AMPLIACION DE ANALISIS MATEMATICO: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

x

x + ω 2x = f0 cos(a„Št)



£

¢

t

 

t


 

Ž Indice
Programa de la asignatura o 1. IntroducciŽn a las EDOs: la EDO lineal de primer 1.1. Ecuaciones diferenciales “ordinarias” . . . . . . . . 1.2. La EDO lineal de primer orden . . . . . . . . . . . 1.3. Algunas aplicaciones de las EDOs lineales de primer 1.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . orden . . . . . . . . . . orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 1 2 3 5 7 7 10 11 12 13 14 18 23 26 27 28 29 31 34 35 38 39 41 43 49 51 52 53 55 56 58 58 60 64 65

2. Otras EDOs de primer orden 2.1. Ecuacionesseparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ecuaciones que se reducen a EDOs lineales o separables 2.4. Las EDOs homogŽneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5. Otras EDOs de primer orden: la EDO de Clairaut . . . 2.6. Ecuaciones exactas y factores integrantes . . . . . . . . 2.7. Aproximaciones numŽricas: el mŽtodo de Euler . . . . . e e 2.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sistemas de EDOs 3.1. La ecuaciŽn lineal Y = A(x)Y + B(x) . . . . o 3.2. Los SEDO lineales con coeficientes constantes 3.3. La exponencial matricial exp(xA) . . . . . . . 3.4. El caso de autovalores mŽltiples . . . . . . . . u 3.5. El SEDO lineales no homogŽneo . . . . . . . . e 3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. La ecuaciŽn lineal de orden n o 4.1. SoluciŽn de la ecuaciŽn lineal homogŽnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o e 4.2. La EDO lineal de segundo orden no homogŽnea con coeficientes constantes e 4.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Soluciones de EDOs en serie de potencias 5.1. El mŽtodo de reducciŽn de orden . . . . . e o 5.2. Puntos regulares y singulares de una EDO 5.3. La ecuaciŽn hipergeomŽtrica de Gauss . . o e 5.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Los 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

polinomios ortogonales clŽsicos a La ecuaciŽn diferencial hipergeomŽtrica. . . . o e Los Polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi. Los momentos de los polinomios clŽsicos . . . a Las funciones generatrices . . . . . . . . . . .


6.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. El teorema de existencia y unicidad para las EDOs 7.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. La transformada de Laplace 8.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Anexo: CŽlculo de primitivas a A.1. MŽtodos de integraciŽn.. . . . . . e o A.2. IntegraciŽn de funciones racionales. o A.3. Integrales trigonomŽtricas. . . . . . e A.4. Integrales irracionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 69 70 72 73 75 76 78 80 81 83 83 84 85 86 90 94 97 102

Ž B. Anexo: Algebra lineal B.1. Sistemas lineales y matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . B.2. Formas escalonadas y el algoritmo de reducciŽn por filas. o B.3. SoluciŽn de un sistema de ecuaciones lineales. . . . . . . o B.4. Vectores y ecuaciones matriciales. . . . . . . . . . . . . . Ž B.5. Algebra de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.6. Determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.7. Espacios Vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.8. El problema de autovalores de una matriz. . . . . . . . .

C. Anexo: Series de potencias 105 C.1. Propiedades de las series de potencias . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 105


Diplomatura de EstadŽ A±stica “AmpliaciŽn de AnŽlisis MatemŽtico”. o a a Programa de la asignatura. Curso 2003/2004
CapŽ A±tulo 1: IntroducciŽn a las ecuaciones diferenciales ordinarias. La EDO lineal o de primer orden. MotivaciŽn de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). La EDO lineal de primer o orden. Teorema de existencia y unicidad para la EDO lineal de orden 1. Aplicaciones. CapŽ A±tulo 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuaciones separables. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de Bernoulli y de Ricati. Ecuaciones diferenciales exactas. Aplicaciones. MŽtodos e en diferencias para resolver EDOs de primer orden: El mŽtodo de Euler. e CapŽ A±tulo 3: Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Sistemas lineales con coeficientes constantes. La matriz exponencial eA y sus propiedades. Ejemplos y aplicaciones. CapŽ A±tulo 4: Ecuaciones diferenciales de orden n. EDOs de orden n. RelaciŽn con los sistemas de ecuaciones de primer orden. Ecuaciones o lineales. EDOs lineales de orden 2. MŽtodo de variaciŽn de coeficientes. ReducciŽnde orden. e o o CapŽ A±tulo 5: MŽtodo de las series de potencias. e MŽtodo de integraciŽn por series. Puntos regulares y singulares. La ecuaciŽn hipere o o geomŽtrica de Gauss. La ecuaciŽn de Bessel. Aplicaciones. e o CapŽ A±tulo 6: Polinomios ortogonales clŽsicos. a La ecuaciŽn de tipo hipergeomŽtrico y sus soluciones polinŽmicas. Los polinomios clŽsio e o a cos. Ortogonalidad y relaciŽn de recurrencia. FŽrmula de Rodrigues. Los momentos de las o o distribuciones continuas de probabilidad. Funciones generatrices. CapŽ A±tulo 7: EDOs: Existencia y unicidad de las soluciones. MŽtodo de PicŽrd. Teorema de existencia y unicidad para una ecuaciŽn diferencial ordie a o naria de primer orden. Los sistemas lineales y la EDO de orden n. CapŽ A±tulo 8: Ecuaciones en diferencias finitas. IntroducciŽn a las ecuaciones en diferencias finitas: Ejemplos. Existencia de la soluciŽn. o o o e a La ecuaciŽn de segundo orden de tipo hipergeomŽtrico. Polinomios clŽsicos discretos. La ecuaciŽn de Pearson y los momentos de las distribuciones discretas de probabilidad. Funcioo nes generatrices.


MetodologŽ y EvaluaciŽn A±a o
La asignatura estŽ dividida en 3 horas teŽricas y 2 horas prŽcticas semanales. Las horas a o a de teorŽ sededicarŽn a la explicaciŽn de los principales conceptos y mŽtodos de resoluciŽn A±a a o e o de EDOs tanto de orden uno como de ordenes superiores. AdemŽs se desarrollarŽn distintos Ž a a ejemplos que permitan aplicar y profundizar los mŽtodos aprendidos. Las horas prŽcticas se e a dedicarŽn a proponer y resolver diversos ejercicios que permitan al alumno una comprena siŽn mŽs profunda de los conceptos teŽricos y que sirvan de complemento a las clases teŽricas. o a o o Al final del cuatrimestre se se efectuarŽ un exŽmen final constituido por una parte teŽricaa a o a prŽctica y otra de problemas. Para aprobar el examen es necesario obtener al menos 5 puntos. TambiŽn se entregarŽn varios proyectos sobre temas relacionados con el programa e a que complementen los tratados en clase. Dichos proyectos son totalmente voluntarios y no serŽn evaluados en el exŽmen aunque si pueden complementar la nota de Žste, sŽlo en caso a a e o de mejorarla.

BibliografŽ A±a
BibliografŽ bŽsica A±a a
C. H. Edwards, Jr y David E. Penney, Ecuaciones diferenciales elementales. Pearson EducaciŽn o Nagle R.K. y Saff E.B. Fundamentos de ecuaciones diferenciales. Pearson EducaciŽn. o

Colecciones de problemas
A. K. BOIARCHUK y G. P.GOLOVACH, MatemŽtica Superiores. Problemas Resuea tos: Ecuaciones diferenciales (Anti-Demidovich) Vol 8, 9 y 10 (URSS, 2002).

BibliografŽ complementaria A±a
Braun M. Differential Ecuations and their Applications. Springer Verlag. Bugrov Ya.S., Nikolski S.M. Ecuaciones diferenciales. Integrales mltiples. Series. Funciones de variable compleja. MIR. Elsgoltz L. Ecuaciones diferenciales y cŽlculo variacional. MIR. a Kisilev A., Krasnov M. y Makarenko G. Problemas de Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ed. MIR. MarcellŽn, F., CasasŽs, L. y Zarzo, A., Ecuaciones diferenciales: Problemas lineales y a u aplicaciones. McGraw-Hill. Rainville E.D., Bedient P.E. y Bedient R.E. Ecuaciones diferenciales. Prentice Hall. Simmons, G.F. Ecuaciones diferenciales : con aplicaciones y notas histŽricas. McGrawo Hill. Ž Renato Alvarez Nodarse. Facultad de MatemŽticas. Despacho: 1er piso, Mod 15, No. 15-06 a

Ž 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN

1

1.

IntroducciŽn a las EDOs: la EDO lineal de primer o orden
Todos sabemos que es una ecuaciŽn. Por ejemplo o 3x + 2 = 5, x2 + 4x = −3, x2 + 1 = 0, x2 − 2x + 1 = 0. x2 − 1

Estas ecuaciones, quizŽ las mŽs sencillas, son ecuaciones algebraicas ya queinvolucran sŽlo a a o las operaciones suma, resta, multiplicaciŽn y divisiŽn. La incŽgnita en este caso es una unica o o o Ž variable x que puede ser real o compleja. Por ejemplo, para la primera ecuaciŽn es fŽcil ver o a que x = 1 es la unica soluciŽn posible, mientras que la segunda tiene dos soluciones reales Ž o x = 1 y x = 3. La tercera sin embargo no tiene soluciones reales, pero si complejas x = ±i. Finalmente la ultima no tiene ninguna soluciŽn pues la unica posible serŽ x = 1 que no Ž o Ž A±a puede ser soluciŽn ya que la propia ecuaciŽn no estŽ definida en x = 1 (divisiŽn por cero). o o a o Hasta ahora hemos visto ecuaciones “sencillas” en el sentido que su soluciŽn es un conjuno to de nŽmeros determinado. Existen ecuaciones mŽs “complicadas”, las ecuaciones funcionau a o e les donde las incŽgnitas son funciones. En ejemplo de Žstas son las ecuaciones diferenciales Ž “ordinarias”. Estas son ecuaciones que involucran tanto a las funciones buscadas como sus derivadas “ordinarias”. Por ejemplo, y (x) = sen x, y (x) = y, y (x) − ey(x) + 7 cos x = 0, y (x) + 3y (x) + 2y(x) = 2 cos(2x).

Estas ecuaciones son el objetivo del presente curso. Es fŽcil entender que el problema de a encontrar la soluciŽn de lasecuaciones diferenciales es mŽs complicado que el de los casos o a anteriores. En primer lugar por que estamos buscando funciones de x y no simples valores de x. En segundo, porque tarde o temprano tendremos que calcular primitivas lo cual es bastante complicado en general.

1.1.

Ecuaciones diferenciales “ordinarias”
F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0,

Nos centraremos en las ecuaciones del tipo (1.1)

donde y = y(x) es cierta funciŽn n veces derivable en algŽn intervalo I R. Diremos que o u una ecuaciŽn diferencial del tipo (1.1) es de orden n si en ella aparece la derivada y (n) , es o decir el orden de una EDO coincide con el mayor orden de la derivada de la funciŽn incŽgnita o o y y. AsŽ por ejemplo la ecuaciŽn y + 3y = 2 es de orden uno, y + e − 1 = 0 es de orden dos, A±, o y (5) + 3 sen x − y = 0 es de orden cinco. Diremos que y = y(x) es una soluciŽn de la (1.1) en cierto dominio A R si al sustituir o la funciŽn y = y(x), (1.1) se transforma en una identidad para todo x A, o sea o y = y(x) es soluciŽn en A o F (x, y(x), y (x), . . . , y (n) (x)) = 0, x A.

Nuestro principal objetivo es aprender a resolver EDOs. En particular el denominado problema de valores iniciales (PVI), esdecir encontrar aquella soluciŽn y de la ecuaciŽn o o (n) F (x, y, y , y , . . . , y ) = 0 que cumpla con las condiciones iniciales y(x0 ) = y0 , y (x0) = y0, , y (n−1) (x0) = y0
(n−1)

.

Ž 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN

2

1.2.

La EDO lineal de primer orden
d y(x) + a(x)y(x) = b(x), dx

DefiniciŽn 1.1 La ecuaciŽn o o a(x), b(x) CI . (1.2)

(como incŽgnita tenemos a la funciŽn derivable y(x)) se denomina ecuaciŽn diferencial lineal o o o de primer orden. Si b(x) ≡ 0 la ecuaciŽn se denomina ecuaciŽn homogŽnea y si b(x) = 0, o o e ecuaciŽn no homogŽnea. o e La soluciŽn general de (1.2) se expresa de la forma o y(x) = Ce−
a(x) dx

+ e−

a(x) dx

e

a(x) dx

b(x) dx

(1.3)

Ejemplo 1.2 Encontrar la soluciŽn de la ecuaciŽn lineal o o Tenemos y = Ce− 2 + e− 2
x2 x2

dy + x y = 2x. dx

e 2 2x dx = Ce− 2 + 2e− 2 e 2 = Ce− 2 + 2.

x2

x2

x2

x2

x2

DefiniciŽn 1.3 El problema de encontrar una soluciŽn de la ecuaciŽn (1.2) con la condiciŽn o o o o que y(x) tome cierto valor y0 cuando x = x0 se denomina problema de valores iniciales PVI para la EDO lineal de primer orden, o sea, d y(x) + a(x)y(x) = b(x), dx a(x), b(x) CI , y(x0) = y0.(1.4)

o Ejemplo 1.4 Resolver la EDO del ejemplo 1.2 con la condiciŽn inicial y(0) = 1. Como la soluciŽn general es y(x) = Ce− 2 + 2, tenemos y(0) = 1 = C + 2, de donde C = −1 o
x2 x2

y y(x) = 2 − e− 2 .

Teorema 1.5 (existencia y unicidad de la soluciŽn del PVI para una EDO lineal 1er orden) o Sea el problema de valores iniciales (1.4). Si a(x) y b(x) son funciones continuas en cierto intervalo I R que contenga al punto x0 I, entonces, para cualquiera sea el valor y0 , existe una unica soluciŽn del problema de valores iniciales (1.4). Ž o En general, la soluciŽn del PVI es o
x t x t

y(x) = y0 exp −

x0

a(s) ds + exp −

a(s) ds
x0 x0

exp
x0

a(s) ds b(t) dt .

(1.5)

Ž 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN

3

1.3.

Algunas aplicaciones de las EDOs lineales de primer orden

Ejemplo 1.6 Encontrar una familia de curvas y(x) tal que el segmento de la tangente t a la curva y en un punto cualquiera P (x, y) dibujado entre P y el eje 0y quede bisecado por el eje Ox. y = 2y/x Ejemplo 1.7 Encontrar una familia de curvas y(x) tal que la pendiente de la tangente t a la curva y en cada punto sea la suma de las coordenadas del punto. Encuentra ademŽs la acurva que pasa por el origen. Ejemplo 1.8 Se sabe que la intensidad i del circuito elŽctrico representado en la figura 1 e estŽ gobernada por la ecuaciŽn diferencial a o L di + Ri = U, dt

donde L es la impedancia, R la resistencia y U el voltaje. Supongamos que el voltaje U es constante y que i(0) = i0. Encontrar la dependencia de i respecto al tiempo t. Realizar el mismo estudio si U = U0 sen(ωt).
y t y(x)

P(x,y)

R

0 (x/2,0) x

U

L

Q

Figura 1: Curva del ejemplo 1.6 (derecha) y circuito elŽctrico del ejemplo 1.8 (izquierda) e

Ejemplo 1.9 La ecuaciŽn baromŽtrica de Pascal es la EDO o e p (h) = −λp(h), λ > 0,

donde p es la presiŽn en funciŽn de la altura h. Si h = 0, la presiŽn al nivel del mar (1 atm). o o o sCŽmo varŽ la presiŽn con la altura? o A±a o Ejemplo 1.10 La descomposiciŽn radioactiva o Si N es el nŽmero de atomos de una substancia radioactiva, entonces u Ž N (t + h) − N (t) = −λN (t)h N (t + h) − N (t) = −λN (t). h

Ž 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN Sierra Grazalema (CŽdiz) a Picos de Europa (Cantabria) Sierra Nevada (Granada) Teide (tenerife) Everest (Himalaya) altura mŽxima (metros) presiŽn (atm) a o 1654 2648 3478 3710 8848 0.81 0.710.64 0.62 0.32

4

Si h → 0, entonces podemos aproximar la ecuaciŽn anterior mediante la siguiente EDO o N (t) = −λN (t), N (t0) = N0. (1.6)

Se llama perŽ A±odo de semi-desintegraciŽn al tiempo necesario para disminuir en la mitad o el nŽmero de atomos, u Ž N0 = N0 e−λT , 2 = λ= log 2 0,693147 = . T T

Elemento Radio 226 → Plomo 214 Plomo 214 → Plomo 210 Plomo 210 → Polonio 210 Polonio 210 → Plomo 206 Carbono 14 → NitrŽgeno 14 o Uranio 238 → Torio 234

PerŽ A±odo T λ 1600 a˜os n 0.000433217 1/a˜os n 47 min 0.0147478 1/min 22 a˜os n 0.0315067 1/a˜os n 138 dŽ A±as .00502281 1/dias 5568 a˜os n 0.000124488 1/a˜os n 9 −10 4,5110 a˜os 1,5101210 n 1/a˜os n

En muchos casos un elemento radioactivo puede obtenerse a partir de otros mediante una cadena radioactiva. E.g.

Uranio 238

Torio 234

Uranio 234

Radio 226

Plomo 206

Polonio 210

Plomo 210

Plomo 214

AsŽ por ejemplo, si estudiamos la cantidad de Plomo 210 que hay en una muestra tenemos A±, que tener en cuenta no sŽlo la cantidad que se desintegra sino la que aporta cualquiera de los o elementos que aparecen por encima de Žl en la cadena radioactiva. Por ejemplo, prŽcticamente e a en cualquier muestra que tomemos siempre hay unadeterminada cantidad de Radio 226, lo que implica una aportaciŽn a la cantidad de Plomo 210 despuŽs de varias desintegraciones. o e Si llamamos a esa aportaciŽn r(t), entonces la ecuaciŽn que gobierna la desintegraciŽn del o o o Plomo 210 es la siguiente N (t) = −λN (t) + r(t), N (t0) = N0, (1.7)

Ž 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN

5

donde r(t) representa la cantidad de atomos de Radio que se desintegra en la muestra. La Ž soluciŽn de la ecuaciŽn anterior es fŽcil de encontrar usando la fŽrmula (1.5). o o a o

1.4.

Problemas

Problema 1.11 Decide si las funciones y(x) definidas explŽ A±citamente o implŽ A±citamente son soluciones de la EDO F (x, y, y) = 0 dada y determina la regiŽn de R donde dicha soluciŽn o o estŽ definida: a 1. f (x, y) = y − ex + 2 = 0, 2. f (x, y) = y −
2 2+x

F (x, y, y ) = y − y = 0 F (x, y, y ) = xy + y − y 2 = 0 F (x, y, y ) = yy + x = 0 F (x, y, y ) = (y 2 − x)y − y + x2 = 0 F (x, y, y ) = yy + x = 0 F (x, y, y ) = (1 + x2)y − xy = 0 F (x, y, y ) = ex−y + ey−xy = 0 F (x, y, y ) = y + y/x = 0

= 0,

3. f (x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0, 4. f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy = 0, 5. f (x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0, √ 6. f (x, y) = 1 + x2 − y = 0, 7. f (x, y) =e2x + ey−x − 1 = 0, 8. f (x, y) = x2 + y 2 + 1 = 0, Problemas de EDOs lineales

Problema 1.12 Encuentra la soluciŽn general de las siguientes EDO lineales de primer o orden 1. y + y cos x = 0 √ 2. y + y x = 0 3. y + 2xy = x 4. y + y = xex 5. y + x2y = x2 6. x y + y = x3 7. y = (y + e−x ) tan x 8. y + 2y = f (x), f (x) = 3e−2x , 9. y + xy = f (x), f (x) = 3/4e−2x , f (x) = sen x 10. x y + y cos x = 1/2 sin(2x) 11. x y + y = x sen x Problema 1.13 Encontrar la soluciŽn general de las siguientes ecuaciones diferenciales y o la soluciŽn correspondiente a las condiciones iniciales indicadas: o 1. y = 3y + e5x , 2. y = 6y + x2, y(1) = 0. y(0) = 2.

Ž 1 INTRODUCCION A LAS EDOS: LA EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN 3. y = y + e−x sen(2x), y(0) = 1. 4. (1 + x2)y + 4xy = x, y(1) = 1/4. g(x) = 2, 0 ≤ t ≤ 1 0, t > 1

6

5. y + y = g(x), y(0) = 0,

Problema 1.14 Encontrar la ecuaciŽn de la familia de curvas tal que el segmento de la o normal entre la curva y y el eje 0y es biseccionado por el eje 0x. Encontrar la curva que pasa por (4, 2). (sol. x2 + 2y 2 = 24).
y

0 (x/2,0) y(x) t P(x,y) Q x

n

Curva del problema 1.14. Problema 1.15 a) Prueba que cualquier soluciŽn y(x) de la ecuaciŽn o o y + ay = be−cx ,x→∞

a, c (0, ∞),

b R,

es tal que lŽ y(x) = 0 independientemente del valor y(0) = y0 inicial. A±m b) Prueba que cualquier soluciŽn y(x) de la ecuaciŽn o o y + a(x)y = b(x),
x→∞

a(x) ≥ c > 0,

x R,

x→∞

lŽ b(x) = 0, A±m

a(x), b(x) CR ,

es tal que lŽ y(x) = 0 independientemente del valor y(0) = y0 inicial. A±m


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

7

2.
2.1.

Otras EDOs de primer orden
Ecuaciones separables

Comenzaremos por las ecuaciones separables. Supongamos que la funciŽn f (x, y) en la o EDO y = f (x, y) (2.1) admite la factorizaciŽn f (x, y) = a(x)b(y). Cuando esto ocurre se dice que la EDO (2.1) es o una ecuaciŽn separable. Un ejemplo trivial de ecuaciŽn diferencial separable es la ecuaciŽn o o o diferencial lineal homogŽnea (1.2) cuando b ≡ 0. e En general tenemos dy = a(x)b(y) dx dy = a(x)dx b(y) dy dy = b(y) a(x)dx,

luego la soluciŽn de la ecuaciŽn separable es o o G[y(x)] = A(x) + C, donde G(y) es una primitiva de 1/b(y) y A(x) es una primitiva de a(x). Ejemplo 2.1 Resolver la ecuaciŽn y = x/y. o Usando lo anterior tenemos ydy = xdx y 2 = x2 + C.

La expresiŽn anterior define una familia de curvas en R2 √ son soluciŽn de la ecuaciŽn o que o o 2 ,donde el signo + o − o diferencial propuesta. En general la soluciŽn es y(x) = ± C + x dependerŽ de las condiciones iniciales. Por ejemplo, si nos interesa el PVI con la condiciŽn a o √ 2. y(0) = 3, entonces C = 9 y la soluciŽn serŽ y(x) = 9 + x o a 2.1.1. Aplicaciones

Ejemplo 2.2 Supongamos que tenemos una reacciŽn quŽ o A±mica A + B → C y que en t = 0 la concentraciŽn de A es a y la de B es b. Se sabe que la velocidad la velocidad de formaciŽn o o de C es proporcional a la concentraciŽn de A y B. Lo anterior nos conduce a la EDO o x = κ(a − x)(b − x), donde κ es la constante de proporcionalidad. Supongamos que a = b, entonces tenemos dx = κdt (a − x)(b − x) = log a−x = (a − b)κt + C, b−x 1 − e(a−b)κt . b − ae(a−b)κt = a−x = Ce(a−b)κt , b−x x(0) = 0, (2.2)

como x(0) = 0, C = a/b, luego x(t) = ab

Ejemplo 2.3 La velocidad de escape de la Tierra


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

8

Nos interesa resolver el problema de encontrar la velocidad de escape al espacio exterior de un cuerpo que se encuentre en la superficie de la tierra. Si usamos la ley de Newton tenemos dv GMT =− 2 , dt r donde G es la constante universal gravitatoria y MT es la masa de la tierra. Como g = GMT /R2 , siendo R el radio dela tierra (que supondremos una esfera), tenemos GM T = gR2. Obviamente r varia con el tiempo por lo que la ecuaciŽn anterior se torna algo complicada o a simple vista. Usando la regla de la cadena tenemos v gR2 dv =− 2 . dr r

La soluciŽn de esta EDO usando el mŽtodo de separaciŽn de variables es v 2 = 2gR2 /R + C. o e o Supongamos que v0 es la velocidad inicial del cuerpo sobre la superficie terrestre, entonces, la velocidad del cuerpo a cualquier distancia de la tierra viene dada por v2 = 2gR 2 + v0 − 2gR. r

Para que nuestra nave escape definitivamente de la tierra es suficiente que v ≥ 0 cuando √ r → ∞, lo cual nos conduce al valor v0 ≥ 2gR. Poniendo los datos R = 6400000 metros g = 9,8m/s2 obtenemos v0 = 11200m/s = 11,2Km/s. Ejemplo 2.4 La caŽ de un cuerpo en un medio viscoso se puede modelizar mediante la A±da ecuaciŽn para la velocidad v(t) o v = g − κv r , v(0) = v0, (2.3)

donde g y κ son ciertas constantes (la gravedad y la viscosidad). o Resolvamos la ecuaciŽn dv = dt g − κv r
v v0 v

=

t − t0 =

v0

dv 1 = g − κv r g

v v0

dv , 1 − ω2 vr

ω2 =

κ . g

Escojamos r = 2, por ejemplo. Entonces dv 1 (1 + ωv) (1 − ωv0 ) = log = g(t − t0 ). 2 vr 1−ω 2ω (1 − ωv) (1 + ωv0 )Despejando v tenemos la soluciŽn o 1 v(t) = ω
1+ωv0 1−ωv0 1+ωv0 1−ωv0

e2gω(t−t0) − 1 e2gω(t−t0) + 1

,

ω=

κ > 0. g

Como ω > 0, entonces si t → ∞ el cuerpo sŽlo podrŽ alcanzar la velocidad lŽ o a A±mite vmax = 1/ω independiente del valor v0 inicial. Ejercicio 2.5 Resolver el caso r = 3.


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN 2.1.2. El modelo de crecimiento de poblaciones

9

Imaginemos que tenemos una poblaciŽn de cierta especie (consideraremos que tenemos o un nŽmero bastante alto de individuos) y sea p(t) el nŽmero de individuos de dicha especie en u u el momento t (evidentemente p(t) N). Sea r(t, p) la diferencia entre en Ž A±ndice de natalidad y mortalidad de la poblaciŽn. Supongamos que la poblaciŽn estŽ aislada (o sea, no hay o o a emigraciŽn ni inmigraciŽn). Entonces la variaciŽn p(t + h) − p(t) es proporcional a p(t)h y o o o el coeficiente de proporcionalidad es r(t, p). Luego p(t + h) − p(t) = r(t, p)p(t)h, h → 0, = p (t) = r(t, p)p(t).

La ecuaciŽn mŽs sencilla posible se obtiene si consideramos r(t, p) = r, constante. AsŽ la o a A±, poblaciŽn de individuos de la especie puede ser modelizada mediante el PVI o p (t) = r p(t), p(t0) = p0 , r > 0, (2.4)

cuya soluciŽn p(t) = p0 er(t−t0). El modelo anterior se conoce como modelo de Malthus o o modelo maltusiano pues fuŽ propuesto por el economista inglŽs Thomas R. Malthus (1766– e e 1834). Si r < 0 la especie esta condenada a la extinciŽn y si r > 0 Žsta crece en proporciŽn o e o geomŽtrica. e Aunque el modelo funciona razonablemente bien para poblaciones grandes, hay que hacer varias correcciones pues si p(t) empieza a crecer demasiado habrŽ muchos otros factores como a la falta de espacio o de alimentos que frenarŽ el crecimiento. Por tanto varios a˜os despuŽs en a n e 1837 un matemŽtico y biŽlogo holandŽs, P. F. Verhulst, propuso un modelo algo mŽs realista a o e a conocido como el modelo logŽ A±stico. Verhulst razonŽ que como estadŽ o A±sticamente el encuentro 2 de dos individuos es proporcional a p (spor quŽ?) entonces tendremos que sustraerle al e tŽrmino rp un tŽrmino cp2 , de forma que la EDO que modeliza una poblaciŽn serŽ e e o a p (t) = r p(t) − cp2 (t),
p r/c

p(t0) = p0,

r, c > 0.

(2.5)

En general c ha de ser mucho mŽs peque˜o a n que r ya que si r no es muy grande la EDO (2.4) es una aproximaciŽn bastante buena, pero si p o comienza a crecer demasiado entonces el tŽrmie 2 no −cp no se puede obviar y terminafrenando el crecimiento exponencial. Resolviendo la EDO (2.5) tenemos p(t) = rp0er(t−t0) . r − cp0 + cp0 er(t−t0) (2.6)

AdemŽs, lŽ t→∞ p(t) = r/c independientemente a A±m de p0 . En el caso cuando 0 < p0 < r/c la evoFigura 2: EvoluciŽn de la poblaciŽn segŽn luciŽn de la poblaciŽn estŽ representada en la o o u o o a el modelo logŽ A±stico 2.5. grŽï¬ca 2. a
0

t0

t

Este modelo se ha comprobado con varias especies y ha dado muy buenos resultados, en particular, el hecho de que la poblaciŽn se o estabilice ha sido comprobado en distintos experimentos con paramecios obteniŽndose una e gran concordancia entre los resultados teŽricos y experimentales. o


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

10

2.2.

Problemas

Problema 2.6 Encuentra a ser posible todas las soluciones y(x) definidas explŽ A±citamente si se puede o implŽ A±citamente de las EDOs siguientes 1. (1 + x2)y = 1 + y 2 2. y = xy(y + 2) 3. y(1 + x2)y + x(1 + y 2 ) = 0 4. y = 1 − x + y 2 − xy 2 5. cotg(y)y = x2 + 2 6. (x log x)y + 1 + y2 = 0

7. cos(y)y + ex+1 tan y = 0 8. (xy + y)y + ey (x2 + 2x + 1) = 0 Problema 2.7 Encuentra las soluciones y(x) de los siguientes problemas de valores iniciales: 1. y = y(a + by), y(x0) = y0 > 0, a, b > 0. 2. (1 − x)y =(x + 1)y, y(0) = 0 3. yy + x − 3xy 2 = 0, y(2) = 1 4. cos(y)y = − x sen2y , y(1) = π/2 1+x 5. 3xy = y cos x, y(1) = 0 6. x2y − 1 = cos(2y), lŽ x→∞ y(x) = 5π/4 A±m
2


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

11

2.3.
2.3.1.

Ecuaciones que se reducen a EDOs lineales o separables
Ecuaciones reducibles a EDOs lineales: Las EDOs de Bernoulli y Riccati

En 1695 Johann Bernoulli propuso la resoluciŽn de la EDO o y + a(x)y = b(x)y n, n = 0, 1. (2.7)

La resolviŽ su hermano Jacob en 1696. Ese mismo a˜o Leibniz propuso el cambio z = y 1−n o n que transformaba la EDO (2.7) en una EDO lineal. En efecto, haciendo z = y 1−n , z = (1 − n)y −n y , = z + (1 − n)a(x)z = (1 − n)b(x),

que es lineal y por tanto podemos usar la fŽrmula (1.3) para resolverla. o Ejemplo 2.8 Resolver la EDO y − 1/(3x)y = y 4 log x. Esta ecuaciŽn es una EDO de Bernoulli con n = 4. Hacemos el cambio z = y −3 , y tenemos o 4 y = −y y /3, y = y 4 z, luego la EDO se transforma en 1 z + z = −3 log x, x de donde obtenemos y= C 3 3 − − x log x + x x 2 4 = z=− C 3 3 − x log x + x, x 2 4
−1/3

.

Pasemos a estudiar la EDO de Riccati. En 1724 Jacopo Francesco Riccati estudiŽ la EDO o y + p(x)y + q(x)y 2 = f (x), (2.8)

que habŽ consideradoa˜os antes Jacob Bernoulli. La ecuaciŽn anterior generalmente es A±a n o imposible de resolver analŽ A±ticamente (en cuadraturas) a no ser que se sepa una soluciŽn o particular yp . Supongamos que yp es una soluciŽn particular de (2.8), y hagamos el cambio o z = y − yp . Obtenemos z + [p(x) + 2q(x)]z + q(x)z 2 = 0, que es una ecuaciŽn de Bernoulli la cual mediante el cambio w = 1/z podemos convertir en o una lineal. En general, dada una EDO de Riccati (2.8), mediante el cambio y = yp + 1/z, la podemos convertir en una EDO lineal. Veamos un ejemplo. Ejemplo 2.9 Resolver la EDO de Riccati y = y 2 − 2/x2. La forma de la EDO nos induce a buscar una soluciŽn del tipo y = c/x. Sustituyendo en la o EDO descubrimos que las funciones y = 1/x e y = −2/x son soluciones particulares. Usemos la primera para resolver la EDO. Hacemos el cambio y = 1/x + 1/z, y =− 1 z − 2, 2 x z = 2 z + z = −1. x

La soluciŽn la encontramos usando la fŽrmula (1.3) que nos da o o x C z = − + 2, 3 x = y= 3x2 1 + . x C − x3


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN 2.3.2. Ecuaciones del tipo y = F (αx + βy) y = F (αx + βy),

12

Sea la EDO (2.9) y hagamos el cambio z = αx + βy, entonces z = α + βy , luego (2.9) se transforma en la EDO separable dz= x + C. z = α + βF (z), = α + βF (z) Ejemplo 2.10 Resolver la EDO y = y − x − 1 +
1 . x−y+2

Esta ecuaciŽn puede ser escrita en la forma y = F (αx + βy) si hacemos z = y − x, entonces o F (z) = z − 1 + 1/(2 − z). Como z = y − 1 tenemos z = z−2− 1 , z−2 = (z − 2)dz = x + C, (z − 2)2 − 1

luego la soluciŽn en cuadraturas es o √ log |(z − 2)2 − 1| = x + C, = (z − 2)2 − 1 = Cex , = z = 2 ± 1 + Cex , √ por tanto y = 2 + x ± 1 + Cex . NŽtese que hemos dividido por (z − 2)2 − 1 por lo que o podemos haber perdido soluciones. En efecto, como (z − 2)2 − 1 = 0 se anula en z = 1 y 3, podemos perder las soluciones y = x + 1 e y = x + 3.

