Si nos trasladamos en una línea de tiempo vemos que
la formación del cálculo integral se debió a una ardua labor por parte de todos
los personajes influyentes desde la época antigua donde los filósofos como:
Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras constataron una serie
de problemas en donde se cuestionaban sobre las figuras geométricas, las
longitudes, áreas y volúmenes vemos entonces un primer análisis de la figuras
se refleja en el triangulo de Pitágoras ( ). Por otra parte aparecen Leucipo,
Demócrito y Antifon los trabajos de Eudoxo alrededor del 370 a. C fueron
satisfactorios al crear un método llamado exhaución o por agotamiento el cual
nos muestra como hallar el área del círculo, la longitud de la circunferencia y
como consecuencia determinó el número pi. Luego, Arquímedes que determinó el
área de un segmento de parábola. Sin embargo La herencia matemática griega pasó
a los árabes de donde regresó a Europa y en el siglo XII se desarrolló sobre
todo la aritmética y los comienzos del
álgebra.
Pero tuvo que esperarse hasta el siglo XIV, XV y XVI en donde comenzaron a
notarse cambios significativos en la matemática, la lógica, la geometría, el
álgebra, la aritmética y la trigonometría gracias a personajes como: Nicolás
Oresme, Stevin, Valerio y kepler quienes con sus aportes acentuaron bases a las
visiones de Galileo, Roberval, Torricelli, Cavalieri y John Wallis. Debido a
que proporcionaron a sus sucesores la satisfacción deentrar en el análisis del cálculo
infinitesimal. Es aquí en donde El principio de Cavelieri llegó a ser sin duda
un factor imprescindible en el desarrollo del Cálculo Integral. Todo lo anterior
produjo a que hombres como:
Fermat estableciendo un método para la investigación de máximos y mínimos en el
cual determino la subtangente a una parábola. y Barrow le dieron a sus trabajos
del cálculo infinitesimales la unidad
algorítmica y la precisión necesaria como
método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Sin
duda, cabe recabar que alguna de las problemáticas para resolver se concentró
en las cuadraturas y las tangentes de las curvas cónicas; unos desde un punto
de vista clásico y otro desde uno analítico. Aunque Barrow, estuvo muy cerca de
descubrir la relación inversa entre problemas de tangentes y de cuadraturas,
fue su conservadora adhesión a los métodos geométricos lo que le impidió hacer
uso efectivo de esta relación.
Llegan entonces Newton y Leibniz quienes impartieron a través de métodos
sistemáticos para el cálculo de tangentes (en realidad, subtangentes) e
invirtieran estos procesos para encontrar áreas. De tal modo que dieran paso al
surgimiento del cálculo como tal. Estos personajes fueron primordiales ya que
le dieron al cálculo diferencial e integral las bases de lo que hoy en día
conocemos. Por otro lado, Los hermanos Bernoulli, el matemático francés Monge,
Lagrange, Laplace, Euler, entre otros más. Llevaron alcálculo integral a la
cúspide en la época moderna. En realidad, La integración llevada por Euler fue
una de las más decisivas puesto que llevo hasta sus últimas consecuencias el
cálculo integral. De tal manera, que aparecieran unas de carácter especial.
Además las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de
todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral vemos entonces que
el cálculo integral es y seguirá siendo unos de los grandes legados de la
historia y que seguirá vigente en las futuras generaciones.
Cálculo integral nacimiento de una nueva historia.
El cálculo como hoy lo conocemos es sin duda el resultado de los cimientos en
la matemática, la lógica, la geometría, el álgebra, la aritmética y la
trigonometría. Todo lo anterior pasó por un arduo recorrido que comienza desde
el conocimiento proporcionados por los filósofos hasta lo que conocemos en
pleno siglo XXI como: Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras.
“Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la
recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad
usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los
griegos, no todas las longitudes eran números” y que por consiguiente
concentraron sus pensamientos en los problemas matemáticos generados a raíz del
porque del mundo al cual estaban sujetos. “Por ejemplo en el campo de
lageometría, se dio la demostración del teorema de Pitágoras, además que fue
hallado el método para conseguir la serie indefinida de ternas de números pitagóricos,
que satisfacen la ecuación . Incluso se trabajó enormemente en la resolución y
demostración de distintos problemas, como en la trisección de un ángulo, y en
la cuadratura de áreas acotadas por una curva”
Luego gracias a las bases constituidas por Leucipo, Demócrito y Antifon los
trabajos de Eudoxo alrededor del 370 a. C fueron satisfactorios al crear un
método llamado exhaución o por agotamiento en donde nos muestra como “hallar el
área del círculo, la longitud de la circunferencia y como consecuencia
determinó el número pi. Además es el precursor del concepto de Suma de Riemann
que permite definir con rigor la integral de una función en un intervalo” .
