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Calculo integral



Si nos trasladamos en una línea de tiempo vemos que la formación del cálculo integral se debió a una ardua labor por parte de todos los personajes influyentes desde la época antigua donde los filósofos como: Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras constataron una serie de problemas en donde se cuestionaban sobre las figuras geométricas, las longitudes, áreas y volúmenes vemos entonces un primer análisis de la figuras se refleja en el triangulo de Pitágoras ( ). Por otra parte aparecen Leucipo, Demócrito y Antifon los trabajos de Eudoxo alrededor del 370 a. C fueron satisfactorios al crear un método llamado exhaución o por agotamiento el cual nos muestra como hallar el área del círculo, la longitud de la circunferencia y como consecuencia determinó el número pi. Luego, Arquímedes que determinó el área de un segmento de parábola. Sin embargo La herencia matemática griega pasó a los árabes de donde regresó a Europa y en el siglo XII se desarrolló sobre todo la aritmética y los comienzos del álgebra.

Pero tuvo que esperarse hasta el siglo XIV, XV y XVI en donde comenzaron a notarse cambios significativos en la matemática, la lógica, la geometría, el álgebra, la aritmética y la trigonometría gracias a personajes como: Nicolás Oresme, Stevin, Valerio y kepler quienes con sus aportes acentuaron bases a las visiones de Galileo, Roberval, Torricelli, Cavalieri y John Wallis. Debido a que proporcionaron a sus sucesores la satisfacción deentrar en el análisis del cálculo infinitesimal. Es aquí en donde El principio de Cavelieri llegó a ser sin duda un factor imprescindible en el desarrollo del Cálculo Integral. Todo lo anterior produjo a que hombres como: Fermat estableciendo un método para la investigación de máximos y mínimos en el cual determino la subtangente a una parábola. y Barrow le dieron a sus trabajos del cálculo infinitesimales la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Sin duda, cabe recabar que alguna de las problemáticas para resolver se concentró en las cuadraturas y las tangentes de las curvas cónicas; unos desde un punto de vista clásico y otro desde uno analítico. Aunque Barrow, estuvo muy cerca de descubrir la relación inversa entre problemas de tangentes y de cuadraturas, fue su conservadora adhesión a los métodos geométricos lo que le impidió hacer uso efectivo de esta relación.

Llegan entonces Newton y Leibniz quienes impartieron a través de métodos sistemáticos para el cálculo de tangentes (en realidad, subtangentes) e invirtieran estos procesos para encontrar áreas. De tal modo que dieran paso al surgimiento del cálculo como tal. Estos personajes fueron primordiales ya que le dieron al cálculo diferencial e integral las bases de lo que hoy en día conocemos. Por otro lado, Los hermanos Bernoulli, el matemático francés Monge, Lagrange, Laplace, Euler, entre otros más. Llevaron alcálculo integral a la cúspide en la época moderna. En realidad, La integración llevada por Euler fue una de las más decisivas puesto que llevo hasta sus últimas consecuencias el cálculo integral. De tal manera, que aparecieran unas de carácter especial. Además las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral vemos entonces que el cálculo integral es y seguirá siendo unos de los grandes legados de la historia y que seguirá vigente en las futuras generaciones.






























Cálculo integral nacimiento de una nueva historia.


El cálculo como hoy lo conocemos es sin duda el resultado de los cimientos en la matemática, la lógica, la geometría, el álgebra, la aritmética y la trigonometría. Todo lo anterior pasó por un arduo recorrido que comienza desde el conocimiento proporcionados por los filósofos hasta lo que conocemos en pleno siglo XXI como: Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. “Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los griegos, no todas las longitudes eran números” y que por consiguiente concentraron sus pensamientos en los problemas matemáticos generados a raíz del porque del mundo al cual estaban sujetos. “Por ejemplo en el campo de lageometría, se dio la demostración del teorema de Pitágoras, además que fue hallado el método para conseguir la serie indefinida de ternas de números pitagóricos, que satisfacen la ecuación . Incluso se trabajó enormemente en la resolución y demostración de distintos problemas, como en la trisección de un ángulo, y en la cuadratura de áreas acotadas por una curva”