2.4.

Las EDOs homogŽneas e

Un tipo especial de EDOs resolubles son las denominadas EDOs homogŽneas. Una funciŽn e o f (x, y) se denomina homogŽnea de orden k si para todo x, y y para todo t R, f (tx, ty) = e tk f (x, y). AdemŽs, si f es homogŽnea de orden 0, entonces f (tx, ty) = f (x, y). Sea f una a e funciŽn homogŽnea de orden 0. Sea y = u x. Entonces o e f (x, y) = f (x, ux) = x0f (1, u) = g(u) = g(y/x), o sea, toda funciŽn homogŽnea de orden 0 es una funciŽn de y/x. o e o Supongamos que tenemos la EDO y = f (x, y) y f es una funciŽn homogŽnea de orden o e 0,entonces la EDO anterior se transforma en la EDO y = f (y/x). (2.10)

A la ecuaciŽn y = f (y/x) anterior se le suele denominar EDO homogŽnea. Si hacemos el o e cambio y = ux, entonces y = xu + u y la EDO (2.10) se transforma el la EDO separable xu + u = f (u), u = y/x,

que se puede resolver en cuadraturas ya que es una EDO separable du = log |x| + C. f (u) − u Ejemplo 2.11 Resolver la EDO y = (y + x2 − y 2 )/x.


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

13

Sea f (x, y) = (y + x2 − y 2 )/x, es fŽcil comprobar que f (tx, ty) = f (x, y), asŽ que hacemos a A± el cambio y = u x y obtenemos, si u = ±1, xu = de donde se deduce que arc sen u = log |x| + C arc sen(y/x) = log |x| + C. √ 1 − u2 , = √ dx du = , x 1 − u2

Ahora bien, como hemos visto u = ±1, lo que puede hacernos perder las soluciones y = ±x. Sustituyendo y = ±1 en la EDO inicial comprobamos que y = x e y = −x son tambiŽn dos e soluciones de la EDO original.

2.5.

Otras EDOs de primer orden: la EDO de Clairaut

La EDO y = xy + f (y ), f derivable y con primera derivada continua (2.11)

se denomina EDO de Clairaut en honor a Alexis Clairaut que las estudiŽ en 1734. Vamos a o o intentar encontrar alguna soluciŽn de la EDO Clairaut para locual derivamos (2.11) y = xy + y + f (y )y [x + f (y)]y = 0,

de donde deducimos que o y = 0 o x + f (y ) = 0. La primera condiciŽn nos da una familia o de rectas y = mx + n. Lo curioso de esta EDO es que la envolvente1 de todas las rectas tambiŽn es soluciŽn. Para descubrir cuales son las rectas soluciŽn basta notar que si y = c, e o o entonces la EDO nos da la ecuaciŽn y = xc + f (c), c R. Para encontrar la otra soluciŽn o o usamos que x = −f (y ). Luego si hacemos y = t, siendo t un parŽmetro real tenemos la a siguiente soluciŽn paramŽtrica conocida comŽnmente como soluciŽn singular o e u o   x = −f (t), Ejemplo 2.12 Resolver la EDO y = xy + (y )2. Esta es una EDO de Clairaut con f (z) = z 2, luego las soluciones son las familias de rectas y = cx + c2 , y la soluciŽn singular o   x = −2t
1



y = xt + f (t).

La envolvente de una familia de rectas (curvas en general) es una curva que es tangente a todas dichas rectas (curvas).



=

y = xt + t2

x t=− , 2

y=−

x2 . 4


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

14

2.6.

Ecuaciones exactas y factores integrantes

Sea una EDO del tipo y = f (x, y). EstŽ claro que si la EDO anterior la podemos a d reescribir en la forma dx (φ(x,y)) = 0, para cierta funciŽn φ(x, y), entonces la soluciŽn de la o o EDO serŽ φ(x, y) = C. a Nuestro objetivo en este apartado es estudiar cuando una EDO se puede escribir de la forma anterior. Por conveniencia reescribiremos la EDO y = f (x, y) en la forma equivalente N (x, y)y + M (x, y) = 0. (2.12)

La EDO (2.12) tendrŽ una soluciŽn en cuadraturas del tipo φ(x, y) = C si y sŽlo si (2.12) a o o d es equivalente a la expresiŽn dx (φ(x, y)) = 0, o lo que es lo mismo, φ(x, y) = C es una o d soluciŽn de (2.12) si y sŽlo si (2.12) se puede reescribir de la forma dx (φ(x, y)) = 0. o o Como 0= d ∂φ(x, y) ∂φ(x, y) ∂y ∂φ(x, y) ∂φ(x, y) (φ(x, y)) = + = + y, dx ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y

d entonces la EDO (2.12) se puede escribir de la forma dx (φ(x, y)) = 0 si y sŽlo si, dadas dos o funciones M (x, y) y N (x, y) existe una funciŽn φ(x, y) tal que o

∂φ(x, y) = M (x, y), ∂x

∂φ(x, y) = N (x, y). ∂y

(2.13)

d Por ejemplo, la EDO x + yy = 0 se puede escribir en la forma dx [x2 + y 2 ] = 0 y la EDO d 2x − exp(x + y) + [2y + exp(x + y)]y = 0 se puede escribir como dx [x2 + y 2 − exp(x + y)] = 0. En general no es trivial deducir si una EDO del tipo (2.12) se puede expresar de la forma d (φ(x, y)) = 0. Por ejemplo, noes fŽcil intuir que la EDO a dx

y 3 + yey cos(xy) − se puede escribir como

3 + [3xy 2 + ey sen(xy) + xey cos(xy)]y = 0 x2

3 d xy 3 + ey sen(xy) + = 0. dx x Obviamente no cualquier EDO del tipo (2.12) se puede escribir de la forma 0, por ejemplo, la EDO lineal (1.2) y + [a(x)y − b(x)] = 0. AsŽ surge la pregunta scuŽndo la EDO (2.12) se puede escribir de la forma A± a y por tanto su soluciŽn es φ(x, y) = C?. La respuesta la da el siguiente o
d (φ(x, y)) dx

=

d (φ(x, y)) dx

= 0,

Teorema 2.13 Sean M (x, y) y N (x, y) dos funciones tales que existan todas las derivadas parciales ∂M , ∂N , ∂M y ∂N y sean funciones continuas en cierto dominio2 a„Š R2 . Entonces, ∂x ∂x ∂y ∂y para que exista una funciŽn φ(x, y) tal que se cumpla la condiciŽn (2.13) o o ∂φ(x, y) = M (x, y), ∂x es necesario y suficiente que ∂N (x, y) ∂M (x, y) = , ∂x ∂y
2

∂φ(x, y) = N (x, y), ∂y

(x, y) a„Š.

(2.14)

Por dominio entenderemos un conjunto abierto de R2 y convexo, o sea, sin agujeros.


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

15

DefiniciŽn 2.14 Una EDO del tipo (2.12) se llama exacta si N y M son funciones tales o (x,y) (x,y) que ∂N∂x = ∂M∂y . Corolario 2.15 Para que la EDO (2.12) sea exacta es necesario ysuficiente que se cumpla la condiciŽn (2.14) en cierto dominio a„Š R2. AdemŽs, toda EDO exacta tiene una soluciŽn o a o en cuadraturas en a„Š, es decir existe una funciŽn φ(x, y) tal que φ(x, y) = C, define la o soluciŽn de (2.12) en a„Š. o Ejemplo 2.16 Decidir si la EDO (2x + y − sen x) + (3y 2 + cos y + x)y = 0, es exacta, y encontrar su soluciŽn. o
(x,y) (x,y) En este caso M (x, y) = 2x + y − sen x y N (x, y) = 3y 2 + cos y + x, luego ∂M∂y = 1 = ∂N∂x , luego segŽn el corolario 2.15 es exacta. Vamos a resolverla. Como la EDO es exacta entonces u existe φ(x, y) tal que se cumple (2.13), o sea,

∂φ(x, y) = 2x + y − sen x, ∂x De la primera deducimos

∂φ(x, y) = 3y 2 + cos y + x. ∂y

φ(x, y) = x2 + xy + cos x + h(y). Para calcular h(y) usamos que φ(x, y) = C, luego ∂φ(x, y) = x+h (y) = 3y 2 +cos y +x, ∂y = h (y) = 3y 2 +cos y, = h(y) = y 3 +sen y,

y la soluciŽn, en cuadraturas, es φ(x, y) = x2 + xy + cos x + y 3 + sen y = C. o Obviamente podŽ A±amos haber comenzado por la segunda ecuaciŽn o entonces φ(x, y) = y 3 + sen y + xy + g(x), pero ∂φ(x, y) = y + g (x) = 2x + y − sen x, ∂x asŽ φ(x, y) = y 3 + sen y + xy + x2 + cos x = C. A± = g(x) = x2 + cos x,
∂φ(x,y) ∂y

= 3y 2 +cos y +x,

Ejemplo 2.17 Comprobarsi la EDO lineal (1.2) es exacta. En este caso y + [a(x)y − b(x)] = 0, luego M (x, y) = a(x)y − b(x) y N (x, y) = 1, luego (x,y) ∂M (x,y) = ∂N∂x , asŽ que no es exacta. sQuŽ hacer en este caso? A± e ∂y DefiniciŽn 2.18 Una EDO del tipo (2.12) es inexacta (o no es exacta) si o
∂M (x,y) ∂y

=

∂N (x,y) . ∂x


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN 2.6.1. Factores integrantes

16

DefiniciŽn 2.19 En general, dada la EDO (2.12), se dice que ρ(x, y) ≡ 0 es un factor o integrante de (2.12) si la EDO ρ(x, y)M (x, y) + ρ(x, y)N (x, y)y es exacta. Ahora bien, una EDO es exacta si y sŽlo si se tiene la condiciŽn (2.14), luego ρ(x, y) ha o o de satisfacer la ecuaciŽn o ∂ρ(x, y)M (x, y) ∂ρ(x, y)N (x, y) = ∂y ∂x si y sŽlo si o M (x, y) ∂ρ(x, y) ∂M (x, y) ∂ρ(x, y) ∂N (x, y) + ρ(x, y) = N (x, y) + ρ(x, y) . ∂y ∂y ∂x ∂x (2.15)

Es decir, una ecuaciŽn inexacta tiene un factor integrante ρ(x, y) si y sŽlo si ρ(x, y) cumple o o o con la condiciŽn (2.15). Por ejemplo consideremos la EDO x2 sen y + xey y = 0. Obviamente no es exacta. Entonces, para que admita un factor integrante ρ(x, y) Žste debe satisfacer la ecuaciŽn e o x2 sen y ∂ρ(x, y) ∂ρ(x, y) + ρ(x, y)x2 cos y = xey + ρ(x, y)ey , ∂y ∂x

la cual es no trivial deresolver. De hecho en la mayorŽ de los casos la ecuaciŽn (2.15) es A±a o mŽs complicada de resolver que la EDO original, por tanto el uso de Žsta estarŽ restringido a a e a aquellos casos en los que (2.15) es fŽcilmente resoluble. Veamos a continuaciŽn dos de ellos: a o 1. cuando la funciŽn ρ es una funciŽn que sŽlo depende de x o sea, ρ = ρ(x) o o o 2. cuando la funciŽn ρ es una funciŽn que sŽlo depende de y, o sea, ρ = ρ(y). o o o En el primer caso (2.15) nos da ρ(x) luego ∂M (x, y) ∂N (x, y) − 1 dρ(x) ∂y ∂x = = R(x, y). ρ(x) dx N (x, y) La expresiŽn anterior es sencilla de resolver si la funciŽn R(x, y) de la derecha es una funciŽn o o o sŽlo de x, en cuyo caso ρ(x) = exp( R(x)dx). o En el segundo caso tenemos M (x, y) luego ∂N (x, y) ∂M (x, y) − 1 dρ(y) ∂x ∂y = = S(x, y). ρ(y) dy M (x, y) La expresiŽn anterior es sencilla de resolver si la funciŽn S(x, y) de la derecha es una funciŽn o o o sŽlo de y, en cuyo caso ρ(y) = exp( S(y)dy). o ∂M (x, y) ∂N (x, y) ∂ρ(y) + ρ(y) = ρ(y) , ∂y ∂y ∂x ∂ρ(x) ∂N (x, y) ∂M (x, y) = N (x, y) + ρ(x) , ∂y ∂x ∂x


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 2.20 Resolver la EDO (x2 − sen2 y) + x sen(2y)y = 0. ∂M (x, y) ∂N (x, y) − = −2 sen(2y), ∂y ∂x = ∂M (x, y) ∂N (x, y) − ∂y ∂x /N (x,y) = −

17

ρ 2 = , x ρ

luego ρ(x) = 1/x2. Multiplicando la EDO por 1/x2 obtenemos la EDO exacta sen2 y 1− x2 asŽ A± y ∂φ(x, y) sen(2y) sen(2y) = + h (y) = N (x, y) = , ∂y x x y la soluciŽn es, por tanto, φ(x, y) = x + o Ejemplo 2.21 Resuelve la EDO (x3/y + 5xy)y + (x2 + y 2 ) = 0. Tenemos ∂M (x, y) ∂N (x, y) 3 − = (x2 + y 2 ), ∂y ∂x y = 3 ρ ∂N (x, y) ∂M (x, y) /M (x, y) = = , − ∂y ∂x x ρ
sen2 y x

+

sen(2y) x

y = 0, sen2 y + h(y), x

∂φ(x, y) sen2 y =1− , ∂x x2

=

φ(x, y) = x +

=

h (y) = 0,

=

h(y) = C,

= C.

luego ρ(y) = y 3 . Multiplicando la EDO por y 3 obtenemos la EDO exacta (x3y 2 + 5xy 4)y + (x2y 3 + y 5 ) = 0. Usando el mŽtodo descrito tenemos e ∂φ(x, y) = x2 y 3 + y 5 , ∂x y ∂φ(x, y) = x3y 2 + 5xy 4 = N (x, y) = x3y 2 + 5xy 4 , ∂y = h (x) = 0, = h(x) = C, = φ(x, y) = x3 y 3 + xy 5 + h(x), 3

1 y la soluciŽn es, por tanto, φ(x, y) = 3 x3y 3 + xy 5 = C. o


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

18

2.7.
2.7.1.

Aproximaciones numŽricas: el mŽtodo de Euler e e
El mŽtodo de Euler e

Como ya hemos visto son pocas las EDOs que se pueden resolver analŽ A±ticamente, es por ello que se necesita de mŽtodos fiables para obtener la soluciŽn de una EDOnumŽricamente. e o e Supongamos que queremos resolver el problema de valores iniciales d y(x) = f (x, y), dx y(x0 ) = y0 . (2.16)

Obviamente usando un ordenador sŽlo podremos resolver el problema en un intervao lo acotado, digamos [x0 , x0 + l]. Para ello vamos a dividir el intervalo en N subintervalos [x0 , x1] [x1 , x2 ] [xN −1 , xN ], xN = x0 + l. Supongamos que hemos encontrado los valores de y en los puntos x0 , x1, . . . , xN , que denotaremos por y0 , y1 , . . . , yN . Entonces, para encontrar una soluciŽn aproximada y(x) podemos unir los puntos (x i , yi ), i = 0, 1, . . . , N o mediante lŽ A±neas rectas (ver figura 3). Es evidente que si el valor yi es bastante cercano al valor real y(xi ) para todos los i = 0, 1, . . . , N , entonces, al ser y e y funciones continuas, la soluciŽn aproximada y(x) estarŽ “muy cercana” a la soluciŽn real y(x) en cada uno de los o a o intervalos [xi , xi+1 ].
y ^ y(x) y(x)

x

x0

x1

x2

xk

Figura 3: ConstrucciŽn de un esquema numŽrico. o e Vamos a usar por simplicidad intervalos iguales, es decir, vamos a escoger los nodos xi equidistantes. Lo anterior se conoce en la teorŽ de mŽtodos numŽricos como una red A±a e e equiespaciada o uniforme de paso h= l/N . AsŽ pues tendremos las siguientes ecuaciones A± l xk = x0 + kh = x0 + k N , k = 0, 1, . . . , N , xk+1 = xk + h. Obviamente la unica informaciŽn Ž o que tenemos para calcular los valores yi es la EDO que satisface nuestra incŽgnita y(x). o sCŽmo encontrar entonces los valores yi ? La idea es como sigue: o 1. Usando la EDO y la condiciŽn inicial calculamos el valor de y1 en el punto x1 = x0 + h o 2. A continuaciŽn usando el valor y1 calculamos el valor aproximado y2 de y(x) en x2 , y o asŽ sucesivamente. A± 3. Conocido el valor yk encontramos el valor yk+1 de y(x) en xk+1 . Para resolver nuestro problema de encontrar en valor de y(xk+1 ) conocido el valor de y(xk ) usamos el teorema de Taylor y(xk+1 ) = y(xk + h) = y(xk ) + y (xk )h + y (xk ) 2 h + ···. 2! (2.17)


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN Pero y (xk ) = f (xk , y(xk )), ademŽs, a y (xk ) = = d dx dy dx =
x=xk

19

d (f (x, y(x))) dx

=
x=xk

∂f (x, y) ∂f (x, y) ∂y + ∂x ∂y ∂x

(x,y)=(xk ,y(xk )

∂f (x, y) ∂f (x, y) + f (x, y) ∂x ∂y

.
(x,y)=(xk,y(xk )

Luego, (2.17) nos da y(xk+1 ) = y(xk ) + hf (xk, y(xk )) + ∂f ∂f h2 (xk , y(xk )) + f (xk , y(xk )) (xk , y(xk )) + ···. ∂x ∂y 2!

La aproximaciŽn mŽs sencilla es por tantocuando nos quedamos en la serie anterior con o a el tŽrmino de primer orden, o sea, cuando tenemos el esquema nŽmerico e u y1 = y0 + hf (x0, y0 ), y2 = y1 + hf (x1, y1 ), , yk+1 = yk + hf (xk , yk ), (2.18)

donde obviamente y0 = y(x0 ). El esquema anterior se conoce por el nombre de esquema o mŽtodo de Euler y constituye e el mŽtodo mŽs sencillo para resolver nŽmericamente una EDO de primer orden. NŽtese que e a u o dicho esquema necesita en cada paso del valor y(xk ), por tanto cuanto mŽs cercano sea el a valor yk calculado del y(xk ) real mŽs preciso serŽ el mŽtodo. Obviamente en cada paso arrasa a e tramos el error del cŽculo del paso anterior. En efecto, para calcular y1 usamos el valor real a y0 pero cuando calculamos y2 , sustituimos el valor exacto y(x1) desconocido por su valor aproximado y1, para calcular y3 sustituimos el valor y(x2) por su valor aproximado y2 , y asŽ sucesivamente. A± Veamos algunos ejemplos. Comenzaremos con una ecuaciŽn que sepamos resolver exactamente. Por ejemplo, estuo diemos el problema de valores iniciales y + y = x, y(0) = 1, x [0, 1],

cuya soluciŽn exacta es y(x) = 2e−x − 1 + x. Escogeremos una discretizaciŽn equidistante o o con paso h = 1/20 (20 subintervalosiguales). Los resultado estŽn escritos en la tabla 1 o a dibujados en la grŽï¬ca 4 (izquierda). a
0.2 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.4 0.6 0.8 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 4: SoluciŽn numŽrica (•) y exacta (lŽ o e A±nea clara) de y + y = x, y(0) = 1 para N = 20 (izquierda) y N = 40 (derecha)


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN
k 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. xk 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1. y(xk ) 1. 0.95 0.905 0.86475 0.829012 0.797562 0.770184 0.746675 0.726841 0.710499 0.697474 0.6876 0.68072 0.676684 0.67535 0.676582 0.680253 0.686241 0.694429 0.704707 0.716972 y(xk ) 1. 0.952459 0.909675 0.871416 0.837462 0.807602 0.781636 0.759376 0.74064 0.725256 0.713061 0.7039 0.697623 0.694092 0.693171 0.694733 0.698658 0.70483 0.713139 0.723482 0.735759 y(xk ) − y(xk ) 0 -0.00245885 -0.00467484 -0.00666595 -0.00844901 -0.0100397 -0.0114527 -0.0127016 -0.0137992 -0.0147575 -0.0155874 -0.0162994 -0.0169031 -0.0174074 -0.0178206 -0.0181506 -0.0184046 -0.0185892 -0.0187107 -0.0187748 -0.018787

20

Tabla 1: SoluciŽn nŽmerica de la ecuaciŽn y + y = x, y(0) = 1 con N = 20. o u o Comparemosahora la soluciŽn nŽmerica con la exacta (ver figura 4). Para ello primero o u resolvemos la ecuaciŽn exactamente y(x) = x − 1 + 2e−x . o Si hacemos un simple cambio como aumentar en nŽmero de subintervalos hasta 40 (el u doble) vemos que la precisiŽn mejora notablemente. Los resultados se pueden apreciar en la o grŽï¬ca 4 (derecha). a Consideremos ahora el problema y − 1 − y 2 = 0,
40

y(0) = 0,

x ≥ 0.

60 40

30 20 20 0.5 10 -20 -40 0.5 1 1.5 2 1 1.5 2

Figura 5: Soluciones numŽricas de y − 1 − y 2 = 0, y(0) = 0, x [0, 2] (izquierda) y e comparaciŽn con la soluciŽn exacta (derecha). o o Si usamos un esquema de 20 puntos en el intervalo [0, 1] tenemos la soluciŽn representada o en la grŽï¬ca 5(izquierda). AdemŽs, como la soluciŽn exacta de esa ecuaciŽn es y(x) = tan x, a a o o podemos ver en la grŽï¬ca 5 derecha que prŽcticamente coinciden. sQuŽ ocurre si aumentamos a a e el intervalo hasta llegar a x = 2?. Si repetimos los cŽlculos con 40 puntos (para que el h sea el mismo) pero tomando l = 2 a obtenemos los resultados que estŽn representados en la grŽï¬ca 5 (derecha). a a La principal razŽn de la divergencia consiste en que la soluciŽn tan x no estŽ definida en o o a x = π/2. Una pregunta naturales, por tanto, scŽmo decidir a priori si el mŽtodo de Euler o e nos estŽ dando la souciŽn correcta? y sen quŽ intervalo podemos asegurar que y es una buena a o e aproximaciŽn de y? Eso nos conduce una vez mŽs a preguntarnos condiciones suficientes que o a nos garanticen la existencia y unicidad de las soluciones de una EDO.


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN 2.7.2. El mŽtodo de Euler mejorado e

21

El mŽtodo de Euler es el mŽs sencillo pero tiene un problema, es un mŽtodo de orden e a e uno, o sea, es “poco preciso”. sCŽmo mejorarlo? o Una posibilidad es truncar la serie de Taylor (2.17) en el tercer orden, de forma que tengamos yk+1 = yk + hf (xk , yk ) + h2 ∂f ∂f (xk , yk ) + f (xk , yk ) (xk , yk ) , ∂x ∂y 2 y0 = y(x0 ).

La ecuaciŽn anterior se conoce como el mŽtodo de la serie de Taylor de tres tŽrminos y o e e aunque es mŽs preciso que el de Euler (se puede probar que es un mŽtodo de orden 2), es a e algo incŽmodo sobre todo si f es una funciŽn algo “complicada”. Por ello se suele usar una o o modificaciŽn del mismo. o Para ello escribamos la EDO original y = f (x, y) en el intervalo xk , xk + h en su forma integral
xk +h

y(xk+1 ) = y(xk ) +
xk

f (x, y(x))dx.

(2.19)

Para resolver esteproblema aproximamos la integral mediante un rectŽngulo de altura a f (xk , yk ) (ver figura 6 izquierda)
xk +h xk

f (x, y(x))dx ≈ hf (xk, yk ),

lo que nos conduce nuevamente al esquema de euler (2.18)
f(x,y(x))

y

k

xk

Figura 6: Regla del rectŽngulo (izquierda) y del trapecio (derecha) para aproximar una a integral Esta aproximaciŽn es muy burda. Una mejor aproximaciŽn es usar la regla de los trapecios o o (ver figura 6 derecha) para aproximar la integral, es decir
xk +h xk

f (x, y(x))dx ≈

de donde se deduce el esquema implŽ A±cito h [f (xk , yk ) + f (xk+1, yk+1 )] , k = 0, 1, . . . , N, y0 = y(x0 ). 2 Obviamente este esquema es muy incŽmodo pues hay que resolver la ecuaciŽn implŽ o o A±cita para hallar yk+1 . Una forma de obviar esta dificultad es usar la predicciŽn que da el mŽtodo de o e Euler yk+1 = yk + hf (xk , yk ), de esta forma obtenemos el mŽtodo de Euler mejorado e yk+1 = yk + yk+1 = yk + h [f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk + hf (xk , yk ))] , 2 k = 0, 1, . . . , N, y0 = y(x0 ). (2.20)

¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢  ¢ ¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t ¢   t t t t t t t t t t t t t t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t t t t t t t t t t t t t t¢  ¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t t t t t t t t t t t t t t ¢ ¢ ¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢  t t t t t t t t t t t t t  ¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢t¢  t t t t t t t t t t t t t ttttttttttttt ¢ 
y
k

x k+1

h [f (xk, yk ) + f (xk+1 , yk+1 )] , 2


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN Veamos algunos ejemplos. Comenzaremos con la misma primera ecuaciŽn de antes o y + y = x, y(0) = 1, x [0, 1],

22

cuya soluciŽn exacta es y(x) = 2e−x − 1 + x. Escogeremos una discretizaciŽn equidistante con o o paso h = 1/20 (20 subintervalos iguales). Los resultados los vemos en la grŽï¬ca 7 izquierda) a
k 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. xk 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1. y(xk ) 1. 0.95125 0.907314 0.867958 0.832957 0.8021 0.775186 0.75202 0.732422 0.716216 0.703238 0.69333 0.686343 0.682134 0.680567 0.681515 0.684853 0.690467 0.698244 0.708079 0.719873 y(xk ) 1. 0.952459 0.909675 0.871416 0.837462 0.807602 0.781636 0.759376 0.74064 0.725256 0.713061 0.7039 0.697623 0.694092 0.693171 0.694733 0.698658 0.70483 0.713139 0.723482 0.735759 y(xk ) − y(xk ) 0 -0.00120885 -0.00236077 -0.00345845 -0.00450443 -0.00550115 -0.00645092 -0.00735595 -0.00821835 -0.00904012 -0.00982318 -0.0105693-0.0112803 -0.0119578 -0.0126034 -0.0132186 -0.0138047 -0.0143632 -0.0148955 -0.0154026 -0.0158858

Tabla 2: SoluciŽn nŽmerica de la ecuaciŽn y + y = x, y(0) = 1 con N = 20 usando el mŽtodo o u o e de Euler mejorado.

0.2 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75

0.4

0.6

0.8

1

0.0175 0.015 0.0125 0.01 0.0075 0.005 0.0025

0.7 5 10 15 20

Figura 7: ComparaciŽn grŽï¬ca de la soluciŽn numŽrica y exacta de y + y = x, y(0) = 1 para o a o e N = 20 (izquierda) usando los mŽtodos de Euler y Euler mejorado. A la derecha vemos la e comparaciŽn de los errores del del mŽtodo de Euler (cŽ o e A±rculos obscuros) con los del mŽtodo e de Euler mejorado (cŽ A±rculos claros)


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

23

2.8.

Problemas

Problemas de EDOs de Bernoulli y Riccati Problema 2.22 Resolver las EDOs de Bernoulli 1. y + y = xy 3 , 2. xy + y = y 2 log x, 3. y + 2y = ex y 2 , 4. 4y 3 y + 4xy 4 = 4x, 5. (1 − x3)y − 2(1 + x)y = y 5/2 , 6. xy − y = xk y n , n = 1, n + k = n, 7. x3 sen yy +2y = x (resolverla respecto a x y no a y, para ello usar que y (x) = dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/x (y)). Problema 2.23 Resolver las EDOs de Riccati 1. y = x3 + 2y/x − y 2 /x, yp = −x2, 2. y = 1 + y/x + (y/x)2, yp = x, 3. 3y + y 2 + 2/x2 = 0, 4. y +2yex − y 2 = e2x + ex , 5. y − 2xy + y 2 = 5 − x2. Problemas de EDOs reducibles a EDOs lineales o separables Problema 2.24 Supongamos que tenemos la EDO y = f (y/x). Prueba que esta ecuaciŽn o es equivalente a la EDO separable xv + v = f (v), v = y/x.

A la ecuaciŽn y = f (y/x) se le suele denominar EDO homogŽnea. Resuelve las siguientes o e EDOs 1. y = 2(y/x) + (y/x)2 √ 2. (x − x y)y = y 3. y = y/x + tan(y/x), 4. (x + y + 2)y = 3x − y − 6, 5. (4x − 3y − 6)y + x − 2y + 1 = 0, 6. (2x + 4y + 3)y + 2 + 2y + 3 = 0. 7. y = (ax + by)/(cx + ey). Considerar los casos ae = cb y ab = cd. Como caso particular resolver la EDO y = (x + y)/(x − y).


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN

24

8. Resolver la EDO y = (ax + by + m)/(cx + ey + n). Para ello prueba que existe un cambio de variable y = Ay + B y x = Cx + D que transforma la EDO en la EDO del apartado anterior y = (ax + by)/(cx + ey). Como caso particular resolver la EDO y = (x + y + 1)/(x − y + 2). Problema 2.25 Resolver las EDOs del tipo y = F (ax + by) √ 1. y = x + y − 1, 2. y = (x − y + 5)2, 3. y = 2(y − x) + (y − x)2, 4. y = sen(x − y). Problema 2.26 Haciendo un cambio de variables o derivando transforma las siguientes e EDOs en EDOs lineales y resuŽlvelas.1. (x2 − 2y + 1)y = x, 2. x(ey − y ) = 2, 3. y(x) = x + 1 +
0 x x x

y(t)dt, y(t)dt.
0

4.
0

(x − t)y(t)dt = 2x +

Problemas de EDOs exactas y factores integrantes Problema 2.27 Decide si las siguientes ecuaciones ecuaciones son exactas y resuŽlvelas. e En caso de que no lo sean, encuentra, a ser posible, un factor integrante. 1. (3y 2 + 2xy + 2x) + (6xy + x2 + 3)y = 0, 2. 2x(1 + x2 − y) − x2 − yy = 0,

3. (x2 + y 2 − a)x + (y 2 + x2 + a)yy = 0, 4. 2xy + (x2 − y 2 )y = 0, 5. e−y − (2y + xe−y )y = 0, 6. y/x + (y 3 + log x)y = 0, 7. 3x2(1 + log y) − (2y − x3/y)y = 0, 8. (x2 + y 2 + x) + yy = 0, Problema 2.28 Resuelve los siguientes problemas de valores iniciales 1. 2xy 3 + 3x2y 2 y = 0, y(1) = 1, 2. 3x2 + 4xy + 2(y + x2)y = 0, y(0) = 1, 3. 3xt + y 2 + (x2 + xy)y = 0, y(2) = 1, 4. xy − y − y 2 = 0, y(2) = 1,


2 OTRAS EDOS DE PRIMER ORDEN Problemas de EDOs de Clairaut Problema 2.29 Resolver las EDOs de Clairaut 1. (y )2 + x3y − 2x2y = 0, 2. y = xy + (y )n, n = 0, 1, 3. y = xy + log(y ), 4. y = xy + 1 + (y )2 ,

25

5. y = xy − ey . Problemas del mŽtodo de Euler e Problema 2.30 Encuentra las soluciones y(x) de los siguientes problemas de valores iniciales usando el mŽtodo de Euler y el deEuler mejorado. e 1. y = ex y, y(2) = 1, 2. y = ex y −2 , y(0) = 1, √ 3. y = 1 + sen x(1 + y 2 ), y(0) = 1, 4. y = k(a − y)(b − y), a, b, k > 0, y(0) = 0, (toma distintos valores de a, b y k, 5. z − 2xz = 2, z(0) = 1, 6. y + sen(x)y − cos(x)y 3 = 1 + x2, y(0) = 1, 7. y + 2ey = x2 + y 2 , y(0) = 0.
2 2


3 SISTEMAS DE EDOS

26

3.

Sistemas de EDOs

Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (SEDO) es un sistema de la forma   y1 (x) = f1(x, y1 , y2 , . . . , yn ),    y (x) = f2(x, y1 , y2 , . . . , yn ), 2 (3.1) . .  .    y (x) = f (x, y , y , . . . , y ), n 1 2 n n donde y1 ,. . . yn son funciones de x desconocidas y f1, . . . fn son ciertas funciones conocidas. Por comodidad vamos a usar la forma vectorial del sistema anterior, o sea, vamos a denotar por Y , Y y F son los vectores       y1 (x) y1 (x) f1(x, y1 , y2 , . . . , yn )  y2 (x)   y (x)   f2(x, y1 , y2 , . . . , yn )     2    Y (x) =  .  , Y (x) =  .  , F (x, Y ) =  , . .  .  .  .  .   . yn (x) yn (x) fn (x, y1, y2 , . . . , yn ) es decir la derivada de un vector Y la definiremos como el vector que tiene como componentes las derivadas de cada una de las componentes del vectororiginal. Usando lo anterior podemos reescribir (3.1) en la forma vectorial d Y (x) = Y (x) = F (x, Y ). dx

(3.2)

Evidentemente que el caso n = 1 recuperamos las EDOs de primer orden estudiadas en el capŽ A±tulo anterior. EstŽ claro que si el estudio de una EDO de primer orden era “bastante” a complicado, un sistema de Žstas es mucho mŽs complejo, asŽ que nos restringiremos al estudio e a A± de los SEDOs lineales, es decir cuando fk , k = 1, . . . , n es una funciŽn lineal de la forma o
n

fk (x, y1, y2 , . . . , yn ) =
j=1

akj (x)yj (x) + bk (x),

k = 1, . . . , n,

lo que nos conduce a los sistemas lineales   y1 (x) = a11 (x)y1(x) + a12 (x)y2(x) + · · · + a1n(x)yn(x) + b1 (x),    y (x) = a21 (x)y1(x) + a22 (x)y2(x) + · · · + a2n(x)yn(x) + b2 (x), 2 , . .  .    y (x) = a (x)y (x) + a (x)y (x) + · · · + a (x)y (x) + b (x). n1 1 n2 2 nn n n n El sistema anterior se puede escribir en forma matricial Y (x) = A(x)Y (x) + B(x), donde   A(x) =     a11(x) a12(x) a13(x) · · · a1n (x) a21(x) a22(x) a23(x) · · · a2n (x)   , . . . . . . . .  . . . . an1(x) an2 (x) an3(x) · · · ann (x)   B(x) =    b1 (x) b2 (x) . . . bn (x)    , 

(3.3)

(3.4)

Cuando B(x) = 0, o seacuando todas las componentes del vector B son cero, diremos que SEDO es homogŽneo, y si al menos una componente de B es no nula, no homogŽneo. e e


3 SISTEMAS DE EDOS

27

3.1.

