y (x) + a0(x)y(x). (4.2)

Usando esta notaci´n podemos escribir (4.1) como L[y] = f (x) y el correspondiente problema o homog´neo ser´ L[y] = 0. e a Proposici´n 4.1 La EDO o y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1) (x) + · · · + a1(x)y (x) + a0(x)y(x) = 0, (4.3)

es lineal, es decir, que si tenemos dos soluciones y1 e y2 de la ecuaci´n, para cualesquiera o que sean α, y β
R, αy1 + βy2 tambi´n es soluci´n. e o Para estudiar las propiedades de las EDOs lineales de orden n vamos a introducirunas nuevas funciones z1 (x), . . . zn (x) de forma que  dzn  z1(x) = y(x)  = −an−1 zn − an−2 zn−1 − · · · − a0z1 + f,   dx z2(x) = y (x)    dzn−1  z3(x) = y (x) = zn , dx . . .  .  .  .  (n−2)  zn−1 (x) = y (x)  dz1  = z2 . zn(x) = y (n−1) (x)  dx

Es decir, una EDO del tipo (4.1) es equivalente al siguiente sistema lineal de ecuaciones         0 1 0 ··· 0 0 0 z1 z1   0 1 ··· 0 0   z2   0   z2   0       .  . . . . .. . . . . d  .   .  .   .  . . . . . .  +  .  , (4.4) . = .  .    .   dx  .   0 0 0 ··· 0 1   zn−1   0   zn−1     0 0 0 ··· 0 1 f (x) zn zn −a0 −a1 −a2 · · · −an−2 −an−1 o en forma matricial Z (x) = AZ(x) + F (x). N´tese que cuando f (x) ≡ 0, el sistema anterior o se transforma en un sistema homog´neo. Lo anterior tiene una implicaci´n evidente: toda la e o teor´ de las ecuaciones lineales (4.1) se puede construir a partir de la teor´ de los sistemas A±a A±a lineales que estudiamos antes.

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

39

Teorema 4.2 Sean a0 (x), . . . , an−1 (x) funciones continuas en R. Entonces el P.V.I. asociado a (4.1) siempre tiene soluci´n y es unica cualquiera sean las las condiciones iniciales o ´(n−1) (n−1) y(x0 ) = y0 , y (x0) = y (0), . . . , y (x0) = y0 que escojamos. Teorema 4.3 El conjunto de soluciones de la EDO homog´nea (4.3) es un espacio vectorial e de dimensi´n n. o Teorema 4.4 Dadas n soluciones y1 , . . . , yn de la EDO (4.3), ´stas son linealmente indee pendientes si y s´lo si el wronskiano W [y1 , . . . , yn ](x), definido por o y1 (x) y1 (x) . . . y1
(n−1)

W [y1 , . . . , yn ](x) =

y2 (x) y2 (x) . . .
(n−1)

··· ···

yn (x) yn (x) . . .
(n−1)

= 0
x,

(4.5)

(x) y2

(x) · · · yn

(x)

es distinto de cero para alg´n x
R, en cuyo caso el Wronskiano es distinto de cero para u todo x R. Finalmente, notemos que conocida la soluci´n general yh(x) de la EDO homog´nea poo e demos dar la soluci´n general de la EDO (4.1) en la forma y(x) = yh(x) + yp (x), siendo yp o una soluci´n particular de (4.1). o

4.1.

Soluci´n de la ecuaci´n lineal homog´nea o o e

Para resolver la EDO (4.3) con coeficientes constantes seguiremos la misma idea que para los sistemas, es decir buscaremos la soluci´n en la forma y(x) = e λx . Sustituyendo esta o funci´n en la EDO (4.3) obtenemos que λ debe satisfacer la ecuaci´n o o λn + an−1 λn−1 + · · · a1 λ + a0 = 0. (4.6)

Laecuaci´n anterior se denomina ecuaci´n caracter´ o o A±stica de la EDO (4.3). Es f´cil probar a que el polinomio caracter´ A±stico de la matriz A asociada a la EDO (4.3) coincide con (4.6). Lo anterior nos indica una estrategia para resolver el problema: 1. Si tenemos valores reales λ1 = λ2 = · · · = λn entonces las funciones yk (x) = eλk x , k = 1, . . . , n generan el espacio soluci´n de la la EDO (4.3). o En el caso que tengamos ra´ A±ces complejas hay que proceder como en el caso de los sistemas: tomar partes reales y complejas de cada una de ellas. Es decir, si λ = α + iβ, entonces las dos soluciones independientes son [e(α+iβ)x ] = eαx cos(βx) y [e(α+iβ)x ] = eαx sen(βx). 2. Si alg´n λk es m´ltiple de multiplicidad m ≤ n, entonces la soluci´n habr´ que buscara u u o a en la forma y(x) = eλk x pm−1 (x), (4.7) donde pm−1 es un polinomio de grado m − 1 en x, es decir la soluci´n asociada a dicha o A±z a ra´ tendr´ la forma y(x) = c1 eλk x + c2 xeλk x + · · · + cm xm−1 eλk x , c1 , c2 , . . . , cm
R.

Obviamente si λk es complejo, tenemos que tomar partes reales y complejas que nos generan todo el espacio soluci´n. o

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

40

Por simplicidad mostraremos c´mo resolverla ecuaci´n homog´nea de segundo orden. o o e El caso general es completamente an´logo. La ecuaci´n diferencial lineal homog´nea con a o e coeficientes constantes tiene la forma: y (x) + py (x) + qy(x) = 0, λ2 + pλ + q = 0. Las soluciones de la ecuaci´n caracter´ o A±stica (4.9) ser´n a p2 − 4q −p − p2 − 4q , λ2 = . 2 2 Caso de dos ra´ A±ces reales y distintas. Sea p2 > 4q, entonces la ecuaci´n caracter´ o A±stica (4.9) tiene dos soluciones reales y distintas: λ1 = −p + −p − p2 − 4q p2 − 4q , , 2 2 y la ecuaci´n homog´nea (4.8) tendr´ dos soluciones linealmente independientes o e a λ1 = −p + y1 (x) = eλ1x , y2 (x) = eλ2x . A, B
R. Luego, la soluci´n general de (4.9) se expresar´ de la forma o a y(x) = Aeλ1 x + Beλ2x , Caso de dos ra´ A±ces reales iguales. Sea p2 = 4q, entonces la ecuaci´n caracter´ o A±stica (4.9) tiene una unica soluci´n real λ = −p/2. Esto significa que aparentemente s´lo tenemos una ´ o o funci´n que genera al espacio soluci´n de la EDO homog´nea, sin embargo dicho espacio es o o e de dimensi´n 2 como nos asegura el teorema 4.3 y la ecuaci´n homog´nea (4.8) tendr´ dos o o e a soluciones linealmente independientes de la forma y1(x) = eλx y y2(x) = xeλx . En efecto, usando (4.7) tenemos que lasoluci´n generada por λ es, en este caso, o y(x) = eλx p1 (x) = eλx (c1 + c2 x) = c1 eλx + c2 xeλx , como se pretend´ probar. A±a Caso de ra´ A±ces complejas. Sea p2 < 4q, entonces la ecuaci´n caracter´ o A±stica (4.9) tiene dos soluciones complejas: √ −p − i 4q − p2 −p + i 4q − p2 , , i = −1, 2 2 y la ecuaci´n homog´nea (4.8) tendr´ dos soluciones linealmente independientes o e a λ1 = y1 (x) = eλ1x , y2 (x) = eλ2x . A, B R. λ, ω R. (4.10) Luego, la soluci´n general de (4.9) se expresar´ de la forma o a y(x) = Aeλ1 x + Beλ2x , λ1 = λ + iω, λ2 = λ − iω, Llamemos λ a la parte real de λ1 (o λ2) y ω a la parte imaginaria de λ1 (o λ2 ). Entonces, Si ahora utilizamos la f´rmula de Euler eiφ = cos φ+i sen φ, φ R, obtenemos que la soluci´n o o general de (4.10) se puede escribir de la forma y(x) = eλx (A cos ωx + B sen ωx) , o, equivalentemente, y(x) = A eλx cos (ωx + δ) , A, δ R. A, B R, p, q R. (4.8) (4.9) La ecuaci´n caracter´ o A±stica (4.6) de la ecuaci´n (4.8) tiene la forma o

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

41

4.2.

La EDO lineal de segundo orden no homog´nea con coeficiene tes constantes
y (x) + py (x) + qy(x) = f (x), f (x) continua, p, q
R. (4.11)

Vamos a estudiar la EDO

Engeneral no es trivial resolverla aunque en muchos casos es “f´cil” adivinar la soluci´n. a o

4.2.1.

Caso f (x) = pn (x)

En general si tenemos la EDO y + py + qy = pn (x), q = 0, (4.12)

siendo pn un polinomio de grado n, la soluci´n particular siempre es de la forma o yp (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn, an = 0.

En efecto, si sustituimos la soluci´n anterior en la EDO (4.12) obtenemos o qan xn + (qan−1 + pnan )xn−1 + · · · + (qak + p(k + 1)ak+1 + (k + 1)(k + 2)ak+2 )xk + · · · +(qa0 + pa1 + 2a2) = pn (x), de donde igualando coeficientes obtenemos un sistema compatible de ecuaciones ya que hemos supuesto que el grado de pn es exactamente n. Este m´todo obviamente funciona si q = 0 (spor qu´?), pero squ´ ocurre si q = 0?, o sea, e e e si tenemos la EDO y + py = pn (x), a = 0, (4.13) siendo pn un polinomio de grado n. Entonces el m´todo anterior no funciona pues si sustie n tuimos yp (x) = a0 + a1x + · · · + anx , obtenemos que L[yp ] es un polinomio de grado n − 1 mientras que el derecho es de grado n. Para resolver el problema buscamos la soluci´n de la o forma yp (x) = a0 + a1x + · · · + anxn + an+1 xn+1 . Ahora bien, como la EDO homog´nea es y + py = 0, entonces cualquier constante es e soluci´n,por tanto a0 en la expresi´n anterior puede ser cualquiera, as´ que sin p´rdida de o o A± e generalidad la tomaremos igual a cero, luego la soluci´n particular la podemos buscar en la o forma yp (x) = xrn(x) y los coeficientes de rn los encontramos sustituyendo dicha soluci´n o en (4.13) e igualando coeficientes. 4.2.2. Caso f (x) = pn (x)ecx

Veamos ahora las EDOs del tipo y + py + qy = ecx pn (x), (4.14)

luego

siendo pn un polinomio de grado n. Para resolverlo hacemos el cambio y(x) = ecx v(x), que nos conduce a L[y] = ecx , v + (2c + p)v + (q + pc + c2 )v = pn (x), por lo que nuestra EDO (4.14) se reduce al caso anterior (4.12).

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N 4.2.3. Caso f (x) = pn (x)ecx sen(ωx) y pn (x)ecx sen(ωx) y + py + qy = pn (x)ecx sen(ωx), y + py + qy = pn (x)ecx cos(ωx),

42

Veamos ahora como resolver los casos (4.15) siendo pn un polinomio de grado n. Para resolver este caso notemos que si y(x) = u(x) + iv(x), u, v, funciones reales es una soluci´n de o L[y] = y + py + qy = f (x) = f1(x) + if2(x), f1, f2 funciones reales, entonces L[u] = f1 y L[v] = f2], lo cual es consecuencia de la linealidad L. Sea entonces yp (x) = u(x) + iv(x) unasoluci´n particular de o L[y] = y + py + qy = pn (x)eiωx = pn (x) cos(ωx) + ipn(x) sen(ωx). Entonces [yp ] = u(x) es soluci´n de y + py + qy = pn (x) cos(ωx) y o y + py + qy = pn(x) sen(ωx). 4.2.4. El m´todo de los coeficientes indeterminados e [yp ] = v(x) de

Sea la EDO lineal no homog´na (4.11) y (x) + py (x) + qy(x) = f (x) y sean y1(x) e y2 (x) e dos soluciones linealmente independientes. Entonces vamos a buscar la soluci´n de la EDO o en la forma yp (x) = c1 (x)y1(x) + c2 (x)y2(x), con c1 y c2 tales que c1 y1 + c2 y2 = 0, c1 y1 + c2 y2 = f (x). (4.16) (4.17)

De esa forma tenemos que resolver dos EDOs de primer orden. Para ello multiplicamos la primera por y1, la segunda por y1 y las restamos lo que nos da c2 [y1 y2 − y1 y2 ] = f y1 , o bien, la primera por y2 y la segunda por y2 , para obtener c1 [y1 y2 − y1 y2 ] = −f y2 . Ahora bien, [y1 y2 − y1 y2 ] = W [y1 , y2 ](x) = 0 cualquiera sea x
R pues el Wronskiano de dos soluciones linealmente independientes de la EDO homog´nea nunca se anula (ver el teorema 4.4), de e donde obtenemos que c1 y c2 satisfacen las EDOs c1 (x) = − f (x)y2(x) , W [y1 , y2 ](x) c2 (x) = f (x)y1(x) . W [y1 , y2 ](x) (4.18)

El m´todo anterior se denomina m´todo de Lagrange dereducci´n del orden de la EDO e e o de segundo orden o m´todo de los coeficientes indeterminados. Obviamente este m´todo se e e puede generalizar f´cilmente para el caso de orden n. a Ejemplo 4.5 Resolver y − y = e2x . La soluci´n general del problema homog´neo es yh (x) = c1 ex + c2 e−x , entonces buscao e 5 mos la soluci´n particular en la forma yp (x) = c1 (x)ex + c2 (x)e−x. Como W [y1 , y2 ](x) = o W [ex , e−x ] = −2, la f´rmula (4.18) nos da o c1 = c1 (x) = ex , 2 c3 (x) = − e2x . 3 e−x , 6 =
yp (x) = e2x . 3

ex e3x , c2 = − =
2 2 Por tanto, la soluci´n general es o

y(x) = c1 ex + c2 e−x +
5

De aqu´ el nombre de m´todo de variaci´n de las constantes, pues se cambian las constantes que aparecen A± e o en la soluci´n general del problema homog´neo por funciones indeterminadas. o e

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

43

4.3.

Aplicaciones

Ejemplo 4.6 Vibraciones mec´nicas a Como primer ejemplo consideraremos un carro de masa m que se mueve bajo la acci´n o de una fuerza F y que esta sujetado a la pared mediante un resorte de constante el´stica a a k (ver figura 8). Si suponemos adem´s que la fuerza de rozamiento es proporcional a su velocidad entonces la segunda ley de Newton nosconduce a la EDO mx + ax + kx = F (x), o equivalentemente, x + 2αx + ω 2 x = f (t), α= a k F (t) > 0, ω 2 = , f (t) = . 2m m m (4.19)

con las condiciones iniciales para t = 0 de la posici´n x(0) = x0 y la velocidad x (0) = v0 . o Vamos a estudiar los distintos casos

PSfrag replacements

que al usar las condiciones iniciales se transforma en x(t) = x0 cos(ωt) + v0 /ω sen(ωt) =
2 x2 + v0 /ω 2 cos(ωt − δ), 0

la soluci´n en este caso es peri´dica con periodo T = 2π/ω por lo que el movimiento se o o denomina movimiento arm´nico simple (ver figura 9 izquierda). o En la ultima igualdad hemos usado la identidad ´ a cos(ωt) + b sen(ωt) = A cos(ωt − δ), A= √ a2 + b2, δ = arctan(b/a), (4.20)

cuya demostraci´n es inmediata, basta aplicar la f´rmula para el coseno de una suma e o o identificar los coeficientes del seno y el coseno.
x

PSfrag replacements

2. Supongamos ahora que eliminamos solamente la fuerza externa, entonces la soluci´n es o x(t) = c1 e−αx+ Tenemos que considerar tres casos:
√ α2 −ω 2 x

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢  t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tttttttttttttttttttt£¤ ¢£¤£¤

Figura 8: Carro del ejemplo 4.6.

¦ ¦ ¥t¥t tt¥¦

¨ §t t£¤£¤§¨£¤£¤ £¤£¤

£¤ £¤£¤ ££¤£¤ ¤£¤£¤ £¤£¤

k

m

F

1. El primer caso corresponde cuando no tenemos fuerza externa ni rozamiento, o sea, f = 0 y α = 0. Entonces la EDO (4.19) es x + ω 2 x = 0 y por tanto la soluci´n general o es x(t) = c1 sen(ωt) + c2 cos(ωt),

δ = arctan(ωx0 /v0).

x

t

t

Figura 9: El movimiento arm´nico simple y el movimiento amortiguado. o

+ c2 e−αx−

√ α2 −ω 2 x

.

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N 2a. Si α > ω, entonces, llamando β = √ α2 − ω 2 < α tenemos la soluci´n o

44

x(t) = c1 e−(α−β)t + c2 e−(α+β)t , que decrece exponencialmente a cero. En este caso se dice que el movimiento es sobreamortiguado ya que en un breve espacio de tiempo el carro se para. 2b. Si α = ω, entonces la soluci´n es o x(t) = (c1 t + c2 )e−αt , que tambi´n decrece exponencialmente a cero. e 2c. Si α < ω, entonces, llamando β = |α2 − ω 2 | < α tenemos la soluci´n o

x(t) = e−αt [c1 cos(βt) + c2 sen(βt)] , que decrece oscilando exponencialmente a cero (ver figura 9 derecha). En este caso se dice que el movimiento es amortiguado ya que aunque oscila, las oscilaciones terminan en un breve espacio de tiempo y el carro se para. o 3. Veamos el caso general y, por simplicidad, consideremos el caso de unafuerza peri´dica muy frecuente en la naturaleza. En este caso la ecuaci´n es de la forma o x + 2αx + ω 2 x = f0 cos(a„¦t). Obviamente la soluci´n general es la suma de una soluci´n particular m´s la soluci´n general o o a o de la EDO homog´nea que acabamos de considerar. Para encontrar una soluci´n particular e o usamos el m´todo aprendido antes, lo que nos da e yp (t) = f0eia„¦t ω2 − a„¦2 + i2αa„¦ =
xp (t) = [yp ] = (ω 2 − a„¦2) cos(a„¦t) + 2αa„¦ sen(a„¦t) f0 , (ω 2 − a„¦2 )2 + 4α2 a„¦2

de donde deducimos la soluci´n o x(t) = xh(t) + (ω 2 − a„¦2 ) cos(a„¦t) + 2αa„¦ sen(a„¦t) f0 . (ω 2 − a„¦2)2 + 4α2 a„¦2 (4.21)

|A(a„¦)|

N´tese que en todos los casos xh(t) tiende exo ponencialmente a cero por lo que si t es suficiente grande x(t) ≈ xp(t). Si usamos la identidad (4.20) obtenemos para t suficientemente grande la soluci´n o x(t) ≈ xp(t) =
ω a„¦

Sfrag replacements

(ω 2

f0 cos(a„¦t − δ), − a„¦2 )2 + 4α2 a„¦2

donde δ = arctan ω2αa„¦ 2 . 2 −a„¦ Como se ve en la f´rmula anterior, las oscio Figura 10: Amplitud de las vibraciones laciones tienen una amplitud que depende de la propia frecuencia de oscilaci´n. Obviamente para o forzadas: resonancia. a„¦ = ω la amplitud es m´xima, es decir cuando la a frecuencia a„¦ de la fuerza exterior es igual a ω —como ω s´lo depende de las caracter´ o A±sticas de sistema, en este caso m y k, se suele denominar

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

45

frecuencia propia—. En la figura 10 representamos el valor de la amplitud (eje y en funci´n o de la frecuencia exterior (eje x) para distintos valores de α. La gr´ï¬ca m´s alta corresponde a a al menor valor de α (menor “viscosidad”) y la m´s peque˜a al mayor. Si α = 0 es f´cil ver a n a que para a„¦ = ω la amplitud es no acotada. Este fen´meno de “amplificaci´n” de la amplitud o o de las oscilaciones se conoce como resonancia. Veamos ahora que ocurre si α = 0, o sea si no hay rozamiento. En este caso la EDO es x + ω 2 x = f0 cos(a„¦t). Si a„¦ = ω entonces simplemente tomamos el l´ A±mite cuando α → 0 en (4.21) que nos da, x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sen(ωt) + f0 cos(a„¦t). ω 2 − a„¦2

x

Si a„¦ = ω entonces la soluci´n anterior no vale como se o puede comprobar f´cilmente (pues f0/(ω 2 − a„¦2 ) cos(a„¦t) deja a de tener sentido). En este caso tenemos que repetir el proceso anterior lo que nos da, para la soluci´n particular la expresi´n o o
t

PSfrag replacements

xp(t) = y por tanto, Figura 11: Resonancia en un sistema sin rozamiento.

f0 t f0t iωt = e sen(ωt), 2iω 2ω

x(t)= c1 cos(ωt) + c2 sen(ωt) +

f0 t sen(ωt). 2ω

N´tese que a diferencia del caso con rozamiento, en ´ste, si t → ∞, la soluci´n es no acoo e o tada pues f0t/(2ω) → ∞, es decir nuestro sistema presenta un movimiento oscilatorio con frecuencia fija pero con amplitud que aumenta linealmente con el tiempo. El fen´meno de la resonancia es conocido desde hace muchos a˜os y es el causante de o n m´s de un desastre en sistemas mec´nicos. Por ejemplo, en 1831, un grupo de soldados a a intent´ cruzar marchando en puente de Broughton (cerca de Manchester, Inglaterra). La o fuerza peri´dica que ejercieron al marchar entr´ en resonancia con la frecuencia propia del o o puente y este se vino abajo. A partir de ese momento se prohibi´ a los soldados marchar o cuando fuesen a cruzar un puente.

