Universidad Nacional
Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana.
Este sistema se utilizara para desarrollar las ecuaciones
diferenciales para la transferencia de masa. Si se hace un balance de masa en un volumen de control diferencial, se
establecerá la ecuación de continuidad para una especie determinada.
1.- La Ecuación Deferencial Para La Transferencia De Masa:
Considérese el volumen de control, Δx Δy Δz, a través del cual
fluye una mezcla que incluye el componente A, como se muestra en esta figura
La expresión de volumen de control para la conservación de la masa es:
Y en palabras puede expresarse como:
La relación general para un balance de masa de la especie A para el volumen de
control puede expresarse como:
La rapidez neta de la emisión de masa del volumen de control puede evaluarse si
se considera la masa que se transfiere a través de la superficies de control.
Por ejemplo, la masa A que se transfiere a través del área Δy Δz en x
será ρAvA Δy Δza”‚x, o en términos del vector de flujo na=
ρAvA, seria nA,x Δy Δza”‚x. La rapidez neta de emisión de masa
del constituyente A será
En la dirección x:
nA,x Δy Δza”‚x+ Δx - nA,x Δy Δza”‚x
En la dirección y:
nA,y ΔyΔza”‚y+ Δy - nA,y Δy Δza”‚y
En la dirección z:
nA,z Δy Δza”‚z+ Δz - nA,z Δy Δza”‚z
La rapidez de acumulación de A en el volumen de control es:
Si dentro del volumen de control se produce A, con una rapidez rA por alguna
reacción química, donde rA tiene las unidades (masa de A
producida)/(volumen)(tiempo), la rapidez de producción de A es
Se toman todos los términos obtenido anteriormente y se sustituyen la primera
ecuación nos da como resultado esto:
y se divide luego entre el volumen de control Δx Δy Δz
cancelando asi los términos, para después evaluar en el limite a medida q
Δx Δy Δz se aproxima a 0 se llega a la ecuación de continuidad
para el componente A:
En la misma forma puede desarrollarse una ecuación similar de continuidad para
el segundo componente B:
Donde rB es la rapidez con la q se producirá B. si se suman las dos ecuaciones
de volumen de control obtenidas se tiene:
Para una mezcla binaria de A y B, se tiene
nA + nB = ρAvA + ρBvB = ρv
ρA +ρB = ρ
rA=-rB
Por la ley de conservación de la masa. Si se si se sustituyen estas relaciones
en la ecuación anterior se obtiene la ecuación de continuidad para la mezcla
2.- Formas Especiales De La Ecuación Diferencial DeTransferencia De Masa
Cualquiera de las ecuaciones
-
.ρD_AB a€– ωa€—_A+
. ρ_A v+ (∂ρ_A)/∂t-R_A=0 o - .cD_AB a€– ya€—_A+ . c_A
v+ (∂c_A)/∂t-R_A=0 puede utilizarse para describir los perfiles de
concentración dentro de un sistema que se difunde.
Esta ecuaciones pueden simplificarse haciendo suposiciones
restrictivas. Las formas importantes de la ecuación de continuidad, con
las suposiciones que las restringen, incluyen
Si la densidad (ρ) y el coeficiente de difusión (DAB), pueden suponerse
constantes, la ecuación - .ρD_AB a€– ωa€—_A+ . ρ_A v+ (∂ρ_A)/∂t-R_A=0 se
convierte en -D_AB ^2 ρ_A+ρ_A .v+v.a€– ρa€—_A + (∂ρ_A)/∂t-r_A=0
donde ρ_A .v
se hace 0 y al dividir cada término de la ecuación restante entre el peso
molecular de A y reordenar, se obtiene
v.a€– ca€—_A+(∂c_A)/∂t=D_AB
_(c_A)^2+R_A
Si no hay termino de producción, RA=0 y si la densidad y el coeficiente de
difusión se suponen constantes la ecuación anterior se reduce a
(∂c_A)/∂t+v.a€– ca€—_A=D_AB _(c_A)^2
Se sabe que (∂c_A/∂t)+v. c_A es la derivada verdadera de cA; al volver a
escribir el miembro de la izquierda de la ecuación se obtiene
(Dc_A)/Dt=D_AB _(c_A)^2
En una situación en que no hay movimiento del fluido, v=0, no hay término de
producción de RA=0 y nohay variación en la difusividad o densidad, la ecuación
(∂c_A)/∂t+v.a€– ca€—_A=D_AB _(c_A)^2 se reduce a
(∂c_A)/∂t=D_AB _(c_A)^2
La cual se conoce como la segunda “ley” de Fick de la difusión.
Las ecuaciones generales que se tenían anteriormente se pueden simplificar aún
más cuando el proceso se define como un estado estacionario; esto
es ∂c_A/∂t=0. Para densidad constante y un coeficiente de difusión
constante la ecuación se convierte en
v.a€– ca€—_A=D_AB
c_A)^2+R_A
Para densidad constante, difusividad contante y sin producción química, RA=0,
se obtiene
v.a€– ca€—_A=D_AB
_(c_A)^2
Si además v=0, la ecuación se reduce a
_(c_A)^2=0
Que es la ecuación de Laplace en términos de la concentración molar.