La ecuaciŽn lineal Y = A(x)Y + B(x) o

Comenzaremos enunciando un teorema que demostraremos al final de este capŽ A±tulo. Teorema 3.1 Sean A(x) Rn×n y B(x) Rn una matriz un un vector cuyos elementos son funciones continuas en R. Entonces el PVI, Y = A(x)Y + B(x), Y (x0) = Y0 tiene una unica soluciŽn cualquiera sean las condiciones iniciales Y0 escogidas. Ž o Comenzaremos estudiando el sistema homŽgeneo, o sea cuando B(x) = 0 o Y (x) = A(x)Y (x), Teorema 3.2 Sea A(x) Rn×n . Si Y1 e Y2 son soluciones del sistema Y = A(x)Y , entonces cualquiera de sus combinaciones lineales son tambiŽn soluciŽn. e o Teorema 3.3 Sean Y1 (x), . . . , Yk (x) soluciones del sistema Y = A(x)Y . Para que los vectores (funciones) Y1 (x), . . . , Yk (x) sean linealmente dependientes para todo x R es necesario y suficiente que lo sean para algŽn t R. u Corolario 3.4 Para que las soluciones Y1 (x), . . . , Yk (x) del PVI, Y = A(x)Y , Yi (x0) = Y0,i , i = 1, . . . , k sean linealmente independientes es suficiente que las condiciones iniciales, osea los vectores, Y0,1 , . . . Y0,k sean linealmente independientes. A(x) Rn×n y continua en R. (3.5)

El corolario anterior se puede parafrasear de la siguiente forma: conjuntos de condiciones linealmente independientes generan soluciones linealmente independientes y conjuntos de condiciones linealmente dependientes generan soluciones linealmente dependientes. Nota 3.5 Es importante destacar que el resultado que hemos probado en relaciŽn con la o dependencia lineal sŽlo es cierto para vectores soluciŽn de un SEDO lineal lo cual queda de o o manifiesto en el siguiente ejemplo. Los vectores (funciones) x x y x2 x2 ,

son vectores linealmente independientes (lo son los polinomios x y x2) ya que es imposible obtener una de otro al multiplicar por constantes, no obstante, para x = x0, obviamente son dependientes pues x0 x2 0 . = x0 2 x0 x0 Teorema 3.6 Sea A(x) Rn×n . Entonces, el conjunto de todas las soluciones del sistema homogŽneo Y = A(x)Y es un espacio vectorial de dimensiŽn n. e o Corolario 3.7 Si Y1 (x), . . . , Yn (x) son soluciones linealmente independientes del sistema o Ž Y = A(x)Y , entonces toda soluciŽn de Y = A(x)Y se puede expresar como una unica combinaciŽn lineal de dichas soluciones. Osea, existen unos unicos coeficientes c1 , . . . cn o Ž tales que Y (x) = c1 Y1 (x) + c2 Y2 (x) + · · · + ck Yn (x).

En particular, la soluciŽn del PVI, Y = A(x)Y , Y (x0) = Y0 se expresa de manera unica o Ž o e como una combinaciŽn lineal de las soluciones del sistema homogŽneo correspondiente. Nota 3.8 Juntando los teoremas 3.3 y 3.6 tenemos un criterio para encontrar una base del espacio S de todas las soluciones de Y = AY : Para que las soluciones Y1 (x), . . . , Yn (x) del sistema Y = A(x)Y sean linealmente dependientes para todo x R es necesario y suficiente que para algŽn x0 R u det |Y1 (x0) Y2 (x0) . . . Yn (x0)| = 0.

Nota 3.9 Todos estos resultados son ciertos para toda matriz A cuyos elementos son funciones continuas en todo R.


3 SISTEMAS DE EDOS

28

3.2.

Los SEDO lineales con coeficientes constantes

En adelante asumiremos que A es una matriz n × n real de coeficientes constantes, es decir estudiaremos el problema (3.5) cuando la matriz A es de coeficientes constantes Y (x) = AY (x), 3.2.1. Autovalores simples A Rn×n . (3.6)

o Busquemos la soluciŽn de (3.6) en la forma Y (x) = eλx v, (3.7)

donde λ es cierta constante y v un vector constante. Sustituyendo (3.7) en (3.6)tenemos, como v es constante3 Y (x) = (eλx v) = λeλxv = λeλxv = A eλx v.

o e o Es decir, (3.7) es soluciŽn del sistema homogŽneo si y sŽlo si λ es un autovalor de A y v su autovector asociado, por tanto para resolver nuestro sistema lineal basta encontrar n autovectores v1 , . . . , vn linealmente independientes en cuyo caso la soluciŽn general es, segŽn o u el teorema 3.3, de la forma
n

Y (x) =
k=1

c k e λk v k ,

(3.8)

donde c1 , . . . , cn son constantes arbitrarias y λk , k = 1, . . . , n, son los autovalores asociados a los autovectores vk , k = 1, . . . , n. Ejemplo 3.10 Encontrar la soluciŽn general del SEDO o Y = 1 12 3 1 Y.

Comenzamos calculando los autovalores y autovectores det(A − λI) = −35 − 2 λ + λ2 = 0 = λ1 = −5, λ2 = 7.

Calculamos los autovectores. Comenzamos con el correspondiente a λ1 = −5 (A − λI)v = 0 Para λ1 = 7 (A − λI)v = 0 = −6 12 3 −6 x1 x2 =0 = x1 = 2x2, = v2 = 2 1 . = 6 12 3 6 x1 x2 =0 = x1 = −2x2 , = v1 = −2 1 .

Por tanto la soluciŽn general es o Y (x) = c1 e−5x
3

−2 1

+ c2 e7x

2 1

.

Entenderemos que la derivada de un vector o una matriz es la derivada tŽrmino a tŽrmino. e e


3 SISTEMAS DE EDOS Ejemplo 3.11 Encontrar la soluciŽngeneral del SEDO o Y = Calculamos los autovalores y autovectores det(A − λI) = 2 + 2 λ + λ2 = 0 = λ1 = −1 − i, λ2 = −1 + i. 2 −5 2 −4 Y.

29

Es decir, son complejos. sQuŽ hace en este caso? e Si A es real y λ es el autovalor complejo asociado al autovector v, entonces el complejo conjugado λ es el autovalor asociado al autovector v. Ahora bien, si tenemos Y (x) = eλx v = Y (x) + i Y (x), Y (x) y Y2 (x) = Y (x) son soluciŽn de o

Y serŽ soluciŽn de Y = AY si y sŽlo si Y1 (x) = a o o Y = AY , entonces Y (x) = eax ( v cos bx − v sen bx),

Y (x) = eax ( v sen bx + v cos bx)

son soluciones linealmente independientes de Y = AY . A± AsŽ pues, en nuestro ejemplo λ1 = −1 − i, Y1 (x) = e−x por tanto Y (x) = c1 e−x 5 3 cos x + 0 1 sen x + c2 e−x − 5 3 sen x + 0 1 cos x . 5 3 cos x + 0 1 v1 = 5 3+i = 5 3 sen x + 0 1 cos x ,

sen x ,

Y2 (x) = e−x −

3.3.

La exponencial matricial exp(xA)
∞ k=0

Sea A una matriz n × n y x R. Definiremos la funciŽn exp(xA) mediante la serie formal o exp(xA) = xk Ak x2 A2 xn An = In + xA + + ···+ + ···, k! 2 n! (3.9)

donde la convergencia la entenderemos elemento a elemento. La serie anterior converge para todo x R quienquiera sea la matriz A (de hechoconverge en todo C). ProposiciŽn 3.12 La funciŽn exp(xA) satisface las siguientes propiedades: o o 1. Para toda matriz A, exp(0A) = In y para todo x R exp(xOn) = In , donde On es la matriz nula. 2. Para toda matriz A,
d dx

exp(xA) = A exp(xA) = exp(xA)A.

3. Para todos x, t R y toda matriz A, exp[(x + t)A] = exp(xA) exp(tA). 4. Para toda matriz A, la inversa [exp(xA)]−1 = exp(−xA). 5. Para todas las matrices A, B con AB = BA, exp[x(A + B)] = exp(xA) exp(xB).


3 SISTEMAS DE EDOS 6. Para todo x R, exp(xIn) = ex In. Dado cualquier vector constante v Rn se cumple d [exp(xA)v] = A[exp(xA)v], dx

30

por tanto exp(xA)v es soluciŽn de la ecuaciŽn homogŽnea Y = AY y Y (0) = v. Si escogemos o o e v sucesivamente como ei , i = 1, 2, . . . , n obtenemos n soluciones v1, . . . , vn del PVI, Y = AY , Y (0) = ei que ademŽs son linealmente independientes por el teorema 3.3 y por tanto a constituyen una base del espacio de soluciones del sistema homogŽneo correspondiente. e DefiniciŽn 3.13 Una matriz V Rn×n es una matriz fundamental del sistema Y = AY si o sus n columnas son un conjunto linealmente independiente de soluciones de Y = AY . De esta definiciŽn y de lo anterior deducimos entonces que exp(xA) esuna matriz funo damental del sistema Y = AY . En efecto, como hemos visto, las columnas de exp(xA) son soluciŽn de los PVI, Y = AY con Yi (0) = ei , siendo (ei)i la base canŽnica de Rn . o o Corolario 3.14 (de existencia y unicidad de la soluciŽn del SEDO homogŽneo) o e n×n e siempre tiene n soluciones linealmente El sistema homogŽneo Y = AY , con A R independientes, y por tanto el PVI, Y = AY , Y (x0) = Y0 siempre tiene una unica soluciŽn Ž o n cualquiera sea Y0 R y es de la forma Y (x) = exp[(x − x0)A]Y0 . AsŽ pues, para encontrar la soluciŽn general del sistema Y = AY basta saber calcular la A± o exponencial de xA. Comencemos por el caso mŽs sencillo cuando la matriz es diagonalizable. a En este caso existe una matriz P tal que A = P DP −1, siendo D una matriz diagonal. Entonces como para todo k N, Ak = P D k P −1 tenemos exp(xA) = pero, como   D=   λ1 0 · · · 0 0 λ2 . . . 0 . . .. . . . . . . . . . . λn 0 0 .        exp(xD) =    e λ1 x 0 · · · 0 0 e λ2 x . . . 0 . . . .. . . . . . . . . . exλn 0 0 .   ,  
∞ k=0

A

kx

k

k!

=

∞ k=0

PD P

k

−1 x

k

k!

=P

∞ k=0

Dk

xk k!

P −1 = P [exp(xD)]P −1,

=

de donde se deducen nuevamente lassoluciones del sistema. NŽtese que el caso de n autovao lores distintos se puede resolver por este mŽtodo. e Como ejemplo calculemos la matriz exponencial de la matriz A= 1 −6 −1 2 .

Ante todo tenemos que el polinomio caracterŽ A±stico de A es 1 − λ −6 = 4 − 3 λ + λ2 = 0, −1 2 − λ = λ1 = −1, λ2 = 4.


3 SISTEMAS DE EDOS Calculamos los autovectores. Para λ1 = −1 tenemos 2 −6 −1 3 x1 x2 = 0 0 , = x1 = 3x2, = v1 = 3 1 .

31

AnŽlogamente, para λ2 = 4 obtenemos v2 = (−2, 1)T , luego a exp(xD) = Luego exp(xA) = P exp(xD)P
−1

e−x 0

0 e4 x

,

P =

3 −2 1 1

,

P −1 =
6 5 ex 2 5 ex

−1 5 .

1 5

2 5 3 5

,

=

4x 3 + 2 e5 5 ex 4x 1 − e5 5 ex

− +

6 e4 x 5 3 e4 x 5

3.4.

El caso de autovalores mŽ ltiples u

pero

Vamos a explotar las propiedades de la matriz exponencial. Usando la propiedad 5 de exp(xA) tenemos exp(xA)v = exp[(A − λIn)x] exp(λIx)v, exp(λIx)v = eλx v = exp(xA)v = eλx exp[(A − λIn)x]v. x2 xk (A − λIn)2 v + . . . + (A − λIn )k v + . . . . 2 k!

Es decir, exp(xA)v = eλx v + x(A − λIn)v +

En el caso de un autovalor simple tenemos obviamente (A − λIn)v = 0 si v es el correspondiente autovector, luego exp(xA)v = eλx v que es lo mismo que tenŽA±amos antes. Si tenemos entonces n autovectores v1 , . . . vn linealmente independiente entonces encontramos n soluciones linealmente independientes Yi = eλk x vk , k = 1, . . . , n. e A±z u a sQuŽ hacer cuando hay una raŽ mŽltiple, o mŽs exactamente si la matriz A no es diagonalizable? Supongamos, por ejemplo, que el autovalor λ es doble y que tiene asociado un unico Ž autovector (el autoespacio asociado es de dimensiŽn 1). Una soluciŽn es por tanto e λx v1, o o donde v1 es el autovector asociado a λ. El otro vector v2 que necesitaremos lo buscaremos de forma que (A − λIn)v2 = 0 pero (A − λIn)2v2 = 0. Entonces otra soluciŽn, independiente o de la anterior es exp(xA)v2 = eλx v2 + x(A − λIn )v2 + = eλx v + eλx x(A − λIn)v2 . xk x2 (A − λIn)2 v2 + . . . + (A − λIn )k v + . . . 2 k!
=0 =0

En el caso que la multiplicidad de λ sea de orden mayor seguimos el siguiente procedimiento para resolver el sistema homogŽneo e 1.) Calculamos todos los autovalores λi y los correspondientes autovectores vi , i = 1, 2, . . . , k y formamos k soluciones linealmente independientes de nuestro sistema Y i (x) = eλix vi , i = 1, . . . , k. Si k = n entonces las Yi (x) generan a todo el espacio soluciŽn. o 2.) Si k < n entonces hayautovalores mŽltiples. Sea λ uno de tales autovalores y sea m a u la multiplicidad algebraica de dicho autovalor y mg la multiplicidad geomŽtrica (o sea la e


3 SISTEMAS DE EDOS

32

dimensiŽn de autoespacio asociado a λ). Si ma = mg entonces los vectores Yi (x) = eλi x vi o i = 1, . . . , aa generan todo el subespacio correspondiente a λ. Supongamos que ma > mg , entonces para completar el espacio soluciŽn asociado al autovalor λ (nos falta encontrar m a −mg o soluciones linealmente independientes) buscamos los vectores v1 , . . . , vl (l ≤ ma − mg ) tales que (A−λIn )v = 0 pero que (A−λIn )2v = 0, luego los los vectores v tales que (A−λIn )v = 0 A± y (A − λIn)2 v = 0, y (A − λIn)3 v = 0, y asŽ sucesivamente hasta completar el subespacio. Y asŽ con cada uno de los autovalores mŽltiples. A± u Veamos un ejemplo:  1 1 0 Y =  0 1 0  Y. 0 0 2 

Obviamente los autovalores son λ1 = 2 y λ1 = 1 siendo Žste ultimo de multiplicidad 2. e Ž AdemŽs, los autovectores correspondientes son v1 = (0, 0, 1)T y v2 = (1, 0, 0)T , respectivaa mente. Luego tenemos dos soluciones independientes     0 1 2x  x , 0 0 , Y1 (x) = e Y2 (x) = e 1 0 y necesitamos una tercera soluciŽn. Aplicando el mŽtodo antes descritobuscamos un tercer o e vector v3 que no sea autovector de A asociado a λ2 = 1 y tal que (A − I3 )2v = 0, es decir    x1 0 0 0 (A − I)2 v = 0,  0 0 0   x2  = 0, = x1 = 0, x2 , x3 R, x3 0 0 1 o sea    0 1 v3 = α  0  + β  1  , 0 0 

pero como (A − I)v3 = (β, 0, 0)T = 0, deducimos que β = 0, luego tomando4 β = 1, α = 0 obtenemos la tercera soluciŽn que buscabamos o       x 0 0 x  1  = ex [I3 + x(A − I3 )]  1  = ex  1  . Y3 (x) = e exp(A − I3 ) 0 0 0 A± AsŽ pues      x 1 0 2x   + c2 ex  0  + c3 ex  1  . 0 Y (x) = c1 e 0 0 1 

El mŽtodo anterior nos indica un procedimiento general para resolver el SEDO (3.6) en e general conocido como mŽtodo de Euler que consiste en lo siguiente: e 1. Calculamos los autovalores λk de la matriz A Rn×n del sistema Y = AY y sea mk la multiplicidad algebraica del autovalor. o 2. Para cada autovalor, buscamos la soluciŽn del correspondiente subespacio (o sea, la soluciŽn “generada” por el autovalor) en la forma o Yk (x) = e
4

λk x

mk −1 j=0

Aj xj ,

Aj Rn ,

(3.10)

Cualquier elecciŽn de α y β es posible siempre que β = 0. o


3 SISTEMAS DE EDOS donde puede ocurrir que alguno de los vectores Aj , j = 0, 1, . . . ,mk − 1 sean nulos. Veamos como funciona este mŽtodo en el e  1 0 Y = 0 ejemplo anterior.  1 0 1 0  Y. 0 2

33

Sustituyendo en el sistema tenemos         a1 + a2 + (a4 + a5)x a4 a4 a1 . a2 + a 5 x Y2 (x) = ex  a2  +  a5  x +  a5  =  2a3 + 2a6x a6 a6 a3 Igualando componentes   a4 a5  a6 tenemos el sistema = a2 + a5 = 0 = a3 + a6 x

Tenemos que λ1 = 2 y λ1 = 1 siendo Žste ultimo de multiplicidad 2. Para el primero tenemos e Ž al igual que antes Y1 (x) = e2x (0, 0, 1)T y para el segundo buscamos las soluciones en la forma      a1 a4 Y2 (x) = ex  a2  +  a5  x . a3 a6

=

a3 = a5 = a6 = 0, a4 = a2 ,

con a1 y a2 cualesquiera, es decir,            x 1 a2 a1 Y2 (x) =  a2  +  0  x ex = ex a1  0  + a2  1  x , 0 0 0 0 que coincide con la soluciŽn encontrada por el mŽtodo anterior. o e 3.4.1. La matriz fundamental de soluciones y la matriz exp(xA)

Sea V (x) una matriz fundamental, entonces si definimos el vector c = (c 1, . . . , cn )T , la soluciŽn general de Y = AY se puede escribir de la forma Y (x) = V (x)c. Sea ahora el PVI, o Y = AY con Y (x0) = Y0 , entonces tenemos Y (x0) = Y0 = V (x0)c, luego c = V −1 (x0)Y0 , por tanto la soluciŽnes o Y (x) = V (x)V −1 (x0)Y0 . (3.11) Lo anterior nos permite encontrar una expresiŽn para la matriz exponencial conocida o una matriz fundamental. En efecto, usando que la matriz exp(xA) es la soluciŽn del sistema o matricial V = AV con las condiciones iniciales V (0) = In deducimos, exp(xA) = V (x)V −1 (0)I = V (x)V −1 (0). Ejemplo 3.15 Calcular exp(xA) para la matriz A = 1 3 12 1 del ejemplo 3.10. (3.12)


3 SISTEMAS DE EDOS

34

Los autovalores y autovectores son λ1 = −5, v1 = (−2, 1)T y λ2 = 7 y v2 = (2, 1)T y por tanto una matriz fundamental es V (x) = luego exp(xA) = V (x)V −1 (0) = =
1 −5x 1 e + 2 e7x 2 1 − 4 e−5x + 1 e7x 4

−2e−5x 2e7x e−5x e7x

,

−2e−5x 2e7x e−5x e7x −e−5x + e7x 1 −5x e + 1 e7x 2 2 .

−2 2 1 1

−1

=

−2e−5x 2e7x e−5x e7x

1 −4 1 4

1 2 1 2

3.5.

El SEDO lineales no homogŽneo e
Y (x) = AY (x) + F (x). (3.13)

Pasemos a estudiar el sistema no homogŽneo e

Para resolverlo usaremos la linealidad. ProposiciŽn 3.16 La soluciŽn general del SEDO (3.13) es de la forma Y (x) = Yh(x) + o o Yp (x), donde Yh es la soluciŽn general del SEDO homogŽneo Y = AY y Yp es cualquier o e soluciŽn particular de (3.13), es decir Yp (x) = AYp (x) + F (x). Enparticular, si V (x) es una o matriz fundamental Y (x) = V (x)C + Yp (x), donde C Rn . Teorema 3.17 La soluciŽn del problema de valores iniciales Y (x) = AY (x)+F (x), Y (x0) = o Y0 , cualquiera sea Y0 Rn existe y es unica y se expresa mediante la fŽrmula Ž o
x

Y (x) = exp[(x − x0 )A]Y0 +

x0

exp[(x − t)A]F (t)dt.

(3.14)

Ejemplo 3.18 Resolver el siguiente sistema lineal de EDOs Y = 1 12 3 1 Y + 0 ex , Y (0) = 0 1 .

En este caso la matriz exponencial es la matriz del ejemplo 3.15, luego aplicamos (3.14). Comenzamos por
x 0 x

exp[(x − t)A]F (t)dt = =

0 x 0

1 5(x−t) e + 1 e7(x−t) 2 2 1 − 1 e5(x−t) + 4 e7(x−t) 4

−e−5(x−t) + e7(x−t) 1 5(x−t) 1 e + 2 e7(x−t) 2 dt = 0 1
1 −5x 12x e (e 12

0 et

dt = .

−e6t−5x + e−6t+7x

1 − 3 ex + 1 e−5x (1 + e12x ) 6

1 6t−5x e 2

+ 1 e−6t+7x 2 −e−5x + e7x 1 −5x 1 e + 2 e7x 2

− 1) ,

exp[(x − x0)A]Y0 =

1 −5x e + 1 e7x 2 2 1 − 4 e−5x + 1 e7x 4

=

−e−5x + e7x
1 −5x e 2 1 + 2 e7x

luego la soluciŽn del PVI es o Y (x) =
1 7 − 5 e−5x − 3 ex + 6 e7x 6 5 −5x e 12

+

7 7x e . 12

.


3 SISTEMAS DE EDOS

35

3.6.

Problemas

Problema 3.19 Encuentra la soluciŽn general del sistema homŽgeneo Y (x) = AY (x) y, o o ensu caso, del problema de valores iniciales en los siguientes casos: 1. a) A = 2. a) A =  4 −1 −4 4 4 1 −8 8 , b) A = −2 3 2 −5 2 −4 , , 1 12 3 1  , Y (0) = 2 1

, Y (0) =

b) A =

Problema 3.20 Prueba las siguientes propiedades de la matriz exA con A Rn×n : 1. e0A = In , In es la matriz identidad n × n. 2.
d xA e dx

    1 −1 4 1 0 0 1  3 2 −1 ,  0 1 −1 , Y (0) =  1 , 3. a) A = b) A = 2 1 −1 0 1 1 1       1 2 1 1 1 1 0 4. a) A =  0 1 2 , Y (0) =  2 , b) A =  0 1 0 . 0 1 2 −1 0 0 2

= AexA .

3. e(x+t)A = exA etA , x, t R. 4. Para todo x R, exA es invertible y su inversa (exA )−1 = e−xA . 5. Si A y B conmutan, o sea AB = BA, entonces ex(A+B) = exA exB = exB exA . 6. exI = ex I. Problema 3.21 Sean las matrices A = 0 1 1 0 B= 0 1 −1 0 .

1. Prueba que A2n+1 = A, A2n = I2 , B 2n+1 = (−1)n B, y B 2n = (−1)nI2 . 2. Usando lo anterior calcula las matrices exA y exB . 3. Como aplicaciŽn calcula exC con C = o a b −b a .

Problema 3.22 Usando las propiedades de la matriz exA con A Rn×n encuentra la soluciŽn de los SEDO del ejercicio (3.19). o Problema 3.23 Resuelve los sistemas homŽgeneos o 1. a) y1 = y1 + 2y2 , y2 = 4y1 + 3y2 y1 = y 1 − y 2 y1 = y1 − 5y2 , c) y2 = y1+ 3y2 y2 = 2y1 − y2     2 1 3 1 1 0 a) A =  0 1 0 , b) A =  0 2 −1 , 0 0 2 0 0 2 b)

2. Y = AY , con

Problema 3.24 Encuentra una matriz fundamental de soluciones de los sistemas Y = AY , cuya matriz de coeficientes es


3 SISTEMAS DE EDOS 1 −5 0 1  1 12 2 −5 , c) A = , 3 1 2 −4     1 1 1 1 0 0 b) A =  0 3 2 , c) A =  2 1 −2 . 0 0 5 3 2 1

36

1. a) A =

,

b) A =

Problema 3.25 Encuentra la soluciŽn general del sistema de EDOs no homogŽneo Y (x) = o e o AY +B(x) y, en su caso, la correspondiente soluciŽn del problema de valores iniciales cuando 1. A = 2. A =  1 12 3 1 2 −5 2 −4 , B(x) = , B(x) = x ex , Y (0) = 2 1 0 0 

 1 −1 4 2. a) A =  3 2 −1 , 2 1 −1

Problema 3.26 Resuelve los sistemas lineales 1. y1 = 2y1 + y2 − 7xe−x − 3 y2 = −y1 + 2y2 − 1

   1 −1 4 0 2 3. A =  3 2 −1 , B(x) =  0 , Y (0) =  1  2 1 −1 ex 1       1 0 0 0 0  2 1 −2 , B(x) =  , Y (0) =  1  4. A = 0 3 2 1 ex cos(2x) 1

1 sen x 

, Y (0) =

, sabiendo que su soluciŽn es acotada si x → +∞. o

2.

x =v , con x(0) = x0, v(0) = 0, β < ω. Este sistema modeliza el v = −ω 2 x − 2βv + f (t) movimiento de un pŽndulo con rozamiento y una fuerza externa f . e

3. Seconsidera el siguiente circuito elŽctrico e
L
1

R

L
1

2

R

2

i1
+ −

Uc C R

i2

V

Las intensidades i1, i2 y las tensiones Uc y V satisfacen el siguiente sistema diferencial        −10 0 −20 i1 V i1  i2  =  0 −10 20   i2  + 20  0  . Uc 50 −50 −50 Uc 0 Se pide determinar i1, i2, Uc en los siguientes casos: (a) V (t) = 0, i1(0) = i2(0) = 0, Uc(0) = 10.


3 SISTEMAS DE EDOS (b) V (t) = 10, i1(0) = i2(0) = 0 = Uc(0) = 0. Problema 3.27 Demuestra que si la matriz A(x) es tal que
x x

37

A(x) ·

A(t)dt =
0 0

A(t)dt · A(x),

entonces, la soluciŽn del SEDO Y = A(x)Y , Y (0) = Y0 se puede expresar mediante la o x o o expresiŽn Y (x) = exp( 0 A(t)dt)Y0. Como aplicaciŽn calcula la soluciŽn general del sistema o y1 = cos x y1 + sen x y2 y2 = sen x y1 + cos x y2 Problema 3.28 Demuestra el siguiente principio de superposiciŽn: La soluciŽn del sistema o o de EDOs lineales Y = A(x)Y + m fk (x), k = 1, 2, . . . , m, Y, fk Rn , A Rn×n es la k=0 suma m Yk de las soluciones Yk de las ecuaciones Yk = A(x)Yk + fk (x), k = 1, 2, . . . , m. k=0

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

38

4.

La ecuaciŽn lineal de orden n o

Vamos a continuaciŽn a aplicar losresultados obtenidos a un grupo de EDOs muy imo portante: las EDOs lineales con coeficientes constantes de orden mayor que 1 definida por la ecuaciŽn: o y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1)(x) + · · · + a1(x)y (x) + a0(x)y(x) = f (x). (4.1)

Cuando f (x) ≡ 0, diremos que la EDO (4.1) es homŽgenea, en caso contrario es no hoo mogŽnea. e Si ademŽs imponemos que la soluciŽn y sea tal que a o y(x0 ) = y0 , y (x0) = y0 , y (n−1) (x0) = y0
(n−1)

,

entonces diremos que y es la soluciŽn del correspondiente problema de valores iniciales. o Por comodidad introduciremos el operador L[y] definido sobre el espacio de las funciones n veces derivables con n-`sima derivada continua definido por e L[y] = y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1) (x) + · · · + a1(x)y (x) + a0(x)y(x). (4.2)

Usando esta notaciŽn podemos escribir (4.1) como L[y] = f (x) y el correspondiente problema o homogŽneo serŽ L[y] = 0. e a ProposiciŽn 4.1 La EDO o y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1) (x) + · · · + a1(x)y (x) + a0(x)y(x) = 0, (4.3)

es lineal, es decir, que si tenemos dos soluciones y1 e y2 de la ecuaciŽn, para cualesquiera o que sean α, y β R, αy1 + βy2 tambiŽn es soluciŽn. e o Para estudiar las propiedades de las EDOs lineales de orden n vamos a introducirunas nuevas funciones z1 (x), . . . zn (x) de forma que  dzn  z1(x) = y(x)  = −an−1 zn − an−2 zn−1 − · · · − a0z1 + f,   dx z2(x) = y (x)    dzn−1  z3(x) = y (x) = zn , dx . . .  .  .  .  (n−2)  zn−1 (x) = y (x)  dz1  = z2 . zn(x) = y (n−1) (x)  dx

Es decir, una EDO del tipo (4.1) es equivalente al siguiente sistema lineal de ecuaciones         0 1 0 ··· 0 0 0 z1 z1   0 1 ··· 0 0   z2   0   z2   0       .  . . . . .. . . . . d  .   .  .   .  . . . . . .  +  .  , (4.4) . = .  .    .   dx  .   0 0 0 ··· 0 1   zn−1   0   zn−1     0 0 0 ··· 0 1 f (x) zn zn −a0 −a1 −a2 · · · −an−2 −an−1 o en forma matricial Z (x) = AZ(x) + F (x). NŽtese que cuando f (x) ≡ 0, el sistema anterior o se transforma en un sistema homogŽneo. Lo anterior tiene una implicaciŽn evidente: toda la e o teorŽ de las ecuaciones lineales (4.1) se puede construir a partir de la teorŽ de los sistemas A±a A±a lineales que estudiamos antes.

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

39

Teorema 4.2 Sean a0 (x), . . . , an−1 (x) funciones continuas en R. Entonces el P.V.I. asociado a (4.1) siempre tiene soluciŽn y es unica cualquiera sean las las condiciones iniciales o Ž(n−1) (n−1) y(x0 ) = y0 , y (x0) = y (0), . . . , y (x0) = y0 que escojamos. Teorema 4.3 El conjunto de soluciones de la EDO homogŽnea (4.3) es un espacio vectorial e de dimensiŽn n. o Teorema 4.4 Dadas n soluciones y1 , . . . , yn de la EDO (4.3), Žstas son linealmente indee pendientes si y sŽlo si el wronskiano W [y1 , . . . , yn ](x), definido por o y1 (x) y1 (x) . . . y1
(n−1)

W [y1 , . . . , yn ](x) =

y2 (x) y2 (x) . . .
(n−1)

··· ···

yn (x) yn (x) . . .
(n−1)

= 0 x,

(4.5)

(x) y2

(x) · · · yn

(x)

es distinto de cero para algŽn x R, en cuyo caso el Wronskiano es distinto de cero para u todo x R. Finalmente, notemos que conocida la soluciŽn general yh(x) de la EDO homogŽnea poo e demos dar la soluciŽn general de la EDO (4.1) en la forma y(x) = yh(x) + yp (x), siendo yp o una soluciŽn particular de (4.1). o

4.1.

SoluciŽn de la ecuaciŽn lineal homogŽnea o o e

Para resolver la EDO (4.3) con coeficientes constantes seguiremos la misma idea que para los sistemas, es decir buscaremos la soluciŽn en la forma y(x) = e λx . Sustituyendo esta o funciŽn en la EDO (4.3) obtenemos que λ debe satisfacer la ecuaciŽn o o λn + an−1 λn−1 + · · · a1 λ + a0 = 0. (4.6)

LaecuaciŽn anterior se denomina ecuaciŽn caracterŽ o o A±stica de la EDO (4.3). Es fŽcil probar a que el polinomio caracterŽ A±stico de la matriz A asociada a la EDO (4.3) coincide con (4.6). Lo anterior nos indica una estrategia para resolver el problema: 1. Si tenemos valores reales λ1 = λ2 = · · · = λn entonces las funciones yk (x) = eλk x , k = 1, . . . , n generan el espacio soluciŽn de la la EDO (4.3). o En el caso que tengamos raŽ A±ces complejas hay que proceder como en el caso de los sistemas: tomar partes reales y complejas de cada una de ellas. Es decir, si λ = α + iβ, entonces las dos soluciones independientes son [e(α+iβ)x ] = eαx cos(βx) y [e(α+iβ)x ] = eαx sen(βx). 2. Si algŽn λk es mŽltiple de multiplicidad m ≤ n, entonces la soluciŽn habrŽ que buscara u u o a en la forma y(x) = eλk x pm−1 (x), (4.7) donde pm−1 es un polinomio de grado m − 1 en x, es decir la soluciŽn asociada a dicha o A±z a raŽ tendrŽ la forma y(x) = c1 eλk x + c2 xeλk x + · · · + cm xm−1 eλk x , c1 , c2 , . . . , cm R.