Figura 12: El desastre del puente de Tacoma. Otro famoso desastre fue el puente de Tacoma en el estado norteamericano de Washington. Este puente se abri´ al p´blico el 1 de julio de 1940. Desde ese mismo d´ se observ´ que o u A±a, o

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

46

el puente comenzaba a oscilar (ver figura 12 izquierda) lo que lo convirti´ en una atracci´n o o tur´ A±stica local pues cientos de conductores iban s´lopara disfrutar de este extra˜o fen´meno. o n o El puente parec´ aguantar bien, es m´s varios expertos aseguraban que todo estaba bajo A±a a control, pero el 7 de noviembre de 1940 las oscilaciones empezaron a hacerse mayores y sobre las 10:00 am alcanzaban los 7 metros. Obviamente el puente hab´ entrado en resonancia A±a con el aire debido a un fen´meno aerodin´mico y termin´ por derrumbarse a las 11:10am o a o (ver figura 12 derecha), afortunadamente sin ninguna v´ A±ctima humana (s´lo muri´ el perrito o o de un periodista que hasta ultima hora estuvo sobre el puente y logr´ escapar de milagro ´ o o pero olvid´ su perro en el interior de su coche atrapado en el medio del puente). Ejemplo 4.7 Vibraciones el´ctricas e Consideremos ahora el circuito el´ctrico representado el la figura 13 donde R es una e resistencia, L una inductancia y C un capacitor conectados en seria a una fuente de corriente U (t). Denotemos por q(t) la carga que hay en L el capacitor en el momento de tiempo y por i(t) = q (t) la corriente, o sea, la carga por unidad de tiempo. Entonces, la Ley de Kirchov nos da la siguiente ecuaci´n que detero mina la carga q(t) C
R

U (t) = Li (t) + Ri + C −1 q(t), o, equivalentemente, q + 2rq + ω 2 q(t)= u(t), donde r = R/(2L), ω 2 = 1/(LC) y u(t) = U (t)/L.
U(t)

Figura 13: Circuito RLC del ejemplo 4.7.

Obviamente la EDO anterior es totalmente an´loga a la EDO (4.19). En particular la a soluci´n general de ´sta en el caso cuando u(t) = u0 cos(a„¦t) es o e q(t) = qh (t) + donde (ω 2 − a„¦2 ) cos(a„¦t) + 2ra„¦ sen(a„¦t) u0 , (ω 2 − a„¦2)2 + 4r 2a„¦2 (4.22)

siendo β =

|r 2 − ω 2 |.

 r>ω  c1 e−(α−β)t + c2 e−(α+β)t ,     (c1t + c2 )e−αt , r=ω qh (t) =     −αt  e [c1 cos(βt) + c2 sen(βt)] , r < ω

En particular, si a„¦ = ω tenemos la soluci´n o u0 t sen(ωt), 2ω que es no acotada. Lo anterior nos indica que el an´lisis de un circuito RLC es an´logo al de a a un oscilador, en particular tendremos el mismo fen´meno de resonancia cuando a„¦ ≈ ω. De o hecho, en este fen´meno se basan los equipos de radio actuales. o q(t) = c1 cos(ωt) + c2 sen(ωt) + Ejemplo 4.8 Los osciladores acoplados

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N En el ejemplo anterior hemos estudiado el movimiento de un oscilador arm´nico y hemos descuo bierto que ´ste se puede describir f´cilmente con e a una EDO lineal de orden dos. Vamos a ver a continuaci´n el caso de varios osciladores acoplao dos.

47

En la figura 14 vemos dososciladores acoplados. Figura 14: Dos osciladores acoplados. Obviamente si no existiera el resorte k3 que los une cada uno oscilar´ seg´n la ley que hemos visto antes. Veamos que ocurre al incluir este A±a u resorte. Llamemos x1 y x2 a los desplazamientos de la posici´n de equilibrio de los carros m1 o y m2 respectivamente, entonces la segunda Ley de Newton nos da m1 x1 = −k1 x1 + k3 (x2 − x1) = −(k1 + k3 )x1 + k3 x2 , m2 x2 = −k3 (x2 − x1) − k2 x2 = k3 x1 − (k2 + k3 )x2. Para resolver el problema vamos a despejar x2 en la primera ecuaci´n y sustituirla en la o segunda. Eso nos conduce a la siguiente EDO lineal de cuarto orden x1 +
(4)

k1 + k 3 k2 + k 3 + m1 m2

x1 +

k1 + k 3 m1

Por simplicidad escojamos m1 = m2 y k1 = f2 = k3 . Entonces (4.24) nos da x1 + 4ω 2 x1 + 3ω 4 x1 = 0, La ecuaci´n caracter´ o A±stica es λ4 + 4ω 2 λ2 + 3ω 4 = 0 =
√ λ = ± 3ωi, ±ωi,
(4)

de donde deducimos que la soluci´n tiene la forma o √ √ x1 (t) = c1 cos( 3ωt) + c2 sen( 3ωt) + c3 cos(ωt) + c4 sen(ωt) √ = A1 cos( 3ωt − δ1 ) + A2 cos(ωt − δ2 ). De la soluci´n podemos ver que en funci´n de las condiciones iniciales puede ocurrir que A 1 o o o √2 se anulen. En este caso el sistema tiene un movimiento oscilatorio confrecuencias ω A y 3ω, conocidas como frecuencias propias del sistema. An´logamente se puede obtener la a expresi´n para x2. o √ x2(t) = c1 (2 − ω 2 ) cos(ωt) + c3 (2√ 3ω 2 ) cos( 3ωt) + 2c2 sen(ωt) − √ −c2 ω2 sen(ωt) + 2c4 sen( 3ωt) − 3c4 ω2 sen( 3ωt) Escojamos k = m = 1 de forma que ω = 1. Entonces √ √ x1(t) = c1 cos( 3t) + c2 sen( 3t) + c3 cos t + c4 sen t, √ √ x2 (t) = c1 cos t + c2 sen t − c3 cos( 3t) + c4 sen( 3t). Supongamos que x1 (0) = 1, x1(0) = 0, x2(0) = 1 y x2(0) = 0, entonces obtenemos x1(t) = cos t x2(t) = cos t.

¦ ¢£¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£ ££££££££££££££££££££££ t¥¦ ¤ t ¢¤£¢¢ t  ¢ ¤¤£¢  t  ¤¢£¢  t ¢¢£¢ ¤¤£¢ t t ¤¢£¢ t  ¤£¢¢ ¢¢£  t  ¢¤ £¢  t
k1 m1 k3 m2 k2

(4.23)

k2 + k 3 m2



2 k3 x1 = 0. m1 m2

(4.24)

ω2 =

k . m

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

48

Figura 15: Caso x1(0) = 1, x1(0) = 0, x2 (0) = 1 y x2(0) = 0.

Figura 16: Caso x1(0) = 1, x1(0) = 0, x2(0) = −1 y x2(0) = 0. Si x1(0) = 1, x1(0) = 0, x2 (0) = −1 y x2(0) = 0, tenemos √ √ x2(t) = − cos( 3t), x1(t) = cos( 3t), o sea, tenemos que las oscilaciones son con las frecuencias propias. Pero si escogemos, por ejemplo, x1(0) = 1/2, x1 (0) = 1, x2(0) = −1y x2(0) = 1/2, obtenemos √ √ − cos(t) 3 cos( 3 t) 3 sin(t) sin( 3 t) √ , + + + x1(t) = 4 4 4 4 3 √ √ − cos(t) 3 cos( 3 t) 3 sin(t) sin( 3 t) √ , x2(t) = − + − 4 4 4 4 3 es decir, es una combinaci´n de las frecuencias. o

Figura 17: Caso x1(0) = 1/2, x1(0) = 1, x2(0) = −1 y x2(0) = 1/2.

´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

49

4.4.

Problemas

Problema 4.9 Encontrar la soluci´n general de las siguientes ecuaciones diferenciales y la soluci´n correso o pondiente a las condiciones iniciales indicadas: 1. y − y − 6y = 0, y(2) = 0, y (2) = 1. 2. y + 12y + 36y = 0, y(0) = y (0) = 2. 3. y − 4y + 13y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0. Problema 4.10 Resolver las EDOs 1. y − 4x = 4x2 + 2x. 2. y + y + y = 1 + 2x + 3x3. 3. y − y = x2ex con y(0) = y (0) = 0. 4. y + 2y + 1 = xe−x sen(2x) con y(0) = 1, y (0) = 0. 5. y + 2y = 1 + x2 + e−2x . 6. y + y − 6y = sen x + xe2x . Problema 4.11 El oscilador arm´nico simple y el p´ndulo simple se representan esquem´ticamente en la o e a gr´ï¬ca 18 a la izquierda y derecha respectivamente. a

k

mg

Figura 18: El oscilador y el p´ndulo simple. e Las EDOs que gobiernan estos sistemas son my + ky = 0, y lθ + gθ = 0,

respectivamente, donde y(t) es distancia a que seencuentra el cuerpo de masa m de su posici´n de equilibrio (figura 18 izquierda) y θ(t) es el angulo que forma el p´ndulo con la o ´ e horizontal (figura 18 derecha). 1. Encuentra la soluci´n general de ambas EDOs. o

© © © © © © © © © © © © © © © © © © ¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦¨¦ ¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¨©

¤¤

ky

m

§¦§¦§¦§¦§¦§¦§¦¥ ¦¦¦¦¦¦¦§¦¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥
θ l m h

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´ 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

50

2. Si el oscilador se encontraba en el inicio en su posici´n de equilibrio (y(0) = 0) y ten´ o A±a una velocidad inicial y (0) = v0 , squ´ posici´n ocupa al cabo de 1 segundo? sy al cabo e o de t segundos? e 3. Si suponemos que inicialmente el p´ndulo se deja caer desde una altura h = l/10, sin velocidad inicial, a qu´ altura se encuentra el mismo al cabo de 1 segundo sy al cabo e de t segundos? Problema 4.12 Resuelve las EDOs 1. y + 8y = x2 , Problema 4.13 Encuentra la EDO que gobierna un sistema de dos osciladores acoplados como el del ejemplo 4.8 incluyendo rozamiento. Haga el estudio an´logo si sobre el primer carro act´a una fuerza a u externa del tipo F (t) = F0 cos(a„¦t). En ambos casos resuelva la EDOcorrespondiente. Analice los casos: 1.) m1 = m2 y k1 = k2 = k3 , 2.) m1 = m2 y k1 = k2 , k3 = 2k1 y 3.) m1 = 2m2 y k1 = k2 = k3 . Problema 4.14 Encuentra la EDO que gobierna un sistema de tres osciladores como el que se muestra en la figura 19 y resu´lvela. e 2. y − 6y + 11y − 6y = xex + x2, 3. y (4) − 16y = 3 cos(x).

k1

k4

k2

m3

k

3

Figura 19: Tres osciladores acoplados.

£ ¢£¢ £ ¢£¢

m1

m2

£ ¢£¢ ¢£¢ £¢£ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥ ¢£ ¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥ t¤¦ t  t  t  t  t  t  t  t 

t  t 


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS

51

5.

Soluciones de EDOs en serie de potencias
Sea la EDO y + p(x)y + q(x)y = f (x). (5.1)

El objetivo es resolver la EDO anterior cuando las funciones p(x), q(x) y f (x) dependen de x. Para ello vamos a suponer que dichas funciones son “razonablemente” buenas en un entorno de cierto punto x0 de la recta real y buscaremos la soluci´n como una serie de potencias, es o decir en la forma ∞ y(x) =
k=0

ak (x − x0)k ,

ak
R.

(5.2)

Las funciones que se pueden expresar mediante una serie de potencias convergentes en todo unentorno de x = x0 como la anterior se denominan funciones anal´ A±ticas en x = x0. Por sencillez supondremos x0 = 0, ya que en caso que x0 = 0 siempre podemos realizar el cambio de variable z = x − x0 de forma que en la nueva variable z0 = 0. La idea del m´todo es sustituir la serie y(x) (5.2) en (5.1) e igualar los coeficientes de e las potencias. De esta forma obtenemos un sistema de ecuaciones para los coeficientes a n en (5.2). Es importante que la serie converja en todo un entorno de x0, de esta forma tenemos asegurada la existencia de la soluci´n al menos en cierta regi´n. Antes de enunciar nuestros o o primeros resultados veamos un ejemplo: Ejemplo 5.1 Resolver la EDO y − 2x − 2y = 0. Buscamos la soluci´n y(x) = o d y (x) = dx
∞ k=0 ∞ k=0 k

ak xk , la sustituimos en la EDO y usamos que


ak x =

k

∞ k=0 ∞ k=0

(ak x ) = kak x
k−1

kak x

k−1

=

∞ n=0

(n + 1)an+1 xn , =
∞ n=0

d d y (x) = y (x) = dx dx lo que nos da
∞ k=0

=

k=0 ∞ k=0

k(k − 1)ak x


k−2

(n + 1)(n + 2)an+2 xn

k(k − 1)ak x


k−1

−2

k=0

kak x − 2

k

∞ k=0

ak xk = 0,

que equivale a
n=0 n

[(n + 1)(n + 2)an+2 − (2n + 2)an] xn = 0.

Como (x )n es una sucesi´n defunciones linealmente independientes la igualdad a cero tiene o lugar si y s´lo si (n + 1)(n + 2)an+2 − (2n + 2)an = 0, de donde tenemos o an+2 = 2 an , n+2 n ≥ 0.

Obviamente la ecuaci´n anterior define todos los valores de an en funci´n de a0 y a1. En o o efecto, si sabemos a0 , la recurrencia anterior permite calcular los valores a2, a4 , . . . a2k , k
N y si conocemos a1 entonces podemos calcular a3, a5 , . . . a2k+1 , k N. As´ tenemos A±, a2n 2 a2n−2 = = 2n 2 2n 2 2n a0 a2n−4 = · · · = a0 = , 2n − 2 (2n)(2n − 2) · · · 2 n!


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS

52

2 2n 2 2 a2n−3 = · · · = a2n−1 = a1 , 2n + 1 2n + 1 2n − 1 (2n + 1)(2n − 1) · · · 3 · 1 es decir 2n /(2n + 1)!! a1, donde (2n + 1)!! = 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1). De esta forma obtenemos dos soluciones linealmente independientes (una tiene solo potencias pares y la otra solo impares) a2n+1 = y(x) = a0
∞ n=0

2n x2n+1 x2n + a1 . n! (2n + 1)!! n=0



Obviamente la primera suma es f´cilmente reconocible como la serie de potencias de la funa 2 ci´n ex , no as´ la segunda que en general no se expresa como combinaci´n de funciones o A± o elementales. De la expresi´n expl´ o A±cita de las dos sumas anteriores es f´cil comprobar queel a radio de convergencia es infinito. Esta claro que el m´todo anterior no siempre funciona. Por ejemplo, consideremos la e EDO 2 2 x2y + 2xy − 2y = 0
y + y − 2 y = 0. x x Si sustituimos la serie de potencias tenemos
∞ k=0

k(k − 1)ak xk +

∞ k=0

2kak xk −

∞ k=0

2ak xk = 0

de donde se deduce a0 = 0, (n − 1)(n + 2)an = 0, n
N = an = 0, n N, n=1

es decir, s´lo podemos encontrar una soluci´n: y1(x) = x. Ello es f´cil de entender pues la o o a 2 otra soluci´n de esta EDO es y2 (x) = 1/x que obviamente no est´ definida en x = 0. o a

5.1.

El m´todo de reducci´n de orden e o

Supongamos que conocemos una soluci´n y1(x) no nula de la EDO y +p(x)y +q(x)y = 0. o Busquemos la segunda soluci´n independiente y2 (x) en la forma y2(x) = v(x)y1(x). Sustituo yendo y2 en la EDO y usando que y1 + p(x)y1 + q(x)y1 = 0 tenemos para v la EDO y1v + (2y1 + p(x)y1)v = 0 de donde deducimos u(x) = C e−
p(x)dx 2 y1

=


y1 u + (2y1 + p(x)y1)u, e−
p(x)dx 2 y1

u=v,

=


v(x) = C

+ D.

Como y(x) = c1 y1 (x) + c2y2 (x) podemos escoger, sin p´rdida de generalidad C = 1 y D = 0. e Ejemplo 5.2 Encontrar la segunda soluci´n linealmente independiente de la ED y +p0 /xy + o 2 2 (p0 − 1) /(4x)y = 0 si una soluci´n es y1 (x) = x−p0/2+1/2. o Como y1 (x) = x−p0/2+1/2 y p(x) = p0 /x, entonces u(x) = v (x) = C C e− p0/xdx = Ce−p0 log x xp0−1 = −p0 +1 x x =
v(x) = log x

de donde y2 (x) = x−p0/2+1/2 log x. Es f´cil ver que si aplicamos el m´todo de reducci´n de orden a la ecuaci´n x2y + 2xy − a e o o 2y = 0 estudiada en el apartado anterior obtenemos que la segunda soluci´n linealmente o independiente es y2 (x) = 1/x2.


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS

53

5.2.

Puntos regulares y singulares de una EDO

Definici´n 5.3 Dada la EDO (5.1), el punto x0 se denomina punto regular de (5.1) si o p(x), q(x) y f (x) son funciones anal´ A±ticas en x = x0, o sea, si p(x), q(x) y f (x) admiten una representaci´n en serie de potencias en un entorno de x0 . En caso contrario se dice que o x0 es un punto singular. Por ejemplo, el punto x0 = 0 es un punto regular de la EDO xy + (sen x)y + x3y = 0, mientras que x0 = 0 es un punto singular de y + x2y + x2/3y = 0. Teorema 5.4 Sea x0 un punto regular de la EDO y + p(x)y + q(x)y = f (x). Entonces: 1. Para f (x) = 0 (problema homog´neo) la EDO anterior tiene como soluciones lineale A±ticas. mente independientes dos funciones anal´ 2. La soluci´n delproblema de valores iniciales y(x0) = y0 , y (x0) = y0 existe y es unica o ´ y se expresa mediante una serie de potencias (es decir es una funci´n anal´ o A±tica). Es posible, adem´s, probar que el radio de convergencia de la soluci´n de la EDO (5.1) a o es el menor de los radios de convergencia de p, q y f . Esta claro que el punto x = 0 es singular para la EDO y + x2y + x2/3y = 0. Una opci´n o es resolver entonces la ecuaci´n usando una serie en torno a otro punto, por ejemplo x = 1. o No obstante muchas veces es necesario ver lo que ocurre en el entorno del punto singular. Ello no siempre es posible, aunque en algunos casos, si lo es. Definici´n 5.5 Un punto x0 se denomina punto singular regular de la EDO (5.1), si las o funciones (x − x0)p(x) y (x − x0)2 q(x) son anal´ A±ticas en x = x0 . Lo anterior equivale a que (x−x0)p(x) =
∞ k=0 ∞ k=0

pk (x−x0) = p0+p1 x+· · · ,

k

(x−x0) q(x)

2

qk (x−x0)k = q0 +q1 x+· · · .

Usualmente la EDO homog´nea (f (x) ≡ 0) (5.1) con un punto singular en x 0 se escribe e de la forma (x − x0 )2y + (x − x0)[(x − x0)p(x)] + [(x − x0 )2q(x)]y = 0. (5.3) o o o Definici´n 5.6 La ecuaci´n r(r − 1) + p0 r + q0 = 0 se denomina ecuaci´n indicial de la EDO (5.3) con unpunto singular en x0. En lo que sigue, por simplicidad, asumiremos x0 = 0. Un ejemplo muy sencillo de EDO con un punto singular regular en el cero es la EDO de Euler x2 y + xp0 y + q0 y = 0. (5.4) Si buscamos la soluci´n en forma de serie y(x) = ∞ ak xk y sustituimos en la EDO anterior o k=0 deducimos [n(n − 1) + np0 + q0 ]an = 0,
n ≥ 0,

luego, en general, an = 0 lo cual indica que la EDO anterior no tiene como soluci´n ninguna o a o serie de potencias. Es f´cil ver que la soluci´n se puede buscar en la forma y(x) = x r , para x > 0. El caso x < 0 se deduce f´cilmente de ´ste sin m´s que hacer el cambio x = −z, a e a


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS

54

z > 0. Sustituyendo y(x) = xr en (5.4) tenemos que r ha de satisfacer la ecuaci´n indicial o r(r − 1) + p0 r + q0 = 0. Sean r1 y r2 las soluciones de la ecuaci´n indicial, o r1,2 = − p0 − 1 ± 2 (p0 − 1)2 − 4q0 . 2

Entonces se tienen los siguientes casos para x > 0 1. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 > 0, r1 < r2
R (dos ra´ reales y distintas) A±ces y(x) = c1 xr1 + c2 xr2 , x > 0. (5.5)

2. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 = 0, r1 = r2
R (dos ra´ reales iguales) A±ces y(x) = c1 xr1 + c2 xr1 log(x), x > 0. (5.6)

3. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 < 0, r1, r2
C(dos ra´ complejas). Sea r1 = a + bi, entonces A±ces la soluci´n es o y(x) = c1 xa cos(b log x) + c2 xa sen(b log x), x > 0. (5.7)

Si queremos tener la soluci´n tambi´n para x < 0 basta sustituir en las expresiones el valor o e de x por |x|. Veamos que ocurre en el caso general. En este caso la l´gica indica que quiz´ la soluci´n o a o 6 tenga la forma y(x) = xr
∞ k=0

ak x k .