Antecedentes del cálculo integral para el cálculo de áreas y volúmenes. Por
otra parte Arquímedes alrededor de 225 a. C demuestra que “el área de un
segmento de parábola es4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice
y es igual a 2/3del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó
una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo
continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener
áreas A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, El área del
segmento de la parábola es, por lo tanto: A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ) =
(4/3)A.” Otros de los trabajoshecho por este personaje tan importante es que
determinó el área de un espiral, en el cual es un ejemplo de cuadratura y sigue
un procedimiento que en las nociones actuales, es prácticamente lo mismo de la
integral de Riemann. “La espiral de Arquímedes es la curva que describe un
punto material que se mueve con velocidad uniforme a lo largo de una semirrecta
que gira con una velocidad angular uniforme alrededor de su extremo. La
ecuación polar de una espiral de Arquímedes es de la forma ás¤= aθ, donde
a > 0 es una constante. Teorema: El área del primer ciclo de una espiral es
igual a una tercera parte del área del círculo circunscrito”.
“La herencia matemática griega pasó a los árabes de donde regresó a Europa ya
en el siglo XII. En estos siglos se desarrolló sobre todo la aritmética y los
comienzos del álgebra” . Pero hay que esperar hasta el siglo XIV, XV y XVI en
donde comenzaron a notarse cambios significativos en la forma de hacer
matemáticas y lograr avances que abren a nuevas perspectivas al hacer hincapié
en el cálculo con la aparición de Nicolás Oresme quien introdujo la idea de
función e hizo grandes aportes como: “enuncia las reglas para multiplicar o
dividir una expresión racional y una irracional, proporcionó una regla para
determinar la convergencia de una serie y hallar su suma, como también resolvió
el problema de la suma de las series infinitas” . Después stevin, Valerio,
kepler, el primero “es conocido como uno de los primerosexpositores de la
teoría de las fracciones decimales, sustituye el método de exhaucion por su
método que consiste en si la diferencia entre do magnitudes B y A se pueden
hacer menor que cualquier cantidad arbitrariamente pequeña, entonces B = A” .
El segundo quien publicó De quadratura parabolae resumiéndolo “desarrolló
maneras de encontrar volúmenes y centros de gravedad de los sólidos utilizando
los métodos de Arquímedes.” El tercero “hizo un trabajo sistemático en el que
se usan técnicas infinitesimales para el cálculo de áreas y volúmenes Nova
Stereometria doliorum vinariorum” luego gracias a las visiones de Galileo,
Roberval, Torricelli y Cavalieri pudieron sus sucesores entrar al cálculo
infinitesimal. “Roberval y Torricelli descubrieron independientemente un método
para calcular tangentes por medio de consideraciones cinemáticas el cual se
apoyan de dos ideas: en la primera es la de considerar una curva como la
trayectoria de un punto móvil que obedece a dos movimientos simultáneamente, y
la segunda de la de considerar la tangente en un punto de la curva como la
dirección del movimiento en ese mismo punto” . En última instancia Cavelieri
desarrolló un método de lo indivisible el cual consistes “Si dos sólidos tienen
las alturas iguales y si las secciones hechas por planos paralelos a las bases
a la misma distancia de la base están en una determinada proporción, entonces
los volúmenes de los sólidos están también en esa proporción” . Además gracias
aeste método Giles de Roberval pudo hacer la cuadratura de una cicloide. El
principio de Cavelieri llegó a ser sin duda un factor en el desarrollo del
Cálculo Integral.