Obviamente si λk es complejo, tenemos que tomar partes reales y complejas que nos generan todo el espacio soluciŽn. o

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

40

Por simplicidad mostraremos cŽmo resolverla ecuaciŽn homogŽnea de segundo orden. o o e El caso general es completamente anŽlogo. La ecuaciŽn diferencial lineal homogŽnea con a o e coeficientes constantes tiene la forma: y (x) + py (x) + qy(x) = 0, λ2 + pλ + q = 0. Las soluciones de la ecuaciŽn caracterŽ o A±stica (4.9) serŽn a p2 − 4q −p − p2 − 4q , λ2 = . 2 2 Caso de dos raŽ A±ces reales y distintas. Sea p2 > 4q, entonces la ecuaciŽn caracterŽ o A±stica (4.9) tiene dos soluciones reales y distintas: λ1 = −p + −p − p2 − 4q p2 − 4q , , 2 2 y la ecuaciŽn homogŽnea (4.8) tendrŽ dos soluciones linealmente independientes o e a λ1 = −p + y1 (x) = eλ1x , y2 (x) = eλ2x . A, B R. Luego, la soluciŽn general de (4.9) se expresarŽ de la forma o a y(x) = Aeλ1 x + Beλ2x , Caso de dos raŽ A±ces reales iguales. Sea p2 = 4q, entonces la ecuaciŽn caracterŽ o A±stica (4.9) tiene una unica soluciŽn real λ = −p/2. Esto significa que aparentemente sŽlo tenemos una Ž o o funciŽn que genera al espacio soluciŽn de la EDO homogŽnea, sin embargo dicho espacio es o o e de dimensiŽn 2 como nos asegura el teorema 4.3 y la ecuaciŽn homogŽnea (4.8) tendrŽ dos o o e a soluciones linealmente independientes de la forma y1(x) = eλx y y2(x) = xeλx . En efecto, usando (4.7) tenemos que lasoluciŽn generada por λ es, en este caso, o y(x) = eλx p1 (x) = eλx (c1 + c2 x) = c1 eλx + c2 xeλx , como se pretendŽ probar. A±a Caso de raŽ A±ces complejas. Sea p2 < 4q, entonces la ecuaciŽn caracterŽ o A±stica (4.9) tiene dos soluciones complejas: √ −p − i 4q − p2 −p + i 4q − p2 , , i = −1, 2 2 y la ecuaciŽn homogŽnea (4.8) tendrŽ dos soluciones linealmente independientes o e a λ1 = y1 (x) = eλ1x , y2 (x) = eλ2x . A, B R. λ, ω R. (4.10) Luego, la soluciŽn general de (4.9) se expresarŽ de la forma o a y(x) = Aeλ1 x + Beλ2x , λ1 = λ + iω, λ2 = λ − iω, Llamemos λ a la parte real de λ1 (o λ2) y ω a la parte imaginaria de λ1 (o λ2 ). Entonces, Si ahora utilizamos la fŽrmula de Euler eiφ = cos φ+i sen φ, φ R, obtenemos que la soluciŽn o o general de (4.10) se puede escribir de la forma y(x) = eλx (A cos ωx + B sen ωx) , o, equivalentemente, y(x) = A eλx cos (ωx + δ) , A, δ R. A, B R, p, q R. (4.8) (4.9) La ecuaciŽn caracterŽ o A±stica (4.6) de la ecuaciŽn (4.8) tiene la forma o

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

41

4.2.

La EDO lineal de segundo orden no homogŽnea con coeficiene tes constantes
y (x) + py (x) + qy(x) = f (x), f (x) continua, p, q R. (4.11)

Vamos a estudiar la EDO

Engeneral no es trivial resolverla aunque en muchos casos es “fŽcil” adivinar la soluciŽn. a o

4.2.1.

Caso f (x) = pn (x)

En general si tenemos la EDO y + py + qy = pn (x), q = 0, (4.12)

siendo pn un polinomio de grado n, la soluciŽn particular siempre es de la forma o yp (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn, an = 0.

En efecto, si sustituimos la soluciŽn anterior en la EDO (4.12) obtenemos o qan xn + (qan−1 + pnan )xn−1 + · · · + (qak + p(k + 1)ak+1 + (k + 1)(k + 2)ak+2 )xk + · · · +(qa0 + pa1 + 2a2) = pn (x), de donde igualando coeficientes obtenemos un sistema compatible de ecuaciones ya que hemos supuesto que el grado de pn es exactamente n. Este mŽtodo obviamente funciona si q = 0 (spor quŽ?), pero squŽ ocurre si q = 0?, o sea, e e e si tenemos la EDO y + py = pn (x), a = 0, (4.13) siendo pn un polinomio de grado n. Entonces el mŽtodo anterior no funciona pues si sustie n tuimos yp (x) = a0 + a1x + · · · + anx , obtenemos que L[yp ] es un polinomio de grado n − 1 mientras que el derecho es de grado n. Para resolver el problema buscamos la soluciŽn de la o forma yp (x) = a0 + a1x + · · · + anxn + an+1 xn+1 . Ahora bien, como la EDO homogŽnea es y + py = 0, entonces cualquier constante es e soluciŽn,por tanto a0 en la expresiŽn anterior puede ser cualquiera, asŽ que sin pŽrdida de o o A± e generalidad la tomaremos igual a cero, luego la soluciŽn particular la podemos buscar en la o forma yp (x) = xrn(x) y los coeficientes de rn los encontramos sustituyendo dicha soluciŽn o en (4.13) e igualando coeficientes. 4.2.2. Caso f (x) = pn (x)ecx

Veamos ahora las EDOs del tipo y + py + qy = ecx pn (x), (4.14)

luego

siendo pn un polinomio de grado n. Para resolverlo hacemos el cambio y(x) = ecx v(x), que nos conduce a L[y] = ecx , v + (2c + p)v + (q + pc + c2 )v = pn (x), por lo que nuestra EDO (4.14) se reduce al caso anterior (4.12).

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N 4.2.3. Caso f (x) = pn (x)ecx sen(ωx) y pn (x)ecx sen(ωx) y + py + qy = pn (x)ecx sen(ωx), y + py + qy = pn (x)ecx cos(ωx),

42

Veamos ahora como resolver los casos (4.15) siendo pn un polinomio de grado n. Para resolver este caso notemos que si y(x) = u(x) + iv(x), u, v, funciones reales es una soluciŽn de o L[y] = y + py + qy = f (x) = f1(x) + if2(x), f1, f2 funciones reales, entonces L[u] = f1 y L[v] = f2], lo cual es consecuencia de la linealidad L. Sea entonces yp (x) = u(x) + iv(x) unasoluciŽn particular de o L[y] = y + py + qy = pn (x)eiωx = pn (x) cos(ωx) + ipn(x) sen(ωx). Entonces [yp ] = u(x) es soluciŽn de y + py + qy = pn (x) cos(ωx) y o y + py + qy = pn(x) sen(ωx). 4.2.4. El mŽtodo de los coeficientes indeterminados e [yp ] = v(x) de

Sea la EDO lineal no homogŽna (4.11) y (x) + py (x) + qy(x) = f (x) y sean y1(x) e y2 (x) e dos soluciones linealmente independientes. Entonces vamos a buscar la soluciŽn de la EDO o en la forma yp (x) = c1 (x)y1(x) + c2 (x)y2(x), con c1 y c2 tales que c1 y1 + c2 y2 = 0, c1 y1 + c2 y2 = f (x). (4.16) (4.17)

De esa forma tenemos que resolver dos EDOs de primer orden. Para ello multiplicamos la primera por y1, la segunda por y1 y las restamos lo que nos da c2 [y1 y2 − y1 y2 ] = f y1 , o bien, la primera por y2 y la segunda por y2 , para obtener c1 [y1 y2 − y1 y2 ] = −f y2 . Ahora bien, [y1 y2 − y1 y2 ] = W [y1 , y2 ](x) = 0 cualquiera sea x R pues el Wronskiano de dos soluciones linealmente independientes de la EDO homogŽnea nunca se anula (ver el teorema 4.4), de e donde obtenemos que c1 y c2 satisfacen las EDOs c1 (x) = − f (x)y2(x) , W [y1 , y2 ](x) c2 (x) = f (x)y1(x) . W [y1 , y2 ](x) (4.18)

El mŽtodo anterior se denomina mŽtodo de Lagrange dereducciŽn del orden de la EDO e e o de segundo orden o mŽtodo de los coeficientes indeterminados. Obviamente este mŽtodo se e e puede generalizar fŽcilmente para el caso de orden n. a Ejemplo 4.5 Resolver y − y = e2x . La soluciŽn general del problema homogŽneo es yh (x) = c1 ex + c2 e−x , entonces buscao e 5 mos la soluciŽn particular en la forma yp (x) = c1 (x)ex + c2 (x)e−x. Como W [y1 , y2 ](x) = o W [ex , e−x ] = −2, la fŽrmula (4.18) nos da o c1 = c1 (x) = ex , 2 c3 (x) = − e2x . 3 e−x , 6 = yp (x) = e2x . 3

ex e3x , c2 = − = 2 2 Por tanto, la soluciŽn general es o

y(x) = c1 ex + c2 e−x +
5

De aquŽ el nombre de mŽtodo de variaciŽn de las constantes, pues se cambian las constantes que aparecen A± e o en la soluciŽn general del problema homogŽneo por funciones indeterminadas. o e

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

43

4.3.

Aplicaciones

Ejemplo 4.6 Vibraciones mecŽnicas a Como primer ejemplo consideraremos un carro de masa m que se mueve bajo la acciŽn o de una fuerza F y que esta sujetado a la pared mediante un resorte de constante elŽstica a a k (ver figura 8). Si suponemos ademŽs que la fuerza de rozamiento es proporcional a su velocidad entonces la segunda ley de Newton nosconduce a la EDO mx + ax + kx = F (x), o equivalentemente, x + 2αx + ω 2 x = f (t), α= a k F (t) > 0, ω 2 = , f (t) = . 2m m m (4.19)

con las condiciones iniciales para t = 0 de la posiciŽn x(0) = x0 y la velocidad x (0) = v0 . o Vamos a estudiar los distintos casos

PSfrag replacements

que al usar las condiciones iniciales se transforma en x(t) = x0 cos(ωt) + v0 /ω sen(ωt) =
2 x2 + v0 /ω 2 cos(ωt − δ), 0

la soluciŽn en este caso es periŽdica con periodo T = 2π/ω por lo que el movimiento se o o denomina movimiento armŽnico simple (ver figura 9 izquierda). o En la ultima igualdad hemos usado la identidad Ž a cos(ωt) + b sen(ωt) = A cos(ωt − δ), A= √ a2 + b2, δ = arctan(b/a), (4.20)

cuya demostraciŽn es inmediata, basta aplicar la fŽrmula para el coseno de una suma e o o identificar los coeficientes del seno y el coseno.
x

PSfrag replacements

2. Supongamos ahora que eliminamos solamente la fuerza externa, entonces la soluciŽn es o x(t) = c1 e−αx+ Tenemos que considerar tres casos:
√ α2 −ω 2 x

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢  t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tttttttttttttttttttt£€ ¢£€£€

Figura 8: Carro del ejemplo 4.6.

Š Š ¥t¥t tt¥Š

š §t t£€£€§š£€£€ £€£€

£€ £€£€ ££€£€ €£€£€ £€£€

k

m

F

1. El primer caso corresponde cuando no tenemos fuerza externa ni rozamiento, o sea, f = 0 y α = 0. Entonces la EDO (4.19) es x + ω 2 x = 0 y por tanto la soluciŽn general o es x(t) = c1 sen(ωt) + c2 cos(ωt),

δ = arctan(ωx0 /v0).

x

t

t

Figura 9: El movimiento armŽnico simple y el movimiento amortiguado. o

+ c2 e−αx−

√ α2 −ω 2 x

.

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N 2a. Si α > ω, entonces, llamando β = √ α2 − ω 2 < α tenemos la soluciŽn o

44

x(t) = c1 e−(α−β)t + c2 e−(α+β)t , que decrece exponencialmente a cero. En este caso se dice que el movimiento es sobreamortiguado ya que en un breve espacio de tiempo el carro se para. 2b. Si α = ω, entonces la soluciŽn es o x(t) = (c1 t + c2 )e−αt , que tambiŽn decrece exponencialmente a cero. e 2c. Si α < ω, entonces, llamando β = |α2 − ω 2 | < α tenemos la soluciŽn o

x(t) = e−αt [c1 cos(βt) + c2 sen(βt)] , que decrece oscilando exponencialmente a cero (ver figura 9 derecha). En este caso se dice que el movimiento es amortiguado ya que aunque oscila, las oscilaciones terminan en un breve espacio de tiempo y el carro se para. o 3. Veamos el caso general y, por simplicidad, consideremos el caso de unafuerza periŽdica muy frecuente en la naturaleza. En este caso la ecuaciŽn es de la forma o x + 2αx + ω 2 x = f0 cos(a„Št). Obviamente la soluciŽn general es la suma de una soluciŽn particular mŽs la soluciŽn general o o a o de la EDO homogŽnea que acabamos de considerar. Para encontrar una soluciŽn particular e o usamos el mŽtodo aprendido antes, lo que nos da e yp (t) = f0eia„Št ω2 − a„Š2 + i2αa„Š = xp (t) = [yp ] = (ω 2 − a„Š2) cos(a„Št) + 2αa„Š sen(a„Št) f0 , (ω 2 − a„Š2 )2 + 4α2 a„Š2

de donde deducimos la soluciŽn o x(t) = xh(t) + (ω 2 − a„Š2 ) cos(a„Št) + 2αa„Š sen(a„Št) f0 . (ω 2 − a„Š2)2 + 4α2 a„Š2 (4.21)

|A(a„Š)|

NŽtese que en todos los casos xh(t) tiende exo ponencialmente a cero por lo que si t es suficiente grande x(t) ≈ xp(t). Si usamos la identidad (4.20) obtenemos para t suficientemente grande la soluciŽn o x(t) ≈ xp(t) =
ω a„Š

Sfrag replacements

(ω 2

f0 cos(a„Št − δ), − a„Š2 )2 + 4α2 a„Š2

donde δ = arctan ω2αa„Š 2 . 2 −a„Š Como se ve en la fŽrmula anterior, las oscio Figura 10: Amplitud de las vibraciones laciones tienen una amplitud que depende de la propia frecuencia de oscilaciŽn. Obviamente para o forzadas: resonancia. a„Š = ω la amplitud es mŽxima, es decir cuando la a frecuencia a„Š de la fuerza exterior es igual a ω —como ω sŽlo depende de las caracterŽ o A±sticas de sistema, en este caso m y k, se suele denominar

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

45

frecuencia propia—. En la figura 10 representamos el valor de la amplitud (eje y en funciŽn o de la frecuencia exterior (eje x) para distintos valores de α. La grŽï¬ca mŽs alta corresponde a a al menor valor de α (menor “viscosidad”) y la mŽs peque˜a al mayor. Si α = 0 es fŽcil ver a n a que para a„Š = ω la amplitud es no acotada. Este fenŽmeno de “amplificaciŽn” de la amplitud o o de las oscilaciones se conoce como resonancia. Veamos ahora que ocurre si α = 0, o sea si no hay rozamiento. En este caso la EDO es x + ω 2 x = f0 cos(a„Št). Si a„Š = ω entonces simplemente tomamos el lŽ A±mite cuando α → 0 en (4.21) que nos da, x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sen(ωt) + f0 cos(a„Št). ω 2 − a„Š2

x

Si a„Š = ω entonces la soluciŽn anterior no vale como se o puede comprobar fŽcilmente (pues f0/(ω 2 − a„Š2 ) cos(a„Št) deja a de tener sentido). En este caso tenemos que repetir el proceso anterior lo que nos da, para la soluciŽn particular la expresiŽn o o
t

PSfrag replacements

xp(t) = y por tanto, Figura 11: Resonancia en un sistema sin rozamiento.

f0 t f0t iωt = e sen(ωt), 2iω 2ω

x(t)= c1 cos(ωt) + c2 sen(ωt) +

f0 t sen(ωt). 2ω

NŽtese que a diferencia del caso con rozamiento, en Žste, si t → ∞, la soluciŽn es no acoo e o tada pues f0t/(2ω) → ∞, es decir nuestro sistema presenta un movimiento oscilatorio con frecuencia fija pero con amplitud que aumenta linealmente con el tiempo. El fenŽmeno de la resonancia es conocido desde hace muchos a˜os y es el causante de o n mŽs de un desastre en sistemas mecŽnicos. Por ejemplo, en 1831, un grupo de soldados a a intentŽ cruzar marchando en puente de Broughton (cerca de Manchester, Inglaterra). La o fuerza periŽdica que ejercieron al marchar entrŽ en resonancia con la frecuencia propia del o o puente y este se vino abajo. A partir de ese momento se prohibiŽ a los soldados marchar o cuando fuesen a cruzar un puente.

Figura 12: El desastre del puente de Tacoma. Otro famoso desastre fue el puente de Tacoma en el estado norteamericano de Washington. Este puente se abriŽ al pŽblico el 1 de julio de 1940. Desde ese mismo dŽ se observŽ que o u A±a, o

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

46

el puente comenzaba a oscilar (ver figura 12 izquierda) lo que lo convirtiŽ en una atracciŽn o o turŽ A±stica local pues cientos de conductores iban sŽlopara disfrutar de este extra˜o fenŽmeno. o n o El puente parecŽ aguantar bien, es mŽs varios expertos aseguraban que todo estaba bajo A±a a control, pero el 7 de noviembre de 1940 las oscilaciones empezaron a hacerse mayores y sobre las 10:00 am alcanzaban los 7 metros. Obviamente el puente habŽ entrado en resonancia A±a con el aire debido a un fenŽmeno aerodinŽmico y terminŽ por derrumbarse a las 11:10am o a o (ver figura 12 derecha), afortunadamente sin ninguna vŽ A±ctima humana (sŽlo muriŽ el perrito o o de un periodista que hasta ultima hora estuvo sobre el puente y logrŽ escapar de milagro Ž o o pero olvidŽ su perro en el interior de su coche atrapado en el medio del puente). Ejemplo 4.7 Vibraciones elŽctricas e Consideremos ahora el circuito elŽctrico representado el la figura 13 donde R es una e resistencia, L una inductancia y C un capacitor conectados en seria a una fuente de corriente U (t). Denotemos por q(t) la carga que hay en L el capacitor en el momento de tiempo y por i(t) = q (t) la corriente, o sea, la carga por unidad de tiempo. Entonces, la Ley de Kirchov nos da la siguiente ecuaciŽn que detero mina la carga q(t) C
R

U (t) = Li (t) + Ri + C −1 q(t), o, equivalentemente, q + 2rq + ω 2 q(t)= u(t), donde r = R/(2L), ω 2 = 1/(LC) y u(t) = U (t)/L.
U(t)

Figura 13: Circuito RLC del ejemplo 4.7.

Obviamente la EDO anterior es totalmente anŽloga a la EDO (4.19). En particular la a soluciŽn general de Žsta en el caso cuando u(t) = u0 cos(a„Št) es o e q(t) = qh (t) + donde (ω 2 − a„Š2 ) cos(a„Št) + 2ra„Š sen(a„Št) u0 , (ω 2 − a„Š2)2 + 4r 2a„Š2 (4.22)

siendo β =

|r 2 − ω 2 |.

 r>ω  c1 e−(α−β)t + c2 e−(α+β)t ,     (c1t + c2 )e−αt , r=ω qh (t) =     −αt  e [c1 cos(βt) + c2 sen(βt)] , r < ω

En particular, si a„Š = ω tenemos la soluciŽn o u0 t sen(ωt), 2ω que es no acotada. Lo anterior nos indica que el anŽlisis de un circuito RLC es anŽlogo al de a a un oscilador, en particular tendremos el mismo fenŽmeno de resonancia cuando a„Š ≈ ω. De o hecho, en este fenŽmeno se basan los equipos de radio actuales. o q(t) = c1 cos(ωt) + c2 sen(ωt) + Ejemplo 4.8 Los osciladores acoplados

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N En el ejemplo anterior hemos estudiado el movimiento de un oscilador armŽnico y hemos descuo bierto que Žste se puede describir fŽcilmente con e a una EDO lineal de orden dos. Vamos a ver a continuaciŽn el caso de varios osciladores acoplao dos.

47

En la figura 14 vemos dososciladores acoplados. Figura 14: Dos osciladores acoplados. Obviamente si no existiera el resorte k3 que los une cada uno oscilarŽ segŽn la ley que hemos visto antes. Veamos que ocurre al incluir este A±a u resorte. Llamemos x1 y x2 a los desplazamientos de la posiciŽn de equilibrio de los carros m1 o y m2 respectivamente, entonces la segunda Ley de Newton nos da m1 x1 = −k1 x1 + k3 (x2 − x1) = −(k1 + k3 )x1 + k3 x2 , m2 x2 = −k3 (x2 − x1) − k2 x2 = k3 x1 − (k2 + k3 )x2. Para resolver el problema vamos a despejar x2 en la primera ecuaciŽn y sustituirla en la o segunda. Eso nos conduce a la siguiente EDO lineal de cuarto orden x1 +
(4)

k1 + k 3 k2 + k 3 + m1 m2

x1 +

k1 + k 3 m1

Por simplicidad escojamos m1 = m2 y k1 = f2 = k3 . Entonces (4.24) nos da x1 + 4ω 2 x1 + 3ω 4 x1 = 0, La ecuaciŽn caracterŽ o A±stica es λ4 + 4ω 2 λ2 + 3ω 4 = 0 = √ λ = ± 3ωi, ±ωi,
(4)

de donde deducimos que la soluciŽn tiene la forma o √ √ x1 (t) = c1 cos( 3ωt) + c2 sen( 3ωt) + c3 cos(ωt) + c4 sen(ωt) √ = A1 cos( 3ωt − δ1 ) + A2 cos(ωt − δ2 ). De la soluciŽn podemos ver que en funciŽn de las condiciones iniciales puede ocurrir que A 1 o o o √2 se anulen. En este caso el sistema tiene un movimiento oscilatorio confrecuencias ω A y 3ω, conocidas como frecuencias propias del sistema. AnŽlogamente se puede obtener la a expresiŽn para x2. o √ x2(t) = c1 (2 − ω 2 ) cos(ωt) + c3 (2√ 3ω 2 ) cos( 3ωt) + 2c2 sen(ωt) − √ −c2 ω2 sen(ωt) + 2c4 sen( 3ωt) − 3c4 ω2 sen( 3ωt) Escojamos k = m = 1 de forma que ω = 1. Entonces √ √ x1(t) = c1 cos( 3t) + c2 sen( 3t) + c3 cos t + c4 sen t, √ √ x2 (t) = c1 cos t + c2 sen t − c3 cos( 3t) + c4 sen( 3t). Supongamos que x1 (0) = 1, x1(0) = 0, x2(0) = 1 y x2(0) = 0, entonces obtenemos x1(t) = cos t x2(t) = cos t.

Š ¢£Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š ¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£ ££££££££££££££££££££££ t¥Š € t ¢€£¢¢ t  ¢ €€£¢  t  €¢£¢  t ¢¢£¢ €€£¢ t t €¢£¢ t  €£¢¢ ¢¢£  t  ¢€ £¢  t
k1 m1 k3 m2 k2

(4.23)

k2 + k 3 m2

−

2 k3 x1 = 0. m1 m2

(4.24)

ω2 =

k . m

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

48

Figura 15: Caso x1(0) = 1, x1(0) = 0, x2 (0) = 1 y x2(0) = 0.

Figura 16: Caso x1(0) = 1, x1(0) = 0, x2(0) = −1 y x2(0) = 0. Si x1(0) = 1, x1(0) = 0, x2 (0) = −1 y x2(0) = 0, tenemos √ √ x2(t) = − cos( 3t), x1(t) = cos( 3t), o sea, tenemos que las oscilaciones son con las frecuencias propias. Pero si escogemos, por ejemplo, x1(0) = 1/2, x1 (0) = 1, x2(0) = −1y x2(0) = 1/2, obtenemos √ √ − cos(t) 3 cos( 3 t) 3 sin(t) sin( 3 t) √ , + + + x1(t) = 4 4 4 4 3 √ √ − cos(t) 3 cos( 3 t) 3 sin(t) sin( 3 t) √ , x2(t) = − + − 4 4 4 4 3 es decir, es una combinaciŽn de las frecuencias. o

Figura 17: Caso x1(0) = 1/2, x1(0) = 1, x2(0) = −1 y x2(0) = 1/2.

Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

49

4.4.

Problemas

Problema 4.9 Encontrar la soluciŽn general de las siguientes ecuaciones diferenciales y la soluciŽn correso o pondiente a las condiciones iniciales indicadas: 1. y − y − 6y = 0, y(2) = 0, y (2) = 1. 2. y + 12y + 36y = 0, y(0) = y (0) = 2. 3. y − 4y + 13y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0. Problema 4.10 Resolver las EDOs 1. y − 4x = 4x2 + 2x. 2. y + y + y = 1 + 2x + 3x3. 3. y − y = x2ex con y(0) = y (0) = 0. 4. y + 2y + 1 = xe−x sen(2x) con y(0) = 1, y (0) = 0. 5. y + 2y = 1 + x2 + e−2x . 6. y + y − 6y = sen x + xe2x . Problema 4.11 El oscilador armŽnico simple y el pŽndulo simple se representan esquemŽticamente en la o e a grŽï¬ca 18 a la izquierda y derecha respectivamente. a

k

mg

Figura 18: El oscilador y el pŽndulo simple. e Las EDOs que gobiernan estos sistemas son my + ky = 0, y lθ + gθ = 0,

respectivamente, donde y(t) es distancia a que seencuentra el cuerpo de masa m de su posiciŽn de equilibrio (figura 18 izquierda) y θ(t) es el angulo que forma el pŽndulo con la o Ž e horizontal (figura 18 derecha). 1. Encuentra la soluciŽn general de ambas EDOs. o

© © © © © © © © © © © © © © © © © © šŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠšŠ ŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠš©

€€

ky

m

§Š§Š§Š§Š§Š§Š§Š¥ ŠŠŠŠŠŠŠ§Š¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥
θ l m h

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Ž 4 LA ECUACION LINEAL DE ORDEN N

50

2. Si el oscilador se encontraba en el inicio en su posiciŽn de equilibrio (y(0) = 0) y tenŽ o A±a una velocidad inicial y (0) = v0 , squŽ posiciŽn ocupa al cabo de 1 segundo? sy al cabo e o de t segundos? e 3. Si suponemos que inicialmente el pŽndulo se deja caer desde una altura h = l/10, sin velocidad inicial, a quŽ altura se encuentra el mismo al cabo de 1 segundo sy al cabo e de t segundos? Problema 4.12 Resuelve las EDOs 1. y + 8y = x2 , Problema 4.13 Encuentra la EDO que gobierna un sistema de dos osciladores acoplados como el del ejemplo 4.8 incluyendo rozamiento. Haga el estudio anŽlogo si sobre el primer carro actŽa una fuerza a u externa del tipo F (t) = F0 cos(a„Št). En ambos casos resuelva la EDOcorrespondiente. Analice los casos: 1.) m1 = m2 y k1 = k2 = k3 , 2.) m1 = m2 y k1 = k2 , k3 = 2k1 y 3.) m1 = 2m2 y k1 = k2 = k3 . Problema 4.14 Encuentra la EDO que gobierna un sistema de tres osciladores como el que se muestra en la figura 19 y resuŽlvela. e 2. y − 6y + 11y − 6y = xex + x2, 3. y (4) − 16y = 3 cos(x).

k1

k4

k2

m3

k

3

Figura 19: Tres osciladores acoplados.

£ ¢£¢ £ ¢£¢

m1

m2

£ ¢£¢ ¢£¢ £¢£ Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š Š €¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥€¥ ¢£ ¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥ t€Š t  t  t  t  t  t  t  t 

t  t 


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS

51

5.

Soluciones de EDOs en serie de potencias
Sea la EDO y + p(x)y + q(x)y = f (x). (5.1)

El objetivo es resolver la EDO anterior cuando las funciones p(x), q(x) y f (x) dependen de x. Para ello vamos a suponer que dichas funciones son “razonablemente” buenas en un entorno de cierto punto x0 de la recta real y buscaremos la soluciŽn como una serie de potencias, es o decir en la forma ∞ y(x) =
k=0

ak (x − x0)k ,

ak R.

(5.2)

Las funciones que se pueden expresar mediante una serie de potencias convergentes en todo unentorno de x = x0 como la anterior se denominan funciones analŽ A±ticas en x = x0. Por sencillez supondremos x0 = 0, ya que en caso que x0 = 0 siempre podemos realizar el cambio de variable z = x − x0 de forma que en la nueva variable z0 = 0. La idea del mŽtodo es sustituir la serie y(x) (5.2) en (5.1) e igualar los coeficientes de e las potencias. De esta forma obtenemos un sistema de ecuaciones para los coeficientes a n en (5.2). Es importante que la serie converja en todo un entorno de x0, de esta forma tenemos asegurada la existencia de la soluciŽn al menos en cierta regiŽn. Antes de enunciar nuestros o o primeros resultados veamos un ejemplo: Ejemplo 5.1 Resolver la EDO y − 2x − 2y = 0. Buscamos la soluciŽn y(x) = o d y (x) = dx
∞ k=0 ∞ k=0 k

ak xk , la sustituimos en la EDO y usamos que
∞

ak x =

k

∞ k=0 ∞ k=0

(ak x ) = kak x
k−1

kak x

k−1

=

∞ n=0

(n + 1)an+1 xn , =
∞ n=0

d d y (x) = y (x) = dx dx lo que nos da
∞ k=0

=

k=0 ∞ k=0

k(k − 1)ak x
∞

k−2

(n + 1)(n + 2)an+2 xn

k(k − 1)ak x
∞

k−1

−2

k=0

kak x − 2

k

∞ k=0

ak xk = 0,

que equivale a
n=0 n

[(n + 1)(n + 2)an+2 − (2n + 2)an] xn = 0.

Como (x )n es una sucesiŽn defunciones linealmente independientes la igualdad a cero tiene o lugar si y sŽlo si (n + 1)(n + 2)an+2 − (2n + 2)an = 0, de donde tenemos o an+2 = 2 an , n+2 n ≥ 0.

Obviamente la ecuaciŽn anterior define todos los valores de an en funciŽn de a0 y a1. En o o efecto, si sabemos a0 , la recurrencia anterior permite calcular los valores a2, a4 , . . . a2k , k N y si conocemos a1 entonces podemos calcular a3, a5 , . . . a2k+1 , k N. AsŽ tenemos A±, a2n 2 a2n−2 = = 2n 2 2n 2 2n a0 a2n−4 = · · · = a0 = , 2n − 2 (2n)(2n − 2) · · · 2 n!


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS

52

2 2n 2 2 a2n−3 = · · · = a2n−1 = a1 , 2n + 1 2n + 1 2n − 1 (2n + 1)(2n − 1) · · · 3 · 1 es decir 2n /(2n + 1)!! a1, donde (2n + 1)!! = 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1). De esta forma obtenemos dos soluciones linealmente independientes (una tiene solo potencias pares y la otra solo impares) a2n+1 = y(x) = a0
∞ n=0

2n x2n+1 x2n + a1 . n! (2n + 1)!! n=0

∞

Obviamente la primera suma es fŽcilmente reconocible como la serie de potencias de la funa 2 ciŽn ex , no asŽ la segunda que en general no se expresa como combinaciŽn de funciones o A± o elementales. De la expresiŽn explŽ o A±cita de las dos sumas anteriores es fŽcil comprobar queel a radio de convergencia es infinito. Esta claro que el mŽtodo anterior no siempre funciona. Por ejemplo, consideremos la e EDO 2 2 x2y + 2xy − 2y = 0 y + y − 2 y = 0. x x Si sustituimos la serie de potencias tenemos
∞ k=0

k(k − 1)ak xk +

∞ k=0

2kak xk −

∞ k=0

2ak xk = 0

de donde se deduce a0 = 0, (n − 1)(n + 2)an = 0, n N = an = 0, n N, n=1

es decir, sŽlo podemos encontrar una soluciŽn: y1(x) = x. Ello es fŽcil de entender pues la o o a 2 otra soluciŽn de esta EDO es y2 (x) = 1/x que obviamente no estŽ definida en x = 0. o a

5.1.

El mŽtodo de reducciŽn de orden e o

Supongamos que conocemos una soluciŽn y1(x) no nula de la EDO y +p(x)y +q(x)y = 0. o Busquemos la segunda soluciŽn independiente y2 (x) en la forma y2(x) = v(x)y1(x). Sustituo yendo y2 en la EDO y usando que y1 + p(x)y1 + q(x)y1 = 0 tenemos para v la EDO y1v + (2y1 + p(x)y1)v = 0 de donde deducimos u(x) = C e−
p(x)dx 2 y1

=

y1 u + (2y1 + p(x)y1)u, e−
p(x)dx 2 y1

u=v,

=

v(x) = C

+ D.

Como y(x) = c1 y1 (x) + c2y2 (x) podemos escoger, sin pŽrdida de generalidad C = 1 y D = 0. e Ejemplo 5.2 Encontrar la segunda soluciŽn linealmente independiente de la ED y +p0 /xy + o 2 2 (p0 − 1) /(4x)y = 0 si una soluciŽn es y1 (x) = x−p0/2+1/2. o Como y1 (x) = x−p0/2+1/2 y p(x) = p0 /x, entonces u(x) = v (x) = C C e− p0/xdx = Ce−p0 log x xp0−1 = −p0 +1 x x = v(x) = log x

de donde y2 (x) = x−p0/2+1/2 log x. Es fŽcil ver que si aplicamos el mŽtodo de reducciŽn de orden a la ecuaciŽn x2y + 2xy − a e o o 2y = 0 estudiada en el apartado anterior obtenemos que la segunda soluciŽn linealmente o independiente es y2 (x) = 1/x2.


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS

53

5.2.