Entonces si sustituimos en la EDO (5.3) e igualamos potencias nos queda,
∞ n=0 n−1

[(n + r)(n + r − 1) + (n + r)p0 + q0 ]an +

[(k + r)pn−k + qn−k ]ak = 0,
k=0

de donde, al igualar la potencia xr , se sigue que r ha de satisfacer la ecuaci´n indicial o r(r − 1) + p0 r + q0 = 0, y adem´s se deduce una relaci´n de recurrencia para cada uno de a o los coeficientes an en la expresi´n de la serie. No obstante tenemos que ser cuidadosos pues o puede ocurrir que la relaci´n recurrente para los coeficientes an no tenga soluci´n. En general o o se tiene el siguiente Teorema 5.7 Sea la EDO x2y + x[xp(x)] + [x2 q(x)]y = 0, y las funciones p(x) y q(x) tales que xp(x) = p0 + p1 x + · · · y x2q(x) = q0 + q1 x + · · · sean funciones anal´ A±ticas en x0 = 0. Dada la ecuaci´n indicial r(r − 1) + p0 r + q0 = 0, entonces las dos solucioneslinealmente o independientes soluciones de la EDO anterior son de la forma 1. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 > 0, r1 < r2
R con r2 − r1 Z (dos ra´ reales y distintas que A±ces no difieran en un entero) y(x) =
6

c 1 xr 1

∞ k=0

ak x +

k

c2 xr 2

∞ k=0

bk x k ,

x > 0.

(5.8)

Recordar que estamos suponiendo x0 = 0.


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS

55

2. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 < 0, r1, r2
C,r2 − r1 Z (dos ra´ complejas que no difieran A±ces en un entero). Sea r1 = a + bi, entonces la soluci´n es o y(x) = c1 x cos(b log x)
a ∞ k=0

ak x + c2 x sen(b log x)

k

a

∞ k=0

bk x k ,

x > 0.

(5.9)

3. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 = 0, r1 = r2
R (dos ra´ reales iguales) A±ces y(x) = c1 x
r1 ∞ k=0

ak x + c 2

k

x

r1

∞ k=0

ak x

k

log x + x

r1

∞ k=0

bk x k ,

x > 0. (5.10)

4. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 = 0, r1 = r2 − N
R, N Z (dos ra´ A±ces reales que difieren en un entero) y(x) = c1 xr1
∞ k=0

ak x k + c 2 A x r 1

∞ k=0

ak x k

log x + xr1+N

∞ k=0

bk x k ,

x > 0, (5.11)

donde A es cierta constante que puede ser nula. En todos los casos las series convergen en un entorno de x0 = 0. Esta claro del teorema anteriorque este caso es mucho m´s complicado que el anterior. a Aqu´ s´lo nos limitaremos a mostrar un ejemplo del primer caso por ser este el m´s sencillo. A± o a

5.3.

La ecuaci´n hipergeom´trica de Gauss o e

Como ejemplo consideraremos la ecuaci´n hipergeom´trica de Gauss o e x(1 − x)y + [γ − (1 + α + β)x]y − αβy = 0. (5.12)

luego

Por sencillez asumiremos que γ
Z. Obviamente x = 0 es un punto singular regular. En efecto, dividiendo por x(1 − x) tenemos γ − (1 + α + β)x −αβ p(x) = , q(x) = , x(1 − x) x(1 − x) xp(x) = γ − (1 + α + β − γ)x + · · · , x2q(x) = −αβx + · · · ,

entonces p0 = γ y q0 = 0 y la ecuaci´n indicial es r(r − 1) + γr = 0, de donde tenemos o dos soluciones r = 0 y r = 1 − γ. Como hemos supuesto que γ
Z, entonces tenemos dos soluciones ∞ ∞ y1 (x) = an x n , y2 (x) = x1−γ bn x n .
n=0 n=0

Comencemos por la primera. Sustituyendo y1 en (5.12) obtenemos (n + 1)(n + γ)an+1 = [n2 + (α + β)n + αβ]an , por tanto, an = (n + α − 1)(n + β − 1) an−1 , n(n + γ − 1) n ≥ 1.


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS Si denotamos por (a)n el producto (a)0 = 1, entonces obtenemos an = por tanto y(x) = 2 F1 α, β x γ =
∞ k=0

56

(a)n = a(a + 1) · · · (a + n − 1), (α)n (β)n , (γ)nn!n ≥ 1,

(5.13)

(α)k (β)k xk , (γ)k k!

(5.14)

conocida como funci´n hipergeom´trica de Gauss. Es f´cil comprobar que el radio de cono e a vergencia de la serie anterior es R = 1. Si ahora sustituimos la segunda soluci´n obtenemos o an = (n + α − γ)(n + β − γ) an−1 , n(n − γ + 1) y2 (x) = x1−γ 2 F1 =
an = (α − γ + 1)n(β − γ + 1)n , n ≥ 1. (2 − γ)n n!

de donde tenemos

N´ese que si γ
Z entonces una de las soluciones deja de estar definida. En este caso o hay que buscar la soluci´n incluyendo el correspondiente t´rmino logar´ o e A±tmico.

α − γ + 1, β − γ + 1 x . 2−γ

5.4.

Problemas

Problema 5.8 Resuelve las EDOs siguientes usando series de potencias, si es posible, e indica la regi´n de convergencia de las mismas o 1. x2y = y + x2 + 1, 2. xy = 2y + xex, 3. y + 2y + y = x, 4. (x4 − 4)y + 3xy + y = 0. Problema 5.9 Sea la EDO (1 + x)y = py, y(0) = 1, p
R. o 1. Busca su soluci´n en serie de potencias 2) · · · (p − n + 1)/n!.
∞ n=0

an xn, y prueba que an = p(p − 1)(p −

2. Encuentra la regi´n de validez de la doluci´n anterior. o o 3. Comprueba que la funci´n y(x) = (1 + x)p es soluci´n de la misma. o o o Como consecuencia del teorema de existencia y unicidad, en la regi´n deconvergencia de la serie tendremos (1 + x) =
p ∞ n=0

p(p − 1)(p − 2) · · · (p − n + 1) n x , n!

p
R,

que no es m´s que el teorema del binomio encontrado por Newton. a


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS Problema 5.10 Resolver las EDOs usando series alrededor del cero (punto regular) 1. (1 − x2)y − xy + p2 y = 0, (EDO de Chebyshev) 2. (1 − x2)y − 2xy + p(p + 1)y = 0, (EDO de Legendre) 3. y − 2xy + 2py = 0, (EDO de Hermite)

57

4. y + xy = 0, (EDO de Airy). Usando la soluci´n de la EDO de Airy resolver la EDO o y − xy = 0. Problema 5.11 Prueba que la EDO de Euler ax2y (x) + bxy (x) + cy(x) = 0, a, b, c
R

se transforma, con el cambio x = ez en una EDO con coeficientes constantes: ay (z) + (b − a)y (z) + cy(z) = 0. Problema 5.12 Resuelve las siguientes EDOs de Euler 1. x2y + 2xy − 6y = 0, 2. x2y + xy − 5y = 0, 3. (x − 1)2y − 2(x − 1)y + 2y = 0, 4. x2y + 3xy + 2y = 0. Problema 5.13 Resueve las siguientes EDOs alrededor de x = 0 (punto singular regular) 1. xy + (1 − x)y + py = 0, (EDO de Laguerre) 2. xy + (1 + α − x)y + py = 0, (EDO de Laguerre generalizada) 3. x2y + xy + (x2 − p2 )y = 0, (EDO de Bessel) Problema 5.14 La EDO x(1 − x)y + [c − (a + b + 1)x]y − aby = 0, a, b, c
Rse denomina ecuaci´n hipergeom´trica de Gauss (aunque fue introducida por Euler en 1769). o e Encuentra dos soluciones linealmente independientes de la misma. Usando un cambio apropiado de variables demuestra que las soluciones de las EDO de Chebyshev y Legendre se pueden expresar en funci´n de las soluciones de la EDO hipergeom´trica de Gauss. o e Problema 5.15 Encuentra dos soluciones linealmente independientes de la EDO hipergeom´trica confluente definida por e xy + [c − x]y − ay = 0, a, c R.

´ 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS

58

6.
6.1.

Los polinomios ortogonales cl´sicos a
La ecuaci´n diferencial hipergeom´trica. o e

Nuestro objetivo ser´ estudiar los polinomios ortogonales cl´sicos definidos sobre el eje a a real los cuales vamos a definir como las soluciones polin´micas de la siguiente EDO o σ(x)y + τ (x)y + λy = 0, (6.1)

donde σ y τ son polinomios de grados a lo m´s 2 y 1, respectivamente. Esta ecuaci´n (6.1) a o usualmente se denomina ecuaci´n diferencial hipergeom´trica y sus soluciones y cumplen con o e la propiedad, conocida como propiedad de hipergeometricidad: Si y es una soluci´n de (6.1) o sus m-´simas derivadas y (m) ≡ ym satisfacen una ecuaci´n del mismo tipo. e oTeorema 6.1 Si y es una soluci´n de (6.1) sus m-´simas derivadas y (m) ≡ ym satisfacen la o e ecuaci´n o σ(x)ym + τm (x)ym + µm ym = 0,
m−1

(6.2) τi (x) = λ + mτ (x) +
m(m−1) σ 2

τm (x) = τ (x) + mσ (x),

µm = λ +
i=0

(x) .

La propiedad de hipergeometricidad es es muy importante pues nos permite encontrar una f´rmula expl´ o A±cita para los polinomios que satisfacen la ecuaci´n (6.1). Para ello usualmente o se escriben (6.1) y (6.2) en su forma sim´trica o autoconjugada: e [σ(x)ρ(x)y ] + λρ(x)y = 0, [σ(x)ρm (x)ym ] + µm ρm (x)ym = 0, (6.3)

donde ρ y ρm son funciones de simetrizaci´n que satisfacen las ecuaciones diferenciales de o primer orden (conocidas como ecuaciones de Pearson): [σ(x)ρ(x)] = τ (x)ρ(x), [σ(x)ρm (x)] = τm (x)ρm (x).

Conocida ρ encontramos, utilizando las ecuaciones anteriores, que ρm (x) = σ m (x)ρ(x). (6.4)

Teorema 6.2 Si para todo k
N , τ + kσ /2 = 0, entonces para las soluciones polin´micas de la ecuaci´n (6.2) se tiene la siguiente f´rmula de Rodrigues: o o o
(m) Pn (x) =

Anm Bn dn−m [ρn (x)], ρm (x) dxn−m n! = (n − m)!
m−1

Bn =

Pn , Ann

(n)

(6.5) (6.6)

Anm = Am (λ) |λ=λn Adem´s, el autovalor λn de (6.1) es a

k=0

1 [τ + 2 (n+ k − 1)σ ].

λ ≡ λn = −nτ −

n(n − 1) σ . 2

(6.7)

Cuando m = 0 la f´rmula (6.5) se convierte en la f´rmula de Rodrigues para los polinomios o o cl´sicos a B n dn n [σ (x)ρ(x)], n = 0, 1, 2, . (6.8) Pn(x) = ρ(x) dxn Si imponemos unas sencillas condiciones adicionales se tiene que las soluciones de (6.1) son ortogonales dos a dos:

´ 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS Teorema 6.3 Supongamos que xk σ(x)ρ(x)

59

x=a,b

ciones polin´micas Pn de la ecuaci´n (6.1) constituyen una SPO respecto a la funci´n peso o o o ρ definida por la ecuaci´n [σ(x)ρ(x)] = τ (x)ρ(x), o sea, se cumple que: o
b a

= 0, para todo k ≥ 0. Entonces las solu-

Pn (x)Pm(x)ρ(x)dx = δnm d2 , n

(6.9)

donde δnm es el s´ A±mbolo de Kronecker y dn denota la norma de los polinomios Pn. Corolario 6.4 Si (Pn)n es una familia de polinomios ortogonales respecto a ρ entonces para
b

todo k entero con 0 ≤ k ≤ n − 1 se tiene que

xk Pn (x)ρ(x)dx = 0.
a

2 Para calcular dn , podemos utilizar la f´rmula de Rodrigues que, sustituy´ndola en (6.9) o e e integrando por partes, nos da: b

d2 = Bn (−1)n n!an n

σ n (x)ρ(x)dx.
a

(6.10)

Una consecuencia de la propiedad de ortogonalidad es el siguienteTeorema 6.5 Los polinomios ortogonales satisfacen una relaci´n de recurrencia a tres t´rmio e nos de la forma xPn(x) = αn Pn+1 (x) + βn Pn(x) + γn Pn−1 (x), (6.11) donde αn = an , an+1 βn = bn bn+1 − , an an+1 γn = cn − αn cn+1 bn an−1 d2 n − βn = , an−1 an−1 an d 2 n−1 (6.12)

siendo an , bn y cn los coeficientes del desarrollo Pn(x) = anxn + bn xn−1 + cn xn−2 + · · ·, y dn es la norma de los polinomios. Generalmente se impone que P−1(x) = 0 y P0(x) = 1, con lo que la sucesi´n de polinomios o ortogonales queda determinada de forma unica conocidas las sucesiones (α n)n , (βn )n y (γn )n. ´ Para calcular los coeficientes principales an y bn podemos usar la f´rmula de Rodrigues o (n−1) (x) = Ann−1 Bn τn−1 (x),de donde obtenemos la para la n − 1-´sima derivada de Pn: Pn e igualdad: (n−1) Pn (x) = n!an x + (n − 1)!bn = Ann−1 Bn τn−1 (x). Luego, an = Bn Ann 1 = Bn [τ + 2 (n + k − 1)σ ], n! k=0
n−1

bn =

nτn−1 (0) an . τn−1

(6.13)

Como un corolario de (6.11) se obtiene la conocida f´rmula de Christoffel-Darboux: o Teorema 6.6 Si (Pn)n es una sucesi´n de polinomios ortogonales que satisface la relaci´n o o de recurrencia a tres t´rminos (6.11). Entonces se cumple que: e Pm (x)Pm (y) αn Pn+1 (x)Pn(y) − Pn+1(y)Pn (x) , = 2 2 dm dn x−y m=0
n

Kern (x, y) ≡

n ≥ 1.

(6.14)

´ 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS Si hacemos tender y → x, obtenemos la f´rmula confluente de Christoffel-Darboux: o Kern (x, x) ≡
2 Pm (x) αn = 2 [Pn+1 (x)Pn(x) − Pn+1 (x)Pn(x)] 2 dm dn m=0 n

60

n ≥ 1.

(6.15)

De la f´rmula de Rodrigues se deducen una serie de consecuencias muy interesantes o 1. τ es un polinomio de grado exactamente uno. 2. Tomando m = 1 en la f´rmula (6.5) se deduce que o Pn(x) = −λnBn ¯ Pn−1 (x), ¯ Bn−1 (6.16)

¯ donde Pn−1 denota al polinomio ortogonal respecto a la funci´n peso ρ1 (x) = σ(x)ρ(x). o 3. Si escribimos la f´rmula (6.5) para el polinomio de grado n + 1 obtenemos una f´rmula o o de diferenciaci´n o σ(x)Pn(x) = λn Bn Pn+1 (x) . τn (x)Pn(x) − nτn Bn+1 (6.17)

de la cual se deduce una relaci´n de estructura o ˜ ˜ ˜ σ(x)Pn(x) = αn Pn+1 (x) + βn Pn (x) + γn Pn−1 (x), donde αn = ˜ Bn λn αn τ n − , nτn Bn+1
P (x)

n ≥ 0, λ n γn . n

(6.18)

λn ˜ [βn τn + τn (0)] , βn = nτn

γn = ˜

(6.19)

4. Si definimos Qn (x) ≡ n+1 , entonces los polinomios ortogonales m´nicos Pn (x) = o n+1 xn + · · ·, soluciones de la ecuaci´n (6.1), satisfacen la siguiente relaci´n de estructura: o oPn(x) = Qn + δn Qn−1 +
n Qn−2 .

(6.20)

6.2.
6.2.1.

Los Polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi.
Par´metros Principales. a

Comenzaremos escribiendo los principales par´metros de las sucesiones de polinomios a ortogonales m´nicos cl´sicos, es decir, tales que su coeficiente principal an = 1, i.e., Pn (x) = o a ´ xn + bn xn−1 + · · ·. Estos se pueden clasificar en tres grandes familias en funci´n del grado del o polinomio σ (τ siempre es un polinomio de grado 1). Cuando σ es un polinomio de grado cero los polinomios correspondientes se denominan Polinomios de Hermite H n(x), cuando σ es de grado 1, Polinomios de Laguerre Lα (x) y cuando σ es de grado 2, Polinomios de Jacobi n α,β Pn (x), respectivamente. En las tablas 3 y 4 est´n representados los principales par´metros a a de dichas familias, en las cuales (a)n denota al s´ A±mbolo de Pochhammer (6.30).

´ 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS

61

Tabla 3: Clasificaci´n de las SPO Cl´sicas. o a Pn(x) σ(x) τ (x) λn ρ(x) Hn(x) 1 −2x 2n e−x
2

Lα (x) n x

α,β Pn (x)

1 − x2

−x + α + 1 −(α + β + 2)x + β − α n xα e−x α > −1 n(n + α + β + 1) (1 − x)α (1 + x)β α, β > −1 (1 − x)n+α (1 + x)n+β

ρn (x)

e−x

2

xn+α e−x

6.2.2.Representaci´n hipergeom´trica. o e

De la f´rmula de Rodrigues, o usando el m´todo de las series de potencias, (6.5) se o e puede obtener la representaci´n de los polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi en t´rminos o e de la funci´n hipergeom´trica de Gauss 2 F1 definida en el caso m´s general de forma: o e a
p Fq

a1, a2 , , ap x b1 , b2 , , bq

=

∞ k=0

(a1)k (a2)k · · · (ap)k xk . (b1)k (b2)k · · · (bq )k k! 3 2 −m
3 2

(6.21)

De esta manera encontramos que: H2m (x) = (−1)m 1 2
1 F1 m

−m
1 2

x2 , H2m+1 (x) = (−1)m

x 1 F1
m

x2 , (6.22) (6.23) (6.24)

Lα (x) = n
α,β Pn (x) =

(−1)n Γ(n + α + 1) 1 F1 Γ(α + 1)

−n x , α+1

2n (α + 1)n 2 F1 (n + α + β + 1)n

−n, n + α + β + 1 1 − x . α+1 2

6.2.3.

Casos particulares.

0,0 1. Los polinomios de Legendre Pn(x) = Pn (x).

2. Los polinomios de Chebyshev de primera especie Tn(x): Tn(x) = Pn
1 − 2 ,− 1 2

(x) =

1 2n−1

cos[n arccos (x)].

3. Los polinomios de Chebyshev de segunda especie Un (x):
1 1 2 Un(x) = Pn 2 (x) =

,

1 sen[(n + 1) arccos (x)] . 2n sen[ arccos (x)]

4. Los polinomios de Gegenbauer Gλ (x): n Gγ (x) = Pn n
1 1 γ− 2 ,γ− 2

(x),

γ > −1. 2

´ 6 LOS POLINOMIOSORTOGONALES CLASICOS

62

Tabla 4: Par´metros de las SPO M´nicas (an = 1). a o
Pn (x) Bn Hn (x) (−1)n 2n 0 √ n! π 2n 1 0 n 2 0 0 n Lα (x) n (−1)n
α,β Pn (x)

(−1)n (n + α + β + 1)n n(α − β) 2n + α + β 2α+β+2n+1 n!Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1) Γ(n + α + β + 1)(2n + α + β + 1)(n + α + β + 1)2 n 1 β 2 − α2 (2n + α + β)(2n + 2 + α + β) 4n(n + α)(n + β)(n + α + β) (2n + α + β − 1)(2n + α + β)2 (2n + α + β + 1) 2(α − β)n(n + α + β + 1) (2n + α + β)(2n + 2 + α + β) 4n(n + α)(n + β)(n + α + β)(n + α + β + 1) (2n + α + β − 1)(2n + α + β)2 (2n + α + β + 1) 2n(α − β) (2n + α + β)(2n + 2 + α + β) − 4n(n − 1)(n + α)(n + β) (2n + α + β − 1)(2n + α + β)2 (2n + α + β + 1) −n

bn d2 n αn βn γn αn ˜ ˜ βn γn ˜

−n(n + α) Γ(n + α + 1)n! 1 2n + α + 1 n(n + α) 0 n n(n + α)

δn
n

0 0

n 0

6.2.4.

Otras caracter´ A±sticas.

Como consecuencia de las f´rmulas anteriores podemos obtener los valores de los polio nomios en los extremos del intervalo de ortogonalidad. H2m (0) = (−1)m (2m)! , 22m m! H2m+1 = 0, Lα (0) = n (−1)nΓ(n + α + 1) , Γ(α + 1)

2n (α + 1)n α,β Pn (1) = , (n + α + β + 1)n

(−1)n 2n (β + 1)n α,β Pn (−1) = . (n + α + β + 1)n

(6.25)

Utilizando la f´rmula (6.16) encontramos las ecuaciones (ν =1, 2, 3, , n = 0, 1, 2, ): o (Hn(x))(ν) = n! Hn−ν (x), (n − ν)!
α,β (Pn (x))(ν) =

(Lα (x))(ν) = n

n! Lα+ν (x), (n − ν)! n−ν

(6.26) (6.27)

donde (Pn(x))(ν) denota la ν−´sima derivada de Pn(x). e

n! α+ν,β+ν Pn−ν (x), (n − ν)!

´ 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS

63

Directamente a partir de las correspondientes EDOs se puede probar que los polinomios de Hermite y Gegenbauer se relacionan con los de Hermite y Jacobi, respectivamente mediante las siguientes relaciones: H2m (x) = Lm2 (x2), Gγ (x) = P2m 2 2m
1 γ− 1 ,γ− 2

−1

2 H2m+1 (x) = xLm (x2) , 1 1 γ− 2 ,− 1 2 (2x2 − 1), P m m 2

1

(x) =

(6.28)

1 γ− 1 , 1 x Pm 2 2 (2x2 − 1). 2m Adem´s, de la f´rmula de Rodrigues se puede encontrar la siguiente propiedad de simetr´ a o A±a para los polinomios de Jacobi:
2 Gγ 2m+1 (x) = P2m+1 1 γ− 1 ,γ− 2

(x) =

β,α α,β Pn (−x) = (−1)nPn (x).