Luego gracias a las bases constituidas por Leucipo, Demócrito y Antifon los trabajos de Eudoxo alrededor del 370 a. C fueron satisfactorios al crear un método llamado exhaución o por agotamiento en donde nos muestra como “hallar el área del círculo, la longitud de la circunferencia y como consecuencia determinó el número pi. Además es el precursor del concepto de Suma de Riemann que permite definir con rigor la integral de una función en un intervalo” . Antecedentes del cálculo integral para el cálculo de áreas y volúmenes. Por otra parte Arquímedes alrededor de 225 a. C demuestra que “el área de un segmento de parábola es4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, El área del segmento de la parábola es, por lo tanto: A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ) = (4/3)A.” Otros de los trabajoshecho por este personaje tan importante es que determinó el área de un espiral, en el cual es un ejemplo de cuadratura y sigue un procedimiento que en las nociones actuales, es prácticamente lo mismo de la integral de Riemann. “La espiral de Arquímedes es la curva que describe un punto material que se mueve con velocidad uniforme a lo largo de una semirrecta que gira con una velocidad angular uniforme alrededor de su extremo. La ecuación polar de una espiral de Arquímedes es de la forma ás¤= aθ, donde a > 0 es una constante. Teorema: El área del primer ciclo de una espiral es igual a una tercera parte del área del círculo circunscrito”.


“La herencia matemática griega pasó a los árabes de donde regresó a Europa ya en el siglo XII. En estos siglos se desarrolló sobre todo la aritmética y los comienzos del álgebra” . Pero hay que esperar hasta el siglo XIV, XV y XVI en donde comenzaron a notarse cambios significativos en la forma de hacer matemáticas y lograr avances que abren a nuevas perspectivas al hacer hincapié en el cálculo con la aparición de Nicolás Oresme quien introdujo la idea de función e hizo grandes aportes como: “enuncia las reglas para multiplicar o dividir una expresión racional y una irracional, proporcionó una regla para determinar la convergencia de una serie y hallar su suma, como también resolvió el problema de la suma de las series infinitas” . Después stevin, Valerio, kepler, el primero “es conocido como uno de los primerosexpositores de la teoría de las fracciones decimales, sustituye el método de exhaucion por su método que consiste en si la diferencia entre do magnitudes B y A se pueden hacer menor que cualquier cantidad arbitrariamente pequeña, entonces B = A” . El segundo quien publicó De quadratura parabolae resumiéndolo “desarrolló maneras de encontrar volúmenes y centros de gravedad de los sólidos utilizando los métodos de Arquímedes.” El tercero “hizo un trabajo sistemático en el que se usan técnicas infinitesimales para el cálculo de áreas y volúmenes Nova Stereometria doliorum vinariorum” luego gracias a las visiones de Galileo, Roberval, Torricelli y Cavalieri pudieron sus sucesores entrar al cálculo infinitesimal. “Roberval y Torricelli descubrieron independientemente un método para calcular tangentes por medio de consideraciones cinemáticas el cual se apoyan de dos ideas: en la primera es la de considerar una curva como la trayectoria de un punto móvil que obedece a dos movimientos simultáneamente, y la segunda de la de considerar la tangente en un punto de la curva como la dirección del movimiento en ese mismo punto” . En última instancia Cavelieri desarrolló un método de lo indivisible el cual consistes “Si dos sólidos tienen las alturas iguales y si las secciones hechas por planos paralelos a las bases a la misma distancia de la base están en una determinada proporción, entonces los volúmenes de los sólidos están también en esa proporción” . Además gracias aeste método Giles de Roberval pudo hacer la cuadratura de una cicloide. El principio de Cavelieri llegó a ser sin duda un factor en el desarrollo del Cálculo Integral.