Puntos regulares y singulares de una EDO

DefiniciŽn 5.3 Dada la EDO (5.1), el punto x0 se denomina punto regular de (5.1) si o p(x), q(x) y f (x) son funciones analŽ A±ticas en x = x0, o sea, si p(x), q(x) y f (x) admiten una representaciŽn en serie de potencias en un entorno de x0 . En caso contrario se dice que o x0 es un punto singular. Por ejemplo, el punto x0 = 0 es un punto regular de la EDO xy + (sen x)y + x3y = 0, mientras que x0 = 0 es un punto singular de y + x2y + x2/3y = 0. Teorema 5.4 Sea x0 un punto regular de la EDO y + p(x)y + q(x)y = f (x). Entonces: 1. Para f (x) = 0 (problema homogŽneo) la EDO anterior tiene como soluciones lineale A±ticas. mente independientes dos funciones analŽ 2. La soluciŽn delproblema de valores iniciales y(x0) = y0 , y (x0) = y0 existe y es unica o Ž y se expresa mediante una serie de potencias (es decir es una funciŽn analŽ o A±tica). Es posible, ademŽs, probar que el radio de convergencia de la soluciŽn de la EDO (5.1) a o es el menor de los radios de convergencia de p, q y f . Esta claro que el punto x = 0 es singular para la EDO y + x2y + x2/3y = 0. Una opciŽn o es resolver entonces la ecuaciŽn usando una serie en torno a otro punto, por ejemplo x = 1. o No obstante muchas veces es necesario ver lo que ocurre en el entorno del punto singular. Ello no siempre es posible, aunque en algunos casos, si lo es. DefiniciŽn 5.5 Un punto x0 se denomina punto singular regular de la EDO (5.1), si las o funciones (x − x0)p(x) y (x − x0)2 q(x) son analŽ A±ticas en x = x0 . Lo anterior equivale a que (x−x0)p(x) =
∞ k=0 ∞ k=0

pk (x−x0) = p0+p1 x+· · · ,

k

(x−x0) q(x)

2

qk (x−x0)k = q0 +q1 x+· · · .

Usualmente la EDO homogŽnea (f (x) ≡ 0) (5.1) con un punto singular en x 0 se escribe e de la forma (x − x0 )2y + (x − x0)[(x − x0)p(x)] + [(x − x0 )2q(x)]y = 0. (5.3) o o o DefiniciŽn 5.6 La ecuaciŽn r(r − 1) + p0 r + q0 = 0 se denomina ecuaciŽn indicial de la EDO (5.3) con unpunto singular en x0. En lo que sigue, por simplicidad, asumiremos x0 = 0. Un ejemplo muy sencillo de EDO con un punto singular regular en el cero es la EDO de Euler x2 y + xp0 y + q0 y = 0. (5.4) Si buscamos la soluciŽn en forma de serie y(x) = ∞ ak xk y sustituimos en la EDO anterior o k=0 deducimos [n(n − 1) + np0 + q0 ]an = 0, n ≥ 0,

luego, en general, an = 0 lo cual indica que la EDO anterior no tiene como soluciŽn ninguna o a o serie de potencias. Es fŽcil ver que la soluciŽn se puede buscar en la forma y(x) = x r , para x > 0. El caso x < 0 se deduce fŽcilmente de Žste sin mŽs que hacer el cambio x = −z, a e a


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS

54

z > 0. Sustituyendo y(x) = xr en (5.4) tenemos que r ha de satisfacer la ecuaciŽn indicial o r(r − 1) + p0 r + q0 = 0. Sean r1 y r2 las soluciones de la ecuaciŽn indicial, o r1,2 = − p0 − 1 ± 2 (p0 − 1)2 − 4q0 . 2

Entonces se tienen los siguientes casos para x > 0 1. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 > 0, r1 < r2 R (dos raŽ reales y distintas) A±ces y(x) = c1 xr1 + c2 xr2 , x > 0. (5.5)

2. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 = 0, r1 = r2 R (dos raŽ reales iguales) A±ces y(x) = c1 xr1 + c2 xr1 log(x), x > 0. (5.6)

3. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 < 0, r1, r2 C(dos raŽ complejas). Sea r1 = a + bi, entonces A±ces la soluciŽn es o y(x) = c1 xa cos(b log x) + c2 xa sen(b log x), x > 0. (5.7)

Si queremos tener la soluciŽn tambiŽn para x < 0 basta sustituir en las expresiones el valor o e de x por |x|. Veamos que ocurre en el caso general. En este caso la lŽgica indica que quizŽ la soluciŽn o a o 6 tenga la forma y(x) = xr
∞ k=0

ak x k .

Entonces si sustituimos en la EDO (5.3) e igualamos potencias nos queda,
∞ n=0 n−1

[(n + r)(n + r − 1) + (n + r)p0 + q0 ]an +

[(k + r)pn−k + qn−k ]ak = 0,
k=0

de donde, al igualar la potencia xr , se sigue que r ha de satisfacer la ecuaciŽn indicial o r(r − 1) + p0 r + q0 = 0, y ademŽs se deduce una relaciŽn de recurrencia para cada uno de a o los coeficientes an en la expresiŽn de la serie. No obstante tenemos que ser cuidadosos pues o puede ocurrir que la relaciŽn recurrente para los coeficientes an no tenga soluciŽn. En general o o se tiene el siguiente Teorema 5.7 Sea la EDO x2y + x[xp(x)] + [x2 q(x)]y = 0, y las funciones p(x) y q(x) tales que xp(x) = p0 + p1 x + · · · y x2q(x) = q0 + q1 x + · · · sean funciones analŽ A±ticas en x0 = 0. Dada la ecuaciŽn indicial r(r − 1) + p0 r + q0 = 0, entonces las dos solucioneslinealmente o independientes soluciones de la EDO anterior son de la forma 1. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 > 0, r1 < r2 R con r2 − r1 Z (dos raŽ reales y distintas que A±ces no difieran en un entero) y(x) =
6

c 1 xr 1

∞ k=0

ak x +

k

c2 xr 2

∞ k=0

bk x k ,

x > 0.

(5.8)

Recordar que estamos suponiendo x0 = 0.


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS

55

2. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 < 0, r1, r2 C,r2 − r1 Z (dos raŽ complejas que no difieran A±ces en un entero). Sea r1 = a + bi, entonces la soluciŽn es o y(x) = c1 x cos(b log x)
a ∞ k=0

ak x + c2 x sen(b log x)

k

a

∞ k=0

bk x k ,

x > 0.

(5.9)

3. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 = 0, r1 = r2 R (dos raŽ reales iguales) A±ces y(x) = c1 x
r1 ∞ k=0

ak x + c 2

k

x

r1

∞ k=0

ak x

k

log x + x

r1

∞ k=0

bk x k ,

x > 0. (5.10)

4. Caso (p0 − 1)2 − 4q0 = 0, r1 = r2 − N R, N Z (dos raŽ A±ces reales que difieren en un entero) y(x) = c1 xr1
∞ k=0

ak x k + c 2 A x r 1

∞ k=0

ak x k

log x + xr1+N

∞ k=0

bk x k ,

x > 0, (5.11)

donde A es cierta constante que puede ser nula. En todos los casos las series convergen en un entorno de x0 = 0. Esta claro del teorema anteriorque este caso es mucho mŽs complicado que el anterior. a AquŽ sŽlo nos limitaremos a mostrar un ejemplo del primer caso por ser este el mŽs sencillo. A± o a

5.3.

La ecuaciŽn hipergeomŽtrica de Gauss o e

Como ejemplo consideraremos la ecuaciŽn hipergeomŽtrica de Gauss o e x(1 − x)y + [γ − (1 + α + β)x]y − αβy = 0. (5.12)

luego

Por sencillez asumiremos que γ Z. Obviamente x = 0 es un punto singular regular. En efecto, dividiendo por x(1 − x) tenemos γ − (1 + α + β)x −αβ p(x) = , q(x) = , x(1 − x) x(1 − x) xp(x) = γ − (1 + α + β − γ)x + · · · , x2q(x) = −αβx + · · · ,

entonces p0 = γ y q0 = 0 y la ecuaciŽn indicial es r(r − 1) + γr = 0, de donde tenemos o dos soluciones r = 0 y r = 1 − γ. Como hemos supuesto que γ Z, entonces tenemos dos soluciones ∞ ∞ y1 (x) = an x n , y2 (x) = x1−γ bn x n .
n=0 n=0

Comencemos por la primera. Sustituyendo y1 en (5.12) obtenemos (n + 1)(n + γ)an+1 = [n2 + (α + β)n + αβ]an , por tanto, an = (n + α − 1)(n + β − 1) an−1 , n(n + γ − 1) n ≥ 1.


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS Si denotamos por (a)n el producto (a)0 = 1, entonces obtenemos an = por tanto y(x) = 2 F1 α, β x γ =
∞ k=0

56

(a)n = a(a + 1) · · · (a + n − 1), (α)n (β)n , (γ)nn!n ≥ 1,

(5.13)

(α)k (β)k xk , (γ)k k!

(5.14)

conocida como funciŽn hipergeomŽtrica de Gauss. Es fŽcil comprobar que el radio de cono e a vergencia de la serie anterior es R = 1. Si ahora sustituimos la segunda soluciŽn obtenemos o an = (n + α − γ)(n + β − γ) an−1 , n(n − γ + 1) y2 (x) = x1−γ 2 F1 = an = (α − γ + 1)n(β − γ + 1)n , n ≥ 1. (2 − γ)n n!

de donde tenemos

NŽese que si γ Z entonces una de las soluciones deja de estar definida. En este caso o hay que buscar la soluciŽn incluyendo el correspondiente tŽrmino logarŽ o e A±tmico.

α − γ + 1, β − γ + 1 x . 2−γ

5.4.

Problemas

Problema 5.8 Resuelve las EDOs siguientes usando series de potencias, si es posible, e indica la regiŽn de convergencia de las mismas o 1. x2y = y + x2 + 1, 2. xy = 2y + xex, 3. y + 2y + y = x, 4. (x4 − 4)y + 3xy + y = 0. Problema 5.9 Sea la EDO (1 + x)y = py, y(0) = 1, p R. o 1. Busca su soluciŽn en serie de potencias 2) · · · (p − n + 1)/n!.
∞ n=0

an xn, y prueba que an = p(p − 1)(p −

2. Encuentra la regiŽn de validez de la doluciŽn anterior. o o 3. Comprueba que la funciŽn y(x) = (1 + x)p es soluciŽn de la misma. o o o Como consecuencia del teorema de existencia y unicidad, en la regiŽn deconvergencia de la serie tendremos (1 + x) =
p ∞ n=0

p(p − 1)(p − 2) · · · (p − n + 1) n x , n!

p R,

que no es mŽs que el teorema del binomio encontrado por Newton. a


5 SOLUCIONES DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS Problema 5.10 Resolver las EDOs usando series alrededor del cero (punto regular) 1. (1 − x2)y − xy + p2 y = 0, (EDO de Chebyshev) 2. (1 − x2)y − 2xy + p(p + 1)y = 0, (EDO de Legendre) 3. y − 2xy + 2py = 0, (EDO de Hermite)

57

4. y + xy = 0, (EDO de Airy). Usando la soluciŽn de la EDO de Airy resolver la EDO o y − xy = 0. Problema 5.11 Prueba que la EDO de Euler ax2y (x) + bxy (x) + cy(x) = 0, a, b, c R

se transforma, con el cambio x = ez en una EDO con coeficientes constantes: ay (z) + (b − a)y (z) + cy(z) = 0. Problema 5.12 Resuelve las siguientes EDOs de Euler 1. x2y + 2xy − 6y = 0, 2. x2y + xy − 5y = 0, 3. (x − 1)2y − 2(x − 1)y + 2y = 0, 4. x2y + 3xy + 2y = 0. Problema 5.13 Resueve las siguientes EDOs alrededor de x = 0 (punto singular regular) 1. xy + (1 − x)y + py = 0, (EDO de Laguerre) 2. xy + (1 + α − x)y + py = 0, (EDO de Laguerre generalizada) 3. x2y + xy + (x2 − p2 )y = 0, (EDO de Bessel) Problema 5.14 La EDO x(1 − x)y + [c − (a + b + 1)x]y − aby = 0, a, b, c Rse denomina ecuaciŽn hipergeomŽtrica de Gauss (aunque fue introducida por Euler en 1769). o e Encuentra dos soluciones linealmente independientes de la misma. Usando un cambio apropiado de variables demuestra que las soluciones de las EDO de Chebyshev y Legendre se pueden expresar en funciŽn de las soluciones de la EDO hipergeomŽtrica de Gauss. o e Problema 5.15 Encuentra dos soluciones linealmente independientes de la EDO hipergeomŽtrica confluente definida por e xy + [c − x]y − ay = 0, a, c R.

Ž 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS

58

6.
6.1.

Los polinomios ortogonales clŽsicos a
La ecuaciŽn diferencial hipergeomŽtrica. o e

Nuestro objetivo serŽ estudiar los polinomios ortogonales clŽsicos definidos sobre el eje a a real los cuales vamos a definir como las soluciones polinŽmicas de la siguiente EDO o σ(x)y + τ (x)y + λy = 0, (6.1)

donde σ y τ son polinomios de grados a lo mŽs 2 y 1, respectivamente. Esta ecuaciŽn (6.1) a o usualmente se denomina ecuaciŽn diferencial hipergeomŽtrica y sus soluciones y cumplen con o e la propiedad, conocida como propiedad de hipergeometricidad: Si y es una soluciŽn de (6.1) o sus m-Žsimas derivadas y (m) ≡ ym satisfacen una ecuaciŽn del mismo tipo. e oTeorema 6.1 Si y es una soluciŽn de (6.1) sus m-Žsimas derivadas y (m) ≡ ym satisfacen la o e ecuaciŽn o σ(x)ym + τm (x)ym + µm ym = 0,
m−1

(6.2) τi (x) = λ + mτ (x) +
m(m−1) σ 2

τm (x) = τ (x) + mσ (x),

µm = λ +
i=0

(x) .

La propiedad de hipergeometricidad es es muy importante pues nos permite encontrar una fŽrmula explŽ o A±cita para los polinomios que satisfacen la ecuaciŽn (6.1). Para ello usualmente o se escriben (6.1) y (6.2) en su forma simŽtrica o autoconjugada: e [σ(x)ρ(x)y ] + λρ(x)y = 0, [σ(x)ρm (x)ym ] + µm ρm (x)ym = 0, (6.3)

donde ρ y ρm son funciones de simetrizaciŽn que satisfacen las ecuaciones diferenciales de o primer orden (conocidas como ecuaciones de Pearson): [σ(x)ρ(x)] = τ (x)ρ(x), [σ(x)ρm (x)] = τm (x)ρm (x).

Conocida ρ encontramos, utilizando las ecuaciones anteriores, que ρm (x) = σ m (x)ρ(x). (6.4)

Teorema 6.2 Si para todo k N , τ + kσ /2 = 0, entonces para las soluciones polinŽmicas de la ecuaciŽn (6.2) se tiene la siguiente fŽrmula de Rodrigues: o o o
(m) Pn (x) =

Anm Bn dn−m [ρn (x)], ρm (x) dxn−m n! = (n − m)!
m−1

Bn =

Pn , Ann

(n)

(6.5) (6.6)

Anm = Am (λ) |λ=λn AdemŽs, el autovalor λn de (6.1) es a

k=0

1 [τ + 2 (n+ k − 1)σ ].

λ ≡ λn = −nτ −

n(n − 1) σ . 2

(6.7)

Cuando m = 0 la fŽrmula (6.5) se convierte en la fŽrmula de Rodrigues para los polinomios o o clŽsicos a B n dn n [σ (x)ρ(x)], n = 0, 1, 2, . (6.8) Pn(x) = ρ(x) dxn Si imponemos unas sencillas condiciones adicionales se tiene que las soluciones de (6.1) son ortogonales dos a dos:

Ž 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS Teorema 6.3 Supongamos que xk σ(x)ρ(x)

59

x=a,b

ciones polinŽmicas Pn de la ecuaciŽn (6.1) constituyen una SPO respecto a la funciŽn peso o o o ρ definida por la ecuaciŽn [σ(x)ρ(x)] = τ (x)ρ(x), o sea, se cumple que: o
b a

= 0, para todo k ≥ 0. Entonces las solu-

Pn (x)Pm(x)ρ(x)dx = δnm d2 , n

(6.9)

donde δnm es el sŽ A±mbolo de Kronecker y dn denota la norma de los polinomios Pn. Corolario 6.4 Si (Pn)n es una familia de polinomios ortogonales respecto a ρ entonces para
b

todo k entero con 0 ≤ k ≤ n − 1 se tiene que

xk Pn (x)ρ(x)dx = 0.
a

2 Para calcular dn , podemos utilizar la fŽrmula de Rodrigues que, sustituyŽndola en (6.9) o e e integrando por partes, nos da: b

d2 = Bn (−1)n n!an n

σ n (x)ρ(x)dx.
a

(6.10)

Una consecuencia de la propiedad de ortogonalidad es el siguienteTeorema 6.5 Los polinomios ortogonales satisfacen una relaciŽn de recurrencia a tres tŽrmio e nos de la forma xPn(x) = αn Pn+1 (x) + βn Pn(x) + γn Pn−1 (x), (6.11) donde αn = an , an+1 βn = bn bn+1 − , an an+1 γn = cn − αn cn+1 bn an−1 d2 n − βn = , an−1 an−1 an d 2 n−1 (6.12)

siendo an , bn y cn los coeficientes del desarrollo Pn(x) = anxn + bn xn−1 + cn xn−2 + · · ·, y dn es la norma de los polinomios. Generalmente se impone que P−1(x) = 0 y P0(x) = 1, con lo que la sucesiŽn de polinomios o ortogonales queda determinada de forma unica conocidas las sucesiones (α n)n , (βn )n y (γn )n. Ž Para calcular los coeficientes principales an y bn podemos usar la fŽrmula de Rodrigues o (n−1) (x) = Ann−1 Bn τn−1 (x),de donde obtenemos la para la n − 1-Žsima derivada de Pn: Pn e igualdad: (n−1) Pn (x) = n!an x + (n − 1)!bn = Ann−1 Bn τn−1 (x). Luego, an = Bn Ann 1 = Bn [τ + 2 (n + k − 1)σ ], n! k=0
n−1

bn =

nτn−1 (0) an . τn−1

(6.13)

Como un corolario de (6.11) se obtiene la conocida fŽrmula de Christoffel-Darboux: o Teorema 6.6 Si (Pn)n es una sucesiŽn de polinomios ortogonales que satisface la relaciŽn o o de recurrencia a tres tŽrminos (6.11). Entonces se cumple que: e Pm (x)Pm (y) αn Pn+1 (x)Pn(y) − Pn+1(y)Pn (x) , = 2 2 dm dn x−y m=0
n

Kern (x, y) ≡

n ≥ 1.

(6.14)

Ž 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS Si hacemos tender y → x, obtenemos la fŽrmula confluente de Christoffel-Darboux: o Kern (x, x) ≡
2 Pm (x) αn = 2 [Pn+1 (x)Pn(x) − Pn+1 (x)Pn(x)] 2 dm dn m=0 n

60

n ≥ 1.

(6.15)

De la fŽrmula de Rodrigues se deducen una serie de consecuencias muy interesantes o 1. τ es un polinomio de grado exactamente uno. 2. Tomando m = 1 en la fŽrmula (6.5) se deduce que o Pn(x) = −λnBn ¯ Pn−1 (x), ¯ Bn−1 (6.16)

¯ donde Pn−1 denota al polinomio ortogonal respecto a la funciŽn peso ρ1 (x) = σ(x)ρ(x). o 3. Si escribimos la fŽrmula (6.5) para el polinomio de grado n + 1 obtenemos una fŽrmula o o de diferenciaciŽn o σ(x)Pn(x) = λn Bn Pn+1 (x) . τn (x)Pn(x) − nτn Bn+1 (6.17)

de la cual se deduce una relaciŽn de estructura o ˜ ˜ ˜ σ(x)Pn(x) = αn Pn+1 (x) + βn Pn (x) + γn Pn−1 (x), donde αn = ˜ Bn λn αn τ n − , nτn Bn+1
P (x)

n ≥ 0, λ n γn . n

(6.18)

λn ˜ [βn τn + τn (0)] , βn = nτn

γn = ˜

(6.19)

4. Si definimos Qn (x) ≡ n+1 , entonces los polinomios ortogonales mŽnicos Pn (x) = o n+1 xn + · · ·, soluciones de la ecuaciŽn (6.1), satisfacen la siguiente relaciŽn de estructura: o oPn(x) = Qn + δn Qn−1 +
n Qn−2 .

(6.20)

6.2.
6.2.1.

Los Polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi.
ParŽmetros Principales. a

Comenzaremos escribiendo los principales parŽmetros de las sucesiones de polinomios a ortogonales mŽnicos clŽsicos, es decir, tales que su coeficiente principal an = 1, i.e., Pn (x) = o a Ž xn + bn xn−1 + · · ·. Estos se pueden clasificar en tres grandes familias en funciŽn del grado del o polinomio σ (τ siempre es un polinomio de grado 1). Cuando σ es un polinomio de grado cero los polinomios correspondientes se denominan Polinomios de Hermite H n(x), cuando σ es de grado 1, Polinomios de Laguerre Lα (x) y cuando σ es de grado 2, Polinomios de Jacobi n α,β Pn (x), respectivamente. En las tablas 3 y 4 estŽn representados los principales parŽmetros a a de dichas familias, en las cuales (a)n denota al sŽ A±mbolo de Pochhammer (6.30).

Ž 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS

61

Tabla 3: ClasificaciŽn de las SPO ClŽsicas. o a Pn(x) σ(x) τ (x) λn ρ(x) Hn(x) 1 −2x 2n e−x
2

Lα (x) n x

α,β Pn (x)

1 − x2

−x + α + 1 −(α + β + 2)x + β − α n xα e−x α > −1 n(n + α + β + 1) (1 − x)α (1 + x)β α, β > −1 (1 − x)n+α (1 + x)n+β

ρn (x)

e−x

2

xn+α e−x

6.2.2.RepresentaciŽn hipergeomŽtrica. o e

De la fŽrmula de Rodrigues, o usando el mŽtodo de las series de potencias, (6.5) se o e puede obtener la representaciŽn de los polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi en tŽrminos o e de la funciŽn hipergeomŽtrica de Gauss 2 F1 definida en el caso mŽs general de forma: o e a
p Fq

a1, a2 , , ap x b1 , b2 , , bq

=

∞ k=0

(a1)k (a2)k · · · (ap)k xk . (b1)k (b2)k · · · (bq )k k! 3 2 −m
3 2

(6.21)

De esta manera encontramos que: H2m (x) = (−1)m 1 2
1 F1 m

−m
1 2

x2 , H2m+1 (x) = (−1)m

x 1 F1
m

x2 , (6.22) (6.23) (6.24)

Lα (x) = n
α,β Pn (x) =

(−1)n Γ(n + α + 1) 1 F1 Γ(α + 1)

−n x , α+1

2n (α + 1)n 2 F1 (n + α + β + 1)n

−n, n + α + β + 1 1 − x . α+1 2

6.2.3.

Casos particulares.

0,0 1. Los polinomios de Legendre Pn(x) = Pn (x).

2. Los polinomios de Chebyshev de primera especie Tn(x): Tn(x) = Pn
1 − 2 ,− 1 2

(x) =

1 2n−1

cos[n arccos (x)].

3. Los polinomios de Chebyshev de segunda especie Un (x):
1 1 2 Un(x) = Pn 2 (x) =

,

1 sen[(n + 1) arccos (x)] . 2n sen[ arccos (x)]

4. Los polinomios de Gegenbauer Gλ (x): n Gγ (x) = Pn n
1 1 γ− 2 ,γ− 2

(x),

γ > −1. 2

Ž 6 LOS POLINOMIOSORTOGONALES CLASICOS

62

Tabla 4: ParŽmetros de las SPO MŽnicas (an = 1). a o
Pn (x) Bn Hn (x) (−1)n 2n 0 √ n! π 2n 1 0 n 2 0 0 n Lα (x) n (−1)n
α,β Pn (x)

(−1)n (n + α + β + 1)n n(α − β) 2n + α + β 2α+β+2n+1 n!Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1) Γ(n + α + β + 1)(2n + α + β + 1)(n + α + β + 1)2 n 1 β 2 − α2 (2n + α + β)(2n + 2 + α + β) 4n(n + α)(n + β)(n + α + β) (2n + α + β − 1)(2n + α + β)2 (2n + α + β + 1) 2(α − β)n(n + α + β + 1) (2n + α + β)(2n + 2 + α + β) 4n(n + α)(n + β)(n + α + β)(n + α + β + 1) (2n + α + β − 1)(2n + α + β)2 (2n + α + β + 1) 2n(α − β) (2n + α + β)(2n + 2 + α + β) − 4n(n − 1)(n + α)(n + β) (2n + α + β − 1)(2n + α + β)2 (2n + α + β + 1) −n

bn d2 n αn βn γn αn ˜ ˜ βn γn ˜

−n(n + α) Γ(n + α + 1)n! 1 2n + α + 1 n(n + α) 0 n n(n + α)

δn
n

0 0

n 0

6.2.4.

Otras caracterŽ A±sticas.

Como consecuencia de las fŽrmulas anteriores podemos obtener los valores de los polio nomios en los extremos del intervalo de ortogonalidad. H2m (0) = (−1)m (2m)! , 22m m! H2m+1 = 0, Lα (0) = n (−1)nΓ(n + α + 1) , Γ(α + 1)

2n (α + 1)n α,β Pn (1) = , (n + α + β + 1)n

(−1)n 2n (β + 1)n α,β Pn (−1) = . (n + α + β + 1)n

(6.25)

Utilizando la fŽrmula (6.16) encontramos las ecuaciones (ν =1, 2, 3, , n = 0, 1, 2, ): o (Hn(x))(ν) = n! Hn−ν (x), (n − ν)!
α,β (Pn (x))(ν) =

(Lα (x))(ν) = n

n! Lα+ν (x), (n − ν)! n−ν

(6.26) (6.27)

donde (Pn(x))(ν) denota la ν−Žsima derivada de Pn(x). e

n! α+ν,β+ν Pn−ν (x), (n − ν)!

Ž 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS

63

Directamente a partir de las correspondientes EDOs se puede probar que los polinomios de Hermite y Gegenbauer se relacionan con los de Hermite y Jacobi, respectivamente mediante las siguientes relaciones: H2m (x) = Lm2 (x2), Gγ (x) = P2m 2 2m
1 γ− 1 ,γ− 2

−1

2 H2m+1 (x) = xLm (x2) , 1 1 γ− 2 ,− 1 2 (2x2 − 1), P m m 2

1

(x) =

(6.28)

1 γ− 1 , 1 x Pm 2 2 (2x2 − 1). 2m AdemŽs, de la fŽrmula de Rodrigues se puede encontrar la siguiente propiedad de simetrŽ a o A±a para los polinomios de Jacobi:
2 Gγ 2m+1 (x) = P2m+1 1 γ− 1 ,γ− 2

(x) =

β,α α,β Pn (−x) = (−1)nPn (x).

(6.29)

ApŽndice: La funciŽn Gamma de Euler e o Una de las funciones que con mŽs frecuencia encontraremos es la funciŽn Gamma de a o Euler o Γ, definida, en general, mediante la integral de Euler Ž Γ(z) =
0 ∞

e−t tz−1 dt,

(z) > 0.

Esta funciŽn fue definida por Euler en 1729 como lŽ o A±mite de un producto de donde sepuede deducir la integral anterior (considerada tambiŽn por Euler en 1772) aunque su nombre e y notaciŽn se deben a Legendre quien la estudiŽ en detalle en 1814. En particular, Euler o o probŽ que o 1 Γ(z) = z n=1
∞

1 1+ n

z

1+

z n

−1

= lŽ A±m

1 · 2 · · · (n − 1) zn. n→∞ z(z + 1) · · · (z + n − 1) π , sen πz

Dicha funciŽn satisface las ecuaciones funcionales o Γ(z + 1) = zΓ(z), y ademŽs, cumple la propiedad a Γ(1 − z)Γ(z) =

√ 1−2z π2 Γ(2z). √ 1 a Utilizando las expresiones anteriores se concluye que Γ( 2 ) = π. AdemŽs, Γ(z)Γ(z + 1 ) = 2 Γ(n + 1) = n! = n(n − 1) · · · (2)(1), n N.

a(x) = 1. Otra funciŽn muy relacionada con la o x→∞ b(x) funciŽn Γ es el sŽ o A±mbolo de Pochhammer (a)k (5.13) donde por a(x) b(x) entenderemos lŽ A±m Es muy sencillo comprobar que (a)0 = 1, (a)k = a(a + 1)(a + 2) · · · (a + k − 1), k = 1, 2, 3, . . . . (a)k = (6.30)

La siguiente fŽrmula asintŽtica de la funciŽn Γ es de gran utilidad o o o √ 1 Γ(ax + b) 2πe−ax (ax)ax+b− 2 , x >> 1,

Γ(a + k) . Γ(a) Finalmente, definiremos los coeficientes binomiales n k = (−1)k (−n)k n! = . (n − k)!k! k!

Ž 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS

64

6.3.

Los momentos de los polinomios clŽsicos a

Eneste apartado vamos a considerar brevemente una forma de obtener una relaciŽn para o los momentos. Teorema 6.7 Sea µ C. Se definen los momentos como
b

Cν,µ (z) =
a

(s − z)µρν (s)ds.

(6.31)

Si se cumple la condiciŽn de frontera o
b

σ(s)ρν (s)(s − z)µ

= 0,
a

(6.32)

entonces los momentos generalizados verifican la siguiente relaciŽn de recurrencia a tres o tŽrminos e 1 µσ(z)Cν,µ−1 (z) + [τν (z) + µσ (z)] Cν,µ (z) + τν + µσ 2 Cν,µ+1 (z) = 0. (6.33)

En particular, para ν = 0, µ = p N, z = 0 obtenemos, de (6.33), la siguiente relaciŽn o de recurrencia a dos tŽrminos e 1 µσ(0)Cp−1 + [τ (0) + pσ (0)]Cp + τ + pσ 2 para los momentos clŽsicos a Cp ≡ C0,p (0) =
a b

Cp+1 = 0.

(6.34)

sp ρ(s)ds.

Vamos a aplicar los resultados anteriores a los polinomios clŽsicos. a Para obtener los momentos de los polinomios de Jacobi usaremos las expresiones (6.33) y (6.34). Ejemplo 6.8 Calcula los momentos de los polinomios de Laguerre y Hermite usando el mŽtodo anterior. e En el caso Laguerre tenemos que la relaciŽn de recurrencia (6.34) es o (α + n + 1)Cn − Cn−1 = 0, luego Cn = (α + 1)nC0 , C0 =
0 ∞

xα e−x dx = Γ(α + 1),

de donde deducimos que Cn = Γ(α + n + 1). Finalmente, que usar(6.33) deducimos que, evidente ya que para los polinomios de Hermite tenemos que σ(0) = 0, asŽ que tenemos A± cuando z = 0. Ello nos conduce a la relaciŽn pCp−1 − 2Cp+1 = 0. De ella o como C1 = 0, entonces todos los momentos impares son nulos, lo cual es √ la funciŽn peso es una funciŽn par. AdemŽs, como C0 = π, entonces o o a C2m = (2m − 1)!! √ (2m)! √ π = 2m π, 2m 2 m! C2m+1 = 0.

Ž 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS

65

6.4.

Las funciones generatrices

El objetivo de este apartado es encontrar las funciones generatrices de los polinomios clŽsicos. En general el problema se puede plantear como sigue: Dada una sucesiŽn nŽmerica a o u (An )n y una sucesiŽn de polinomios (Pn)n encontrar una funciŽn Φ(x, t) tal que, o o Φ(x, t) =
∞ n=0

An Pn (x)tn.

(6.35)

Obviamente la serie anterior puede no converger prefijado un valor cualquiera del parŽmetro a t, por ello asumiremos que t es lo suficientemente peque˜o para que la serie converja en una n regiŽn de las x lo suficientemente amplia. o Para los polinomios clŽsicos se tienen las siguientes identidades. a
∞ n=0 ∞ n=0

2n 2 Hn (x)tn = e2xt−t , n!

∞ n=0

e− 1−t (−1)n α n Ln (x)t = , n! (1 − t)α+1

tx

(6.36)

2α+β (−1)n (α + β +1)n α,β Pn (x)tn = , n! R(1 − 2t + R)α (1 + 2t + R)β

(6.37)

con R =

1 + 4t(t + x).

Para probar las mismas usualmente se hace uso del teorema integral de Cauchy. No obstante daremos la prueba de las mismas usando mŽtodos mŽs “elementales”. e a Comenzaremos con los polinomios de Hermite al ser Žstos los mŽs sencillos. Daremos tres e a pruebas distintas para mostrar los distintos trucos que se suelen usar. Caso Hermite Hn (x): Primera prueba Sea Φ(x, t) = e2xt−t . Al ser esta funciŽn analŽ o A±tica en R podemos usar la serie de Taylor Φ(x, t) = Pero ∂ Φ ∂tn luego e
n ∞ k=0
2

1 n!

∂ nΦ ∂tn

tn .
t=0

=e
t=0

x2 ∂

n −(x−t)2

e ∂tn

=
t=0

   ξ = x−t   dξ = −dx  =
∞ n=0

(−1) e

n x2 ∂

n −ξ 2

e ∂ξ n

ξ=x

(−1)n = Hn(x), Bn

2xt−t2

2n Hn(x)tn. n!

Caso Hermite Hn (x): Segunda prueba Vamos a usar la relaciŽn de recurrencia a tres tŽrminos o e Hn+1 (x) + n Hn−1 (x) − xHn(x) = 0. 2

Ž 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS Multiplicamos por 2n+1 tn /n! 2n+1 2n 2n+1 Hn+1 (x)tn + Hn−1 (x)tn − x Hn(x)tn = 0, n! (n − 1)! n! o equivalentemente 2n−1 2n ∂ 2n+1 Hn+1 (x)tn+1 + 2t Hn−1 (x)tn−1 − 2x Hn (x)tn = 0, ∂t (n + 1)! (n − 1)! n! y sumamos en n = 0 hasta∞ y usamos que 1/(−1)! = 0 y obtenemos ∂ ∂t
∞ n=0 ∞ ∞

66

2n−1 2n 2n+1 Hn+1 (x)tn+1 + 2t Hn−1 (x)tn−1 − 2x Hn(x)tn = 0. (n + 1)! (n − 1)! n! n=1 n=0
∞ 2n n n=0 n! Hn (x)t ,

Ahora bien, como Φ(x, t) =

obtenemos la ecuaciŽn o

∂ Φ(x, t) + 2(t − x)Φ(x, t) = 0, ∂t cuya soluciŽn es Φ(x, t) = e2xt−t . o Caso Hermite Hn (x): Tercera prueba Vamos a dar una tercera prueba que escencialmente es la inversa de la anterior, es decir a partir de la expresiŽn explŽ o A±cita de la funciŽn generatrŽ deducimos una relaciŽn de recurreno A±z o cia para los correspondientes polinomios (en este caso los de Hermite). La razŽn fundamental o es que este mŽtodo es muy general y nos permitirŽ probar el resto de las expresiones. e a o Sea la funciŽn generatrŽ Φ(x, t) = e2xt−t que escribiremos mediante la expresiŽn o A±z Φ(x, t) =
∞ n=0
2 2

2n gn (x)tn, n!