(6.29)

Ap´ndice: La funci´n Gamma de Euler e o Una de las funciones que con m´s frecuencia encontraremos es la funci´n Gamma de a o Euler o Γ, definida, en general, mediante la integral de Euler ´ Γ(z) =
0 ∞

e−t tz−1 dt,

(z) > 0.

Esta funci´n fue definida por Euler en 1729 como l´ o A±mite de un producto de donde sepuede deducir la integral anterior (considerada tambi´n por Euler en 1772) aunque su nombre e y notaci´n se deben a Legendre quien la estudi´ en detalle en 1814. En particular, Euler o o prob´ que o 1 Γ(z) = z n=1


1 1+ n

z

1+

z n

−1

= l´ A±m

1 · 2 · · · (n − 1) zn. n→∞ z(z + 1) · · · (z + n − 1) π , sen πz

Dicha funci´n satisface las ecuaciones funcionales o Γ(z + 1) = zΓ(z), y adem´s, cumple la propiedad a Γ(1 − z)Γ(z) =

√ 1−2z π2 Γ(2z). √ 1 a Utilizando las expresiones anteriores se concluye que Γ( 2 ) = π. Adem´s, Γ(z)Γ(z + 1 ) = 2 Γ(n + 1) = n! = n(n − 1) · · · (2)(1),
n N.

a(x) = 1. Otra funci´n muy relacionada con la o x→∞ b(x) funci´n Γ es el s´ o A±mbolo de Pochhammer (a)k (5.13) donde por a(x)
b(x) entenderemos l´ A±m Es muy sencillo comprobar que (a)0 = 1, (a)k = a(a + 1)(a + 2) · · · (a + k − 1), k = 1, 2, 3, . . . . (a)k = (6.30)

La siguiente f´rmula asint´tica de la funci´n Γ es de gran utilidad o o o √ 1 Γ(ax + b)
2πe−ax (ax)ax+b− 2 , x >> 1,

Γ(a + k) . Γ(a) Finalmente, definiremos los coeficientes binomiales n k = (−1)k (−n)k n! = . (n − k)!k! k!

´ 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS

64

6.3.

Los momentos de los polinomios cl´sicos a

Eneste apartado vamos a considerar brevemente una forma de obtener una relaci´n para o los momentos. Teorema 6.7 Sea µ
C. Se definen los momentos como
b

Cν,µ (z) =
a

(s − z)µρν (s)ds.

(6.31)

Si se cumple la condici´n de frontera o
b

σ(s)ρν (s)(s − z)µ

= 0,
a

(6.32)

entonces los momentos generalizados verifican la siguiente relaci´n de recurrencia a tres o t´rminos e 1 µσ(z)Cν,µ−1 (z) + [τν (z) + µσ (z)] Cν,µ (z) + τν + µσ 2 Cν,µ+1 (z) = 0. (6.33)

En particular, para ν = 0, µ = p
N, z = 0 obtenemos, de (6.33), la siguiente relaci´n o de recurrencia a dos t´rminos e 1 µσ(0)Cp−1 + [τ (0) + pσ (0)]Cp + τ + pσ 2 para los momentos cl´sicos a Cp ≡ C0,p (0) =
a b

Cp+1 = 0.

(6.34)

sp ρ(s)ds.

Vamos a aplicar los resultados anteriores a los polinomios cl´sicos. a Para obtener los momentos de los polinomios de Jacobi usaremos las expresiones (6.33) y (6.34). Ejemplo 6.8 Calcula los momentos de los polinomios de Laguerre y Hermite usando el m´todo anterior. e En el caso Laguerre tenemos que la relaci´n de recurrencia (6.34) es o (α + n + 1)Cn − Cn−1 = 0, luego Cn = (α + 1)nC0 , C0 =
0 ∞

xα e−x dx = Γ(α + 1),

de donde deducimos que Cn = Γ(α + n + 1). Finalmente, que usar(6.33) deducimos que, evidente ya que para los polinomios de Hermite tenemos que σ(0) = 0, as´ que tenemos A± cuando z = 0. Ello nos conduce a la relaci´n pCp−1 − 2Cp+1 = 0. De ella o como C1 = 0, entonces todos los momentos impares son nulos, lo cual es √ la funci´n peso es una funci´n par. Adem´s, como C0 = π, entonces o o a C2m = (2m − 1)!! √ (2m)! √ π = 2m π, 2m 2 m! C2m+1 = 0.

´ 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS

65

6.4.

Las funciones generatrices

El objetivo de este apartado es encontrar las funciones generatrices de los polinomios cl´sicos. En general el problema se puede plantear como sigue: Dada una sucesi´n n´merica a o u (An )n y una sucesi´n de polinomios (Pn)n encontrar una funci´n Φ(x, t) tal que, o o Φ(x, t) =
∞ n=0

An Pn (x)tn.

(6.35)

Obviamente la serie anterior puede no converger prefijado un valor cualquiera del par´metro a t, por ello asumiremos que t es lo suficientemente peque˜o para que la serie converja en una n regi´n de las x lo suficientemente amplia. o Para los polinomios cl´sicos se tienen las siguientes identidades. a
∞ n=0 ∞ n=0

2n 2 Hn (x)tn = e2xt−t , n!

∞ n=0

e− 1−t (−1)n α n Ln (x)t = , n! (1 − t)α+1

tx

(6.36)

2α+β (−1)n (α + β +1)n α,β Pn (x)tn = , n! R(1 − 2t + R)α (1 + 2t + R)β

(6.37)

con R =

1 + 4t(t + x).

Para probar las mismas usualmente se hace uso del teorema integral de Cauchy. No obstante daremos la prueba de las mismas usando m´todos m´s “elementales”. e a Comenzaremos con los polinomios de Hermite al ser ´stos los m´s sencillos. Daremos tres e a pruebas distintas para mostrar los distintos trucos que se suelen usar. Caso Hermite Hn (x): Primera prueba Sea Φ(x, t) = e2xt−t . Al ser esta funci´n anal´ o A±tica en R podemos usar la serie de Taylor Φ(x, t) = Pero ∂ Φ ∂tn luego e
n ∞ k=0
2

1 n!

∂ nΦ ∂tn

tn .
t=0

=e
t=0

x2 ∂

n −(x−t)2

e ∂tn

=
t=0

   ξ = x−t   dξ = −dx  =
∞ n=0

(−1) e

n x2 ∂

n −ξ 2

e ∂ξ n

ξ=x

(−1)n = Hn(x), Bn

2xt−t2

2n Hn(x)tn. n!

Caso Hermite Hn (x): Segunda prueba Vamos a usar la relaci´n de recurrencia a tres t´rminos o e Hn+1 (x) + n Hn−1 (x) − xHn(x) = 0. 2

´ 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS Multiplicamos por 2n+1 tn /n! 2n+1 2n 2n+1 Hn+1 (x)tn + Hn−1 (x)tn − x Hn(x)tn = 0, n! (n − 1)! n! o equivalentemente 2n−1 2n ∂ 2n+1 Hn+1 (x)tn+1 + 2t Hn−1 (x)tn−1 − 2x Hn (x)tn = 0, ∂t (n + 1)! (n − 1)! n! y sumamos en n = 0 hasta∞ y usamos que 1/(−1)! = 0 y obtenemos ∂ ∂t
∞ n=0 ∞ ∞

66

2n−1 2n 2n+1 Hn+1 (x)tn+1 + 2t Hn−1 (x)tn−1 − 2x Hn(x)tn = 0. (n + 1)! (n − 1)! n! n=1 n=0
∞ 2n n n=0 n! Hn (x)t ,

Ahora bien, como Φ(x, t) =

obtenemos la ecuaci´n o

∂ Φ(x, t) + 2(t − x)Φ(x, t) = 0, ∂t cuya soluci´n es Φ(x, t) = e2xt−t . o Caso Hermite Hn (x): Tercera prueba Vamos a dar una tercera prueba que escencialmente es la inversa de la anterior, es decir a partir de la expresi´n expl´ o A±cita de la funci´n generatr´ deducimos una relaci´n de recurreno A±z o cia para los correspondientes polinomios (en este caso los de Hermite). La raz´n fundamental o es que este m´todo es muy general y nos permitir´ probar el resto de las expresiones. e a o Sea la funci´n generatr´ Φ(x, t) = e2xt−t que escribiremos mediante la expresi´n o A±z Φ(x, t) =
∞ n=0
2 2

2n gn (x)tn, n!

(6.38)

donde (gn)n es una sucesi´n de polinomios a determinar. o Un sencillo c´lculo nos muestra que a ∂ 2 Φ(x, t) = (2x − 2t)e2xt−t = 2(x − t)Φ(x, t). ∂t De aqu´ deducimos que Φ(x, 0) = 1 y Φt(x, 0) = 2x, por tanto, usando el desarrollo en serie A± de Taylor en t para Φ(x, t) y compar´ndolo con (6.38) deducimos que g0(x) = 1 y g1(x) = x. a Ahora sustituimos(6.38) en la ecuaci´n diferencial anterior lo que nos da o
∞ n=0

2n 2n gn(x)ntn−1 − 2(x − t) gn(x)tn = 0, n! n! n=0



o, equivalentemente,
∞ n=1

2n 2n+1 2n gn(x)tn−1 − 2x gn(x)tn + gn(x)tn+1 = 0. (n − 1)! n! n! n=0 n=0





´ 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS Igualando coeficientes de las potencias de t a cero tenemos t0 : t1 : tn : 2g1(x) − 2xg0(x) = 0, 2g2(x) − 4xg1(x) + 2g0(x) = 0, 2gn+1 (x) − 2xgn(x) + ngn−1 (x) = 0.

67

Ahora bien, como g0(x) = 1 = H0(x) y g1(x) = x = H1(x), entonces comparando las relaciones anteriores con la relaci´n de recurrencia a tres t´rminos para los polinomios m´nicos o e o de Hermite obtenemos que gn (x) = Hn(x) que era lo que pretend´ A±amos probar.

6.5.

Problemas

Problema 6.9 Calcula todas las car´cter´ a A±sticas de los polinomios cl´sicos que aparecen en a la tabla 4. e Problema 6.10 Probar la ortogonalidad de las k−´simas derivadas de los polinomios hi(k) pergeom´tricos yk ≡ Pn , es decir, e
b (k) (k) 2 Pn (x)Pm (x)ρk (x)dx = δnm dkn . a

(6.39)

Problema 6.11 Prueba que los polinomios n´cleos satisfacen la siguiente propiedad reprou ductora
b

p(x)Kern (x, y)dx = p(y),
a

p(x) Pn .

(6.40)

Problema 6.12 Encontrar larelaci´n de recurrencia para los momentos Cn := C0,n (0) de o los polinomios de Jacobi. N´tese que o 2α+β+1 Γ(α + 1)Γ(β + 1) C0 = (1 − x) (1 + x) dx = . Γ(α + β + 2) −1
α β 1

H´gase lo mismo pero para los momentos Cn := C0,n (1), es decir, si en vez de sustituir a en (6.33) z = 0 sustituimos el valor z = 1. Un caso de especial relavancia son los polinomios de Gegenbauer que corresponden al caso α = β = γ − 1/2. Encontrar la relaci´n de recurrencia para los momentos Cn := C0,n (0) en o este caso y resu´lvela. A partir de ´sta encuentra los momentos de los polinomios de Legendre e e − 1 ,− 1 0,0 Pn(x) = Pn (x), los polinomios de Chebyshev de primera especie Tn(x) = Pn 2 2 (x) y los
1 1

polinomios de Chebyshev de segunda especie Un (x) = Pn2 2 (x), respectivamente. Problema 6.13 Demuestra que la funci´n generatr´ para los polinomios de Laguerre viene o A±z γ− 1 ,γ− 1 γ dada por (6.36). Sean los polinomios de Gegenbauer Cn (x) := Pn 2 2 (x) que son un caso particular de los polinomios de Jacobi. Prueba que en este caso 1 = (1 − 2xt + t2 )γ
∞ n=0

,

2n (γ)n γ Cn (x)tn, n!

(6.41)

donde (γ)n es el s´ A±mbolo de Pocchamer. Como casos particulares deducir la de los polinomios de Chebychev deprimera y segunda especie y la de los polinomios de Legendre.

´ 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS Problema 6.14 Prueba las relaciones
α,β+1 Pn−1 (x) = α,β (2n + α + β)(1 − x) d Pn (2n + α + β) α,β (x) + Pn (x), 2n(α + n) dx 2(α + n) α,β (2n + α + β)(x + 1) d Pn (2n + α + β) α,β (x) − Pn (x). 2n(β + n) dx 2(β + n)

68

(6.42)

α+1,β Pn−1 (x) =

(6.43)

Problema 6.15 Los polinomios n´cleos Ker n−1 (x, y) se definen mediante la expresi´n u o Kern−1 (x, y) = Pm (x)Pm(y) . d2 m m=0
n−1

Usando la f´rmula de Christoffel-Darboux (6.14), los valores en los extremos (6.25) y las o f´rmulas de diferenciaci´n (6.17), prueba las siguentes f´rmulas: o o o • N´cleos de los polinomios de Hermite: u
1 (−1)m−1 H2m (x) (−1)m−1 2 KerH (x, 0) = √ Lm−1 (x2) = √ , 2m−1 π(m − 1)! 2 π(m − 1)! x

1 (−1)m H2m (x) (−1)m 2 , Lm (x2) = √ KerH (x, 0) = √ 2m π(m)! π(m)! x

KerH (0, 0) = 2m−1

• N´cleos de los polinomios de Laguerre: u KerL (x, 0) = n−1

1 2 Γ(m + 3 ) 2 Γ(m + 2 ) (2m − 1)! (2m + 1)! 2 , KerH (0, 0) = . = 2m−2 √ = 2m √ 2m 2 π Γ(m) π Γ(m + 1) 2 π(m − 1)! 2 π m!2

(−1)n−1 (Lα ) (x), n Γ(α + 1)n!

KerL (0, 0) = n−1

(α + 1)n . Γ(α + 2)(n − 1)!

• N´cleos de los polinomios de Jacobi: u
α,β dα−1,β α,β α,β+1 KerJ,α,β (x, −1) = ηn dx Pn (x) = nηn Pn−1 (x), n−1 β,α α+1,β α,β−1 β,α d (x) = n(−1)n+1 ηn Pn−1 (x), KerJ,α,β (x, 1) = (−1)n+1 ηn dx Pn n−1 β,α α,β donde por ηn y ηn denotaremos las cantidades β,α ηn =

(6.44) (6.45)

(−1)n−1 Γ(2n + α + β) , 2α+β+n n!Γ(α + n)Γ(β + 1)

β,α ηn

(−1)n−1 Γ(2n + α + β) . 2α+β+n n!Γ(α + 1)Γ(β + n)

Usando (6.44)-(6.45) tenemos KerJ,α,β (−1, −1) = n−1 Γ(β + n + 1)Γ(α + β + n + 1) , 2α+β+1 (n − 1)!Γ(β + 1)Γ(β + 2)Γ(α + n) (−1)n−1 Γ(α + β + n + 1) . 2α+β+1 (n − 1)!Γ(β + 1)Γ(α + 1)

KerJ,α,β (−1, 1) = n−1

Utilizando la relaci´n de simetr´ (6.29) para los polinomios de Jacobi prueba que o A±a
J,β,α KerJ,α,β (1, 1) = Kern−1 (−1, −1). n−1


7 EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD PARA LAS EDOS

69

7.

El teorema de existencia y unicidad para las EDOs

Vamos a resolver uno de los problemas pendientes m´s importantes: la existencia y unia cidad de soluciones para una EDO de primer orden. Sea el problema de valores iniciales y = f (x, y), y(x0 ) = y0 . (7.1)

En el apartado 2.7.1 de aproximaciones n´mericas vimos algunos ejemplos donde la soluci´n u o o bien no era unica o bien no correspond´ con la soluci´n exacta. Vamos a dar aqu´ algunas ´ A±a o A±condiciones bajo las cuales podemos garantizar que el PVI (7.1) tiene soluci´n unica. o ´ Lo primero que asumiremos es que la funci´n f (x, y) es continua en el rect´ngulo R o a definido por a, b > 0. (7.2) R = , Proposici´n 7.1 El PVI (7.1) es equivalente a la siguiente ecuaci´n integral o o
x

y(x) = y0 +
x0

f (ξ, y(ξ))dξ.

(7.3)

Definici´n 7.2 Diremos que una funci´n f (x, y) es de la clase de Lipschitz o lipschitziana o o (en la variable y) en R si existe cierta constante positiva K > 0 tal que para todos (x, y)
R y (x, z) R se cumple Es f´cil comprobar que toda funci´n f (x, y) de la clase de Lipschitz seg´n la definici´n a o u o anterior es continua en y. Adem´s, una condici´n suficiente para que una funci´n f (x, y) sea a o o de la clase de Lipschitz es que su derivada parcial ∂f sea continua en R. ∂y o o Definici´n 7.3 Dada una funci´n u(x) definida en un intervalo cerrado y acotado I R, definiremos la norma de u(x) a la cantidad u = sup |u(x)|.
x
I

|f (x, y) − f (x, z)| ≤ K|y − z|.

(7.4)

Para la norma tenemos la desigualdad evidente u ≥ 0, y u = 0 si y s´lo si u(x) = 0 en o I. Adem´s, se tiene la desigualdad triangular a u+v ≤ u + v .Obviamente si u(x) es continua u < +∞. Proposici´n 7.4 (Teorema de unicidad local de soluciones) o Sea f (x, y) una funci´n de la clase de Lipschitz con constante K y sea d
(0, 1/K). Si y 1 (x) o e y2 (x) son dos soluciones del PVI (7.1) definidas en Id = tales que y1 (x0) = y2 (x0) = y0 , entonces y1 (x) = y2(x) en todo Id . Sea M = m´x |f (x, y)|. a (x,y) R Como f es continua en R, M siempre est´ definida. a Sea y0 (x) una funci´n continua definida en un entorno de x0 tal que la imagen de y0 (x) o est´ contenida en R. Vamos a definir una sucesi´n de funciones yn (x) de la siguiente forma e o
x

(7.5)

yn+1 (x) = y0 +
x0

f (ξ, yn (ξ))dξ,

n = 0, 1, 2, . . . .

(7.6)

o o La sucesi´n anterior se conoce como sucesi´n de Picard.


7 EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD PARA LAS EDOS

70

Proposici´n 7.5 Sea y0(x) una funci´n continua definida en Id = tal que su imagen est´ contenida en R. Entonces, para todo n ≥ 0, las im´genes e a de yn (x) est´n contenidas en R. a Proposici´n 7.6 (Teorema de existencia local de soluciones) o Sea y0 (x) una funci´n continua definida en Id = tal que su imagen est´contenida en R, i.e., |y0 (x) − y0 | ≤ b. Entonces, la sucesi´n de Picard e o (7.6) converge cuando n tiende a infinito a una funci´n y(x) que es soluci´n del PVI (7.1) o o en Id . Corolario 7.7 (Teorema local de existencia y unicidad) Sea el PVI (7.1) con f lipschitziana de constante K en R (7.2), y M = m´x(x,y)
R |f (x, y)|. a Entonces, el PVI (7.1) tiene soluci´n unica en el intervalo Id = , es decir existe una unica funci´n y(x) tal que y (x) = f (x, y(x)) e ´ o y(x0 ) = y0 . Los teoremas anteriores son s´lo condiciones suficientes. Por ejemplo si consideramos la o EDO lineal y = y sabemos que su soluci´n existe y es unica en todo R (es la exponencial) o ´ sin embargo si escogemos x R cualquiera y tomamos b > 0 cualquiera tenemos f (x, y) = y, luego f es lipschitziana con constante K = 1, M = b, y el teorema anterior nos garantiza s´lo la soluci´n en el intervalo Id = . Como ultimo ejemplo veamos el caso de la EDO y = 1 + y 2 con y(0) = 0. En este caso ´ la soluci´n es y = tan x definida s´lo en [0, π/2). Como f (x, y) = 1 + y 2 , entonces o o |f (x, y) − f (x, z)| = y 2 − z 2 = |y + z||y − z|. Sea x R por ejemplo.Escojamos un valor cualquiera para y, digamos que |y| ≤ b > 0. Entonces K = 2b y M = 1 + b2 , por tanto d = m´ A±n(a, b/M, 1/K) = m´ A±n(a, b/(1 + b2 ), 1/b). 2 Ahora bien, m´x b/(1 + b ) = 1/2 y se alcanza en b = 1, por lo que como mucho asegurar a que la soluci´n existe en el intervalo |x| < 1/2. N´tese que en este caso el teorema es util o o ´ pues para x > 1/2 no nos garantiza la existencia de la soluci´n como ocurre en la pr´ctica. o a El procedimiento anterior es f´cilmente extensible a sistemas. Para ello basta definir una a norma en RN y el valor absoluto de un vector. Para este ultimo podemos usar la definici´n ´ o |Y (x)| = N |yk |. Si ahora usamos, por ejemplo, la norma k=1
N

Y

=
k=1

yk ,

entonces las demostraciones anteriores se adaptan perfectamente para el caso general. N´tese o o que con esta elecci´n se tiene que si |Y (x)| ≤ M entonces Y ≤ N M . Las correspondientes demostraciones se dejan como ejercicio.

7.1.

Problemas

Problema 7.8 Prueba las propiedades anteriores para la norma u . Problema 7.9 Sea la EDO y = x − y 2 con y(0) = 0. Encuentra el intervalo donde se puede garantizar la existencia y unicidad de la soluci´n. Encuentra las tres primeras aproximacioo nes de lasoluci´n. o


7 EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD PARA LAS EDOS

71

Problema 7.10 Prueba que la soluci´n de cada uno de los siguientes PVI existe en el o intervalo indicado 1. y = y 2 + cos x2 , y(0) = 0, x
[0, 1/2] 2. y = y 3 + e−5x , y(0) = 2/5, x [0, 3/10] 3. y = x + y 2 , y(0) = 0, x [0, 1/2] Problema 7.11 Encuentra las tres primeras iteraciones de la sucesi´n de Picard para el o 2 x PVI y = y + e , y(0) = 0. Problema 7.12 Encuentra las cuatro primeras iteraciones de la sucesi´n de Picard para el o PVI y = 1 + y 2 , y(0) = 0. Comp´ralas con la soluci´n exacta. a o


8 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

72

8.