Por otro lado nos encontramos con John Wallis quien en su tratado la aritmética de los infinitos por este trabajo fue famoso por el primer uso del símbolo ∞ para representar una curva que se podría trazado infinito de veces, “estableció la fórmula π / 2 = (2.2.4.4.6.6.8.8.10)/ (1.3.3.5.5.7.7.9.9) Condujo a una numéricamente aproximación correcta de π. Wallis descubrió este resultado cuando él estaba tratando de calcular la integral de (1 - x 2) 1 / 2 0 a 1 y por lo tanto para encontrar el área de un círculo de radio unidad. Él resolvió el problema de la integración (1 - x 2) n para potencias enteras de n, sobre la base de Cavalieri 's método de indivisibles, pero, incapaz de hacer frente a potencias fraccionarias, se usa la interpolación, una palabra que introdujo en este trabajo. Su interpolación utilizados Kepler concepto de continuidad, y con ella descubrió los métodos para evaluar integrales que posteriormente fueron utilizados por Newton en su obra sobre el teorema del binomio”

No obstantes aparecen Fermat y Barrow quienes le dieron a los trabajos del cálculo infinitesimales “la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior” el primero que utilizando un método clásico de exhaucion.”Pero con unaidea que consistió en considerar rectángulos infinitesimales inscritos en la figura a cuadrar cuyas bases estaban en progresión geométrica en una hipérbole” (método de progresión geométrica). Dado que se apoya de una propiedad de dicho método que alude a la razón menor que la unidad, en la cual enuncia que “una progresión cuyos términos decrecen indefinidamente, la diferencia entre dos términos consecutivos es al más pequeño de ellos, como el mayor es a la suma de los términos restantes” . No obstante en las cuadraturas de Fermat de hipérbolas y parábolas generalizadas satisfacen los aspectos primordiales de la integral definida como son: “la división del área bajo la curva en elementos de área infinitamente pequeños, aproximación de la suma de esos elementos de área por medios de rectángulos infinitesimales de altura dada por la ecuación analítica de la curva y el ultimo un intento de expresar algo parecido a un límite de dicha suma cuando el número de elementos crece indefinidamente mientras se hacen infinitamente pequeños” También contribuyo estableciendo un método en para la investigación de máximos y mínimos en el cual determino la subtangente a una parábola. Sin embargo la condición que reflejaba no era suficiente y tampoco distingue máximos de mínimos es un método puramente algebraico y algorítmico, no geométrico.

Cabe señalar que Fermat, “no pensaba en una cantidad como una función y por eso habla de cantidad máxima o mínima, no de una funciónque alcance un máximo o un mínimo. Fermat no tiene clara la noción de variable independiente. El está pensando en una ecuación algebraica con dos incógnitas que interpreta como segmentos, es decir magnitudes dadas. Fermat no decía nada acerca de que l fuese un infinitesimal, ni siquiera una magnitud muy péquela y el método no implica ningún límite sino que es puramente algebraico”. En segundo lugar llega Barrow quien siendo admirador de los geómetras antiguos hizo grandes aportes al cálculo en sus propias obras “lectiones opticae (1669) y lectiones geometricae (1670) en la edición de las cuales colaboro Newton. El tratado de lectiones geometricae hace un tratamiento detallado de todos estos problemas incluyendo conceptos como tiempo, movimiento y usando métodos infinitesimales y métodos de indivisibles” . La mayoría de los problemas presentados tratan tangentes y cuadraturas desde un punto de vista clásico (geométrico en lugar de analítico). Su método se concentra en “el triangulo característico o diferencial usado mucho antes por pascal y otros en problemas de cuadraturas. Aun así es parecido al de Fermat, la diferencia es que Barrow considera incrementos independientes de las dos variables con el propósito de calcular el cociente a/e que es la pendiente en la curva del triangulo” . En el resultado fundamental de Barrow “estuvo muy cerca de descubrir la relación inversa entre problemas de tangentes y de cuadraturas, pero su conservadora adhesión a losmétodos geométricos le impidió hacer uso efectivo de esta relación” . De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y fue Newton quien continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo.