(6.38)

donde (gn)n es una sucesiŽn de polinomios a determinar. o Un sencillo cŽlculo nos muestra que a ∂ 2 Φ(x, t) = (2x − 2t)e2xt−t = 2(x − t)Φ(x, t). ∂t De aquŽ deducimos que Φ(x, 0) = 1 y Φt(x, 0) = 2x, por tanto, usando el desarrollo en serie A± de Taylor en t para Φ(x, t) y comparŽndolo con (6.38) deducimos que g0(x) = 1 y g1(x) = x. a Ahora sustituimos(6.38) en la ecuaciŽn diferencial anterior lo que nos da o
∞ n=0

2n 2n gn(x)ntn−1 − 2(x − t) gn(x)tn = 0, n! n! n=0

∞

o, equivalentemente,
∞ n=1

2n 2n+1 2n gn(x)tn−1 − 2x gn(x)tn + gn(x)tn+1 = 0. (n − 1)! n! n! n=0 n=0

∞

∞

Ž 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS Igualando coeficientes de las potencias de t a cero tenemos t0 : t1 : tn : 2g1(x) − 2xg0(x) = 0, 2g2(x) − 4xg1(x) + 2g0(x) = 0, 2gn+1 (x) − 2xgn(x) + ngn−1 (x) = 0.

67

Ahora bien, como g0(x) = 1 = H0(x) y g1(x) = x = H1(x), entonces comparando las relaciones anteriores con la relaciŽn de recurrencia a tres tŽrminos para los polinomios mŽnicos o e o de Hermite obtenemos que gn (x) = Hn(x) que era lo que pretendŽ A±amos probar.

6.5.

Problemas

Problema 6.9 Calcula todas las carŽcterŽ a A±sticas de los polinomios clŽsicos que aparecen en a la tabla 4. e Problema 6.10 Probar la ortogonalidad de las k−Žsimas derivadas de los polinomios hi(k) pergeomŽtricos yk ≡ Pn , es decir, e
b (k) (k) 2 Pn (x)Pm (x)ρk (x)dx = δnm dkn . a

(6.39)

Problema 6.11 Prueba que los polinomios nŽcleos satisfacen la siguiente propiedad reprou ductora
b

p(x)Kern (x, y)dx = p(y),
a

p(x) Pn .

(6.40)

Problema 6.12 Encontrar larelaciŽn de recurrencia para los momentos Cn := C0,n (0) de o los polinomios de Jacobi. NŽtese que o 2α+β+1 Γ(α + 1)Γ(β + 1) C0 = (1 − x) (1 + x) dx = . Γ(α + β + 2) −1
α β 1

HŽgase lo mismo pero para los momentos Cn := C0,n (1), es decir, si en vez de sustituir a en (6.33) z = 0 sustituimos el valor z = 1. Un caso de especial relavancia son los polinomios de Gegenbauer que corresponden al caso α = β = γ − 1/2. Encontrar la relaciŽn de recurrencia para los momentos Cn := C0,n (0) en o este caso y resuŽlvela. A partir de Žsta encuentra los momentos de los polinomios de Legendre e e − 1 ,− 1 0,0 Pn(x) = Pn (x), los polinomios de Chebyshev de primera especie Tn(x) = Pn 2 2 (x) y los
1 1

polinomios de Chebyshev de segunda especie Un (x) = Pn2 2 (x), respectivamente. Problema 6.13 Demuestra que la funciŽn generatrŽ para los polinomios de Laguerre viene o A±z γ− 1 ,γ− 1 γ dada por (6.36). Sean los polinomios de Gegenbauer Cn (x) := Pn 2 2 (x) que son un caso particular de los polinomios de Jacobi. Prueba que en este caso 1 = (1 − 2xt + t2 )γ
∞ n=0

,

2n (γ)n γ Cn (x)tn, n!

(6.41)

donde (γ)n es el sŽ A±mbolo de Pocchamer. Como casos particulares deducir la de los polinomios de Chebychev deprimera y segunda especie y la de los polinomios de Legendre.

Ž 6 LOS POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS Problema 6.14 Prueba las relaciones
α,β+1 Pn−1 (x) = α,β (2n + α + β)(1 − x) d Pn (2n + α + β) α,β (x) + Pn (x), 2n(α + n) dx 2(α + n) α,β (2n + α + β)(x + 1) d Pn (2n + α + β) α,β (x) − Pn (x). 2n(β + n) dx 2(β + n)

68

(6.42)

α+1,β Pn−1 (x) =

(6.43)

Problema 6.15 Los polinomios nŽcleos Ker n−1 (x, y) se definen mediante la expresiŽn u o Kern−1 (x, y) = Pm (x)Pm(y) . d2 m m=0
n−1

Usando la fŽrmula de Christoffel-Darboux (6.14), los valores en los extremos (6.25) y las o fŽrmulas de diferenciaciŽn (6.17), prueba las siguentes fŽrmulas: o o o • NŽcleos de los polinomios de Hermite: u
1 (−1)m−1 H2m (x) (−1)m−1 2 KerH (x, 0) = √ Lm−1 (x2) = √ , 2m−1 π(m − 1)! 2 π(m − 1)! x

1 (−1)m H2m (x) (−1)m 2 , Lm (x2) = √ KerH (x, 0) = √ 2m π(m)! π(m)! x

KerH (0, 0) = 2m−1

• NŽcleos de los polinomios de Laguerre: u KerL (x, 0) = n−1

1 2 Γ(m + 3 ) 2 Γ(m + 2 ) (2m − 1)! (2m + 1)! 2 , KerH (0, 0) = . = 2m−2 √ = 2m √ 2m 2 π Γ(m) π Γ(m + 1) 2 π(m − 1)! 2 π m!2

(−1)n−1 (Lα ) (x), n Γ(α + 1)n!

KerL (0, 0) = n−1

(α + 1)n . Γ(α + 2)(n − 1)!

• NŽcleos de los polinomios de Jacobi: u
α,β dα−1,β α,β α,β+1 KerJ,α,β (x, −1) = ηn dx Pn (x) = nηn Pn−1 (x), n−1 β,α α+1,β α,β−1 β,α d (x) = n(−1)n+1 ηn Pn−1 (x), KerJ,α,β (x, 1) = (−1)n+1 ηn dx Pn n−1 β,α α,β donde por ηn y ηn denotaremos las cantidades β,α ηn =

(6.44) (6.45)

(−1)n−1 Γ(2n + α + β) , 2α+β+n n!Γ(α + n)Γ(β + 1)

β,α ηn

(−1)n−1 Γ(2n + α + β) . 2α+β+n n!Γ(α + 1)Γ(β + n)

Usando (6.44)-(6.45) tenemos KerJ,α,β (−1, −1) = n−1 Γ(β + n + 1)Γ(α + β + n + 1) , 2α+β+1 (n − 1)!Γ(β + 1)Γ(β + 2)Γ(α + n) (−1)n−1 Γ(α + β + n + 1) . 2α+β+1 (n − 1)!Γ(β + 1)Γ(α + 1)

KerJ,α,β (−1, 1) = n−1

Utilizando la relaciŽn de simetrŽ (6.29) para los polinomios de Jacobi prueba que o A±a
J,β,α KerJ,α,β (1, 1) = Kern−1 (−1, −1). n−1


7 EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD PARA LAS EDOS

69

7.

El teorema de existencia y unicidad para las EDOs

Vamos a resolver uno de los problemas pendientes mŽs importantes: la existencia y unia cidad de soluciones para una EDO de primer orden. Sea el problema de valores iniciales y = f (x, y), y(x0 ) = y0 . (7.1)

En el apartado 2.7.1 de aproximaciones nŽmericas vimos algunos ejemplos donde la soluciŽn u o o bien no era unica o bien no correspondŽ con la soluciŽn exacta. Vamos a dar aquŽ algunas Ž A±a o A±condiciones bajo las cuales podemos garantizar que el PVI (7.1) tiene soluciŽn unica. o Ž Lo primero que asumiremos es que la funciŽn f (x, y) es continua en el rectŽngulo R o a definido por a, b > 0. (7.2) R = , ProposiciŽn 7.1 El PVI (7.1) es equivalente a la siguiente ecuaciŽn integral o o
x

y(x) = y0 +
x0

f (ξ, y(ξ))dξ.

(7.3)

DefiniciŽn 7.2 Diremos que una funciŽn f (x, y) es de la clase de Lipschitz o lipschitziana o o (en la variable y) en R si existe cierta constante positiva K > 0 tal que para todos (x, y) R y (x, z) R se cumple Es fŽcil comprobar que toda funciŽn f (x, y) de la clase de Lipschitz segŽn la definiciŽn a o u o anterior es continua en y. AdemŽs, una condiciŽn suficiente para que una funciŽn f (x, y) sea a o o de la clase de Lipschitz es que su derivada parcial ∂f sea continua en R. ∂y o o DefiniciŽn 7.3 Dada una funciŽn u(x) definida en un intervalo cerrado y acotado I R, definiremos la norma de u(x) a la cantidad u = sup |u(x)|.
x I

|f (x, y) − f (x, z)| ≤ K|y − z|.

(7.4)

Para la norma tenemos la desigualdad evidente u ≥ 0, y u = 0 si y sŽlo si u(x) = 0 en o I. AdemŽs, se tiene la desigualdad triangular a u+v ≤ u + v .Obviamente si u(x) es continua u < +∞. ProposiciŽn 7.4 (Teorema de unicidad local de soluciones) o Sea f (x, y) una funciŽn de la clase de Lipschitz con constante K y sea d (0, 1/K). Si y 1 (x) o e y2 (x) son dos soluciones del PVI (7.1) definidas en Id = tales que y1 (x0) = y2 (x0) = y0 , entonces y1 (x) = y2(x) en todo Id . Sea M = mŽx |f (x, y)|. a (x,y) R Como f es continua en R, M siempre estŽ definida. a Sea y0 (x) una funciŽn continua definida en un entorno de x0 tal que la imagen de y0 (x) o estŽ contenida en R. Vamos a definir una sucesiŽn de funciones yn (x) de la siguiente forma e o
x

(7.5)

yn+1 (x) = y0 +
x0

f (ξ, yn (ξ))dξ,

n = 0, 1, 2, . . . .

(7.6)

o o La sucesiŽn anterior se conoce como sucesiŽn de Picard.


7 EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD PARA LAS EDOS

70

ProposiciŽn 7.5 Sea y0(x) una funciŽn continua definida en Id = tal que su imagen estŽ contenida en R. Entonces, para todo n ≥ 0, las imŽgenes e a de yn (x) estŽn contenidas en R. a ProposiciŽn 7.6 (Teorema de existencia local de soluciones) o Sea y0 (x) una funciŽn continua definida en Id = tal que su imagen estŽcontenida en R, i.e., |y0 (x) − y0 | ≤ b. Entonces, la sucesiŽn de Picard e o (7.6) converge cuando n tiende a infinito a una funciŽn y(x) que es soluciŽn del PVI (7.1) o o en Id . Corolario 7.7 (Teorema local de existencia y unicidad) Sea el PVI (7.1) con f lipschitziana de constante K en R (7.2), y M = mŽx(x,y) R |f (x, y)|. a Entonces, el PVI (7.1) tiene soluciŽn unica en el intervalo Id = , es decir existe una unica funciŽn y(x) tal que y (x) = f (x, y(x)) e Ž o y(x0 ) = y0 . Los teoremas anteriores son sŽlo condiciones suficientes. Por ejemplo si consideramos la o EDO lineal y = y sabemos que su soluciŽn existe y es unica en todo R (es la exponencial) o Ž sin embargo si escogemos x R cualquiera y tomamos b > 0 cualquiera tenemos f (x, y) = y, luego f es lipschitziana con constante K = 1, M = b, y el teorema anterior nos garantiza sŽlo la soluciŽn en el intervalo Id = . Como ultimo ejemplo veamos el caso de la EDO y = 1 + y 2 con y(0) = 0. En este caso Ž la soluciŽn es y = tan x definida sŽlo en [0, π/2). Como f (x, y) = 1 + y 2 , entonces o o |f (x, y) − f (x, z)| = y 2 − z 2 = |y + z||y − z|. Sea x R por ejemplo.Escojamos un valor cualquiera para y, digamos que |y| ≤ b > 0. Entonces K = 2b y M = 1 + b2 , por tanto d = mŽ A±n(a, b/M, 1/K) = mŽ A±n(a, b/(1 + b2 ), 1/b). 2 Ahora bien, mŽx b/(1 + b ) = 1/2 y se alcanza en b = 1, por lo que como mucho asegurar a que la soluciŽn existe en el intervalo |x| < 1/2. NŽtese que en este caso el teorema es util o o Ž pues para x > 1/2 no nos garantiza la existencia de la soluciŽn como ocurre en la prŽctica. o a El procedimiento anterior es fŽcilmente extensible a sistemas. Para ello basta definir una a norma en RN y el valor absoluto de un vector. Para este ultimo podemos usar la definiciŽn Ž o |Y (x)| = N |yk |. Si ahora usamos, por ejemplo, la norma k=1
N

Y

=
k=1

yk ,

entonces las demostraciones anteriores se adaptan perfectamente para el caso general. NŽtese o o que con esta elecciŽn se tiene que si |Y (x)| ≤ M entonces Y ≤ N M . Las correspondientes demostraciones se dejan como ejercicio.

7.1.

Problemas

Problema 7.8 Prueba las propiedades anteriores para la norma u . Problema 7.9 Sea la EDO y = x − y 2 con y(0) = 0. Encuentra el intervalo donde se puede garantizar la existencia y unicidad de la soluciŽn. Encuentra las tres primeras aproximacioo nes de lasoluciŽn. o


7 EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD PARA LAS EDOS

71

Problema 7.10 Prueba que la soluciŽn de cada uno de los siguientes PVI existe en el o intervalo indicado 1. y = y 2 + cos x2 , y(0) = 0, x [0, 1/2] 2. y = y 3 + e−5x , y(0) = 2/5, x [0, 3/10] 3. y = x + y 2 , y(0) = 0, x [0, 1/2] Problema 7.11 Encuentra las tres primeras iteraciones de la sucesiŽn de Picard para el o 2 x PVI y = y + e , y(0) = 0. Problema 7.12 Encuentra las cuatro primeras iteraciones de la sucesiŽn de Picard para el o PVI y = 1 + y 2 , y(0) = 0. CompŽralas con la soluciŽn exacta. a o


8 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

72

8.

La transformada de Laplace
 

DefiniciŽn 8.1 Sea f una funciŽn definida en [0, ∞). La transformada de Laplace [f ] o o o F(t) es la transformada integral F(t) = [f ](t) =
 

∞ 0

e−tx f (x)dx,

(8.1)

donde la integral se entiende en el sentido impropio, o sea
∞ 0 z

e

−tx

f (x)dx = lŽ A±m

z→∞

e−tx f (x)dx.
0

DefiniciŽn 8.2 Diremos que una funciŽn f es de orden exponencial si existen dos constantes o o no negativas c y M tales que |f (x)| ≤ M ecx para todo x ≥ 0. o Teorema 8.3 Si f es una funciŽn continua a trozos de orden exponencial entonces f tienetransformada de Laplace para todo t suficientemente grande. a En la siguiente tabla incluimos algunas de las transformadas de Laplace mŽs comunes incluida la de la funciŽn escalŽn χc (s) definida como 1 si x [0, c] y 0 en el resto. o o
 

f (x) c xn eax sen(ax) cos(ax) senh(ax) cosh(ax) x−1/2 χc (x)

F(t) = [f ](t) c t n! tn+1 1 , t>a t−a a t2 + a 2 t 2 + a2 t a , t>a t2 − a 2 t , t>a t2 − a 2 π , t>0 t e−ct , t>0 t

Tabla 5: Transformadas de Laplace de algunas funciones ProposiciŽn 8.4 Si F(t) = [f ](t) entonces o 1. [f ](t) = t [f ](t)−f (0) = tF(t)−f (0) y en general [f (n) ](t) = tn F(t)− 2. [eax f (x)](t) = F(t − a)
         

n−1 k (n−k−1) (0) k=0 t f


8 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 3. [xf (x)](t) = −F (t) y en general, 4. [χc (x)f (x − c)] = e−ct F(t).
     

73

[xnf (x)](t) = (−1)n F(n) (t).

5. Definiremos la convoluciŽn de dos funciones f y g como la funciŽn h(x) = (f g)(x) o o definida por
x

(f g)(x) =
     

0

f (x − z)g(z)dz.

(8.2)

Entonces, [(f g)(x)](t) = [f (x)](t) · [g(x)](t).

8.1.

Problemas

Problema 8.5 Calcula las transformadas de Laplace de las funciones de la tabla 8. Problema 8.6 Calcula las transformadas de Laplace de las funciones xcos(ωx) y x sen(ωx). Usando lo anterior encuentra la transformada de las funciones t2 , (t2 + ω 2 )2 (t2 1 + ω 2 )2

Problema 8.7 Usando los resultados del problema anterior encuentra, usando la transformada de Laplace la soluciŽn de la EDO o y + ω 2 y = f0 sen(ωx), y(0) = y (0) = 0.

Problema 8.8 Usa la transformada de Laplace para resolver las EDOs 1. y − 5y + 4y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0, 2. y − 4y + 4y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1, 3. y + y = xex , y(0) = y (0) = 0, 4. y + 2y + 5y = 3e−x sen x, y(0) = 0, y (0) = 1, 5. y + 2y + y = [1 − χπ/2 (x)] sen(2x), y(0) = 1, y (0) = 0, 6. y + 3y + 2y = χπ/2 (x)e3x, y(0) = 1, y (0) = 1. Resuelve los mismos problemas usando las tŽcnicas aprendidas en el capŽ e A±tulo 4. Problema 8.9 La EDO xy + y + xy = 0, se conoce como ecuaciŽn de Bessel de orden 0. o Prueba que si Y(t) es la transformada de Laplace de la soluciŽn de esta EDO con y(0) = 1, o prueba que entonces Y satisface la EDO (t2 + 1)Y (t) + tY(t) = 0. Prueba que la soluciŽn de la EDO anterior se puede expresar en serie como o Y(t) = c
∞ n=0

(−1)n (2n)! 1 . 22n(n!)2 t2n+1

A partir de lo anterior deduce la funciŽn y(x) soluciŽn de la EDO de Bessel. o o


8 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

74

Problema 8.10 Usarla transformada de Laplace para resolver los siguientes PVI de SEDO: Y = Y = Y = 1 −3 −2 2 Y + Y + Y, 1 1 ex , , Y (0) = 0 5 , 2 1 , 0 0 .

1 4 1 1

Y (0) =

Resuelve los mismos problemas usando las tŽcnicas aprendidas en el capŽ e A±tulo 3.

3 −2 2 −2

1 − χπ (x) 0

Y (0) =

Ž A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS

75

A.

Anexo: CŽlculo de primitivas a

DefiniciŽn A.1 Se dice que una funciŽn F (x) es una primitiva de otra funciŽn f (x) sobre un o o o intervalo (a, b) si para todo x de (a, b) se tiene que F (x) = f (x). Por ejemplo, la funciŽn F (x) = x2 es una primitiva de f (x) = 2x en todo R pues (x2 ) = 2x. o El siguiente teorema es una consecuencia trivial del teorema del valor medio de Lagrange. Teorema A.2 Sean F1 (x) y F2 (x) dos primitivas de la funciŽn f (x) en (a, b). Entonces, para todo o x de (a, b), F1 (x) − F2 (x) = const. Es decir dada una funciŽn f (x) sus primitivas difieren en una o constante (en adelante denotaremos por C a una constante cualquiera). DefiniciŽn A.3 El conjunto de todas las primitivas de una funciŽn f (x) definida en (a, b) se o o denomina integral indefinida de f (x) y se denota por primitiva de f (x), f (x) dx = F (x) + C Mediante una simple derivaciŽn essencillo comprobar el siguiente o Teorema A.4 (Propiedades de la integral indefinida.) 1. 2. 3. 4. d dx f (x) dx = f (x) (A.1) f (x) dx. De manera que, si F (x) es una

dF (x) = F (x) + C [f (x) ± g(x)] dx = [A · f (x)] dx = A f (x) dx ± f (x) dx g(x) dx

Teorema A.5 Tabla de Integrales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 0 dx = C 1 dx = x + C xα dx = xα+1 + C, α+1 R, α = −1

1 dx = log |x| + C x ax dx = ax + C, log a a > 0, a = 1

sen x dx = − cos x + C cos x dx = sen x + C 1 dx = tan x + C cos2 x

Ž A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS
1 dx = − cotan x + C sen2 x 1 √ dx = 1 − x2 1 dx = 1 + x2 arc sen x + C − arc cos x + C arctan x + C − arcctg x + C x2 ± 1 + C

76

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

1 √ dx = log x + 2±1 x

x+1 1 1 dx = log +C 1 − x2 2 x−1 sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C 1 dx = tanh x + C cosh2 x 1 dx = coth x + C sinh2 x

A.1.
A.1.1.

MŽtodos de integraciŽn. e o
IntegraciŽn por cambio de variable. o

Teorema A.6 Sea t = φ(x) una funciŽn derivable en x y sean X = (a, b) el dominio y T = φ[(a, b)] o la imagen de φ(x). Supongamos que sobre el conjunto T existe la primitiva de la funciŽn g(t), o o sea, g(t)dt = G(t) + C. Entonces sobre todo el conjunto (a, b) lafunciŽn g[φ(x)]φ (x) tiene una primitiva y ademŽs o a g[φ(x)]φ (x) dx = G[φ(x)] + C. DemostraciŽn: Basta notar que (G[φ(x)]) = G [φ(x)]φ (x) = g[φ(x)]φ (x). o Ejemplo A.7 a) Calcular cos(2x) dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la

tabla. Para ello hacemos: cos(2x) dx = b) Calcular la tabla: ecos x sen x dx = t = cos x dt = − sen dx =− ey dy = −ey + C = −ecos x + C y = 2x dy = 2 dx = cos(y) 1 1 dy = sen y + C = sen(2x) + C 2 2 2

ecos x sen x dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de

Ž A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS A.1.2. IntegraciŽn por partes. o

77

Supongamos que las funciones u(x) y v(x) son derivables en un intervalo (a, b) y existe la primitiva de la funciŽn v(x)u (x) en (a, b). Entonces, sobre (a, b) existe la primitiva de u(x)v (x) y o se cumple que u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − o en forma diferencial u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x). (A.3) v(x)u (x) dx, (A.2)

DemostraciŽn: Para probarlo es suficiente notar que [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x) y la o propiedad 1 del teorema A.4. Ejemplo A.8 a) Calcular xn log x dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la
1 u(x) = log x, du(x) = x dx n+1dv(x) = xn dx, v(x) = x n+1

o tabla. Utilicemos la integraciŽn por partes: xn log x dx = xn+1 n+1 = xn+1 log x − n+1 xn dx = n+1

=

log x −

1 n+1

+C

b) Calcular I =

eax cos bx dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una u(x) = eax , du(x) = aeax dx dv(x) = cos bx dx, v(x) = 1 sen bx b eax sen bx a − b b

de la tabla. Utilicemos la integraciŽn por partes: o I= eax cos bx dx = = eax sen bx dx.

La integral

eax sen bx dx es de la misma forma que la original asŽ que volveremos a aplicar A± u(x) = eax , du(x) = aeax dx dv(x) = sen bx dx, u(x) = − 1 cos bx b I= eax cos bx a + b b

integraciŽn por partes: o eax sen bx dx = =− eax cos bx dx.

Juntando las dos fŽrmulas anteriores concluimos que o

eax sen bx a a2 + 2 eax cos bx − 2 I, b b b de donde, resolviendo la ecuaciŽn respecto a I obtenemos: o b sen bx + a cos bx ax e + C. I = eax cos bx dx = a2 + b 2 Algunas de las integrales que pueden ser calculadas utilizando la integraciŽn por partes son: o 1. Las integrales donde aparezcan las funciones log x, arc sen x, arc cos x, log φ(x), potencias enteras de las funciones anteriores, entre otras donde tendremos que escoger como funciŽn o u(x) a alguna de lasfunciones anteriores (ver ejemplo a). Las integrales (ax + b)n sen cx dx, (ax + b)n cos cx dx y (ax + b)n ecx dx. Donde para

2.

encontrar las primitivas hay que utilizar la fŽrmula de integraciŽn por partes n veces tomando o o cada vez u(x) = (ax + b)n , u(x) = (ax + b)n−1 , ., respectivamente. 3. Las integrales de la forma eax sen bx dx, eax cos bx dx, sen(log x) dx y cos(log x) dx.

Para encontrar las primitivas hay que denotar por I a cualquiera de las integrales anteriores, aplicar dos veces integraciŽn por partes y resolver la ecuaciŽn resultante respecto a I (ver o o ejemplo b).

Ž A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS

78

A.2.

IntegraciŽn de funciones racionales. o

Pn (x) es simple si el grado del poliQm (x) nomio Pn (x) es menor que el del polinomio Qm (x), o sea, si n < m. DefiniciŽn A.9 Diremos que una funciŽn racional f (x) = o o Si n > m entonces podemos dividir los polinomios Pn (x) y Qm (x) de tal forma que Pn (x) Rk (x) = pn−m (x) + , Qm (x) Qm (x) Teorema A.10 Supongamos que donde k < m.

Pn (x) es una fracciŽn simple, y que el polinomio denominador o Qm (x) se puede factorizar de la siguiente forma Qn (x) = (x − x1 )n1 · · · (x − xp )np (x2 + p1 x + q1 )m1 · · · (x2 + pk x+ qk )mk , (A.4)

donde x1 , , xp son las raŽces reales de Qm (x), y los factores x2 + pi x + qi , i = 1, .., k no tienen A± Pn (x) raŽces reales. Entonces, la fracciŽn simple A± o se puede descomponer en las siguientes fracciones Qm (x) elementales simples: Pn (x) = Qm (x) A n1 An1 −1 A1 + + ··· + + ···+ (x − x1 )n1 (x − x1 )n1 −1 (x − x1 ) + Bn p Bnp −1 B1 + + ··· + + ···+ np np −1 (x − xp ) (x − xp ) (x − xp )

(A.5)

M1 x + N 1 Mm x + N m1 + ··· + 2 + ···+ + 2 1 m1 (x + p1 x + q1 ) (x + p1 x + q1 ) + (x2 L1 x + K 1 L mk x + K mk , + ··· + 2 mk + pk x + q k ) (x + pk x + qk )

donde Ai , Bi , Mi , Ni , Li y Ki son ciertas constantes reales. Para determinar dichas constantes sumamos los tŽrminos de la derecha. NŽtese que el denominador e o comŽ n coincide con (A.4) y el numerador es un polinomio de grado a lo sumo n. Luego comparamos u el polinomio numerador que se obtiene al sumar las fracciones mŽs simples en (A.5) con P n (x). a Igualando los coeficientes de ambos obtendremos un sistema de n ecuaciones con n incŽgnitas o que podemos resolver para encontrar los coeficientes indeterminados A i , Bi , Mi , Ni , Li y Ki . No obstante es posible encontrar el coeficiente Ani de los sumandoscorrespondientes a uno de los ceros reales xi , o sea, el Ani de A ni Ani −1 A1 + + ··· + , ni ni −1 (x − xi ) (x − xi ) (x − xi ) utilizando la propiedad que
x→xi

lŽ A±m

Pn (x)(x − xi )ni = A ni . Qm (x)

(A.6)

Como consecuencia de lo anterior, si Qm (x) tiene m ceros reales y simples, o sea, si su factorizaciŽn o es de la forma Qn (x) = (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xm−1 )(x − xm ), (A.7) entonces, Pn (x) se puede descomponer en las fracciones elementales simples: Qm (x) Pn (x) A1 A2 Am−1 Am = + + ··· + + , Qm (x) (x − x1 ) (x − x2 ) (x − xm−1 ) (x − xm )

(A.8)

Ž A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS
donde A1 ,, Am se calculan por la fŽrmula o Ak = lŽ A±m
x→xk

79

Pn (x)(x − xk ) , Qm (x)

k = 1, 2, , m.
7

(A.9)

Teorema A.11 (Primitivas de las fracciones simples mŽs elementales) a 1) 2) A dx = A log |x − a| + C; x−a B 1 B dx = + C, k (x − a) 1 − k (x − a)k−1 k > 1;

(A.10)

3)

M 2N − M p Mx + N 2x + p dx = log |x2 + px + q| + arctan + C. 2 x2 + px + q 2 4q − p 4q − p2 x dx. Primero encontraremos las fracciones simples mas elementales: − 3x + 2 x2 x x A B = = + . − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) x−1 x−2 x(x − 2) = 2. (x − 1)(x − 2)

Ejemplo A.12 a) Calcular x2

Luego, utilizando(A.9) obtenemos A = lŽ A±m x(x − 1) = −1, (x − 1)(x − 2) −1 2 + x−1 x−2 B = lŽ A±m

x→1

x→2

Finalmente, utilizando (A.10) obtenemos x dx = x2 − 3x + 2 a) Calcular dx = − log |x − 1| + 2 log |x − 2| + C.

x dx. Primero encontraremos las fracciones simples mas elementales: (x − 1)2 (x2 + 1) x (x − 1)2 (x2 + 1) = = A B Cx + D + + 2 (x − 1)2 x − 1 x +1

A(x2 + 1) + B(x2 + 1)(x − 1) + (Cx + D)(x − 1)2 . (x − 1)2 (x2 + 1)

Para encontrar los coeficientes A, B, C, D igualamos los polinomios de los numeradores: x = A(x2 + 1) + B(x2 + 1)(x − 1) + (Cx + D)(x − 1)2 . Dos polinomios de grado 3 son iguales si los coeficientes de las potencias x 3 , x2 , x y x0 son iguales, por lo que igualando dichos coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones: x3 x2 x1 x0 : B+C =0 : A − B − 2C + D = 0 : B + C − 2D = 1 : A−B +D = 0
1 A= 2 B=0 C=0 D = −1 2

cuya soluciŽn es o

TambiŽn es posible utilizar otra propiedad de los polinomios: dos polinomios de grado n que toman e n − 1 valores iguales en n + 1 puntos dados son idŽnticamente iguales, es decir, si P n (xk ) = Qn (xk ) e para ciertos x1 , , xn+1 (distintos entre si), entonces Pn (x) ≡ Qn (x) para todo x R. En nuestro
7

Se supone que x2 + px + q no tieneraŽ reales. A±ces

Ž A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS

80

ejemplo es conveniente tomar como los xk los ceros de los polinomios denominadores y luego el resto de los valores tomarlos los mŽs sencillos posibles: a
1 x=1: A= 2 x = −1 : 2A − 4B − 4C + 4D = −1 x=2: 5A + 5B + 2C + D = 2 x=0: A−B +D = 0

cuya soluciŽn es o

A= 1 2 B=0 C=0 1 D = −2

que coincide con la encontrada por el mŽtodo anterior. Luego, e x 1 dx = (x − 1)2 (x2 + 1) 2 1 1 1 1 dx = − − − arctan x + C. (x − 1)2 x2 + 1 2(x − 1) 2

A.3.

Integrales trigonomŽtricas. e
f (sen x, cos x) dx las cuales se

En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma   t = tan x  2   sen x =     

convierten en integrales racionales mediante la sustituciŽn trigonomŽtrica t = tan x , o e 2 2dt 1 + t2 1 − t2 cos x = 1 + t2 dx = 2t 1 − t2 , 1 + t2 1 + t2 2 dt, 1 + t2

f (sen x, cos x) dx =

2t 1 + t2

=

f

que es un integral de una funciŽn racional. o

Ejemplo A.13 Calcular la integral dx = sen x dx . sen x
2dt dx = 1+t2 2 cos x = 1−t2 1+t

t = tan x 2 2t sen x = 1+t2

=

x dt = log |t| + C = log tan + C. t 2

Existen varios tipos de integrales trigonomŽtricas que se pueden racionalizar con cambios mŽs ea sencillos. Ellas son las siguientes: 1. 2. 3. f (sen x, cos x) dx, donde f (− sen x, cos x) = −f (sen x, cos x), cambio t = cos x f (sen x, cos x) dx, donde f (sen x, − cos x) = −f (sen x, cos x), cambio t = sen x f (sen x, cos x) dx, donde f (− sen x, − cos x) = f (sen x, cos x), cambio t = tan x

Ejemplo A.14 a) Calcular la integral dx = sen x dx . Esta integral es del tipo 1. Luego, sen x =− 1 x 1+t dt = − log +C = log tan +C. 2 1−t 2 1−t 2
x 2

dt t = cos x dx = − √1−t2 √ sen x = 1 − t2 cos x = t

que coincide con el resultado obtenido al utilizar la sustituciŽn t = tan o

Ž A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS

81

b) Calcular la integral

cos3 x dx. Esta integral es del tipo 2. Luego, sen3 x 1 +C. 1 − t2 dt = t− t3 +C = sen x− 3 3

cos3 x dx =

dt t = sen x dx = √1−t2 √ cos x = 1 − t2 sen x = t

=

c) Calcular la integral

tan3 x dx. Esta integral es del tipo 3. Luego, t = tan x 1 cos x = √1+t2
dt dx = 1+t2 t sen x = √1+t2

tan3 x dx =

=

t3 dt = 1 + t2

t−

t dt = 1 + t2

=

t2 1 tan2 x 1 tan2 x − log(1 + t2 ) + C = − log(1 + tan2 x) + C = + log | cos x| + C. 2 2 2 2 2

A.4.
y f x,

Integrales irracionales.
n

En este apartado vamos a estudiar lasintegrales de la forma
ax+b cx+d

dx.