La transformada de Laplace
 

Definici´n 8.1 Sea f una funci´n definida en [0, ∞). La transformada de Laplace [f ] o o o F(t) es la transformada integral F(t) = [f ](t) =
 

∞ 0

e−tx f (x)dx,

(8.1)

donde la integral se entiende en el sentido impropio, o sea
∞ 0 z

e

−tx

f (x)dx = l´ A±m

z→∞

e−tx f (x)dx.
0

Definici´n 8.2 Diremos que una funci´n f es de orden exponencial si existen dos constantes o o no negativas c y M tales que |f (x)| ≤ M ecx para todo x ≥ 0. o Teorema 8.3 Si f es una funci´n continua a trozos de orden exponencial entonces f tienetransformada de Laplace para todo t suficientemente grande. a En la siguiente tabla incluimos algunas de las transformadas de Laplace m´s comunes incluida la de la funci´n escal´n χc (s) definida como 1 si x
[0, c] y 0 en el resto. o o
 

f (x) c xn eax sen(ax) cos(ax) senh(ax) cosh(ax) x−1/2 χc (x)

F(t) = [f ](t) c t n! tn+1 1 , t>a t−a a t2 + a 2 t 2 + a2 t a , t>a t2 − a 2 t , t>a t2 − a 2 π , t>0 t e−ct , t>0 t

Tabla 5: Transformadas de Laplace de algunas funciones Proposici´n 8.4 Si F(t) = [f ](t) entonces o 1. [f ](t) = t [f ](t)−f (0) = tF(t)−f (0) y en general [f (n) ](t) = tn F(t)− 2. [eax f (x)](t) = F(t − a)
         

n−1 k (n−k−1) (0) k=0 t f


8 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 3. [xf (x)](t) = −F (t) y en general, 4. [χc (x)f (x − c)] = e−ct F(t).
     

73

[xnf (x)](t) = (−1)n F(n) (t).

5. Definiremos la convoluci´n de dos funciones f y g como la funci´n h(x) = (f
g)(x) o o definida por
x

(f
g)(x) =
     

0

f (x − z)g(z)dz.

(8.2)

Entonces, [(f
g)(x)](t) = [f (x)](t) · [g(x)](t).

8.1.

Problemas

Problema 8.5 Calcula las transformadas de Laplace de las funciones de la tabla 8. Problema 8.6 Calcula las transformadas de Laplace de las funciones xcos(ωx) y x sen(ωx). Usando lo anterior encuentra la transformada de las funciones t2 , (t2 + ω 2 )2 (t2 1 + ω 2 )2

Problema 8.7 Usando los resultados del problema anterior encuentra, usando la transformada de Laplace la soluci´n de la EDO o y + ω 2 y = f0 sen(ωx), y(0) = y (0) = 0.

Problema 8.8 Usa la transformada de Laplace para resolver las EDOs 1. y − 5y + 4y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0, 2. y − 4y + 4y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1, 3. y + y = xex , y(0) = y (0) = 0, 4. y + 2y + 5y = 3e−x sen x, y(0) = 0, y (0) = 1, 5. y + 2y + y = [1 − χπ/2 (x)] sen(2x), y(0) = 1, y (0) = 0, 6. y + 3y + 2y = χπ/2 (x)e3x, y(0) = 1, y (0) = 1. Resuelve los mismos problemas usando las t´cnicas aprendidas en el cap´ e A±tulo 4. Problema 8.9 La EDO xy + y + xy = 0, se conoce como ecuaci´n de Bessel de orden 0. o Prueba que si Y(t) es la transformada de Laplace de la soluci´n de esta EDO con y(0) = 1, o prueba que entonces Y satisface la EDO (t2 + 1)Y (t) + tY(t) = 0. Prueba que la soluci´n de la EDO anterior se puede expresar en serie como o Y(t) = c
∞ n=0

(−1)n (2n)! 1 . 22n(n!)2 t2n+1

A partir de lo anterior deduce la funci´n y(x) soluci´n de la EDO de Bessel. o o


8 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

74

Problema 8.10 Usarla transformada de Laplace para resolver los siguientes PVI de SEDO: Y = Y = Y = 1 −3 −2 2 Y + Y + Y, 1 1 ex , , Y (0) = 0 5 , 2 1 , 0 0 .

1 4 1 1

Y (0) =

Resuelve los mismos problemas usando las t´cnicas aprendidas en el cap´ e A±tulo 3.

3 −2 2 −2

1 − χπ (x) 0

Y (0) =

´ A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS

75

A.

Anexo: C´lculo de primitivas a

Definici´n A.1 Se dice que una funci´n F (x) es una primitiva de otra funci´n f (x) sobre un o o o intervalo (a, b) si para todo x de (a, b) se tiene que F (x) = f (x). Por ejemplo, la funci´n F (x) = x2 es una primitiva de f (x) = 2x en todo R pues (x2 ) = 2x. o El siguiente teorema es una consecuencia trivial del teorema del valor medio de Lagrange. Teorema A.2 Sean F1 (x) y F2 (x) dos primitivas de la funci´n f (x) en (a, b). Entonces, para todo o x de (a, b), F1 (x) − F2 (x) = const. Es decir dada una funci´n f (x) sus primitivas difieren en una o constante (en adelante denotaremos por C a una constante cualquiera). Definici´n A.3 El conjunto de todas las primitivas de una funci´n f (x) definida en (a, b) se o o denomina integral indefinida de f (x) y se denota por primitiva de f (x), f (x) dx = F (x) + C Mediante una simple derivaci´n essencillo comprobar el siguiente o Teorema A.4 (Propiedades de la integral indefinida.) 1. 2. 3. 4. d dx f (x) dx = f (x) (A.1) f (x) dx. De manera que, si F (x) es una

dF (x) = F (x) + C [f (x) ± g(x)] dx = [A · f (x)] dx = A f (x) dx ± f (x) dx g(x) dx

Teorema A.5 Tabla de Integrales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 0 dx = C 1 dx = x + C xα dx = xα+1 + C, α+1
R, α = −1

1 dx = log |x| + C x ax dx = ax + C, log a a > 0, a = 1

sen x dx = − cos x + C cos x dx = sen x + C 1 dx = tan x + C cos2 x

´ A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS
1 dx = − cotan x + C sen2 x 1 √ dx = 1 − x2 1 dx = 1 + x2 arc sen x + C − arc cos x + C arctan x + C − arcctg x + C x2 ± 1 + C

76

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

1 √ dx = log x + 2±1 x

x+1 1 1 dx = log +C 1 − x2 2 x−1 sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C 1 dx = tanh x + C cosh2 x 1 dx = coth x + C sinh2 x

A.1.
A.1.1.

M´todos de integraci´n. e o
Integraci´n por cambio de variable. o

Teorema A.6 Sea t = φ(x) una funci´n derivable en x y sean X = (a, b) el dominio y T = φ[(a, b)] o la imagen de φ(x). Supongamos que sobre el conjunto T existe la primitiva de la funci´n g(t), o o sea, g(t)dt = G(t) + C. Entonces sobre todo el conjunto (a, b) lafunci´n g[φ(x)]φ (x) tiene una primitiva y adem´s o a g[φ(x)]φ (x) dx = G[φ(x)] + C. Demostraci´n: Basta notar que (G[φ(x)]) = G [φ(x)]φ (x) = g[φ(x)]φ (x). o Ejemplo A.7 a) Calcular cos(2x) dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la

tabla. Para ello hacemos: cos(2x) dx = b) Calcular la tabla: ecos x sen x dx = t = cos x dt = − sen dx =− ey dy = −ey + C = −ecos x + C y = 2x dy = 2 dx = cos(y) 1 1 dy = sen y + C = sen(2x) + C 2 2 2

ecos x sen x dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de

´ A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS A.1.2. Integraci´n por partes. o

77

Supongamos que las funciones u(x) y v(x) son derivables en un intervalo (a, b) y existe la primitiva de la funci´n v(x)u (x) en (a, b). Entonces, sobre (a, b) existe la primitiva de u(x)v (x) y o se cumple que u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − o en forma diferencial u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x). (A.3) v(x)u (x) dx, (A.2)

Demostraci´n: Para probarlo es suficiente notar que [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x) y la o propiedad 1 del teorema A.4. Ejemplo A.8 a) Calcular xn log x dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la
1 u(x) = log x, du(x) = x dx n+1dv(x) = xn dx, v(x) = x n+1

o tabla. Utilicemos la integraci´n por partes: xn log x dx = xn+1 n+1 = xn+1 log x − n+1 xn dx = n+1

=

log x −

1 n+1

+C

b) Calcular I =

eax cos bx dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una u(x) = eax , du(x) = aeax dx dv(x) = cos bx dx, v(x) = 1 sen bx b eax sen bx a − b b

de la tabla. Utilicemos la integraci´n por partes: o I= eax cos bx dx = = eax sen bx dx.

La integral

eax sen bx dx es de la misma forma que la original as´ que volveremos a aplicar A± u(x) = eax , du(x) = aeax dx dv(x) = sen bx dx, u(x) = − 1 cos bx b I= eax cos bx a + b b

integraci´n por partes: o eax sen bx dx = =− eax cos bx dx.

Juntando las dos f´rmulas anteriores concluimos que o

eax sen bx a a2 + 2 eax cos bx − 2 I, b b b de donde, resolviendo la ecuaci´n respecto a I obtenemos: o b sen bx + a cos bx ax e + C. I = eax cos bx dx = a2 + b 2 Algunas de las integrales que pueden ser calculadas utilizando la integraci´n por partes son: o 1. Las integrales donde aparezcan las funciones log x, arc sen x, arc cos x, log φ(x), potencias enteras de las funciones anteriores, entre otras donde tendremos que escoger como funci´n o u(x) a alguna de lasfunciones anteriores (ver ejemplo a). Las integrales (ax + b)n sen cx dx, (ax + b)n cos cx dx y (ax + b)n ecx dx. Donde para

2.

encontrar las primitivas hay que utilizar la f´rmula de integraci´n por partes n veces tomando o o cada vez u(x) = (ax + b)n , u(x) = (ax + b)n−1 , ., respectivamente. 3. Las integrales de la forma eax sen bx dx, eax cos bx dx, sen(log x) dx y cos(log x) dx.

Para encontrar las primitivas hay que denotar por I a cualquiera de las integrales anteriores, aplicar dos veces integraci´n por partes y resolver la ecuaci´n resultante respecto a I (ver o o ejemplo b).

´ A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS

78

A.2.

Integraci´n de funciones racionales. o

Pn (x) es simple si el grado del poliQm (x) nomio Pn (x) es menor que el del polinomio Qm (x), o sea, si n < m. Definici´n A.9 Diremos que una funci´n racional f (x) = o o Si n > m entonces podemos dividir los polinomios Pn (x) y Qm (x) de tal forma que Pn (x) Rk (x) = pn−m (x) + , Qm (x) Qm (x) Teorema A.10 Supongamos que donde k < m.

Pn (x) es una fracci´n simple, y que el polinomio denominador o Qm (x) se puede factorizar de la siguiente forma Qn (x) = (x − x1 )n1 · · · (x − xp )np (x2 + p1 x + q1 )m1 · · · (x2 + pk x+ qk )mk , (A.4)

donde x1 , , xp son las ra´ces reales de Qm (x), y los factores x2 + pi x + qi , i = 1, .., k no tienen A± Pn (x) ra´ces reales. Entonces, la fracci´n simple A± o se puede descomponer en las siguientes fracciones Qm (x) elementales simples: Pn (x) = Qm (x) A n1 An1 −1 A1 + + ··· + + ···+ (x − x1 )n1 (x − x1 )n1 −1 (x − x1 ) + Bn p Bnp −1 B1 + + ··· + + ···+ np np −1 (x − xp ) (x − xp ) (x − xp )

(A.5)

M1 x + N 1 Mm x + N m1 + ··· + 2 + ···+ + 2 1 m1 (x + p1 x + q1 ) (x + p1 x + q1 ) + (x2 L1 x + K 1 L mk x + K mk , + ··· + 2 mk + pk x + q k ) (x + pk x + qk )

donde Ai , Bi , Mi , Ni , Li y Ki son ciertas constantes reales. Para determinar dichas constantes sumamos los t´rminos de la derecha. N´tese que el denominador e o com´ n coincide con (A.4) y el numerador es un polinomio de grado a lo sumo n. Luego comparamos u el polinomio numerador que se obtiene al sumar las fracciones m´s simples en (A.5) con P n (x). a Igualando los coeficientes de ambos obtendremos un sistema de n ecuaciones con n inc´gnitas o que podemos resolver para encontrar los coeficientes indeterminados A i , Bi , Mi , Ni , Li y Ki . No obstante es posible encontrar el coeficiente Ani de los sumandoscorrespondientes a uno de los ceros reales xi , o sea, el Ani de A ni Ani −1 A1 + + ··· + , ni ni −1 (x − xi ) (x − xi ) (x − xi ) utilizando la propiedad que
x→xi

l´ A±m

Pn (x)(x − xi )ni = A ni . Qm (x)

(A.6)

Como consecuencia de lo anterior, si Qm (x) tiene m ceros reales y simples, o sea, si su factorizaci´n o es de la forma Qn (x) = (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xm−1 )(x − xm ), (A.7) entonces, Pn (x) se puede descomponer en las fracciones elementales simples: Qm (x) Pn (x) A1 A2 Am−1 Am = + + ··· + + , Qm (x) (x − x1 ) (x − x2 ) (x − xm−1 ) (x − xm )

(A.8)

´ A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS
donde A1 ,, Am se calculan por la f´rmula o Ak = l´ A±m
x→xk

79

Pn (x)(x − xk ) , Qm (x)

k = 1, 2, , m.
7

(A.9)

Teorema A.11 (Primitivas de las fracciones simples m´s elementales) a 1) 2) A dx = A log |x − a| + C; x−a B 1 B dx = + C, k (x − a) 1 − k (x − a)k−1 k > 1;

(A.10)

3)

M 2N − M p Mx + N 2x + p dx = log |x2 + px + q| + arctan + C. 2 x2 + px + q 2 4q − p 4q − p2 x dx. Primero encontraremos las fracciones simples mas elementales: − 3x + 2 x2 x x A B = = + . − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) x−1 x−2 x(x − 2) = 2. (x − 1)(x − 2)

Ejemplo A.12 a) Calcular x2

Luego, utilizando(A.9) obtenemos A = l´ A±m x(x − 1) = −1, (x − 1)(x − 2) −1 2 + x−1 x−2 B = l´ A±m

x→1

x→2

Finalmente, utilizando (A.10) obtenemos x dx = x2 − 3x + 2 a) Calcular dx = − log |x − 1| + 2 log |x − 2| + C.

x dx. Primero encontraremos las fracciones simples mas elementales: (x − 1)2 (x2 + 1) x (x − 1)2 (x2 + 1) = = A B Cx + D + + 2 (x − 1)2 x − 1 x +1

A(x2 + 1) + B(x2 + 1)(x − 1) + (Cx + D)(x − 1)2 . (x − 1)2 (x2 + 1)

Para encontrar los coeficientes A, B, C, D igualamos los polinomios de los numeradores: x = A(x2 + 1) + B(x2 + 1)(x − 1) + (Cx + D)(x − 1)2 . Dos polinomios de grado 3 son iguales si los coeficientes de las potencias x 3 , x2 , x y x0 son iguales, por lo que igualando dichos coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones: x3 x2 x1 x0 : B+C =0 : A − B − 2C + D = 0 : B + C − 2D = 1 : A−B +D = 0
1 A= 2 B=0 C=0 D = −1 2

cuya soluci´n es o

Tambi´n es posible utilizar otra propiedad de los polinomios: dos polinomios de grado n que toman e n − 1 valores iguales en n + 1 puntos dados son id´nticamente iguales, es decir, si P n (xk ) = Qn (xk ) e para ciertos x1 , , xn+1 (distintos entre si), entonces Pn (x) ≡ Qn (x) para todo x
R. En nuestro
7

Se supone que x2 + px + q no tienera´ reales. A±ces

´ A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS

80

ejemplo es conveniente tomar como los xk los ceros de los polinomios denominadores y luego el resto de los valores tomarlos los m´s sencillos posibles: a
1 x=1: A= 2 x = −1 : 2A − 4B − 4C + 4D = −1 x=2: 5A + 5B + 2C + D = 2 x=0: A−B +D = 0

cuya soluci´n es o

A= 1 2 B=0 C=0 1 D = −2

que coincide con la encontrada por el m´todo anterior. Luego, e x 1 dx = (x − 1)2 (x2 + 1) 2 1 1 1 1 dx = − − − arctan x + C. (x − 1)2 x2 + 1 2(x − 1) 2

A.3.

Integrales trigonom´tricas. e
f (sen x, cos x) dx las cuales se

En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma   t = tan x  2   sen x =     

convierten en integrales racionales mediante la sustituci´n trigonom´trica t = tan x , o e 2 2dt 1 + t2 1 − t2 cos x = 1 + t2 dx = 2t 1 − t2 , 1 + t2 1 + t2 2 dt, 1 + t2

f (sen x, cos x) dx =

2t 1 + t2

=

f

que es un integral de una funci´n racional. o

Ejemplo A.13 Calcular la integral dx = sen x dx . sen x
2dt dx = 1+t2 2 cos x = 1−t2 1+t

t = tan x 2 2t sen x = 1+t2

=

x dt = log |t| + C = log tan + C. t 2

Existen varios tipos de integrales trigonom´tricas que se pueden racionalizar con cambios m´s ea sencillos. Ellas son las siguientes: 1. 2. 3. f (sen x, cos x) dx, donde f (− sen x, cos x) = −f (sen x, cos x), cambio t = cos x f (sen x, cos x) dx, donde f (sen x, − cos x) = −f (sen x, cos x), cambio t = sen x f (sen x, cos x) dx, donde f (− sen x, − cos x) = f (sen x, cos x), cambio t = tan x

Ejemplo A.14 a) Calcular la integral dx = sen x dx . Esta integral es del tipo 1. Luego, sen x =− 1 x 1+t dt = − log +C = log tan +C. 2 1−t 2 1−t 2
x 2

dt t = cos x dx = − √1−t2 √ sen x = 1 − t2 cos x = t

que coincide con el resultado obtenido al utilizar la sustituci´n t = tan o

´ A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS

81

b) Calcular la integral

cos3 x dx. Esta integral es del tipo 2. Luego, sen3 x 1 +C. 1 − t2 dt = t− t3 +C = sen x− 3 3

cos3 x dx =

dt t = sen x dx = √1−t2 √ cos x = 1 − t2 sen x = t

=

c) Calcular la integral

tan3 x dx. Esta integral es del tipo 3. Luego, t = tan x 1 cos x = √1+t2
dt dx = 1+t2 t sen x = √1+t2

tan3 x dx =

=

t3 dt = 1 + t2

t−

t dt = 1 + t2

=

t2 1 tan2 x 1 tan2 x − log(1 + t2 ) + C = − log(1 + tan2 x) + C = + log | cos x| + C. 2 2 2 2 2

A.4.
y f x,

Integrales irracionales.
n

En este apartado vamos a estudiar lasintegrales de la forma
ax+b cx+d

dx.

√ f (x, x2 ± a2 ) dx,

√ f (x, a2 − x2 ) dx

A.4.1.

Las integrales

√ f (x, x2 ± a2) dx y

√ f (x, a2 − x2) dx.

Estas integrales irracionales se convierten en integrales trigonom´tricas mediante los cambios: e 1. 2. 3. f (x, f (x, f (x, a2 − x2 ) dx, cambio x = a sen t x2 − a2 ) dx, cambio x = a sen t

x2 + a2 ) dx, cambio x = a tan t

Ejemplo A.15 a) Calcular la integral a2 − x2 dx. Esta integral es del tipo 1. Luego, x = a sen t dx = a cos tdt = a2
2x a2

a2 − x2 dx =

cos2 tdt =

a2 a2 t+ sen 2t + C, 2 4

√ pero, sen 2t = 2sent cos t = 2 sen t 1 − sen2 t = a2 − x2 dx = b) Calcular la integral   x=

√ a2 − x2 , por tanto a2 − x2 + C.

a2 x x arc sen + 2 a 2

x2 − a2 dx. Esta integral es del tipo 2. Luego, cos2 t dt = sen3 t y = cos t sen t = 1− y2 dt = − √ dy cos t = y + C,
1−y 2

= a2

 a  sen t = −a2 x2 − a2 dx =  dx = − a cos t dt  sen2 t a2 y2 dt = (1−y 2 )2 4

y−1 1 1 1 a2 1 2y − + − +log dt = 2 2 2 (1−y) (1−y) (1+y) (1+y) 4 1−y y+1

´ A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS
pero, y = cos t = x2 − a2 dx √ 1 − sen2 t = x2 − a2 −
√ x2 −a2 , x

82

por tanto x 2 − a2 − a2 log x + 2 x2 − a2 +C.

x = 2

√ x − x 2 − a2x a2 √ log +C = 2 − a2 4 2 x+ x

c) Calcular la integral

x2 + a2 dx. Esta integral es del tipo 3. Luego, x = a tan t dt dx = cos2 t 1 dt = cos3 t y = sen t cos t = dt = √ dy 1 − y 2 sen t = y + C,

x2

+ a2 dx

=

=a

2

1−y 2

= a2

a2 1 dt = (1 − y 2 )2 4
√ tan t 1+tan2 t

y+1 2y a2 1 1 1 1 dt = + + + + log 2 2 2 (1−y) (1−y) (1+y) (1+y) 4 1−y y−1 =
√ x , x2 +a2

pero, y = sen t =

por tanto x 2 + a2 + a2 log x + 2 x2 + a2 +C.

x x2 + a2 dx = 2

√ a2 x x + x 2 + a2 √ x2 + a2 + log +C = 2 + a2 4 2 x− x

A.4.2.