A mediados del siglo del siglo XVII se conocían muchas de las técnicas y hechos elementales del cálculo, incluso métodos para encontrar las tangentes de curvas simples y formulas de áreas acotadas por estas curvas. La invención del cálculo como tal, toma su constatación cuando hasta finales del siglo XVII se toma la conciencia de que estos tipos de problemas están relacionados entre sí. En este punto gracias a personajes como lo fueron: “Newton y Leibniz quienes proporcionaron métodos sistemáticos para el cálculo de tangentes (en realidad, subtangentes) e invirtieran estos procesos para encontrar áreas. De tal modo que dieron paso al surgimiento del cálculo, y por consiguiente estos dos gigantes de la creatividad matemática siguieron senderos bastante distintos en sus descubrimientos”.

El método de Newton era algebraico, “a principios de 1665 descubre el teorema del binomio y el cálculo con las series infinitas que al combinarlo con técnicas infinitesimales pudo deducir las formulas básicas del cálculo diferencial e integral. A finales de ese mismo año, el método de fluxiones, es decir, el cálculo de derivadas. En 1666 el método inverso de fluxiones yla relación entre cuadraturas y fluxiones” . “Newton invento nombres para las variables y sus razones de cambio que reflejaban esta intuición, según él un fluent (x) es una cantidad en movimiento o que fluye; su fluxión es su razón de flujo, lo que ahora se denomina velocidad o derivada” . Hoy en día el poder del cálculo brilla a través del método de fluxiones. Por otro lado aparece Leibniz quien es apreciado como el pionero de la lógica simbólica superior a la de Newton puesto que “considero una curva como un polígono de infinitos lados de longitud infinitesimal. Como una tal curva se asocia una sucesión de abscisas x_(1,) x_(2,) x_(3 ,) x_(4 ,… )y una sucesión de ordenadas y_(1,) y_(2,) y_(3 ,) y_(4 ,… )donde los puntos (x_(i, ) y_i) están todos ellos en la curva y son algo así como los vértices de la poligonal de infinitos lados que forma la curva. La diferencia entre dos sucesivos de x es llamado la diferencial de x y se representa por dx. Significado análogo tiene dy” . Es entonces que “el dx es una cantidad fija, no nula, infinitamente pequeña en comparación con x, de hecho es una cantidad infinitesimal. Los lados que constituye la curva son representados por ds. Resulta así el triangulo característico de Leibniz que es el mismo que ya había sido considerado por Barrow” .

Leibniz “también realizó una aportación fundamental en la técnica controvertida de encontrar áreas al sumar secciones. En lugar de considerar por ejemplo el área bajouna curva y= f(x) como una colección de segmentos de recta, la consideraba como una suma de las áreas de rectángulos “infinitamente delgados” de altura y=f (x) y base infinitesimal dx, por tanto, la diferencia entre el área hasta el punto x+ dx y el área hasta el punto x era la diferencia infinitesimal en área da= f(x) dx, el área total se encontraba sumando estas diferencias infinitesimales en área” . No obstante “invento la s alargada (el signo integral∫a–’) que hoy en día se usa universalmente para expresar este proceso de suma. Así expresaba el área bajo una curva y= f (x) como A = ∫a–’dA = ∫a–’f(x)dx, y cada parte de este símbolo expresaba una idea geométrica simple y clara” .

Luego así, “los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de el Newton francés” .
“Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas,todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales” .

“En el curso del desarrollo del Cálculo Integral surgió una serie de problemas de carácter especial. Los esfuerzos en su resolución condujeron a la elaboración de nuevas ramas del Análisis Matemático, estas últimas, tarde o temprano se separaron de su fuente inicial, el Cálculo Integral del siglo XVIII.
El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo conllevó al descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales como por ejemplo la Función Bet Y la función Gamma ”

Para concluir vemos entonces que llegar al cálculo integral significo unos de los grandes avances de toda la historia de la humanidad porque con ello se desgloso una serie de problemas que a través de una línea de tiempo fueron resueltos respectivamente. Así comprendemos que el objetivo del cálculo integral es proporcionar métodos para recuperar las variables originales conociendo sus razones de cambio. El cual nos ayuda a entender a resolver ecuaciones diferenciales proporcionadas por el cálculo diferencia. No obstante el cálculo integral se utilizo para el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes




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