3.- Condiciones De Frontera Que Se Encuentran
Comúnmente
Un proceso de transferencia de masa puede describirse si se resuelve una de las
ecuaciones diferenciales de transferencia de masa y se utilizan las condiciones
iniciales o de frontera, o ambas para determinar las constantes de integración.
La condición inicial en los procesos de transferencia de masa es concentración
de la especie que se difunde al principio del intervalo de
tiempo de interés expresado en unidades de concentración molar o de masa.
A t=0,cA=cA0 en unidades molares
A t=0, ρA=ρA0 en unidades de masa
Las condiciones de fronteras que se incluyen en los casos más generales son:
Puede especificarse la concentración de una superficie.
El flujo el flujo en una masa en una superficie puede
especificarse.
Puede especificarse la rapidez de una reacción química.
Cuando un fluido fluye sobre la fase para la cual se
representa la ecuación diferencial de masa, la especie puede separarse de la
fase de interés por transferencia de masa convectiva.
EJERCICIO #1
En una barra cilíndrica de combustible nuclear que contiene materia fisionable,
la rapidez de producción de neutrones es proporcional a la concentración de
neutrones. Utilizar una de las ecuaciones diferenciales generales para
la transferencia de masa para escribir la ecuación diferencial que describe el
proceso de transferencia de masa. Enumerar cualesquiera
condiciones de frontera evidentes.
Para el componente A, la ecuación Ec.-5, estipula que:
•N_A+(∂C_A)/∂t
- R_A=0
Puesto que la rapidez de producción es proporcional a la concentración de
neutrones, R_A=kC_A. Para la difusión de sólidos, en que la contribución del
movimiento es cero,
N_A= - D_AB C_A
Al sustituir esta relación en la ecuaciónEc.-5, se obtiene:
(∂C_A)/∂t=D_AB ⌊(∂^2 C_A)/(∂r^2 )+1/r (∂C_A)/∂r+1/r^2
(∂^2 C_A)/(∂θ^2 )+(∂^2 C_A)/(∂z^2 )⌋+a€–kCa€—_A
Si el cilindro es relativamente largo en comparación con el radio, (∂^2
C_A)/(∂z^2 )=0 y si la concentración no varía con el ángulo (∂^2
C_A)/(∂θ^2 )=0, la ecuación se reduce a:
(∂C_A)/∂t=D_AB ⌊(∂^2 C_A)/(∂r^2 )+1/r (∂C_A)/∂r⌋+a€–kCa€—_A
La única condición evidente es que el límite es
(∂C_A)/∂r=|x=0a”¤=0
Que requiere que la concentración de la especie que se difunde sea finita en el
centro de la barra.
EJERCICIO #2
En una cámara de combustión caliente, el oxígeno se difunde a través de una
película de aire hasta una superficie de carbón donde reacciona de acuerdo con
la siguiente ecuación
a.- Si se supone que la superficie de carbón es plana, reduzca la ecuación
diferencial general para la transferencia de masa para escribir la ecuación
diferencial especifica que describe dicho proceso de estado estacionario.
Para el oxígeno, la ecuación Ec.-5 estipula que:
•N_(O_2
)+(∂C_(O_2 ))/∂t - R_(O_2 )=0
Puesto que este es un proceso en régimen permanente, (∂C_(O_2 ))/∂t=0
. La reacción ocurre en una de las fronteras y no uniformemente a lo largo de
la trayectoria de difusión; de acuerdocon esto; R_(O_2
)=0. Si la difusión se presenta solo en la dirección z, •N_(O_2 ) se reduce
(dN_(O_2 ))/dz y la ecuación diferencial se convierte en :
(dN_(O_(2,z) ))/dz=0
b.- Escribir la ley de Fick en términos solo del oxígeno:
La ley de Fick para la difusión molecular estipula que:
N_(O_(2,z) )=-cD_(O_(2-mezcla) ) (dy_(O_2 ))/dz+y_(O_2 ) (N_(O_(2,z)
)+N_(a€–COa€—_(2,z) )+N_(N_(2,z) ))
De acuerdo con la reacción, dos moles de oxigeno entra a la película y salen
dos moles de monóxido de carbono; asi pues, N_(O_(2,z) )=-N_(O_z ). La reacción
también predice que a medida que entra las dos moles de oxígeno, sale un mol de
dióxido de carbono; esto estipula que a€–1/2 Na€—_(O_(2,z) )=-N_(a€–COa€—_(2,z)
). El flujo neto de nitrógeno es cero. Con tales
condiciones, el termino de contribución de la masa se convierte en
y_(O_2 ) (N_(O_(2,z) )+N_(a€–COa€—_(2,z) )+N_(N_(2,z) ) )= y_(O_2 ) (N_(O_(2,z)
)-N_(O_(2,z) )-1/2 N_(O_(2,z) )+0)
=y_(O_2 )/2 N_(O_(2,z) )
Y la ley de Fick se reduce a
N_(O_(2,z) )=-cD_(O_(2-mezcla) ) (dy_(O_2 ))/dz-y_(O_2 )/2 N_(O_(2,z) )
Esta ecuación puede sustituirse en la ecuación diferencial que se define en la
parte a o integrarse directamente para obtener el flujo de O_2 en la dirección
z.