Las integrales

f

x,

n

ax + b cx + d

dx.

Las integrales del tipo f se racionalizan mediante el cambio t = Ejemplo A.16 Calcular la integral √ dx √ . Esta integral se racionaliza con el cambio t = 3 x + 1. Luego, 3 1+ x+1 √ dx 3 dt t2 d t t= 3x+1 √ = 3 (t−1)dt+3 = t(t−2)+3 log(1+t)+C, =3 = 2 dt 3 dx = 3t 1+t t+1 2 1+ x+1 √ de donde, deshaciendo el cambio t = 3 x + 1, obtenemos √ √ 3√ 3 x + 1( 3 x + 1 − 2) + 3 log(1 + 3 x + 1) + C. 2 El c´lculo de primitivas es necesario para calcular integrales definidas de funciones continuas. a Teorema A.17 Teorema fundamental del c´lculo y F´rmula de Newton-Leibniz. Sea f : [a, b] → R a o continua en [a, b].Entonces f tiene primitiva en [a, b] y una de ellas es la funci´n o
x
n

x,

n

ax + b cx + d

dx,

ax+b cx+d .

F (x) =
c

f (t) dt,

c
(a, b).

(A.11)

Adem´s, f (x) es integrable en [a, b] y a
b b

f (x) dx = Φ(x)
a a

= Φ(b) − Φ(a),

(A.12)

siendo Φ(x) una primitiva cualquiera de f (x).

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

83

B.
B.1.

´ Anexo: Algebra lineal
Sistemas lineales y matrices.

Diremos que un sistema de n ecuaciones y m inc´gnitas es un sistema lineal si dicho sistema o tiene la forma:   a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1m xm = b1    a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2m xm = b2 (B.1) . .  .    an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · + anm xm = bn Una matriz de dimensiones n×m no es m´s que una “caja rectangular” con n filas y m columnas. a El sistema de ecuaciones (B.1) est´ completamente caracterizado por su matriz asociada que no a es m´s que la matriz en cuya fila i (i = 1, 2, , n) est´n colocados los coeficientes a ij (j = 1, 2, , m) a a y el t´rmino independiente bi correspondientes a la i-´sima ecuaci´n del sistema (B.1). De esta forma e e o la matriz asociada al sistema (B.1) tendr´ la forma a   a11 a12 a13 · · · a1m b1  a21 a22 a23 · ·· a2m b2    , (B.2)  . . . . . .. . .  . .  . . .  . . . . an1 an2 an3 · · · anm bn la matriz a13 · · · a1m a23 · · · a2m . . .. . . . . . an3 · · · anm 

se le denomina matriz de coeficientes del sistema.

y se denomina matriz ampliada del sistema. A  a11 a12  a21 a22   . . . .  . . an1 an2

  , 

(B.3)

Un sistema lineal de la forma (B.1) es compatible si existen los valores de x 1 , x2 , , xm tales que se cumplan todas y cada una de las ecuaciones del sistema (B.1). Si existen dichos valores diremos que el sistema tiene soluci´n. Si un sistema lineal de la forma (B.1) no tiene soluci´n decimos que es o o un sistema incompatible. Un sistema compatible que tiene una unica soluci´n se llama determinado ´ o y si tiene infinitas soluciones indeterminado. Dos sistemas de ecuaciones se denominan equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Un sistema de ecuaciones lineales se puede transformar en otro sistema equivalente mediante las siguientes operaciones elementales: 1. 2. 3. Intercambiar dos ecuaciones. Multiplicar por una constante no nula una ecuaci´n cualquiera. o Reemplazar una ecuaci´n por la suma de ´sta mas un m´ ltiplo de cualquier otra ecuaci´n. o e u oDada la equivalencia de los sistemas lineales con sus matrices asociadas (las matrices ampliadas) las operaciones anteriores tienen su an´logo al operar con las matrices. De forma que a cada una a le corresponden las siguientes operaciones por filas 1. 2. Intercambiar dos filas. Multiplicar por una constante no nula una fila cualquiera.

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
3.

84

Reemplazar una fila por la suma de ´sta mas un m´ ltiplo de cualquier otra fila. e u

Las operaciones anteriores se denominan operaciones elementales de filas. Diremos que dos matrices son equivalentes por filas si a cualquiera de ellas la podemos transformar en la otra utilizando s´lo operaciones elementales de filas. Es importante recordar que las o operaciones elementales de filas son reversibles y por tanto las operaciones elementales descritas no cambian la soluci´n del sistema original de ecuaciones. o

B.2.

Formas escalonadas y el algoritmo de reducci´n por filas. o

En adelante diremos que una fila es una fila no nula si tiene al menos un elemento diferente de cero. Definiremos elemento gu´ de una fila al primer elemento (por la izquierda) no nulo de la fila. A±a Diremos que una matriz est´ en forma escalonada si: a 1. 2. 3. Todas lasfilas no nulas est´n por encima de las nulas. a El elemento gu´a de cada fila se encuentra siempre en una columna a la derecha del elemento A± gu´ de la fila anterior. A±a Debajo de cada elemento gu´ s´lo puede haber ceros. A±a o t´ A±picamente la forma:  
 0 0 0 0 0 0

denota a los elementos gu´ de cada fila. Si exigimos ahora que los elementos gu´ A±as A±as donde sean todos iguales a 1, y que adem´s sean los unicos elementos diferentes de cero de la columna a ´ entonces diremos que la matriz escalonada est´ en forma reducida. Utilizando las formas escalonadas a anteriores (B.4) tenemos que sus correspondientes formas reducidas son:     1 0 0 0 0
. (B.5)      0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Cualquier matriz puede ser transformada mediante transformaciones elementales de fila en una matriz con forma escalonada no teniendo siempre ´sta ultima una forma unica. Por el contrario las e ´ ´ formas escalonadas reducidas son unicas, es decir se cumple el siguiente teorema: ´ Teorema B.1 Cualquier matriz es equivalente por filas a una unica matriz conforma escalonada ´ reducida. Una consecuencia del teorema anterior es que los elementos gu´ est´n siempre en la misma A±as a posici´n en cualquiera de las formas escalonadas obtenidas de una matriz dada mediante transo formaciones elementales de fila. Dichas posiciones se denominan pivotes y las columnas donde se

Las matrices escalonadas tienen 




  ,  

(B.4)

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

85

encuentran se denominan columnas pivotes. As´ por ejemplo A±, pivote ↓ 
  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ↑ ↑ ↑ ↑ columnas pivote Algoritmo de reducci´n por filas. o El algoritmo de reducci´n por filas consta de dos fases (partes). La primera consiste en transo formar una matriz cualquiera en una equivalente por filas con forma escalonada. Esta fase se le denomina fase hacia abajo o subproceso hacia abajo. La segunda parte consiste en transformar la forma escalonada en la forma reducida. A la segunda parte se le denomina fase hacia arriba o subproceso hacia arriba. Para obtener la matriz en forma escalonada realizamos lo siguiente: Subproceso hacia abajo. Este proceso constade cuatro pasos: 1. 2. 3. 4. Se comienza por la primera columna de la izquierda (generalmente es una columna pivote) y se selecciona un elemento diferente de cero. Este ser´ el primer pivote. a Se coloca el elemento seleccionado en el extremo superior izquierdo intercambiando, si es preciso, las filas de la matriz hasta que dicho elemento se encuentre en la posici´n de pivote. o Utilizando las operaciones elementales de filas crear ceros debajo del pivote. Tapamos la fila (o filas si hay m´s de una) con la posici´n pivote creada en los pasos antea o riores (1-3) y aplicamos los pasos 1-3 a la submatriz que nos queda (constituida por las filas restantes). Este paso se repite hasta que no queden m´s filas no nulas. a

0



  .  

(B.6)

Para obtener la matriz en forma escalonada reducida a partir de la forma reducida obtenida mediante los pasos 1-4 debemos realizar lo siguiente: Subproceso hacia arriba. Este proceso consta del siguiente paso: 5. Comenzando por el primer pivote de la derecha creamos, mediante operaciones elementales de filas, ceros encima del mismo. Si el pivote no es uno dividimos por su valor para que lo sea. Continuamos el proceso hacia la izquierda hasta terminar con elprimer pivote de la izquierda.

B.3.

Soluci´n de un sistema de ecuaciones lineales. o

La soluci´n de un sistema de ecuaciones lineales la podemos encontrar a partir de la matriz o asociada al sistema. Para ello primero transformamos la matriz en una equivalente por filas que tenga forma escalonada o escalonada reducida. Las variables correspondientes a las columnas pivote se denominan variables principales o b´sicas. El resto de las variables se denominan variables libres. a El significado de una variable libre es que dicha variable puede tomar cualquier valor. La soluci´n o de un sistema viene dada al escribir el valor de las variables principales, las cuales pueden venir expresadas en funci´n de las variables libres. o

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

86

Por ejemplo, consideremos la matriz del sistema (B.6). Dicha matriz representa un sistema de 5 ecuaciones con 6 inc´gnitas. Las variables principales ser´n x 1 , x2 , x5 , x6 y las libres x3 , x4 . De o a la forma de la matriz observamos que x5 , x6 est´n completamente determinados por los t´rminos a e independientes (recordar que la ultima columna est´ compuesta por los t´rminos independientes ´ a e de las ecuaciones) pero x1 , x2 dependen tantode los t´rminos independiente como de las variables e libres x3 , x4 . Es decir fijando diferentes valores de x3 , x4 obtenemos diferentes valores de x1 , x2 . Por ejemplo, el sistema (x1 depende de la variable libre x3 )    1 0 −5 1  x1 = 1 + 5x3  0 1 0 4  tiene la soluci´n o x2 = 4 (B.7)  x3 es libre 0 0 0 0 De todo lo anterior deducimos el siguiente teorema de existencia y unicidad: Teorema B.2 Un sistema de ecuaciones lineales en compatible si y s´lo si la primera columna de o la derecha de la matriz ampliada del sistema no es una columna pivote, o sea, no existe ninguna fila de la forma (0 0 0 · · · 0 α) con α diferente de cero. Si el sistema es compatible entonces tiene soluci´n unica (sistema compatible determinado) si no hay ninguna variable libre y tiene infinitas o ´ soluciones (sistema compatible indeterminado) si existe al menos una variable libre. Por ejemplo, los sistemas correspondientes a las dos matrices (B.4) son compatibles siendo el correspondiente a la primera matriz indeterminado (tiene dos variables libres) y el segundo determinado (no tiene variables libres). Por el contrario el sistema correspondiente a la matriz  
    0 0 0 0 (B.8) ,    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

es incompatible al ser la ultima columna una columna pivote, o lo que es igual, al tener la fila ´ (0 0 0 · · · 0 ) (recordar que denotaba al elemento gu´ que por definici´n es diferente de cero). A±a o

B.4.
B.4.1.

Vectores y ecuaciones matriciales.
Vectores de Rn
Un vector de Rn no es m´s que un conjunto de n n´ meros ordenados de la forma a u   x1  x2    x =  . , donde x1 , , xn son n´ meros reales. u  .  . xn

es decir un vector es una matriz de componentes) del vector x. Diremos iguales, o sea  x1  x2  x=y
 .  . .

n × 1. Los valores x1 , , xn se denominan coordenadas (o que dos vectores son iguales si todas sus componentes son   y1 y2 . . . yn     

xn

Llamaremos vector nulo 0 al vector cuyas componentes son todas iguales a cero.

    =  



x1 = y1 , , xn = yn .

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL B.4.2. Operaciones con vectores.

87

Dichas operaciones cumplen las propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. x+y = y+x (x + y) + z = x + (y + z) x+0 = 0+x = x

y definiremos la multiplicaci´n de un vector x por un escalar (n´ mero) α al vector w cuyas como u ponentes se obtienen al multiplicar las componentes de x porα, o sea,     w1 αx1  w2   αx2      w = αx =
 .  =  . .  .   .  . . wn αxn

Sean x, y, z, w vectores de Rn y α, β n´ meros reales. Definiremos la suma de dos vectores u x e y al vector z de Rn cuyas coordenadas son la suma de las coordenadas de x e y, o sea,         x1 + y1 y1 x1 z1  z2   x 2   y 2   x 2 + y 2          z = x+y =
,  .  =  . + .  =  . . .   .   .   .   . . . zn xn yn xn + yn

x + (−x) = (−x) + x = 0 donde (−x) denota al vector (−1) x α(x + y) = αx + αy (α + β)x = αx + βx α(βx) = (αβ)x 1x = x

Diremos que un vector x de Rm es combinaci´n lineal de los vectores a1 , a2 , , an de Rm con o pesos α1 , , αn , n´ meros reales, respectivamente si x se expresa de la forma u x = α 1 a1 + α 2 a2 + · · · + α n an . Definiremos espacio generado por los vectores a1 , a2 , , an de Rm y lo denotaremos como span (a1 , , an ) = L(a1 , , an ) al subespacio de Rm constituido por todos las combinaciones lineales de los vectores a1 , a2 , , an , es decir, al conjunto de todos los vectores de la forma L(a1 , , an ) = span (a1 , , an ) = α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an , quienes quiera sean α1 , , αn n´ meros reales. uDefiniremos una ecuaci´n vectorial a la ecuaci´n de la forma o o x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = b, donde b es un vector dado de Rm y x1 , x2 , , xn son las inc´gnitas que se quieren encontrar. Es f´cil o a comprobar que la ecuaci´n vectorial anterior tiene la misma soluci´n que el sistema de ecuaciones o o lineales cuya matriz ampliada tiene la forma [a1 a2 · · · an b]. Adem´s b est´ en span (a1 , , an ) si y s´lo si el sistema [a1 a2 · · · an b] es compatible. a a o

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL B.4.3. La ecuaci´n Ax = b. o

88

Sea A una matriz m × n con columnas a1 , a2 , , an (vectores de Rm ) y x un vector de Rn . Definiremos la multiplicaci´n de una matriz A de m × n por un vector x de R n al vector z de Rm o definido por   x1  x2    z = Ax = [a1 a2 · · · an ]  .  = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an .  .  . xn Teorema B.3 Sea A una matriz m×n con columnas a1 , a2 , , an y b un vector de Rm . La ecuaci´n o matricial Ax = b

tiene la misma soluci´n que la ecuaci´n vectorial o o x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = b, la cual a su vez tiene la misma soluci´n que el sistema cuya matriz ampliada tiene la forma o [a1 a2 · · · an b].

Una consecuencia de este teorema es que la ecuaci´n A x = b tienesoluci´n si y s´lo si b es una o o o combinaci´n lineal de las columnas de A. o Teorema B.4 Sea A una matriz m×n con columnas a1 , a2 , , an . Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes: 1) Para todo b vector de Rm , la ecuaci´n A x = b tiene soluci´n. o o 2) Las columnas de A generan Rm , o sea, Rm = Span(a1, a2 , , an ). 3) A tiene una posici´n pivote en cada fila. o Regla para el c´lculo de Ax. Para calcular la i−´sima componente del vector Ax (si ´ste a e e est´ definido) tenemos que sumar los productos de la i−´sima fila de A por las coordenadas de x, a e o sea,      a11 a12 a13 · · · a1n x1 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn  a21 a22 a23 · · · a2n   x2   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn        .  . . .  .  =  . .. . . . .  .   .  .  . . . . . . am1 am2 am3 · · · amn xn am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

Teorema B.5 Sea A una matriz m × n con columnas a1 , a2 , , an , x, y vectores de Rn y α un n´mero real cualquiera. Las siguientes propiedades son v´lidas: u a 1) A (x + y) = A x + A y, 2) A(α x) = α (A x)

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL B.4.4.

89

Conjunto soluci´n de los sistemas lineales. o

Todo sistema lineal de m ecuaciones con n inc´gnitas se puedeescribir en forma matricial o A x = b donde la matriz de coeficientes A es una matriz m × n, x es un vector de R n y b es un vector de Rm .

1.

El sistema lineal A x = 0 se denomina sistema homog´neo. Dicho sistema siempre tiene la e soluci´n trivial x = 0. Adem´s se cumple que el sistema homog´neo tiene soluciones no trio a e viales si y s´lo si el sistema tiene al menos una variable libre, o sea la matriz A tiene al menos o una columna que no es pivote. o e El conjunto soluci´n de un sistema homog´neo se escribe como el conjunto de todas las combinaciones lineales de ciertos vectores s1 , s2 , , sp cuyo n´ mero coincide con el de las u variables libres del sistema. Para obtener los vectores s1 , s2 , , sp se puede hacer lo siguiente: 1) Escribir el vector soluci´n x expresando las variables principales en funci´n de las libres. o o 2) El vector s1 se obtiene del vector x anterior al sustituir la primera variable libre por 1 y las dem´s por cero. El segundo vector s2 se obtiene del vector x anterior al sustituir la segunda a variable libre por 1 y las dem´s por cero. Y as´ sucesivamente. a A± Por ejemplo si la soluci´n x de A x = 0 viene dada por (dos variables libres x 2 , x3 ) o  3   3    1  1 x1 x − 2 x3 −2 2 2 2   , entonces  x2  = x2  1  +x3  0  x2 x3 x3 0 1
s1 s2

2.

El sistema lineal A x = b con b = 0 se denomina sistema no homog´neo. e Teorema B.6 Supongamos que A x = b tiene soluci´n para cierto b de R m . Sea p una o soluci´n de A x = b (soluci´n particular). Entonces el conjunto soluci´n del sistema no o o o m homog´neo A x = b es el conjunto de todos los vectores de R de la forma e x = p + xh , donde xh es la soluci´n general del sistema homog´neo correspondiente A x h = 0. o e (B.9)

B.4.5.

Dependencia e independencia lineal.

Un conjunto de vectores a1 , a2 , , an de Rn se denomina linealmente independiente si la ecuaci´n vectorial o x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = 0, tiene como unica soluci´n la trivial x1 = · · · = xn = 0. ´ o Un conjunto de vectores a1 , a2 , , an se denomina linealmente dependiente si existen los valores x1 , x2 , · · · , xn no todos iguales a cero tales que se verifique la ecuaci´n vectorial o x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = 0. Teorema B.7 Un conjunto S = de dos o m´s vectores es linealmente dependiente a si y s´lo si al menos uno de los vectores del conjunto es combinaci´n lineal de los dem´s. o o a Comoconsecuencia del teorema anterior se deduce que: 1) Dos vectores a1 y a2 son linealmente dependientes si y s´lo si son proporcionales, es decir, si o existe un n´ mero real α tal que a1 = αa2 o a2 = αa1 . u

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

90

2) Si a1 , a2 , , an son vectores linealmente dependientes y a1 = 0 entonces para cierto j > 1 el vector aj es combinaci´n lineal de los anteriores, es decir, o aj = x1 a1 + x2 + a2 + · · · + xj−1 aj−1 . NOTA: Esto no implica que si tenemos un conjunto de vectores linealmente dependientes a 1 , a2 , , an necesariamente cada vector es combinaci´n de los anteriores. o Teorema B.8 Un conjunto S = de dos o m´s vectores de Rm con n > m es a necesariamente un conjunto linealmente dependiente. Teorema B.9 Un conjunto S = de dos o m´s vectores de Rm con alguno de los a vectores ai = 0 (1 ≤ i ≤ n) es necesariamente un conjunto de vectores linealmente dependientes, o sea si alguno de los vectores de S es el vector nulo entonces S es un conjunto de vectores linealmente dependientes.

B.5.

´ Algebra de matrices.

Vamos a estudiar las operaciones elementales de las matrices. El elemento a ij de una matriz A es el que seencuentra situado en la intercepci´n de la fila i con la columna j: o columna j ↓ · · · a1j · · · a1n · · · a2j · · · a2n . . . .. . . . . . . . · · · aij · · · ain . . . .. . . . . . . . · · · amj · · · amn

     fila i →  ai1 ai2   . . .  . . . am1 am2



a11 a21 . . .

a12 a22 . . .



    .    

(B.10)

B.5.1.

Suma de matrices y multiplicaci´n por un escalar. o

o en t´rminos de los elementos matriciales: C ≡ ||cij || = ||aij +bij ||. Sea α un n´ mero real cualquiera e u y A = [a1 a2 · · · an ] una matriz de m × n. Definiremos el producto de una matriz por un escalar a la matriz cuyas columnas coinciden con las de A multiplicadas por α, es decir: αA = α[a1 a2 · · · an ] = [αa1 αa2 · · · αan ], o bien α A ≡ α||aij || = ||α aij ||. Teorema B.10 Sean A, B y C matrices de m × n y α, β n´meros reales. Entonces: u 1. 2. 3. 4. 5. 6. A + B = B + A. (A + B) + C = A + (B + C). A + 0 = 0 + A = A, donde 0 ≡ ||0|| es la matriz nula. α(A + B) = αA + αB. (α + β)A = α A + β A. α(β A) = (α β) A.