√ f (x, x2 ± a2 ) dx,

√ f (x, a2 − x2 ) dx

A.4.1.

Las integrales

√ f (x, x2 ± a2) dx y

√ f (x, a2 − x2) dx.

Estas integrales irracionales se convierten en integrales trigonomŽtricas mediante los cambios: e 1. 2. 3. f (x, f (x, f (x, a2 − x2 ) dx, cambio x = a sen t x2 − a2 ) dx, cambio x = a sen t

x2 + a2 ) dx, cambio x = a tan t

Ejemplo A.15 a) Calcular la integral a2 − x2 dx. Esta integral es del tipo 1. Luego, x = a sen t dx = a cos tdt = a2
2x a2

a2 − x2 dx =

cos2 tdt =

a2 a2 t+ sen 2t + C, 2 4

√ pero, sen 2t = 2sent cos t = 2 sen t 1 − sen2 t = a2 − x2 dx = b) Calcular la integral   x=

√ a2 − x2 , por tanto a2 − x2 + C.

a2 x x arc sen + 2 a 2

x2 − a2 dx. Esta integral es del tipo 2. Luego, cos2 t dt = sen3 t y = cos t sen t = 1− y2 dt = − √ dy cos t = y + C,
1−y 2

= a2

 a  sen t = −a2 x2 − a2 dx =  dx = − a cos t dt  sen2 t a2 y2 dt = (1−y 2 )2 4

y−1 1 1 1 a2 1 2y − + − +log dt = 2 2 2 (1−y) (1−y) (1+y) (1+y) 4 1−y y+1

Ž A ANEXO: CALCULO DE PRIMITIVAS
pero, y = cos t = x2 − a2 dx √ 1 − sen2 t = x2 − a2 −
√ x2 −a2 , x

82

por tanto x 2 − a2 − a2 log x + 2 x2 − a2 +C.

x = 2

√ x − x 2 − a2x a2 √ log +C = 2 − a2 4 2 x+ x

c) Calcular la integral

x2 + a2 dx. Esta integral es del tipo 3. Luego, x = a tan t dt dx = cos2 t 1 dt = cos3 t y = sen t cos t = dt = √ dy 1 − y 2 sen t = y + C,

x2

+ a2 dx

=

=a

2

1−y 2

= a2

a2 1 dt = (1 − y 2 )2 4
√ tan t 1+tan2 t

y+1 2y a2 1 1 1 1 dt = + + + + log 2 2 2 (1−y) (1−y) (1+y) (1+y) 4 1−y y−1 =
√ x , x2 +a2

pero, y = sen t =

por tanto x 2 + a2 + a2 log x + 2 x2 + a2 +C.

x x2 + a2 dx = 2

√ a2 x x + x 2 + a2 √ x2 + a2 + log +C = 2 + a2 4 2 x− x

A.4.2.

Las integrales

f

x,

n

ax + b cx + d

dx.

Las integrales del tipo f se racionalizan mediante el cambio t = Ejemplo A.16 Calcular la integral √ dx √ . Esta integral se racionaliza con el cambio t = 3 x + 1. Luego, 3 1+ x+1 √ dx 3 dt t2 d t t= 3x+1 √ = 3 (t−1)dt+3 = t(t−2)+3 log(1+t)+C, =3 = 2 dt 3 dx = 3t 1+t t+1 2 1+ x+1 √ de donde, deshaciendo el cambio t = 3 x + 1, obtenemos √ √ 3√ 3 x + 1( 3 x + 1 − 2) + 3 log(1 + 3 x + 1) + C. 2 El cŽlculo de primitivas es necesario para calcular integrales definidas de funciones continuas. a Teorema A.17 Teorema fundamental del cŽlculo y FŽrmula de Newton-Leibniz. Sea f : [a, b] → R a o continua en [a, b].Entonces f tiene primitiva en [a, b] y una de ellas es la funciŽn o
x
n

x,

n

ax + b cx + d

dx,

ax+b cx+d .

F (x) =
c

f (t) dt,

c (a, b).

(A.11)

AdemŽs, f (x) es integrable en [a, b] y a
b b

f (x) dx = Φ(x)
a a

= Φ(b) − Φ(a),

(A.12)

siendo Φ(x) una primitiva cualquiera de f (x).

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

83

B.
B.1.

Ž Anexo: Algebra lineal
Sistemas lineales y matrices.

Diremos que un sistema de n ecuaciones y m incŽgnitas es un sistema lineal si dicho sistema o tiene la forma:   a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1m xm = b1    a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2m xm = b2 (B.1) . .  .    an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · + anm xm = bn Una matriz de dimensiones n×m no es mŽs que una “caja rectangular” con n filas y m columnas. a El sistema de ecuaciones (B.1) estŽ completamente caracterizado por su matriz asociada que no a es mŽs que la matriz en cuya fila i (i = 1, 2, , n) estŽn colocados los coeficientes a ij (j = 1, 2, , m) a a y el tŽrmino independiente bi correspondientes a la i-Žsima ecuaciŽn del sistema (B.1). De esta forma e e o la matriz asociada al sistema (B.1) tendrŽ la forma a   a11 a12 a13 · · · a1m b1  a21 a22 a23 · ·· a2m b2    , (B.2)  . . . . . .. . .  . .  . . .  . . . . an1 an2 an3 · · · anm bn la matriz a13 · · · a1m a23 · · · a2m . . .. . . . . . an3 · · · anm 

se le denomina matriz de coeficientes del sistema.

y se denomina matriz ampliada del sistema. A  a11 a12  a21 a22   . . . .  . . an1 an2

  , 

(B.3)

Un sistema lineal de la forma (B.1) es compatible si existen los valores de x 1 , x2 , , xm tales que se cumplan todas y cada una de las ecuaciones del sistema (B.1). Si existen dichos valores diremos que el sistema tiene soluciŽn. Si un sistema lineal de la forma (B.1) no tiene soluciŽn decimos que es o o un sistema incompatible. Un sistema compatible que tiene una unica soluciŽn se llama determinado Ž o y si tiene infinitas soluciones indeterminado. Dos sistemas de ecuaciones se denominan equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Un sistema de ecuaciones lineales se puede transformar en otro sistema equivalente mediante las siguientes operaciones elementales: 1. 2. 3. Intercambiar dos ecuaciones. Multiplicar por una constante no nula una ecuaciŽn cualquiera. o Reemplazar una ecuaciŽn por la suma de Žsta mas un mŽ ltiplo de cualquier otra ecuaciŽn. o e u oDada la equivalencia de los sistemas lineales con sus matrices asociadas (las matrices ampliadas) las operaciones anteriores tienen su anŽlogo al operar con las matrices. De forma que a cada una a le corresponden las siguientes operaciones por filas 1. 2. Intercambiar dos filas. Multiplicar por una constante no nula una fila cualquiera.

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
3.

84

Reemplazar una fila por la suma de Žsta mas un mŽ ltiplo de cualquier otra fila. e u

Las operaciones anteriores se denominan operaciones elementales de filas. Diremos que dos matrices son equivalentes por filas si a cualquiera de ellas la podemos transformar en la otra utilizando sŽlo operaciones elementales de filas. Es importante recordar que las o operaciones elementales de filas son reversibles y por tanto las operaciones elementales descritas no cambian la soluciŽn del sistema original de ecuaciones. o

B.2.

Formas escalonadas y el algoritmo de reducciŽn por filas. o

En adelante diremos que una fila es una fila no nula si tiene al menos un elemento diferente de cero. Definiremos elemento guŽ de una fila al primer elemento (por la izquierda) no nulo de la fila. A±a Diremos que una matriz estŽ en forma escalonada si: a 1. 2. 3. Todas lasfilas no nulas estŽn por encima de las nulas. a El elemento guŽa de cada fila se encuentra siempre en una columna a la derecha del elemento A± guŽ de la fila anterior. A±a Debajo de cada elemento guŽ sŽlo puede haber ceros. A±a o tŽ A±picamente la forma:    0 0 0 0 0 0

denota a los elementos guŽ de cada fila. Si exigimos ahora que los elementos guŽ A±as A±as donde sean todos iguales a 1, y que ademŽs sean los unicos elementos diferentes de cero de la columna a Ž entonces diremos que la matriz escalonada estŽ en forma reducida. Utilizando las formas escalonadas a anteriores (B.4) tenemos que sus correspondientes formas reducidas son:     1 0 0 0 0 . (B.5)      0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Cualquier matriz puede ser transformada mediante transformaciones elementales de fila en una matriz con forma escalonada no teniendo siempre Žsta ultima una forma unica. Por el contrario las e Ž Ž formas escalonadas reducidas son unicas, es decir se cumple el siguiente teorema: Ž Teorema B.1 Cualquier matriz es equivalente por filas a una unica matriz conforma escalonada Ž reducida. Una consecuencia del teorema anterior es que los elementos guŽ estŽn siempre en la misma A±as a posiciŽn en cualquiera de las formas escalonadas obtenidas de una matriz dada mediante transo formaciones elementales de fila. Dichas posiciones se denominan pivotes y las columnas donde se

Las matrices escalonadas tienen 



  ,  

(B.4)

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

85

encuentran se denominan columnas pivotes. AsŽ por ejemplo A±, pivote ↓    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ↑ ↑ ↑ ↑ columnas pivote Algoritmo de reducciŽn por filas. o El algoritmo de reducciŽn por filas consta de dos fases (partes). La primera consiste en transo formar una matriz cualquiera en una equivalente por filas con forma escalonada. Esta fase se le denomina fase hacia abajo o subproceso hacia abajo. La segunda parte consiste en transformar la forma escalonada en la forma reducida. A la segunda parte se le denomina fase hacia arriba o subproceso hacia arriba. Para obtener la matriz en forma escalonada realizamos lo siguiente: Subproceso hacia abajo. Este proceso constade cuatro pasos: 1. 2. 3. 4. Se comienza por la primera columna de la izquierda (generalmente es una columna pivote) y se selecciona un elemento diferente de cero. Este serŽ el primer pivote. a Se coloca el elemento seleccionado en el extremo superior izquierdo intercambiando, si es preciso, las filas de la matriz hasta que dicho elemento se encuentre en la posiciŽn de pivote. o Utilizando las operaciones elementales de filas crear ceros debajo del pivote. Tapamos la fila (o filas si hay mŽs de una) con la posiciŽn pivote creada en los pasos antea o riores (1-3) y aplicamos los pasos 1-3 a la submatriz que nos queda (constituida por las filas restantes). Este paso se repite hasta que no queden mŽs filas no nulas. a

0



  .  

(B.6)

Para obtener la matriz en forma escalonada reducida a partir de la forma reducida obtenida mediante los pasos 1-4 debemos realizar lo siguiente: Subproceso hacia arriba. Este proceso consta del siguiente paso: 5. Comenzando por el primer pivote de la derecha creamos, mediante operaciones elementales de filas, ceros encima del mismo. Si el pivote no es uno dividimos por su valor para que lo sea. Continuamos el proceso hacia la izquierda hasta terminar con elprimer pivote de la izquierda.

B.3.

SoluciŽn de un sistema de ecuaciones lineales. o

La soluciŽn de un sistema de ecuaciones lineales la podemos encontrar a partir de la matriz o asociada al sistema. Para ello primero transformamos la matriz en una equivalente por filas que tenga forma escalonada o escalonada reducida. Las variables correspondientes a las columnas pivote se denominan variables principales o bŽsicas. El resto de las variables se denominan variables libres. a El significado de una variable libre es que dicha variable puede tomar cualquier valor. La soluciŽn o de un sistema viene dada al escribir el valor de las variables principales, las cuales pueden venir expresadas en funciŽn de las variables libres. o

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

86

Por ejemplo, consideremos la matriz del sistema (B.6). Dicha matriz representa un sistema de 5 ecuaciones con 6 incŽgnitas. Las variables principales serŽn x 1 , x2 , x5 , x6 y las libres x3 , x4 . De o a la forma de la matriz observamos que x5 , x6 estŽn completamente determinados por los tŽrminos a e independientes (recordar que la ultima columna estŽ compuesta por los tŽrminos independientes Ž a e de las ecuaciones) pero x1 , x2 dependen tantode los tŽrminos independiente como de las variables e libres x3 , x4 . Es decir fijando diferentes valores de x3 , x4 obtenemos diferentes valores de x1 , x2 . Por ejemplo, el sistema (x1 depende de la variable libre x3 )    1 0 −5 1  x1 = 1 + 5x3  0 1 0 4  tiene la soluciŽn o x2 = 4 (B.7)  x3 es libre 0 0 0 0 De todo lo anterior deducimos el siguiente teorema de existencia y unicidad: Teorema B.2 Un sistema de ecuaciones lineales en compatible si y sŽlo si la primera columna de o la derecha de la matriz ampliada del sistema no es una columna pivote, o sea, no existe ninguna fila de la forma (0 0 0 · · · 0 α) con α diferente de cero. Si el sistema es compatible entonces tiene soluciŽn unica (sistema compatible determinado) si no hay ninguna variable libre y tiene infinitas o Ž soluciones (sistema compatible indeterminado) si existe al menos una variable libre. Por ejemplo, los sistemas correspondientes a las dos matrices (B.4) son compatibles siendo el correspondiente a la primera matriz indeterminado (tiene dos variables libres) y el segundo determinado (no tiene variables libres). Por el contrario el sistema correspondiente a la matriz       0 0 0 0 (B.8) ,    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

es incompatible al ser la ultima columna una columna pivote, o lo que es igual, al tener la fila Ž (0 0 0 · · · 0 ) (recordar que denotaba al elemento guŽ que por definiciŽn es diferente de cero). A±a o

B.4.
B.4.1.

Vectores y ecuaciones matriciales.
Vectores de Rn
Un vector de Rn no es mŽs que un conjunto de n nŽ meros ordenados de la forma a u   x1  x2    x =  . , donde x1 , , xn son nŽ meros reales. u  .  . xn

es decir un vector es una matriz de componentes) del vector x. Diremos iguales, o sea  x1  x2  x=y  .  . .

n × 1. Los valores x1 , , xn se denominan coordenadas (o que dos vectores son iguales si todas sus componentes son   y1 y2 . . . yn     

xn

Llamaremos vector nulo 0 al vector cuyas componentes son todas iguales a cero.

    =  



x1 = y1 , , xn = yn .

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL B.4.2. Operaciones con vectores.

87

Dichas operaciones cumplen las propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. x+y = y+x (x + y) + z = x + (y + z) x+0 = 0+x = x

y definiremos la multiplicaciŽn de un vector x por un escalar (nŽ mero) α al vector w cuyas como u ponentes se obtienen al multiplicar las componentes de x porα, o sea,     w1 αx1  w2   αx2      w = αx =  .  =  . .  .   .  . . wn αxn

Sean x, y, z, w vectores de Rn y α, β nŽ meros reales. Definiremos la suma de dos vectores u x e y al vector z de Rn cuyas coordenadas son la suma de las coordenadas de x e y, o sea,         x1 + y1 y1 x1 z1  z2   x 2   y 2   x 2 + y 2          z = x+y = ,  .  =  . + .  =  . . .   .   .   .   . . . zn xn yn xn + yn

x + (−x) = (−x) + x = 0 donde (−x) denota al vector (−1) x α(x + y) = αx + αy (α + β)x = αx + βx α(βx) = (αβ)x 1x = x

Diremos que un vector x de Rm es combinaciŽn lineal de los vectores a1 , a2 , , an de Rm con o pesos α1 , , αn , nŽ meros reales, respectivamente si x se expresa de la forma u x = α 1 a1 + α 2 a2 + · · · + α n an . Definiremos espacio generado por los vectores a1 , a2 , , an de Rm y lo denotaremos como span (a1 , , an ) = L(a1 , , an ) al subespacio de Rm constituido por todos las combinaciones lineales de los vectores a1 , a2 , , an , es decir, al conjunto de todos los vectores de la forma L(a1 , , an ) = span (a1 , , an ) = α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an , quienes quiera sean α1 , , αn nŽ meros reales. uDefiniremos una ecuaciŽn vectorial a la ecuaciŽn de la forma o o x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = b, donde b es un vector dado de Rm y x1 , x2 , , xn son las incŽgnitas que se quieren encontrar. Es fŽcil o a comprobar que la ecuaciŽn vectorial anterior tiene la misma soluciŽn que el sistema de ecuaciones o o lineales cuya matriz ampliada tiene la forma [a1 a2 · · · an b]. AdemŽs b estŽ en span (a1 , , an ) si y sŽlo si el sistema [a1 a2 · · · an b] es compatible. a a o

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL B.4.3. La ecuaciŽn Ax = b. o

88

Sea A una matriz m × n con columnas a1 , a2 , , an (vectores de Rm ) y x un vector de Rn . Definiremos la multiplicaciŽn de una matriz A de m × n por un vector x de R n al vector z de Rm o definido por   x1  x2    z = Ax = [a1 a2 · · · an ]  .  = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an .  .  . xn Teorema B.3 Sea A una matriz m×n con columnas a1 , a2 , , an y b un vector de Rm . La ecuaciŽn o matricial Ax = b

tiene la misma soluciŽn que la ecuaciŽn vectorial o o x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = b, la cual a su vez tiene la misma soluciŽn que el sistema cuya matriz ampliada tiene la forma o [a1 a2 · · · an b].

Una consecuencia de este teorema es que la ecuaciŽn A x = b tienesoluciŽn si y sŽlo si b es una o o o combinaciŽn lineal de las columnas de A. o Teorema B.4 Sea A una matriz m×n con columnas a1 , a2 , , an . Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes: 1) Para todo b vector de Rm , la ecuaciŽn A x = b tiene soluciŽn. o o 2) Las columnas de A generan Rm , o sea, Rm = Span(a1, a2 , , an ). 3) A tiene una posiciŽn pivote en cada fila. o Regla para el cŽlculo de Ax. Para calcular la i−Žsima componente del vector Ax (si Žste a e e estŽ definido) tenemos que sumar los productos de la i−Žsima fila de A por las coordenadas de x, a e o sea,      a11 a12 a13 · · · a1n x1 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn  a21 a22 a23 · · · a2n   x2   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn        .  . . .  .  =  . .. . . . .  .   .  .  . . . . . . am1 am2 am3 · · · amn xn am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

Teorema B.5 Sea A una matriz m × n con columnas a1 , a2 , , an , x, y vectores de Rn y α un nŽmero real cualquiera. Las siguientes propiedades son vŽlidas: u a 1) A (x + y) = A x + A y, 2) A(α x) = α (A x)

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL B.4.4.

89

Conjunto soluciŽn de los sistemas lineales. o

Todo sistema lineal de m ecuaciones con n incŽgnitas se puedeescribir en forma matricial o A x = b donde la matriz de coeficientes A es una matriz m × n, x es un vector de R n y b es un vector de Rm .

1.

El sistema lineal A x = 0 se denomina sistema homogŽneo. Dicho sistema siempre tiene la e soluciŽn trivial x = 0. AdemŽs se cumple que el sistema homogŽneo tiene soluciones no trio a e viales si y sŽlo si el sistema tiene al menos una variable libre, o sea la matriz A tiene al menos o una columna que no es pivote. o e El conjunto soluciŽn de un sistema homogŽneo se escribe como el conjunto de todas las combinaciones lineales de ciertos vectores s1 , s2 , , sp cuyo nŽ mero coincide con el de las u variables libres del sistema. Para obtener los vectores s1 , s2 , , sp se puede hacer lo siguiente: 1) Escribir el vector soluciŽn x expresando las variables principales en funciŽn de las libres. o o 2) El vector s1 se obtiene del vector x anterior al sustituir la primera variable libre por 1 y las demŽs por cero. El segundo vector s2 se obtiene del vector x anterior al sustituir la segunda a variable libre por 1 y las demŽs por cero. Y asŽ sucesivamente. a A± Por ejemplo si la soluciŽn x de A x = 0 viene dada por (dos variables libres x 2 , x3 ) o  3   3    1  1 x1 x − 2 x3 −2 2 2 2   , entonces  x2  = x2  1  +x3  0  x2 x3 x3 0 1
s1 s2

2.

El sistema lineal A x = b con b = 0 se denomina sistema no homogŽneo. e Teorema B.6 Supongamos que A x = b tiene soluciŽn para cierto b de R m . Sea p una o soluciŽn de A x = b (soluciŽn particular). Entonces el conjunto soluciŽn del sistema no o o o m homogŽneo A x = b es el conjunto de todos los vectores de R de la forma e x = p + xh , donde xh es la soluciŽn general del sistema homogŽneo correspondiente A x h = 0. o e (B.9)

B.4.5.

Dependencia e independencia lineal.

Un conjunto de vectores a1 , a2 , , an de Rn se denomina linealmente independiente si la ecuaciŽn vectorial o x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = 0, tiene como unica soluciŽn la trivial x1 = · · · = xn = 0. Ž o Un conjunto de vectores a1 , a2 , , an se denomina linealmente dependiente si existen los valores x1 , x2 , · · · , xn no todos iguales a cero tales que se verifique la ecuaciŽn vectorial o x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = 0. Teorema B.7 Un conjunto S = de dos o mŽs vectores es linealmente dependiente a si y sŽlo si al menos uno de los vectores del conjunto es combinaciŽn lineal de los demŽs. o o a Comoconsecuencia del teorema anterior se deduce que: 1) Dos vectores a1 y a2 son linealmente dependientes si y sŽlo si son proporcionales, es decir, si o existe un nŽ mero real α tal que a1 = αa2 o a2 = αa1 . u

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

90

2) Si a1 , a2 , , an son vectores linealmente dependientes y a1 = 0 entonces para cierto j > 1 el vector aj es combinaciŽn lineal de los anteriores, es decir, o aj = x1 a1 + x2 + a2 + · · · + xj−1 aj−1 . NOTA: Esto no implica que si tenemos un conjunto de vectores linealmente dependientes a 1 , a2 , , an necesariamente cada vector es combinaciŽn de los anteriores. o Teorema B.8 Un conjunto S = de dos o mŽs vectores de Rm con n > m es a necesariamente un conjunto linealmente dependiente. Teorema B.9 Un conjunto S = de dos o mŽs vectores de Rm con alguno de los a vectores ai = 0 (1 ≤ i ≤ n) es necesariamente un conjunto de vectores linealmente dependientes, o sea si alguno de los vectores de S es el vector nulo entonces S es un conjunto de vectores linealmente dependientes.

B.5.

Ž Algebra de matrices.

Vamos a estudiar las operaciones elementales de las matrices. El elemento a ij de una matriz A es el que seencuentra situado en la intercepciŽn de la fila i con la columna j: o columna j ↓ · · · a1j · · · a1n · · · a2j · · · a2n . . . .. . . . . . . . · · · aij · · · ain . . . .. . . . . . . . · · · amj · · · amn

     fila i →  ai1 ai2   . . .  . . . am1 am2



a11 a21 . . .

a12 a22 . . .



    .    

(B.10)

B.5.1.

Suma de matrices y multiplicaciŽn por un escalar. o

o en tŽrminos de los elementos matriciales: C ≡ ||cij || = ||aij +bij ||. Sea α un nŽ mero real cualquiera e u y A = [a1 a2 · · · an ] una matriz de m × n. Definiremos el producto de una matriz por un escalar a la matriz cuyas columnas coinciden con las de A multiplicadas por α, es decir: αA = α[a1 a2 · · · an ] = [αa1 αa2 · · · αan ], o bien α A ≡ α||aij || = ||α aij ||. Teorema B.10 Sean A, B y C matrices de m × n y α, β nŽmeros reales. Entonces: u 1. 2. 3. 4. 5. 6. A + B = B + A. (A + B) + C = A + (B + C). A + 0 = 0 + A = A, donde 0 ≡ ||0|| es la matriz nula. α(A + B) = αA + αB. (α + β)A = α A + β A. α(β A) = (α β) A.

Sean A = [a1 a2 · · · an ] y B = [b1 b2 · · · bn ] matrices de dimensiones m×n, donde a1 , a2 , , an y b1 , b2 , , bn son vectores de Rm . Definiremos la suma de dos matrices A y B a lamatriz C cuyos vectores columnas coinciden con la suma de los correspondientes vectores columnas de A y B, es decir: C = A + B = [a1 a2 · · · an ] + [b1 b2 · · · bn ] = [a1 + b1 a2 + b2 · · · an + bn ],

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL B.5.2. MultiplicaciŽn de matrices. o

91

Sea A = [a1 a2 · · · an ] matriz de m × n y B = [b1 b2 · · · bp ] de n × p. Se define la matriz producto C = A · B a la matriz de m × p definida por: A · B = A[b1 b2 · · · bp ] = [Ab1 Ab2 · · · Abp ], o elemento a elemento: ||(A · B)ij || =
n n

(B.11)

aik bkj .
k=1

NŽtese que cada columna de A · B es una combinaciŽn lineal de las columnas de A: o o
n n

A · B = [Ab1 Ab2 · · · Abp ] = [

bk1 ak
k=1 k=1

bk2 ak · · ·

bkp ak ].
k=1

Una interpretaciŽn de la multiplicaciŽn de matrices se puede dar a partir de la composiciŽn de las o o o n m aplicaciones lineales: Sea T : R −→ R una aplicaciŽn lineal con matriz A de m×n y S : Rp −→ Rn o una aplicaciŽn lineal con matriz B de n × p, entonces a la aplicaciŽn Q : R p −→ Rm definida por o o Q(x) = T (S(x)) (composiciŽn de T y S) le corresponde la matriz A · B de m × p. o Teorema B.11 Sean A de m × n, B y C matrices de dimensiones apropiadas para que estŽn e definidas lasoperaciones y α, β nŽmeros reales. Entonces: u 1. 2. 3. 4. 5. 6. (A · B) · C = A · (B · C). A · 0 = 0 · A = 0, donde 0 ≡ ||0|| es la matriz nula. A · (B + C) = A · B + A · C. (B + C) · A = B · A + C · A. α(A · B) = (α · A) · B. Im · A = A · In = A, donde Ik es la matriz identidad de k × k.

Es importante recordar que la multiplicaciŽn de matrices no es conmutativa, es decir para cualo quiera sean las matrices A y B tenemos que A · B = B · A . Si A es una matriz cuadrada n × n y k es un nŽ mero entero no negativo (k = 0, 1, 2, ), u definiremos la potencia k− Žsima de A por la fŽrmula e o Ak = A · A · · · A ·In , k veces donde A0 ≡ In .

B.5.3.

TransposiciŽn de matrices. o

Dada una matriz A de m × n, la matriz transpuesta de A, que denotaremos por A T , es la matriz de n × m cuyas filas coinciden con las columnas de A. Si A = ||a ij ||, entonces AT = ||aji ||. Teorema B.12 Sean A de m×n, B una matriz de dimensiones apropiadas para que estŽn definidas e las operaciones y α un nŽmero real. Entonces: u 1. 2. 3. 4. (AT )T = A. (A + B)T = AT + B T . (α A)T = α AT . (A · B)T = B T · AT . (A1 · A2 · · · An )T = AT · AT · · · AT . 1 n−1 n

Como consecuencia de este teorema tenemos que

Ž B ANEXO: ALGEBRALINEAL B.5.4. La inversa de una matriz cuadrada.

92

Sea A una matriz de n × n. Si existe una matriz C tal que A · C = In , C · A = In ,

entonces a C se le denomina matriz inversa de A y se le denota A −1 . Las matrices A para las cuales existe la inversa A−1 se denominan invertibles. Si A es invertible entonces A−1 es unica. Ž Teorema B.13 Sea A una matriz cuadrada de 2 × 2 invertible A= a b c d , entonces A−1 = 1 ad − bc d −b −c a .

El nŽ mero ad − bc se llama determinante de la matriz A de 2 × 2 y se le denota por det A. NŽtese u o que una matriz A de 2 × 2 tiene inversa si y sŽlo si det A = 0. o Teorema B.14 Sea A una matriz cuadrada de n × n invertible. Entonces el sistema A x = b es compatible determinado para cualquiera sea b vector de R n , y su soluciŽn se expresa por la fŽrmula o o −1 b. x=A Teorema B.15 Sean A y B matrices cuadradas de n × n invertibles. Entonces: 1. 2. 3. (A−1 )−1 = A. (A · B)−1 = B −1 · A−1 . AT es invertible y (AT )−1 = (A−1 )T .

Como consecuencia de este teorema tenemos que (A1 · A2 · · · An )−1 = A−1 · A−1 · · · A−1 . n n−1 1

B.5.5.

Matrices elementales.

Una matriz elemental de n × n es aquella que se obtiene al realizar una operaciŽn elemental o de filassobre la matriz identidad de n × n, es decir son las que se obtienen al intercambiar dos filas, al multiplicar por una constante no nula una fila cualquiera y al reemplazar una fila por la suma de Žsta mas una combinaciŽn lineal de cualquier otra. Por ejemplo, la matriz elemental e o correspondiente al intercambio de la 1 y 2 filas de una matriz de 3 × 3 serŽ a   0 1 0  1 0 0 , E1 = 0 0 1 la que corresponde a cambiar la 3 fila por la 3 mŽs α a  1 0  0 1 E2 = α 0 veces la primera serŽ a  0 0 , 1

y la que multiplica la 2 fila por el nŽ mero α serŽ u a   1 0 0 E3 =  0 α 0  . 0 0 1

Se puede comprobar que si multiplicamos la matriz E1 por una matriz cualquiera A de 3 × p la matriz E1 · A coincide con la matriz que se obtiene a partir de A al intercambiar la 1 y 2 filas.

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

93

AnŽlogamente, E2 · A coincide con la matriz que se obtiene de A al cambiar la 3 fila por la 3 mŽs α a a veces la 1 fila y E3 · A coincide con la matriz que se obtiene al multiplicar por α la 2 fila. Es decir al multiplicar una matriz elemental E de m × m por A de m × n se obtiene una nueva matriz E · A que coincide con la matriz que se se obtiene al realizar la operaciŽn elemental sobre A y dichamatriz o E se obtiene realizando sobre la matriz identidad Im de m × m la misma operaciŽn elemental que o se quiere realizar sobre A. Puesto que todas las operaciones elementales son invertibles ello implica que las matrices elementales son invertibles y la inversa de E se obtiene realizando sobre la matriz identidad Im la operaciŽn inversa. Por ejemplo, la inversa de E1 es E1 . La inversa de E2 es o   1 0 0 −1 E2 =  0 1 0  , −α 0 1 y la de E3 es  −1 E3 =  0  1 0 0 1 α 0 0 1  0 . 

Teorema B.16 Una matriz cuadrada A de n × n es invertible si y sŽlo si A es equivalente por o filas a la matriz identidad In de n × n en cuyo caso toda secuencia de operaciones elementales que reducen A a In , reducen In a A−1 . Ello implica que A Ek · Ek−1 · · · E1 · A = In . Luego A = (Ek · Ek−1 · · · E1 )−1 lo cual implica que A−1 = Ek · Ek−1 · · · E1 · In . Como consecuencia de este teorema se tiene el siguiente algoritmo para calcular A −1 : Dada la matriz A de n × n invertible: 1. 2. Construimos la matriz [A In ]. Reducimos por filas la matriz A a In , entonces [A In ] [In A−1 ].

NŽtese que encontrar la inversa de la matriz A equivale a encontrar una matriz B tal que o A · B = I, o sea, A[b1 · · · bn ] = [Ab1 · · · A bn ] = [e1 · · · en ] = In . Es decir es equivalente a resolver las n ecuaciones A b 1 = e1 , A b 2 = e2 , · · · A b n = en , donde e1 , , en son las columnas de la matriz identidad.

Teorema B.17 (Teorema de inversiŽn de matrices) Sea A una matriz cuadrada A de n × n. Las o siguientes expresiones son equivalentes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. A es invertible. A es equivalente por filas a la matriz identidad In de n × n. (A tiene n posiciones pivote) A es un producto de matrices elementales. La ecuaciŽn A x = 0 solo tiene la soluciŽn trivial. (Las columnas de A son linealmente o o independientes.) La ecuaciŽn A x = b tiene al menos una soluciŽn para cada b vector de R n , o sea, b es un o o elemento del subespacio generado por las columnas de A (la soluciŽn de A x = b es unica). o Ž Existe un C tal que A · C = I. Existe un D tal que D · A = I.

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
8. AT es invertible.

94

Una consecuencia de este teorema es que si A · B = I o B · A = I, entonces A y B son invertibles y A = B −1 , B = A−1 .

B.6.
B.6.1.

Determinantes.
DefiniciŽn de determinante de una matriz cuadrada. o
Sea A una matriz cuadrada columna j ↓ a1j−1 a1j a2j−1 a2j . . . . . .

Sea A una matriz n×n(n ≥ 2). El determinante det A de la matriz A es la suma de los tŽrminos e ±a1j det A1j donde a1j son los elementos de la primera fila de A y A1j son las correspondientes submatrices obtenidas eliminando la fila 1 y la columna j. MŽs exactamente: a det A = a11 det A11 − a12 det A12 + · · · + a1n (−1)n+1 det A1n , donde suponemos que det a = a si a es un nŽ mero real cualquiera. u o Utilizando la definiciŽn anterior obtenemos para una matriz 2 × 2 el resultado: det A = a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a21 a12 , (B.13)

Denotaremos por Aij a la submatriz que j, o sea  a11 a12  . . .  . .  .  ai−11 ai−12 Aij =   ai+11 ai+12   . . .  . . . an1 an2

      ai−11 ai−12  ai2 fila i →  ai1   a  i+11 ai+12  . . .  . . . an1 an2



a11 a21 . . .

a12 a22 . . .

··· ··· .. .

a1j+1 a2j+1 . . .

··· ··· .. .

a1n a2n . . .



· · · ai−1j−1 ai−1j · · · aij−1 aij · · · ai+1j−1 ai+1j . . .. . . . . . · · · anj−1 anj

ai−1j+1 · · · ai−1n aij+1 · · · ain ai+1j+1 · · · ai+1n . . .. . . . . . anj+1 · · · ann · · · a1n . .. . . . · · · ai−1n · · · ai+1n . . . . . . · · · ann 

se obtiene a partir de A si quitamos la fila i y la columna · · · a1j−1 a1j+1 . . .. . . . . . · · · ai−1j−1ai−1j+1 · · · ai+1j−1 ai+1j+1 . .. .. . . . . · · · anj−1 anj+1     .    