Sean A = [a1 a2 · · · an ] y B = [b1 b2 · · · bn ] matrices de dimensiones m×n, donde a1 , a2 , , an y b1 , b2 , , bn son vectores de Rm . Definiremos la suma de dos matrices A y B a lamatriz C cuyos vectores columnas coinciden con la suma de los correspondientes vectores columnas de A y B, es decir: C = A + B = [a1 a2 · · · an ] + [b1 b2 · · · bn ] = [a1 + b1 a2 + b2 · · · an + bn ],

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL B.5.2. Multiplicaci´n de matrices. o

91

Sea A = [a1 a2 · · · an ] matriz de m × n y B = [b1 b2 · · · bp ] de n × p. Se define la matriz producto C = A · B a la matriz de m × p definida por: A · B = A[b1 b2 · · · bp ] = [Ab1 Ab2 · · · Abp ], o elemento a elemento: ||(A · B)ij || =
n n

(B.11)

aik bkj .
k=1

N´tese que cada columna de A · B es una combinaci´n lineal de las columnas de A: o o
n n

A · B = [Ab1 Ab2 · · · Abp ] = [

bk1 ak
k=1 k=1

bk2 ak · · ·

bkp ak ].
k=1

Una interpretaci´n de la multiplicaci´n de matrices se puede dar a partir de la composici´n de las o o o n m aplicaciones lineales: Sea T : R −→ R una aplicaci´n lineal con matriz A de m×n y S : Rp −→ Rn o una aplicaci´n lineal con matriz B de n × p, entonces a la aplicaci´n Q : R p −→ Rm definida por o o Q(x) = T (S(x)) (composici´n de T y S) le corresponde la matriz A · B de m × p. o Teorema B.11 Sean A de m × n, B y C matrices de dimensiones apropiadas para que est´n e definidas lasoperaciones y α, β n´meros reales. Entonces: u 1. 2. 3. 4. 5. 6. (A · B) · C = A · (B · C). A · 0 = 0 · A = 0, donde 0 ≡ ||0|| es la matriz nula. A · (B + C) = A · B + A · C. (B + C) · A = B · A + C · A. α(A · B) = (α · A) · B. Im · A = A · In = A, donde Ik es la matriz identidad de k × k.

Es importante recordar que la multiplicaci´n de matrices no es conmutativa, es decir para cualo quiera sean las matrices A y B tenemos que A · B = B · A . Si A es una matriz cuadrada n × n y k es un n´ mero entero no negativo (k = 0, 1, 2, ), u definiremos la potencia k− ´sima de A por la f´rmula e o Ak = A · A · · · A ·In , k veces donde A0 ≡ In .

B.5.3.

Transposici´n de matrices. o

Dada una matriz A de m × n, la matriz transpuesta de A, que denotaremos por A T , es la matriz de n × m cuyas filas coinciden con las columnas de A. Si A = ||a ij ||, entonces AT = ||aji ||. Teorema B.12 Sean A de m×n, B una matriz de dimensiones apropiadas para que est´n definidas e las operaciones y α un n´mero real. Entonces: u 1. 2. 3. 4. (AT )T = A. (A + B)T = AT + B T . (α A)T = α AT . (A · B)T = B T · AT . (A1 · A2 · · · An )T = AT · AT · · · AT . 1 n−1 n

Como consecuencia de este teorema tenemos que

´ B ANEXO: ALGEBRALINEAL B.5.4. La inversa de una matriz cuadrada.

92

Sea A una matriz de n × n. Si existe una matriz C tal que A · C = In , C · A = In ,

entonces a C se le denomina matriz inversa de A y se le denota A −1 . Las matrices A para las cuales existe la inversa A−1 se denominan invertibles. Si A es invertible entonces A−1 es unica. ´ Teorema B.13 Sea A una matriz cuadrada de 2 × 2 invertible A= a b c d , entonces A−1 = 1 ad − bc d −b −c a .

El n´ mero ad − bc se llama determinante de la matriz A de 2 × 2 y se le denota por det A. N´tese u o que una matriz A de 2 × 2 tiene inversa si y s´lo si det A = 0. o Teorema B.14 Sea A una matriz cuadrada de n × n invertible. Entonces el sistema A x = b es compatible determinado para cualquiera sea b vector de R n , y su soluci´n se expresa por la f´rmula o o −1 b. x=A Teorema B.15 Sean A y B matrices cuadradas de n × n invertibles. Entonces: 1. 2. 3. (A−1 )−1 = A. (A · B)−1 = B −1 · A−1 . AT es invertible y (AT )−1 = (A−1 )T .

Como consecuencia de este teorema tenemos que (A1 · A2 · · · An )−1 = A−1 · A−1 · · · A−1 . n n−1 1

B.5.5.

Matrices elementales.

Una matriz elemental de n × n es aquella que se obtiene al realizar una operaci´n elemental o de filassobre la matriz identidad de n × n, es decir son las que se obtienen al intercambiar dos filas, al multiplicar por una constante no nula una fila cualquiera y al reemplazar una fila por la suma de ´sta mas una combinaci´n lineal de cualquier otra. Por ejemplo, la matriz elemental e o correspondiente al intercambio de la 1 y 2 filas de una matriz de 3 × 3 ser´ a   0 1 0  1 0 0 , E1 = 0 0 1 la que corresponde a cambiar la 3 fila por la 3 m´s α a  1 0  0 1 E2 = α 0 veces la primera ser´ a  0 0 , 1

y la que multiplica la 2 fila por el n´ mero α ser´ u a   1 0 0 E3 =  0 α 0  . 0 0 1

Se puede comprobar que si multiplicamos la matriz E1 por una matriz cualquiera A de 3 × p la matriz E1 · A coincide con la matriz que se obtiene a partir de A al intercambiar la 1 y 2 filas.

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

93

An´logamente, E2 · A coincide con la matriz que se obtiene de A al cambiar la 3 fila por la 3 m´s α a a veces la 1 fila y E3 · A coincide con la matriz que se obtiene al multiplicar por α la 2 fila. Es decir al multiplicar una matriz elemental E de m × m por A de m × n se obtiene una nueva matriz E · A que coincide con la matriz que se se obtiene al realizar la operaci´n elemental sobre A y dichamatriz o E se obtiene realizando sobre la matriz identidad Im de m × m la misma operaci´n elemental que o se quiere realizar sobre A. Puesto que todas las operaciones elementales son invertibles ello implica que las matrices elementales son invertibles y la inversa de E se obtiene realizando sobre la matriz identidad Im la operaci´n inversa. Por ejemplo, la inversa de E1 es E1 . La inversa de E2 es o   1 0 0 −1 E2 =  0 1 0  , −α 0 1 y la de E3 es  −1 E3 =  0  1 0 0 1 α 0 0 1  0 . 

Teorema B.16 Una matriz cuadrada A de n × n es invertible si y s´lo si A es equivalente por o filas a la matriz identidad In de n × n en cuyo caso toda secuencia de operaciones elementales que reducen A a In , reducen In a A−1 . Ello implica que A
Ek · Ek−1 · · · E1 · A = In . Luego A = (Ek · Ek−1 · · · E1 )−1 lo cual implica que A−1 = Ek · Ek−1 · · · E1 · In . Como consecuencia de este teorema se tiene el siguiente algoritmo para calcular A −1 : Dada la matriz A de n × n invertible: 1. 2. Construimos la matriz [A In ]. Reducimos por filas la matriz A a In , entonces [A In ] [In A−1 ].

N´tese que encontrar la inversa de la matriz A equivale a encontrar una matriz B tal que o A · B = I, o sea, A[b1 · · · bn ] = [Ab1 · · · A bn ] = [e1 · · · en ] = In . Es decir es equivalente a resolver las n ecuaciones A b 1 = e1 , A b 2 = e2 , · · · A b n = en , donde e1 , , en son las columnas de la matriz identidad.

Teorema B.17 (Teorema de inversi´n de matrices) Sea A una matriz cuadrada A de n × n. Las o siguientes expresiones son equivalentes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. A es invertible. A es equivalente por filas a la matriz identidad In de n × n. (A tiene n posiciones pivote) A es un producto de matrices elementales. La ecuaci´n A x = 0 solo tiene la soluci´n trivial. (Las columnas de A son linealmente o o independientes.) La ecuaci´n A x = b tiene al menos una soluci´n para cada b vector de R n , o sea, b es un o o elemento del subespacio generado por las columnas de A (la soluci´n de A x = b es unica). o ´ Existe un C tal que A · C = I. Existe un D tal que D · A = I.

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
8. AT es invertible.

94

Una consecuencia de este teorema es que si A · B = I o B · A = I, entonces A y B son invertibles y A = B −1 , B = A−1 .

B.6.
B.6.1.

Determinantes.
Definici´n de determinante de una matriz cuadrada. o
Sea A una matriz cuadrada columna j ↓ a1j−1 a1j a2j−1 a2j . . . . . .

Sea A una matriz n×n(n ≥ 2). El determinante det A de la matriz A es la suma de los t´rminos e ±a1j det A1j donde a1j son los elementos de la primera fila de A y A1j son las correspondientes submatrices obtenidas eliminando la fila 1 y la columna j. M´s exactamente: a det A = a11 det A11 − a12 det A12 + · · · + a1n (−1)n+1 det A1n , donde suponemos que det a = a si a es un n´ mero real cualquiera. u o Utilizando la definici´n anterior obtenemos para una matriz 2 × 2 el resultado: det A = a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a21 a12 , (B.13)

Denotaremos por Aij a la submatriz que j, o sea  a11 a12  . . .  . .  .  ai−11 ai−12 Aij =   ai+11 ai+12   . . .  . . . an1 an2

      ai−11 ai−12  ai2 fila i →  ai1   a  i+11 ai+12  . . .  . . . an1 an2



a11 a21 . . .

a12 a22 . . .

··· ··· .. .

a1j+1 a2j+1 . . .

··· ··· .. .

a1n a2n . . .



· · · ai−1j−1 ai−1j · · · aij−1 aij · · · ai+1j−1 ai+1j . . .. . . . . . · · · anj−1 anj

ai−1j+1 · · · ai−1n aij+1 · · · ain ai+1j+1 · · · ai+1n . . .. . . . . . anj+1 · · · ann · · · a1n . .. . . . · · · ai−1n · · · ai+1n . . . . . . · · · ann 

se obtiene a partir de A si quitamos la fila i y la columna · · · a1j−1 a1j+1 . . .. . . . . . · · · ai−1j−1ai−1j+1 · · · ai+1j−1 ai+1j+1 . .. .. . . . . · · · anj−1 anj+1     .    

      .      

(B.12)

que coincide con el determinante definido en el cap´ A±tulo anterior (teorema B.13). Usualmente a la cantidad (−1)i+j det Aij se le conoce como cofactor (o menor) asociado al elemento aij . Utilizando esta notaci´n tenemos que la definici´n anterior se puede reescribir de la o o forma: det A = a11 C11 + a12 C12 + · · · + a1n C1n , que se conoce como desarrollo del determinante de A por su primera fila.

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
Teorema B.18 Si A es de n × n entonces:

95

det A = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin . Las dos f´rmulas anteriores se conocen como desarrollo del determinante de A por su i−´sima fila o e y desarrollo del determinante de A por su j−´sima columna, respectivamente. e Teorema B.19 Si A es una matriz triangular (inferior o superior) entonces det A es el producto de los elementos de la diagonal, o sea, det A = a11 · a22 · · · ann · det A = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj .

B.6.2.

Propiedades de los determinantes.

Los dos teoremas que enunciaremos a continuaci´n son los m´s importantes de este apartado o a y nos permitir´n calcular los determinantesde matrices de orden alto (n ≥ 4) de manera eficiente. a Teorema B.20 Sea A una matriz n × n. Sea B una matriz que se obtiene de A al realizar sobre A alguna de las operaciones elementales de filas y sea E la matriz elemental que realiza dicha o operaci´n. Por ejemplo, 1. 2. 3. Si E1 es la matriz que intercambia dos filas, la matriz B = E1 · A se obtiene al intercambiar dos filas de A. Si E2 es la matriz que multiplica por una constante r no nula una fila cualquiera, la matriz B = E2 · A se obtiene al multiplicar por r la correspondiente fila de A.

Si E3 es la matriz que reemplaza una fila por la suma de ´sta mas un m´ltiplo de cualquier e u otra fila, la matriz B = E3 · A se obtiene al reemplazar una fila de A por la suma de ´sta e mas un m´ltiplo de cualquier otra fila. u   −1 si E es del tipo E1 r si E es del tipo E2 Adem´s, si a Entonces, det B = det(E · A) = α det A donde α =  1 si E es del tipo E3 A = I es la matriz identidad y por tanto det I = 1, entonces det E = α, es decir el determinante de cualquier matriz elemental vale o −1 o r o 1 en dependencia si dicha matriz es del tipo E 1 , E2 ´ ´ o E3 , respectivamente. Como consecuencia del teorema anterior tenemos que si una fila es m´ ltiplo de un n´ meror u u entonces tenemos: a11 . . . a12 . . . · · · a1n . .. . . . · · · r ain . .. . . . · · · ann a11 . . . =r ai1 . . . an1 a12 · · · a1n . . .. . . . . . ai2 · · · ain . . . .. . . . . . an2 · · · ann

r ai1 r ai2 . . . . . . an1 an2

En particular si una fila de A es nula, det A = 0 y si una fila de A es proporcional a otra det A = 0. Teorema B.21 Sea A una matriz n × n y sea AT su traspuesta, entonces det A = det AT . Este segundo teorema nos permite enunciar todos los apartados del teorema anterior cambiando la palabra filas por columnas. Es conocido de apartados anteriores que cualquier matriz A se puede, mediante transformaciones elementales, transformar en una matriz triangular superior U (forma escalonada). Adem´s si resulta a que la matriz A tiene n filas pivote entonces el determinante de A ser´ proporcional al det U . Luego, a si tenemos n filas pivote todos los pivotes son distintos de cero y det A = 0. Pero si A tiene n filas pivote entonces A es invertible. Este razonamiento nos conduce al siguiente teorema.

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

96

Teorema B.22 Una A n × n es invertible si y s´lo si det A es diferente de cero. o Teorema B.23 Sean A y B matrices n × n. Entonces det(A · B) = (detA) · (det B).

B.6.3.

Regla de Kramer.

Sea A una matriz n × n y b un vector cualquiera de R n . Denotaremos por Aj (b) a la matriz en la cual la j− ´sima columna de A est´ reemplazada por el vector b, es decir si A y b son e a     b1 a11 · · · a1j−1 a1j a1j+1 · · · a1n  .   . .  . . . .. .. .  . . .  .   . . . .  . . .  .   . A =  ai1 · · · aij−1 aij aij+1 · · · ain  , b =  bi  ,      .   . . . . . . .. .. .  . . . .  .   . . . .  . . . bn an1 · · · anj−1 anj anj+1 · · · ann entonces Aj (b) es la matriz a11 · · · a1j−1 b1 a1j+1 · · · a1n  . . . . . .. .. . . . .  . . . . . . .  . Aj (b) =  ai1 · · · aij−1 bi aij+1 · · · ain   . . . . . .. .. . . . .  . . . . . . . . an1 · · · anj−1 bn anj+1 · · · ann Teorema B.24 Sea A  a11  .  .  .  ai1   .  . . an1 matriz n × n invertible. Entonces para todo  · · · a1j−1 a1j a1j+1 · · · a1n x1 . . . .  . .. .. . . . .  . . . . . . .  . · · · aij−1 aij aij+1 · · · ain   xi  .  . . . . .. .. .  . . . . . . . . . . . · · · anj−1 anj anj+1 · · · ann xn
A x





b de R n el sistema    b1   .    .    .   =  bi ,      .  .    . bn
b

   .   

es compatible y tieneuna unica soluci´n que viene dada por ´ o x1 = det A1 (b) , det A x2 = det A2 (b) , det A ···, xn = det An (b) . det A

Es importante tener en cuenta que este m´todo es ineficiente para calcular la soluci´n de sistemas e o de m´s de 3 ecuaciones pues en el est´n involucrados determinantes. Es recomendable resolver los a a sistemas por el m´todo de reducci´n de filas descrito en la primera parte del curso (ver Algoritmo e o de reducci´n por filas). o Finalmente, recordemos que “invertir” una matriz es equivalente a resolver n sistemas de ecuaciones de la forma: A b 1 = e1 , A b 2 = e2 , · · · A b n = en , donde e1 , , en son las columnas de la matriz identidad. Por tanto para calcular la j−´sima columna e de A−1 tenemos que resolver el sistema A x = ej cuya soluci´n es, seg´ n la regla de Kramer, o u det A1 (ej ) det An (ej ) x1 = , · · ·, xn = , pero det A det A det A1 (ej ) = (−1)1+j det Aj1 = Cj1 , · · · , det An (ej ) = (−1)n+j det Ajn = Cjn ,

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
luego la columna j de A−1 es

97
 

Todo esto nos conduce al teorema

1    det A 

Cj1 Cj2 . . . Cjn

  . 

donde Clm = (−1)l+m det Alm son los cofactores (menores) del elemento alm de la matriz A y Alm es lasubmatriz que se obtiene al eliminar la fila l y la columna m de A. La matriz ||C lm || se denomina matriz adjunta de A. Es importante notar que este m´todo es ineficiente para calcular inversas (recurre a la regla de e Kramer que es ineficiente es si misma) por lo que es recomendable para encontrar A −1 aplicar el algoritmo descrito en el teorema B.16 del cap´ A±tulo anterior. Para concluir esta parte dedicada a determinantes veamos una propiedad interesante que satisfacen los determinantes y que es consecuencia de los teoremas B.18 y B.20: Sea A = [a1 a2 · · · an ] una matriz de n × n con columnas a1 , , an . Definamos la aplicaci´n o lineal: T (x) = det([a1 · · · x · · · an ]) = det Ak (x), x de Rn , k = 1, 2, , n. La aplicaci´n anterior es lineal pues para todo α de R y x, y de R n : o T (α x) = det([a1 · · · α x · · · an ]) = α det([a1 · · · x · · · an ]) = α T (x), T (x + y) = det([a1 · · · x + y · · · an ]) = det([a1 · · · x · · · an ]) + det([a1 · · · y · · · an ]) = = T (x) + T (y). Esta propiedad se conoce como la multilinealidad del determinante

Teorema B.25 Sea A una matriz invertible n × n. Entonces  C11 C21 · · · Cj1 · · · Cn1  C12 C22 · · · Cj2 · · · Cn2   . . . . .. .. . . . . . . .. . 1  .  −1 A =  .. det A  C1i C2i · · · Cji . Cni   . . . . .. .. . . .  . . . . . . . C1n C2n · · · Cjn · · · Cnn



     ,    

B.7.

Espacios Vectoriales.

o o En esta secci´n vamos a definir los espacios vectoriales que son la generalizaci´n de los espacios Rn ya estudiados.

B.7.1.

Definici´n y ejemplos. o

Sea V un conjunto de elementos sobre el cual est´n definidas las operaciones suma “+” de a dos elementos x, y de V y multiplicaci´n “·” de un escalar (n´ mero real) α por un elemento de o u V . Diremos que V es un espacio vectorial si se cumplen las siguientes propiedades (axiomas): Sean x, y, z elementos arbitrarios de V y α, β n´ meros reales. Entonces V es un espacio vectorial si u 1. Para todos x e y, vectores de V , el vector suma, w = x + y, tambi´n es un vector de V y se e cumple que:

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
a) b) c) d) 2. x+y =y+x (x + y) + z = x + (y + z)

98

Existe un elemento “nulo” de V , tal que x + 0 = 0 + x = x Existe el elemento (−x) “opuesto” a x, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0 donde (−x) es vector opuesto de x

Para todo x vector de V , el vector que se obtiene al multiplicar por un escalar, w = α · x, tambi´n es un vector de V y secumple que: e a) b) c) d) α · (x + y) = α · x + α · y α · (β · x) = (αβ) · x

(α + β) · x = α · x + β · x

1·x=x

Ejemplos. 1.) El conjunto de los vectores de Rn cuando la suma de dos vectores y la multiplicaci´n por un o escalar es la definida en la secci´n 2. o 2.) El conjunto de las matrices m × n cuando la suma de dos matrices y la multiplicaci´n por un o escalar es la definida en la secci´n 3. Dicho espacio lo denotaremos por R m×n o 3.) El conjunto de los polinomios de grado a lo sumo n, que denotaremos por P n , o sea, Pn = , u

donde definiremos la suma de dos polinomios y la multiplicaci´n por un escalar de la siguiente o forma: p(t) = a0 + a1 t + · · · + an tn , q(x) = b0 + b1 t + · · · + bn tn , (p + q)(t) ≡ p(t) + q(t) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t + · · · + (an + bn )tn , (α · p)(t) ≡ α p(t) = (αa0 ) + (αa1 )t + · · · + (αan )tn . Adem´s, pn = 0, si y s´lo si a0 = a1 = · · · = an = 0. 4.) El conjunto de las funciones continuas en el a o intervalo [a, b], que denotaremos por C[a,b] , cuando la suma de dos funciones f y g y la multiplicaci´n o por un escalar α est´n dadas por a (f + g)(t) ≡ f (t) + g(t), (α · f )(t) ≡ α · f(t).

B.7.2.

Subespacios vectoriales.

Sea V un espacio vectorial. Diremos que un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si H es a su vez un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones suma “+” y multiplicaci´n “·” que V . o Ejemplos. 1.) Dado un espacio vectorial V , son subespacios vectoriales “triviales” los subespacios H = (conjunto que tiene como unico elemento, el nulo) y H = V (el mismo espacio vectorial). ´ 2.) Para V = C[a,b] , H = Pn es un subespacio vectorial, para cualquier n = 0, 1, 2, entero. 3.) Para V = Pn , H = Pk es un subespacio vectorial para todo k < n. Teorema B.26 Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y s´lo si o se cumplen las siguientes tres condiciones. 1. 2. El elemento nulo de V pertenece a H. Para todos x e y, vectores de H, el vector w = x + y tambi´n es un vector de H. e

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
3.

99

Para todos x vector de H, el vector w = α · x tambi´n es un vector de H. e

Teorema B.27 Dado un conjunto de vectores de un espacio vectorial V , el conjunto span (v1 , v2 , , vp ) es un subespacio vectorial de V . Dicho subespacio vectorial com´nmente se u denominasubespacio generado por los vectores v1 , v2 , , vp .

B.7.3.

Conjuntos linealmente independientes. Bases.