      .      

(B.12)

que coincide con el determinante definido en el capŽ A±tulo anterior (teorema B.13). Usualmente a la cantidad (−1)i+j det Aij se le conoce como cofactor (o menor) asociado al elemento aij . Utilizando esta notaciŽn tenemos que la definiciŽn anterior se puede reescribir de la o o forma: det A = a11 C11 + a12 C12 + · · · + a1n C1n , que se conoce como desarrollo del determinante de A por su primera fila.

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
Teorema B.18 Si A es de n × n entonces:

95

det A = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin . Las dos fŽrmulas anteriores se conocen como desarrollo del determinante de A por su i−Žsima fila o e y desarrollo del determinante de A por su j−Žsima columna, respectivamente. e Teorema B.19 Si A es una matriz triangular (inferior o superior) entonces det A es el producto de los elementos de la diagonal, o sea, det A = a11 · a22 · · · ann · det A = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj .

B.6.2.

Propiedades de los determinantes.

Los dos teoremas que enunciaremos a continuaciŽn son los mŽs importantes de este apartado o a y nos permitirŽn calcular los determinantesde matrices de orden alto (n ≥ 4) de manera eficiente. a Teorema B.20 Sea A una matriz n × n. Sea B una matriz que se obtiene de A al realizar sobre A alguna de las operaciones elementales de filas y sea E la matriz elemental que realiza dicha o operaciŽn. Por ejemplo, 1. 2. 3. Si E1 es la matriz que intercambia dos filas, la matriz B = E1 · A se obtiene al intercambiar dos filas de A. Si E2 es la matriz que multiplica por una constante r no nula una fila cualquiera, la matriz B = E2 · A se obtiene al multiplicar por r la correspondiente fila de A.

Si E3 es la matriz que reemplaza una fila por la suma de Žsta mas un mŽltiplo de cualquier e u otra fila, la matriz B = E3 · A se obtiene al reemplazar una fila de A por la suma de Žsta e mas un mŽltiplo de cualquier otra fila. u   −1 si E es del tipo E1 r si E es del tipo E2 AdemŽs, si a Entonces, det B = det(E · A) = α det A donde α =  1 si E es del tipo E3 A = I es la matriz identidad y por tanto det I = 1, entonces det E = α, es decir el determinante de cualquier matriz elemental vale o −1 o r o 1 en dependencia si dicha matriz es del tipo E 1 , E2 Ž Ž o E3 , respectivamente. Como consecuencia del teorema anterior tenemos que si una fila es mŽ ltiplo de un nŽ meror u u entonces tenemos: a11 . . . a12 . . . · · · a1n . .. . . . · · · r ain . .. . . . · · · ann a11 . . . =r ai1 . . . an1 a12 · · · a1n . . .. . . . . . ai2 · · · ain . . . .. . . . . . an2 · · · ann

r ai1 r ai2 . . . . . . an1 an2

En particular si una fila de A es nula, det A = 0 y si una fila de A es proporcional a otra det A = 0. Teorema B.21 Sea A una matriz n × n y sea AT su traspuesta, entonces det A = det AT . Este segundo teorema nos permite enunciar todos los apartados del teorema anterior cambiando la palabra filas por columnas. Es conocido de apartados anteriores que cualquier matriz A se puede, mediante transformaciones elementales, transformar en una matriz triangular superior U (forma escalonada). AdemŽs si resulta a que la matriz A tiene n filas pivote entonces el determinante de A serŽ proporcional al det U . Luego, a si tenemos n filas pivote todos los pivotes son distintos de cero y det A = 0. Pero si A tiene n filas pivote entonces A es invertible. Este razonamiento nos conduce al siguiente teorema.

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

96

Teorema B.22 Una A n × n es invertible si y sŽlo si det A es diferente de cero. o Teorema B.23 Sean A y B matrices n × n. Entonces det(A · B) = (detA) · (det B).

B.6.3.

Regla de Kramer.

Sea A una matriz n × n y b un vector cualquiera de R n . Denotaremos por Aj (b) a la matriz en la cual la j− Žsima columna de A estŽ reemplazada por el vector b, es decir si A y b son e a     b1 a11 · · · a1j−1 a1j a1j+1 · · · a1n  .   . .  . . . .. .. .  . . .  .   . . . .  . . .  .   . A =  ai1 · · · aij−1 aij aij+1 · · · ain  , b =  bi  ,      .   . . . . . . .. .. .  . . . .  .   . . . .  . . . bn an1 · · · anj−1 anj anj+1 · · · ann entonces Aj (b) es la matriz a11 · · · a1j−1 b1 a1j+1 · · · a1n  . . . . . .. .. . . . .  . . . . . . .  . Aj (b) =  ai1 · · · aij−1 bi aij+1 · · · ain   . . . . . .. .. . . . .  . . . . . . . . an1 · · · anj−1 bn anj+1 · · · ann Teorema B.24 Sea A  a11  .  .  .  ai1   .  . . an1 matriz n × n invertible. Entonces para todo  · · · a1j−1 a1j a1j+1 · · · a1n x1 . . . .  . .. .. . . . .  . . . . . . .  . · · · aij−1 aij aij+1 · · · ain   xi  .  . . . . .. .. .  . . . . . . . . . . . · · · anj−1 anj anj+1 · · · ann xn
A x





b de R n el sistema    b1   .    .    .   =  bi ,      .  .    . bn
b

   .   

es compatible y tieneuna unica soluciŽn que viene dada por Ž o x1 = det A1 (b) , det A x2 = det A2 (b) , det A ···, xn = det An (b) . det A

Es importante tener en cuenta que este mŽtodo es ineficiente para calcular la soluciŽn de sistemas e o de mŽs de 3 ecuaciones pues en el estŽn involucrados determinantes. Es recomendable resolver los a a sistemas por el mŽtodo de reducciŽn de filas descrito en la primera parte del curso (ver Algoritmo e o de reducciŽn por filas). o Finalmente, recordemos que “invertir” una matriz es equivalente a resolver n sistemas de ecuaciones de la forma: A b 1 = e1 , A b 2 = e2 , · · · A b n = en , donde e1 , , en son las columnas de la matriz identidad. Por tanto para calcular la j−Žsima columna e de A−1 tenemos que resolver el sistema A x = ej cuya soluciŽn es, segŽ n la regla de Kramer, o u det A1 (ej ) det An (ej ) x1 = , · · ·, xn = , pero det A det A det A1 (ej ) = (−1)1+j det Aj1 = Cj1 , · · · , det An (ej ) = (−1)n+j det Ajn = Cjn ,

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
luego la columna j de A−1 es

97
 

Todo esto nos conduce al teorema

1    det A 

Cj1 Cj2 . . . Cjn

  . 

donde Clm = (−1)l+m det Alm son los cofactores (menores) del elemento alm de la matriz A y Alm es lasubmatriz que se obtiene al eliminar la fila l y la columna m de A. La matriz ||C lm || se denomina matriz adjunta de A. Es importante notar que este mŽtodo es ineficiente para calcular inversas (recurre a la regla de e Kramer que es ineficiente es si misma) por lo que es recomendable para encontrar A −1 aplicar el algoritmo descrito en el teorema B.16 del capŽ A±tulo anterior. Para concluir esta parte dedicada a determinantes veamos una propiedad interesante que satisfacen los determinantes y que es consecuencia de los teoremas B.18 y B.20: Sea A = [a1 a2 · · · an ] una matriz de n × n con columnas a1 , , an . Definamos la aplicaciŽn o lineal: T (x) = det([a1 · · · x · · · an ]) = det Ak (x), x de Rn , k = 1, 2, , n. La aplicaciŽn anterior es lineal pues para todo α de R y x, y de R n : o T (α x) = det([a1 · · · α x · · · an ]) = α det([a1 · · · x · · · an ]) = α T (x), T (x + y) = det([a1 · · · x + y · · · an ]) = det([a1 · · · x · · · an ]) + det([a1 · · · y · · · an ]) = = T (x) + T (y). Esta propiedad se conoce como la multilinealidad del determinante

Teorema B.25 Sea A una matriz invertible n × n. Entonces  C11 C21 · · · Cj1 · · · Cn1  C12 C22 · · · Cj2 · · · Cn2   . . . . .. .. . . . . . . .. . 1  .  −1 A =  .. det A  C1i C2i · · · Cji . Cni   . . . . .. .. . . .  . . . . . . . C1n C2n · · · Cjn · · · Cnn



     ,    

B.7.

Espacios Vectoriales.

o o En esta secciŽn vamos a definir los espacios vectoriales que son la generalizaciŽn de los espacios Rn ya estudiados.

B.7.1.

DefiniciŽn y ejemplos. o

Sea V un conjunto de elementos sobre el cual estŽn definidas las operaciones suma “+” de a dos elementos x, y de V y multiplicaciŽn “·” de un escalar (nŽ mero real) α por un elemento de o u V . Diremos que V es un espacio vectorial si se cumplen las siguientes propiedades (axiomas): Sean x, y, z elementos arbitrarios de V y α, β nŽ meros reales. Entonces V es un espacio vectorial si u 1. Para todos x e y, vectores de V , el vector suma, w = x + y, tambiŽn es un vector de V y se e cumple que:

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
a) b) c) d) 2. x+y =y+x (x + y) + z = x + (y + z)

98

Existe un elemento “nulo” de V , tal que x + 0 = 0 + x = x Existe el elemento (−x) “opuesto” a x, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0 donde (−x) es vector opuesto de x

Para todo x vector de V , el vector que se obtiene al multiplicar por un escalar, w = α · x, tambiŽn es un vector de V y secumple que: e a) b) c) d) α · (x + y) = α · x + α · y α · (β · x) = (αβ) · x

(α + β) · x = α · x + β · x

1·x=x

Ejemplos. 1.) El conjunto de los vectores de Rn cuando la suma de dos vectores y la multiplicaciŽn por un o escalar es la definida en la secciŽn 2. o 2.) El conjunto de las matrices m × n cuando la suma de dos matrices y la multiplicaciŽn por un o escalar es la definida en la secciŽn 3. Dicho espacio lo denotaremos por R m×n o 3.) El conjunto de los polinomios de grado a lo sumo n, que denotaremos por P n , o sea, Pn = , u

donde definiremos la suma de dos polinomios y la multiplicaciŽn por un escalar de la siguiente o forma: p(t) = a0 + a1 t + · · · + an tn , q(x) = b0 + b1 t + · · · + bn tn , (p + q)(t) ≡ p(t) + q(t) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t + · · · + (an + bn )tn , (α · p)(t) ≡ α p(t) = (αa0 ) + (αa1 )t + · · · + (αan )tn . AdemŽs, pn = 0, si y sŽlo si a0 = a1 = · · · = an = 0. 4.) El conjunto de las funciones continuas en el a o intervalo [a, b], que denotaremos por C[a,b] , cuando la suma de dos funciones f y g y la multiplicaciŽn o por un escalar α estŽn dadas por a (f + g)(t) ≡ f (t) + g(t), (α · f )(t) ≡ α · f(t).

B.7.2.

Subespacios vectoriales.

Sea V un espacio vectorial. Diremos que un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si H es a su vez un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones suma “+” y multiplicaciŽn “·” que V . o Ejemplos. 1.) Dado un espacio vectorial V , son subespacios vectoriales “triviales” los subespacios H = (conjunto que tiene como unico elemento, el nulo) y H = V (el mismo espacio vectorial). Ž 2.) Para V = C[a,b] , H = Pn es un subespacio vectorial, para cualquier n = 0, 1, 2, entero. 3.) Para V = Pn , H = Pk es un subespacio vectorial para todo k < n. Teorema B.26 Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y sŽlo si o se cumplen las siguientes tres condiciones. 1. 2. El elemento nulo de V pertenece a H. Para todos x e y, vectores de H, el vector w = x + y tambiŽn es un vector de H. e

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
3.

99

Para todos x vector de H, el vector w = α · x tambiŽn es un vector de H. e

Teorema B.27 Dado un conjunto de vectores de un espacio vectorial V , el conjunto span (v1 , v2 , , vp ) es un subespacio vectorial de V . Dicho subespacio vectorial comŽnmente se u denominasubespacio generado por los vectores v1 , v2 , , vp .

B.7.3.

Conjuntos linealmente independientes. Bases.

Un conjunto de vectores v1 , v2 , , vp de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuaciŽn vectorial o x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0, tiene como unica soluciŽn la trivial x1 = · · · = xp = 0. Ž o Un conjunto de vectores v1 , v2 , , vp se denomina linealmente dependiente si existen los valores x1 , x2 , · · · , xp no todos iguales a cero tales que se verifique la ecuaciŽn vectorial o x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0. Para estudiar la dependencia lineal de los vectores de V podemos utilizar los mismos teoremas estudiados en la secciŽn 2 cambiando los espacios Rn por los correspondientes espacios vectoriales o V . Por tanto las siguientes afirmaciones son ciertas: 1. 2. Un conjunto S = de dos o mŽs vectores es linealmente dependiente si y sŽlo si a o al menos uno de los vectores del conjunto es combinaciŽn lineal de los demŽs. o a Un conjunto S = de dos o mŽs vectores de V con alguno de los vectores a vi = 0 (1 ≤ i ≤ p) es necesariamente un conjunto de vectores linealmente dependientes, o sea si alguno de los vectoresde S es el vector nulo entonces S es un conjunto de vectores linealmente dependientes. Dos vectores v1 y v2 de V son linealmente dependientes si y sŽlo si son proporcionales, es o decir, si existe un nŽmero real α tal que v1 = αv2 o v2 = αv1 u

3.

Teorema B.28 El conjunto de dos o mŽs vectores v1 , v2 , , vp de V con v1 = 0 es un conjunto a linealmente dependiente si y sŽlo si para cierto j, 1 < j < p, el vector v j es combinaciŽn lineal de o o los anteriores, es decir, vj = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xj−1 vj−1 . NOTA: Esto no implica que si tenemos un conjunto de vectores linealmente dependientes v 1 , v2 , , vp o necesariamente cada vector es combinaciŽn de los anteriores. Los vectores linealmente independientes de un espacio vectorial juegan un papel fundamental en el estudio de los sistemas lineales gracias a la siguiente definiciŽn o Dado un subespacio vectorial H del espacio vectorial V diremos que el conjunto de vectores B = de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = Span(b1 , b2 , , bp ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V . Por ejemplo, sitomamos una matriz n × n invertible, entonces sus columnas a 1 , , an son linealmente independientes y ademŽs R n = Span(a1, , an ). Por tanto B = a1 , , an es una base de a

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

100

Rn . En particular, si A = In , la matriz identidad n × n, las columnas e1 , e2 , , en de la misma son una base de Rn la cual se conoce como base canŽnica de R n . o Otro ejemplo lo constituye el conjunto de vectores S = del espacio vectorial Pn . Es fŽcil comprobar que dichos vectores son linealmente independientes y que span (1, t, t 2 , , tn ) = a Pn . S se conoce como la base canŽnica de Pn . o Teorema B.29 Sea S = un conjunto de vectores de un espacio vectorial V y sea H = Span(v1, v2 , , vp ) un subespacio de V . i) Supongamos que un vector de S, digamos el vj , 1 ≤ j ≤ p, es combinaciŽn lineal de los o restantes. Entonces si suprimimos a dicho vector vk del conjunto S, H no cambia, o sea, H = Span(v1, , vk−1 , vk , vk+1 , , vp ) = span (v1 , , vk−1 , vk+1 , , vp ). ii) Si H no es el espacio , entonces algŽn subconjunto de S es una base de H. u Este teorema nos dice que a partir de un conjunto de vectores quegeneran un espacio vectorial siempre es posible “extraer” una base de dicho espacio vectorial. Por ejemplo, consideremos el espacio generado por los vectores       2 1 1  0  , v2 =  1  , v3 =  1  , H = Span [v1 , v2 , v3 ] . v1 = 0 0 0

Es evidente que H = Span[v1 , v2 , v3 ] = span [v1 , v2 ] pues el tercer vector es combinaciŽn lineal de o los dos anteriores. AdemŽs, S = no es una base de H pues v1 , v2 , v3 no son linealmente a independientes. Sin embargo, el conjunto B = que se obtiene al suprimir el tercer elemento si que es una base de H.

B.7.4.

Sistemas de coordenadas.

AdemŽs, es evidente que dado un vector x de R n sus coordenadas, es decir los valores x1 , , xn , a son unicos. El siguiente teorema generaliza este resultado para cualquier espacio vectorial V . Ž Teorema B.30 Sea B = una base del espacio vectorial V . Entonces para todo x de V existe un unico conjunto de valores tal que Ž x = α 1 b1 + α 2 b2 + · · · + α n bn . Este teorema nos permite definir las coordenadas de un vector cualquiera de un espacio vectorial V . Supongamos que B = es una base del espacio vectorial V . Denominaremoscoordenadas del vector x de V en la base B al conjunto de los valores tales que x = α 1 b1 + α 2 b2 + · · · + α n bn ,

Cuando estudiamos el espacio Rn (secciŽn 2) definimos a los vectores de Rn mediante sus o coordenadas. Ello era evidente pues         x1 1 0 0  x2   0   1   0          x =  .  = x 1  .  + x 2  .  + · · · + x n  .  = x 1 e1 + · · · x n en . .  .  .   .  .  .  .  . 0 0 1 xn

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL
 α1 α2 . . . αn     
B

101

  y lo denotaremos por  

o

[x]B .

y por tanto, si las coordenadas de x en la base canŽnica C son x 1 , , xn , la siguiente relaciŽn o o serŽ cierta: a [x]C = PCB · [x]B ,

Consideremos nuevamente las coordenadas en Rn . Como vimos al principio de este apartado los elementos de cualquier vector X de Rn coinciden con las coordenadas de dicho vector en la base canŽnica C = . Supongamos ahora que pasamos a una nueva base B = . o Entonces   α1  α2    x = x1 e1 + · · · + xn en = α1 b1 + · · · + αn bn = [b1 b2 · · · bn ]  .  = PCB · [x]B , .   . αn B

donde PCB es la matriz de cambio de base B en C que pasa las coordenadas de unvector en la base B a las escritas en C. NŽtese que las columnas de la matriz P CB coinciden con los vectores de o la nueva base escritos en la base canŽnica. Es evidente que la matriz P CB es invertible (todas sus o −1 columnas son independientes y por tanto el det PCB = 0) por tanto la matriz inversa PCB serŽ la a matriz de cambio de base de base canŽnica a la base B, o sea o
−1 [x]B = PCB · [x]C = PBC · [x]C .

B.7.5.

La dimensiŽn de un espacio vectorial. o

Hemos visto que cualquier espacio V con una base de n elementos es isomorfo a R n . Resulta que dicho nŽ mero n es una propiedad intrŽ u A±nseca de V , su dimensiŽn. o Teorema B.31 Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = , entonces cualquier conjunto con mŽs de n vectores de V es linealmente dependiente. a Este teorema es una generalizaciŽn del teorema B.8. o Teorema B.32 Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = , entonces cualquier otra base de V tendrŽ que tener n vectores de V . a o a Un espacio vectorial es de dimensiŽn finita n si V estŽ generado por una base de n elementos, es decir si V = Span(b1 , , bn ), donde B = es una base de V y loescribiremos de la forma dim V = n. En el caso que V = sea el espacio vectorial nulo, dim = 0. Si V no puede ser generado por una base finita de vectores, entonces diremos que V es de dimensiŽn infinita y lo o denotaremos por dim V = ∞. Por ejemplo, dim Rn = n, dim Pn = n + 1, dim C[a,b] = ∞. Teorema B.33 Sea H un subespacio vectorial de un espacio vectorial de dimensiŽn finita V , o (dim V = n < ∞). Entonces todo conjunto de vectores linealmente independientes de H se puede ampliar hasta convertirlo en una base de H. AdemŽs dim H ≤ dim V . a Teorema B.34 Sea V un espacio vectorial n-dimensional (dim V = n < ∞) y sea S = un conjunto de exactamente n vectores. Entonces: a) Si S es un conjunto de vectores linealmente independientes, S es una base de V . b) Si S genera a todo V , es decir si V = Span(b1 , b2 , , bn ), S es una base de V .

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL B.7.6. Cambio de base.

102

Sea V un espacio vectorial de dimensiŽn finita n y sea B = y D = o dos bases de V . Como D es una base de V y los elementos de B son elementos de V , Žstos se podrŽn e a escribir en la base D, o sea, b1 = a11 d1 + a12 d2 + · · · + a1n dn , . . . bk =ak1 d1 + ak2 d2 + · · · + akn dn , . . . b1 = an1 d1 + an2 d2 + · · · + ann dn . =  a11 a12 . . . a1n   an1 an2 . . . ann     
D

  b1 =  

    , · · · , bn =    
D

.

Entonces tenemos que

Supongamos que las coordenadas de un vector x de V en la base B son x 1 , x2 , , xn y D son y1 , y2 , , yn , es decir,    x1   .  x = x1 b1 + · · · + xn bn −→ [x]B =  .  , y x = y1 d1 + · · · + yn dn −→ [x]D =  . xn B

en la base  y1 . , .  . yn D

[x]D = [x1 b1 + · · · + xn bn ]D = x1 [b1 ]D + · · · xn [bn ]D = ([b1 ]D [b2 ]D · · · [bn ]D )[x]B . Es decir si conocemos como se expresan los vectores de la base B en la base D podemos encontrar la matriz de cambio de base B en D, cuyas columnas a1 , a2 , , an no son mŽs que las coordenadas a de los vectores de la base B escritos en la base D. Por tanto tenemos que [x] D = PDB [x]B , o en forma matricial      x1 a11 · · · ak1 · · · an1 y1  a12 · · · ak2 · · · an2   x2   y2       = .  .  .  .   .   .  .  . . . yn
D

a1n · · · akn · · · ann

xn

B

AdemŽs, PDB es una matriz invertible (sus columnas son linealmente independientes), luego existe a −1 la inversa PDB la cual es lamatriz de cambio de base D en B, o sea,
−1 [x]B = PDB [x]D .

B.8.

El problema de autovalores de una matriz.

Sea A una matriz de n × n. Denominaremos al vector x de R n , autovector de A asociado al autovalor λ, al vector no nulo x = 0, tal que A x = λ x, x = 0. (B.14)

Es fŽcil comprobar que si x es un autovector asociado al autovalor λ, entonces el sistema a (A − λ I)x = 0, donde I es la matriz identidad n × n, (B.15)

tiene soluciones no triviales. Por tanto, dado un autovalor λ de A, el conjunto de los autovectores asociados a λ, que coincide con una base del nŽ cleo de A, es un subespacio vectorial de R n . Dicho u espacio se denomina autoespacio de A correspondiente al autovalor λ. Es importante destacar que conocido el autovalor λ, encontrar el autoespacio consiste en encontrar las soluciones de un sistema homogŽneo de ecuaciones, o sea, resolver (A − λ I)x = 0. e Teorema B.35 Sea A una matriz triangular de n × n. Entonces los autovalores de A coinciden con los elementos de la diagonal principal λ = aii , i = 1, 2, .., n.

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

103

Es importante destacar que las operaciones elementales de filas cambian los autovalores de una matriz. Es decir si U es la formaescalonada de A los autovalores de A y U son, en general, distintos. Teorema B.17 (Teorema de inversiŽn de matrices, conclusiŽn.) Sea A una matriz cuadrada A de o o n × n. Las siguientes expresiones son equivalentes: 1. 2. A es invertible. λ = 0 no es un autovalor de A

El teorema anterior es evidente pues si λ = 0 es autovalor de A, entonces A x = 0 tiene que tener soluciones no triviales y por tanto A no puede ser invertible. Teorema B.36 Sea A una matriz de n × n que tiene p autovalores distintos λ 1 = λ2 = · · · = λp . Entonces los autovectores v1 , v2 , , vp asociados a los autovalores λ1 , λ2 , , λp son linealmente independientes.

B.8.1.

La ecuaciŽn caracterŽ o A±stica.

sCŽmo calcular los autovalores? La respuesta a esta pregunta no es difŽ pues los autovalores o A±cil λ son tales que el sistema (B.15), (A − λ I)x = 0, tiene soluciones no triviales. Pero un sistema homogŽneo tiene soluciones no triviales si y sŽlo si e o det(A − λ I) = 0. (B.16)

La ecuaciŽn anterior se denomina ecuaciŽn caracterŽstica de A. Lo anterior lo podemos resumir o o A± como: Un nŽ mero λ es un autovalor de la matriz A de n × n si y sŽlo si λ satisface la ecuaciŽn caracu o o terŽ A±stica de A (B.16), det(A − λ I) =0. Es fŽcil comprobar que la expresiŽn det(A−λ I) = 0 es un polinomio de grado n en λ. Por tanto a o el polinomio pn (λ) = det(A − λ I) se denomina polinomio caracterŽ A±stico de A y los autovalores de A serŽn las raŽ a A±ces de dicho polinomio. O sea, λ es un autovalor de A si y sŽlo si p n (λ) = 0. o Matrices similares. Sean A y B dos matrices n × n. Diremos que A es similar a B si existe una matriz invertible P , tal que A = P · B · P −1 , o B = P −1 · A · P. (B.17)

Es evidente que si A es similar a B, B es similar a A, para demostrarlo es suficiente tomar Q = P −1 . Por tanto diremos simplemente que las matrices A y B son similares si se cumple (B.17). La transformaciŽn que a cada matriz le hace corresponder otra similar, o sea, A −→ P −1 · A · P , se o denomina transformaciŽn de similitud. o Teorema B.37 Si las matrices A y B de n × n son similares, entonces tienen el mismo polinomio caracterŽstico y, por tanto, los mismos autovalores. A±

B.8.2.

DiagonalizaciŽn de matrices. o

Una matriz A de n × n es diagonalizable si A es similar a una matriz diagonal D, o sea, si existe una matriz P invertible y otra D diagonal, tales que A = P · D · P −1 . Teorema B.38 Una matriz A de n × n es diagonalizablesi y sŽlo si A tiene n autovectores o linealmente independientes. Si A = P · D · P −1 , donde D es diagonal y P invertible, entonces los elementos de la diagonal de D son los autovalores de A y las columnas de P son los correspondientes autovectores.

Ž B ANEXO: ALGEBRA LINEAL

104

Este teorema se puede reformular diciendo que A es diagonalizable si y sŽlo si sus autovectores o forman una base de Rn . Algoritmo para diagonalizar una matriz A. 1. 2. Encontrar los autovalores de A resolviendo la ecuaciŽn (B.16). o Encontrar los autovectores linealmente independientes correspondientes a cada uno de los autovalores calculados en el paso 1. Si tenemos en total n autovectores linealmente independientes entonces el teorema B.38 nos asegurarŽ que nuestra matriz es diagonalizable, si no a hay n autovectores independientes entonces A no es diagonalizable y detenemos el proceso. Si A es diagonalizable continuamos como sigue. Construimos la matriz P cuyas n columnas son los n autovectores linealmente independientes. Construimos la matriz diagonal D cuyos elementos de la diagonal coinciden con los autovalores de A. Es importante colocar en cada columna de D el autovalor asociado al autovector de lacorrespondiente columna de P .

3. 4.

Es recomendable comprobar que hemos calculado correctamente P y D. Para ello comprobamos que A · P = P · D. Teorema B.39 (CondiciŽn suficiente para que una matriz sea diagonalizable I) o Si una matriz A de n × n tiene n autovalores distintos, entonces es diagonalizable. Teorema B.40 (CondiciŽn suficiente para que una matriz sea diagonalizable II) o Sea A una matriz de n × n con p autovalores distintos λ1 , λ2 , , λp . Sea Bk , k = 1, 2, , p una base del correspondiente autoespacio asociado al autovalor λk y sea nk la dimensiŽn de dicho autoespacio. o Construyamos el conjunto de vectores que contiene a todos los conjuntos B k , o sea B = B1 B 2 B p , dim(B) = n1 + n2 + · · · + np .

Entonces B es un conjunto de vectores de Rn linealmente independientes. AdemŽs, A es diagonaa lizable si y sŽlo si dim(B) = n, o sea, si B contiene exactamente n vectores. o


C ANEXO: SERIES DE POTENCIAS

105

C.

Anexo: Series de potencias
∞ n=0

DefiniciŽn C.1 Dada una sucesiŽn de nŽmeros complejos (a n )n y z0 C definiremos serie o o u an (z − z0 )n , (C.1)

que denominaremos serie de potencias. Como casos especiales de las series de potencias tenemos:
∞ k=0

xk,

∞ k=0

zk , k!

∞ k=1

zk , k

etc. Si la serie converge para todos los valores de z de cierto conjunto A C, entonces podemos definir la funciŽn suma f (z) de la serie. o

C.1.

Propiedades de las series de potencias
∞ n=0

Sin pŽrdida de generalidad vamos a considerar las series del potencias del tipo e an z n , (C.2)

es decir, cuando z0 = 0. Obviamente si tenemos una serie de potencias del tipo (C.1), la podemos reducir a a la anterior (C.2) haciendo el cambio de variables ζ = z − z 0 y viceversa. Teorema C.2 Primer Teorema de Abel para las series de potencias Sea la serie de potencias
∞ n=0

an z n , an , z C. Si la serie converge para cierto w C, entonces la

serie converge absolutamente para todo z C con |z| < |w|. La regiŽn de convergencia de una serie de potencias siempre son cŽ o A±rculos en el plano complejo que, en el caso de las series de la forma (C.2) estŽn centrados en el origen y en el de las series (C.1), a en z0 (ver la figura 20). NŽtese que se obtiene una de la otra al hacer una traslaciŽn en el plano o o complejo del cŽ A±rculo mediante el vector z0 . AdemŽs, cualquiera sea la serie de potencias a
∞ n=0

an z n ,

an , z C, existe un nŽ mero realno negativo R ≥ 0 o R = +∞ tal que para todo z con |z| < R la u Ž serie converge y si |z| > R la serie diverge. Dicho nŽ mero se denomina radio de convergencia de la u serie de potencias. Consideremos ahora en caso real, es decir cuando (an )n es una sucesiŽn de nŽ meros reales y o u z = x R. En este caso hay que trasladar los resultados a la recta real. El primer teorema de Abel quedarŽ entonces de la siguiente forma A±a Teorema C.3 Sea la serie de potencias
∞ n=0

an xn , an , x R. Si la serie converge para cierto r R,

entonces absolutamente para todo x R con |x| < |r|. A diferencia del caso complejo, en el caso real si se sabe la convergencia en alguno de los extremos, se puede saber mucho mŽs sobre la serie. a Teorema C.4 Sea la serie de potencias
∞ n=0

an xn , an , x R y R su radio de convergencia. En-

tonces, si la serie converge en x = R (x = −R), converge uniformemente en [0, R] ([−R, 0]).


C ANEXO: SERIES DE POTENCIAS
Im z

106

Im z

| z −z 0 | 0. Entonces

La serie se puede integrar tŽrmino a tŽrmino y la serie resultante tiene el mismo radio de e e convergencia, o sea, se cumple que
x ∞ 0 n=0

an x =

n

∞ n=0

an n+1 x . n+1

2.

La serie se puedederivar tŽrmino a tŽrmino y la serie resultante tiene el mismo radio de e e convergencia, o sea, se cumple que
∞ n=0

an x

n

=

∞ n=0

nan xn−1 .


C ANEXO: SERIES DE POTENCIAS

107

Una consecuencia trivial del ultimo teorema es que una serie de potencias define una funciŽn Ž o infinitas veces derivable en (−R, R). Ejemplo C.8 Probar que la funciŽn f (x) = o su derivada. ex =
∞ k=0

xk es continua y derivable en R y calcular k!

Que es continua y derivable en R es evidente de los dos teoremas anteriores a tener, como ya hemos calculado antes, radio de convergencia +∞. Para calcular la derivada usamos el teorema anterior, asŽ pues A± ∞ ∞ ∞ kxk−1 xk−1 xk d = = = f (x). f (x) = dx k! k! (k − 1)!
k=0 k=0 k=1

AdemŽs, f (0) = 1. La funciŽn que cumple lo anterior es la funciŽn e x . a o o Los teoremas anteriores permiten calcular un buen nŽ mero de series, por ejemplo u log(1 + x) = Para ello notamos que 1 1 = = 1+x 1 − (−x)
∞ n=0 ∞ n=1

(−1)n+1 xn . n

(−x)n =

∞ n=0

(−1)n xn .

Esta serie converge en (−1, 1), asŽ que integrando tŽrmino a tŽrmino tenemos A± e e
t

log(1 + t) =
0

1 dx = 1+x

t 0

∞ n=0

(−1)n xn

dx =

∞ n=0

(−1)n

tn+1 = n+1

∞ n=1(−1)n+1

tn . n

Funciones elementales del anŽlisis. a ex =
∞ k=0 ∞ k=0

xk , k!

x R.
∞ k=0

(C.3)

sen x =

(−1)k x2k+1 , (2k + 1)!
∞ k=1

cos x = (−α)k k x , k!
∞ k=0

(−1)k x2k (2k)! x (−1, 1),

x R.

(C.4)

(1 + x)α = 1 + en particular 1 = 1−x
∞ k=0

(C.5)

xk ,

1 = 1+x

(−1)k xk ,

x (−1, 1).

(C.6)

Aplicando la integraciŽn tŽrmino a tŽrmino en [0, x] tenemos o e e log(1 + x) =
∞ n=1

(−1)n+1 xn . n

(C.7)

Usando (C.6) haciendo el cambio x por x2 obtenemos 1 = 1 + x2
∞ k=0

(−1)k x2k ,

x (−1, 1),

(C.8)


C ANEXO: SERIES DE POTENCIAS

108

a partir de la cual, integrando tŽrmino a tŽrmino en [0, x] obtenemos e e arctan x =
∞ n=0

(−1)n x2n+1 , 2n + 1

x (−1, 1).

(C.9)

1 Escojamos ahora (C.5) con α = − 2 y cambiemos x por −x2 , tenemos

√

1 ( 2 )k k 1 x , = 1 − x2 k=0 k! ∞

x (−1, 1),

(C.10)

de donde integrando tŽrmino a tŽrmino en [0, x] obtenemos e e arc sen x =
∞ k=0 1 ( 2 )k x2k+1 , k!(2k + 1)

x (−1, 1),

(C.11)