Un conjunto de vectores v1 , v2 , , vp de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuaci´n vectorial o x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0, tiene como unica soluci´n la trivial x1 = · · · = xp = 0. ´ o Un conjunto de vectores v1 , v2 , , vp se denomina linealmente dependiente si existen los valores x1 , x2 , · · · , xp no todos iguales a cero tales que se verifique la ecuaci´n vectorial o x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0. Para estudiar la dependencia lineal de los vectores de V podemos utilizar los mismos teoremas estudiados en la secci´n 2 cambiando los espacios Rn por los correspondientes espacios vectoriales o V . Por tanto las siguientes afirmaciones son ciertas: 1. 2. Un conjunto S = de dos o m´s vectores es linealmente dependiente si y s´lo si a o al menos uno de los vectores del conjunto es combinaci´n lineal de los dem´s. o a Un conjunto S = de dos o m´s vectores de V con alguno de los vectores a vi = 0 (1 ≤ i ≤ p) es necesariamente un conjunto de vectores linealmente dependientes, o sea si alguno de los vectoresde S es el vector nulo entonces S es un conjunto de vectores linealmente dependientes. Dos vectores v1 y v2 de V son linealmente dependientes si y s´lo si son proporcionales, es o decir, si existe un n´mero real α tal que v1 = αv2 o v2 = αv1 u

3.

Teorema B.28 El conjunto de dos o m´s vectores v1 , v2 , , vp de V con v1 = 0 es un conjunto a linealmente dependiente si y s´lo si para cierto j, 1 < j < p, el vector v j es combinaci´n lineal de o o los anteriores, es decir, vj = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xj−1 vj−1 . NOTA: Esto no implica que si tenemos un conjunto de vectores linealmente dependientes v 1 , v2 , , vp o necesariamente cada vector es combinaci´n de los anteriores. Los vectores linealmente independientes de un espacio vectorial juegan un papel fundamental en el estudio de los sistemas lineales gracias a la siguiente definici´n o Dado un subespacio vectorial H del espacio vectorial V diremos que el conjunto de vectores B = de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = Span(b1 , b2 , , bp ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V . Por ejemplo, sitomamos una matriz n × n invertible, entonces sus columnas a 1 , , an son linealmente independientes y adem´s R n = Span(a1, , an ). Por tanto B = a1 , , an es una base de a

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

100

Rn . En particular, si A = In , la matriz identidad n × n, las columnas e1 , e2 , , en de la misma son una base de Rn la cual se conoce como base can´nica de R n . o Otro ejemplo lo constituye el conjunto de vectores S = del espacio vectorial Pn . Es f´cil comprobar que dichos vectores son linealmente independientes y que span (1, t, t 2 , , tn ) = a Pn . S se conoce como la base can´nica de Pn . o Teorema B.29 Sea S = un conjunto de vectores de un espacio vectorial V y sea H = Span(v1, v2 , , vp ) un subespacio de V . i) Supongamos que un vector de S, digamos el vj , 1 ≤ j ≤ p, es combinaci´n lineal de los o restantes. Entonces si suprimimos a dicho vector vk del conjunto S, H no cambia, o sea, H = Span(v1, , vk−1 , vk , vk+1 , , vp ) = span (v1 , , vk−1 , vk+1 , , vp ). ii) Si H no es el espacio , entonces alg´n subconjunto de S es una base de H. u Este teorema nos dice que a partir de un conjunto de vectores quegeneran un espacio vectorial siempre es posible “extraer” una base de dicho espacio vectorial. Por ejemplo, consideremos el espacio generado por los vectores       2 1 1  0  , v2 =  1  , v3 =  1  , H = Span [v1 , v2 , v3 ] . v1 = 0 0 0

Es evidente que H = Span[v1 , v2 , v3 ] = span [v1 , v2 ] pues el tercer vector es combinaci´n lineal de o los dos anteriores. Adem´s, S = no es una base de H pues v1 , v2 , v3 no son linealmente a independientes. Sin embargo, el conjunto B = que se obtiene al suprimir el tercer elemento si que es una base de H.

B.7.4.

Sistemas de coordenadas.

Adem´s, es evidente que dado un vector x de R n sus coordenadas, es decir los valores x1 , , xn , a son unicos. El siguiente teorema generaliza este resultado para cualquier espacio vectorial V . ´ Teorema B.30 Sea B = una base del espacio vectorial V . Entonces para todo x de V existe un unico conjunto de valores tal que ´ x = α 1 b1 + α 2 b2 + · · · + α n bn . Este teorema nos permite definir las coordenadas de un vector cualquiera de un espacio vectorial V . Supongamos que B = es una base del espacio vectorial V . Denominaremoscoordenadas del vector x de V en la base B al conjunto de los valores tales que x = α 1 b1 + α 2 b2 + · · · + α n bn ,

Cuando estudiamos el espacio Rn (secci´n 2) definimos a los vectores de Rn mediante sus o coordenadas. Ello era evidente pues         x1 1 0 0  x2   0   1   0          x =  .  = x 1  .  + x 2  .  + · · · + x n  .  = x 1 e1 + · · · x n en . .  .  .   .  .  .  .  . 0 0 1 xn

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
 α1 α2 . . . αn     
B

101

  y lo denotaremos por  

o

[x]B .

y por tanto, si las coordenadas de x en la base can´nica C son x 1 , , xn , la siguiente relaci´n o o ser´ cierta: a [x]C = PCB · [x]B ,

Consideremos nuevamente las coordenadas en Rn . Como vimos al principio de este apartado los elementos de cualquier vector X de Rn coinciden con las coordenadas de dicho vector en la base can´nica C = . Supongamos ahora que pasamos a una nueva base B = . o Entonces   α1  α2    x = x1 e1 + · · · + xn en = α1 b1 + · · · + αn bn = [b1 b2 · · · bn ]  .  = PCB · [x]B , .   . αn B

donde PCB es la matriz de cambio de base B en C que pasa las coordenadas de unvector en la base B a las escritas en C. N´tese que las columnas de la matriz P CB coinciden con los vectores de o la nueva base escritos en la base can´nica. Es evidente que la matriz P CB es invertible (todas sus o −1 columnas son independientes y por tanto el det PCB = 0) por tanto la matriz inversa PCB ser´ la a matriz de cambio de base de base can´nica a la base B, o sea o
−1 [x]B = PCB · [x]C = PBC · [x]C .

B.7.5.

La dimensi´n de un espacio vectorial. o

Hemos visto que cualquier espacio V con una base de n elementos es isomorfo a R n . Resulta que dicho n´ mero n es una propiedad intr´ u A±nseca de V , su dimensi´n. o Teorema B.31 Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = , entonces cualquier conjunto con m´s de n vectores de V es linealmente dependiente. a Este teorema es una generalizaci´n del teorema B.8. o Teorema B.32 Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = , entonces cualquier otra base de V tendr´ que tener n vectores de V . a o a Un espacio vectorial es de dimensi´n finita n si V est´ generado por una base de n elementos, es decir si V = Span(b1 , , bn ), donde B = es una base de V y loescribiremos de la forma dim V = n. En el caso que V = sea el espacio vectorial nulo, dim = 0. Si V no puede ser generado por una base finita de vectores, entonces diremos que V es de dimensi´n infinita y lo o denotaremos por dim V = ∞. Por ejemplo, dim Rn = n, dim Pn = n + 1, dim C[a,b] = ∞. Teorema B.33 Sea H un subespacio vectorial de un espacio vectorial de dimensi´n finita V , o (dim V = n < ∞). Entonces todo conjunto de vectores linealmente independientes de H se puede ampliar hasta convertirlo en una base de H. Adem´s dim H ≤ dim V . a Teorema B.34 Sea V un espacio vectorial n-dimensional (dim V = n < ∞) y sea S = un conjunto de exactamente n vectores. Entonces: a) Si S es un conjunto de vectores linealmente independientes, S es una base de V . b) Si S genera a todo V , es decir si V = Span(b1 , b2 , , bn ), S es una base de V .

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL B.7.6. Cambio de base.

102

Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita n y sea B = y D = o dos bases de V . Como D es una base de V y los elementos de B son elementos de V , ´stos se podr´n e a escribir en la base D, o sea, b1 = a11 d1 + a12 d2 + · · · + a1n dn , . . . bk =ak1 d1 + ak2 d2 + · · · + akn dn , . . . b1 = an1 d1 + an2 d2 + · · · + ann dn . =
 a11 a12 . . . a1n   an1 an2 . . . ann     
D

  b1 =  

    , · · · , bn =    
D

.

Entonces tenemos que

Supongamos que las coordenadas de un vector x de V en la base B son x 1 , x2 , , xn y D son y1 , y2 , , yn , es decir,    x1   .  x = x1 b1 + · · · + xn bn −→ [x]B =  .  , y x = y1 d1 + · · · + yn dn −→ [x]D =  . xn B

en la base  y1 . , .  . yn D

[x]D = [x1 b1 + · · · + xn bn ]D = x1 [b1 ]D + · · · xn [bn ]D = ([b1 ]D [b2 ]D · · · [bn ]D )[x]B . Es decir si conocemos como se expresan los vectores de la base B en la base D podemos encontrar la matriz de cambio de base B en D, cuyas columnas a1 , a2 , , an no son m´s que las coordenadas a de los vectores de la base B escritos en la base D. Por tanto tenemos que [x] D = PDB [x]B , o en forma matricial      x1 a11 · · · ak1 · · · an1 y1  a12 · · · ak2 · · · an2   x2   y2       = .  .  .  .   .   .  .  . . . yn
D

a1n · · · akn · · · ann

xn

B

Adem´s, PDB es una matriz invertible (sus columnas son linealmente independientes), luego existe a −1 la inversa PDB la cual es lamatriz de cambio de base D en B, o sea,
−1 [x]B = PDB [x]D .

B.8.

El problema de autovalores de una matriz.

Sea A una matriz de n × n. Denominaremos al vector x de R n , autovector de A asociado al autovalor λ, al vector no nulo x = 0, tal que A x = λ x, x = 0. (B.14)

Es f´cil comprobar que si x es un autovector asociado al autovalor λ, entonces el sistema a (A − λ I)x = 0, donde I es la matriz identidad n × n, (B.15)

tiene soluciones no triviales. Por tanto, dado un autovalor λ de A, el conjunto de los autovectores asociados a λ, que coincide con una base del n´ cleo de A, es un subespacio vectorial de R n . Dicho u espacio se denomina autoespacio de A correspondiente al autovalor λ. Es importante destacar que conocido el autovalor λ, encontrar el autoespacio consiste en encontrar las soluciones de un sistema homog´neo de ecuaciones, o sea, resolver (A − λ I)x = 0. e Teorema B.35 Sea A una matriz triangular de n × n. Entonces los autovalores de A coinciden con los elementos de la diagonal principal λ = aii , i = 1, 2, .., n.

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

103

Es importante destacar que las operaciones elementales de filas cambian los autovalores de una matriz. Es decir si U es la formaescalonada de A los autovalores de A y U son, en general, distintos. Teorema B.17 (Teorema de inversi´n de matrices, conclusi´n.) Sea A una matriz cuadrada A de o o n × n. Las siguientes expresiones son equivalentes: 1. 2. A es invertible. λ = 0 no es un autovalor de A

El teorema anterior es evidente pues si λ = 0 es autovalor de A, entonces A x = 0 tiene que tener soluciones no triviales y por tanto A no puede ser invertible. Teorema B.36 Sea A una matriz de n × n que tiene p autovalores distintos λ 1 = λ2 = · · · = λp . Entonces los autovectores v1 , v2 , , vp asociados a los autovalores λ1 , λ2 , , λp son linealmente independientes.

B.8.1.

La ecuaci´n caracter´ o A±stica.

sC´mo calcular los autovalores? La respuesta a esta pregunta no es dif´ pues los autovalores o A±cil λ son tales que el sistema (B.15), (A − λ I)x = 0, tiene soluciones no triviales. Pero un sistema homog´neo tiene soluciones no triviales si y s´lo si e o det(A − λ I) = 0. (B.16)

La ecuaci´n anterior se denomina ecuaci´n caracter´stica de A. Lo anterior lo podemos resumir o o A± como: Un n´ mero λ es un autovalor de la matriz A de n × n si y s´lo si λ satisface la ecuaci´n caracu o o ter´ A±stica de A (B.16), det(A − λ I) =0. Es f´cil comprobar que la expresi´n det(A−λ I) = 0 es un polinomio de grado n en λ. Por tanto a o el polinomio pn (λ) = det(A − λ I) se denomina polinomio caracter´ A±stico de A y los autovalores de A ser´n las ra´ a A±ces de dicho polinomio. O sea, λ es un autovalor de A si y s´lo si p n (λ) = 0. o Matrices similares. Sean A y B dos matrices n × n. Diremos que A es similar a B si existe una matriz invertible P , tal que A = P · B · P −1 , o B = P −1 · A · P. (B.17)

Es evidente que si A es similar a B, B es similar a A, para demostrarlo es suficiente tomar Q = P −1 . Por tanto diremos simplemente que las matrices A y B son similares si se cumple (B.17). La transformaci´n que a cada matriz le hace corresponder otra similar, o sea, A −→ P −1 · A · P , se o denomina transformaci´n de similitud. o Teorema B.37 Si las matrices A y B de n × n son similares, entonces tienen el mismo polinomio caracter´stico y, por tanto, los mismos autovalores. A±

B.8.2.

Diagonalizaci´n de matrices. o

Una matriz A de n × n es diagonalizable si A es similar a una matriz diagonal D, o sea, si existe una matriz P invertible y otra D diagonal, tales que A = P · D · P −1 . Teorema B.38 Una matriz A de n × n es diagonalizablesi y s´lo si A tiene n autovectores o linealmente independientes. Si A = P · D · P −1 , donde D es diagonal y P invertible, entonces los elementos de la diagonal de D son los autovalores de A y las columnas de P son los correspondientes autovectores.

´ B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

104

Este teorema se puede reformular diciendo que A es diagonalizable si y s´lo si sus autovectores o forman una base de Rn . Algoritmo para diagonalizar una matriz A. 1. 2. Encontrar los autovalores de A resolviendo la ecuaci´n (B.16). o Encontrar los autovectores linealmente independientes correspondientes a cada uno de los autovalores calculados en el paso 1. Si tenemos en total n autovectores linealmente independientes entonces el teorema B.38 nos asegurar´ que nuestra matriz es diagonalizable, si no a hay n autovectores independientes entonces A no es diagonalizable y detenemos el proceso. Si A es diagonalizable continuamos como sigue. Construimos la matriz P cuyas n columnas son los n autovectores linealmente independientes. Construimos la matriz diagonal D cuyos elementos de la diagonal coinciden con los autovalores de A. Es importante colocar en cada columna de D el autovalor asociado al autovector de lacorrespondiente columna de P .

3. 4.

Es recomendable comprobar que hemos calculado correctamente P y D. Para ello comprobamos que A · P = P · D. Teorema B.39 (Condici´n suficiente para que una matriz sea diagonalizable I) o Si una matriz A de n × n tiene n autovalores distintos, entonces es diagonalizable. Teorema B.40 (Condici´n suficiente para que una matriz sea diagonalizable II) o Sea A una matriz de n × n con p autovalores distintos λ1 , λ2 , , λp . Sea Bk , k = 1, 2, , p una base del correspondiente autoespacio asociado al autovalor λk y sea nk la dimensi´n de dicho autoespacio. o Construyamos el conjunto de vectores que contiene a todos los conjuntos B k , o sea B = B1
B 2 B p , dim(B) = n1 + n2 + · · · + np .

Entonces B es un conjunto de vectores de Rn linealmente independientes. Adem´s, A es diagonaa lizable si y s´lo si dim(B) = n, o sea, si B contiene exactamente n vectores. o


C ANEXO: SERIES DE POTENCIAS

105

C.

Anexo: Series de potencias
∞ n=0

Definici´n C.1 Dada una sucesi´n de n´meros complejos (a n )n y z0
C definiremos serie o o u an (z − z0 )n , (C.1)

que denominaremos serie de potencias. Como casos especiales de las series de potencias tenemos:
∞ k=0

xk,

∞ k=0

zk , k!

∞ k=1

zk , k

etc. Si la serie converge para todos los valores de z de cierto conjunto A
C, entonces podemos definir la funci´n suma f (z) de la serie. o

C.1.

Propiedades de las series de potencias
∞ n=0

Sin p´rdida de generalidad vamos a considerar las series del potencias del tipo e an z n , (C.2)

es decir, cuando z0 = 0. Obviamente si tenemos una serie de potencias del tipo (C.1), la podemos reducir a a la anterior (C.2) haciendo el cambio de variables ζ = z − z 0 y viceversa. Teorema C.2 Primer Teorema de Abel para las series de potencias Sea la serie de potencias
∞ n=0

an z n , an , z
C. Si la serie converge para cierto w C, entonces la

serie converge absolutamente para todo z
C con |z| < |w|. La regi´n de convergencia de una serie de potencias siempre son c´ o A±rculos en el plano complejo que, en el caso de las series de la forma (C.2) est´n centrados en el origen y en el de las series (C.1), a en z0 (ver la figura 20). N´tese que se obtiene una de la otra al hacer una traslaci´n en el plano o o complejo del c´ A±rculo mediante el vector z0 . Adem´s, cualquiera sea la serie de potencias a
∞ n=0

an z n ,

an , z
C, existe un n´ mero realno negativo R ≥ 0 o R = +∞ tal que para todo z con |z| < R la u ´ serie converge y si |z| > R la serie diverge. Dicho n´ mero se denomina radio de convergencia de la u serie de potencias. Consideremos ahora en caso real, es decir cuando (an )n es una sucesi´n de n´ meros reales y o u z = x R. En este caso hay que trasladar los resultados a la recta real. El primer teorema de Abel quedar´ entonces de la siguiente forma A±a Teorema C.3 Sea la serie de potencias
∞ n=0

an xn , an , x
R. Si la serie converge para cierto r R,

entonces absolutamente para todo x
R con |x| < |r|. A diferencia del caso complejo, en el caso real si se sabe la convergencia en alguno de los extremos, se puede saber mucho m´s sobre la serie. a Teorema C.4 Sea la serie de potencias
∞ n=0

an xn , an , x
R y R su radio de convergencia. En-

tonces, si la serie converge en x = R (x = −R), converge uniformemente en [0, R] ([−R, 0]).


C ANEXO: SERIES DE POTENCIAS
Im z

106

Im z

| z −z 0 | 0. Entonces

La serie se puede integrar t´rmino a t´rmino y la serie resultante tiene el mismo radio de e e convergencia, o sea, se cumple que
x ∞ 0 n=0

an x =

n

∞ n=0

an n+1 x . n+1

2.

La serie se puedederivar t´rmino a t´rmino y la serie resultante tiene el mismo radio de e e convergencia, o sea, se cumple que
∞ n=0

an x

n

=

∞ n=0

nan xn−1 .


C ANEXO: SERIES DE POTENCIAS

107

Una consecuencia trivial del ultimo teorema es que una serie de potencias define una funci´n ´ o infinitas veces derivable en (−R, R). Ejemplo C.8 Probar que la funci´n f (x) = o su derivada. ex =
∞ k=0

xk es continua y derivable en R y calcular k!

Que es continua y derivable en R es evidente de los dos teoremas anteriores a tener, como ya hemos calculado antes, radio de convergencia +∞. Para calcular la derivada usamos el teorema anterior, as´ pues A± ∞ ∞ ∞ kxk−1 xk−1 xk d = = = f (x). f (x) = dx k! k! (k − 1)!
k=0 k=0 k=1

Adem´s, f (0) = 1. La funci´n que cumple lo anterior es la funci´n e x . a o o Los teoremas anteriores permiten calcular un buen n´ mero de series, por ejemplo u log(1 + x) = Para ello notamos que 1 1 = = 1+x 1 − (−x)
∞ n=0 ∞ n=1

(−1)n+1 xn . n

(−x)n =

∞ n=0

(−1)n xn .

Esta serie converge en (−1, 1), as´ que integrando t´rmino a t´rmino tenemos A± e e
t

log(1 + t) =
0

1 dx = 1+x

t 0

∞ n=0

(−1)n xn

dx =

∞ n=0

(−1)n

tn+1 = n+1

∞ n=1(−1)n+1

tn . n

Funciones elementales del an´lisis. a ex =
∞ k=0 ∞ k=0

xk , k!

x
R.
∞ k=0

(C.3)

sen x =

(−1)k x2k+1 , (2k + 1)!
∞ k=1

cos x = (−α)k k x , k!
∞ k=0

(−1)k x2k (2k)! x
(−1, 1),

x
R.

(C.4)

(1 + x)α = 1 + en particular 1 = 1−x
∞ k=0

(C.5)

xk ,

1 = 1+x

(−1)k xk ,

x
(−1, 1).

(C.6)

Aplicando la integraci´n t´rmino a t´rmino en [0, x] tenemos o e e log(1 + x) =
∞ n=1

(−1)n+1 xn . n

(C.7)

Usando (C.6) haciendo el cambio x por x2 obtenemos 1 = 1 + x2
∞ k=0

(−1)k x2k ,

x
(−1, 1),

(C.8)


C ANEXO: SERIES DE POTENCIAS

108

a partir de la cual, integrando t´rmino a t´rmino en [0, x] obtenemos e e arctan x =
∞ n=0

(−1)n x2n+1 , 2n + 1

x
(−1, 1).

(C.9)

1 Escojamos ahora (C.5) con α = − 2 y cambiemos x por −x2 , tenemos



1 ( 2 )k k 1 x , = 1 − x2 k=0 k! ∞

x
(−1, 1),

(C.10)

de donde integrando t´rmino a t´rmino en [0, x] obtenemos e e arc sen x =
∞ k=0 1 ( 2 )k x2k+1 , k!(2k + 1)

x
(−1, 1),

(C.11)

 





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