Por otro lado nos encontramos con John Wallis quien en su tratado la aritmética
de los infinitos por este trabajo fue famoso por el primer uso del símbolo ∞
para representar una curva que se podría trazado infinito de veces, “estableció
la fórmula π / 2 = (2.2.4.4.6.6.8.8.10)/ (1.3.3.5.5.7.7.9.9) Condujo
a una numéricamente aproximación correcta de π. Wallis descubrió este
resultado cuando él estaba tratando de calcular la integral de (1 - x 2) 1 / 2
0 a 1 y por lo tanto para encontrar el área de un círculo de radio unidad. Él
resolvió el problema de la integración (1 - x 2) n para potencias enteras de n,
sobre la base de Cavalieri 's método de indivisibles, pero, incapaz de hacer
frente a potencias fraccionarias, se usa la interpolación, una palabra que
introdujo en este trabajo. Su interpolación utilizados Kepler concepto de
continuidad, y con ella descubrió los métodos para evaluar integrales que
posteriormente fueron utilizados por Newton en su obra sobre el teorema del
binomio”
No obstantes aparecen Fermat y Barrow quienes le dieron a los trabajos del
cálculo infinitesimales “la unidad algorítmica y la precisión necesaria como
método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior” el
primero que utilizando un método clásico de exhaucion.”Pero con unaidea que
consistió en considerar rectángulos infinitesimales inscritos en la figura a
cuadrar cuyas bases estaban en progresión geométrica en una hipérbole” (método
de progresión geométrica). Dado que se apoya de una propiedad de dicho método
que alude a la razón menor que la unidad, en la cual enuncia que “una
progresión cuyos términos decrecen indefinidamente, la diferencia entre dos
términos consecutivos es al más pequeño de ellos, como el mayor es a la suma de
los términos restantes” . No obstante en las cuadraturas de Fermat de
hipérbolas y parábolas generalizadas satisfacen los aspectos primordiales de la
integral definida como son: “la división del área bajo la curva en elementos de
área infinitamente pequeños, aproximación de la suma de esos elementos de área
por medios de rectángulos infinitesimales de altura dada por la ecuación
analítica de la curva y el ultimo un intento de expresar algo parecido a un
límite de dicha suma cuando el número de elementos crece indefinidamente
mientras se hacen infinitamente pequeños” También contribuyo estableciendo un
método en para la investigación de máximos y mínimos en el cual determino la
subtangente a una parábola. Sin embargo la condición que reflejaba no era
suficiente y tampoco distingue máximos de mínimos es un método puramente
algebraico y algorítmico, no geométrico.
Cabe señalar que Fermat, “no pensaba en una cantidad como una función y por eso
habla de cantidad máxima o mínima, no de una funciónque alcance un máximo o un
mínimo. Fermat no tiene clara la noción de variable independiente. El está
pensando en una ecuación algebraica con dos incógnitas que interpreta como
segmentos, es decir magnitudes dadas. Fermat no decía nada acerca de que l
fuese un infinitesimal, ni siquiera una magnitud muy péquela y el método no
implica ningún límite sino que es puramente algebraico”. En segundo lugar llega
Barrow quien siendo admirador de los geómetras antiguos hizo grandes aportes al
cálculo en sus propias obras “lectiones opticae (1669) y lectiones geometricae
(1670) en la edición de las cuales colaboro Newton. El tratado de lectiones
geometricae hace un tratamiento detallado de todos estos problemas incluyendo conceptos
como tiempo, movimiento y usando métodos infinitesimales y métodos de
indivisibles” . La mayoría de los problemas presentados tratan tangentes y
cuadraturas desde un punto de vista clásico (geométrico en lugar de analítico).
Su método se concentra en “el triangulo característico o diferencial usado
mucho antes por pascal y otros en problemas de cuadraturas. Aun así es parecido
al de Fermat, la diferencia es que Barrow considera incrementos independientes
de las dos variables con el propósito de calcular el cociente a/e que es la
pendiente en la curva del triangulo” . En el resultado fundamental de Barrow
“estuvo muy cerca de descubrir la relación inversa entre problemas de tangentes
y de cuadraturas, pero su conservadora adhesión a losmétodos geométricos le
impidió hacer uso efectivo de esta relación” . De hecho, aunque Barrow nunca
afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando
hacia el resultado y fue Newton quien continuaría en esta dirección y daría
explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo.
A mediados del siglo del siglo XVII se conocían muchas de las técnicas y hechos
elementales del cálculo, incluso métodos para encontrar las tangentes de curvas
simples y formulas de áreas acotadas por estas curvas. La invención del cálculo
como tal, toma su constatación cuando hasta finales del siglo XVII se toma la
conciencia de que estos tipos de problemas están relacionados entre sí. En este
punto gracias a personajes como lo fueron: “Newton y Leibniz quienes proporcionaron
métodos sistemáticos para el cálculo de tangentes (en realidad, subtangentes) e
invirtieran estos procesos para encontrar áreas. De tal modo que dieron paso al
surgimiento del cálculo, y por consiguiente estos dos gigantes de la
creatividad matemática siguieron senderos bastante distintos en sus
descubrimientos”.
El método de Newton era algebraico, “a principios de 1665 descubre el teorema
del binomio y el cálculo con las series infinitas que al combinarlo con
técnicas infinitesimales pudo deducir las formulas básicas del cálculo
diferencial e integral. A finales de ese mismo año, el método de fluxiones, es
decir, el cálculo de derivadas. En 1666 el método inverso de fluxiones yla
relación entre cuadraturas y fluxiones” . “Newton invento nombres para las
variables y sus razones de cambio que reflejaban esta intuición, según él un
fluent (x) es una cantidad en movimiento o que fluye; su fluxión es su razón de
flujo, lo que ahora se denomina velocidad o derivada” . Hoy en día el poder del
cálculo brilla a través del método de fluxiones. Por otro lado aparece Leibniz
quien es apreciado como el pionero de la lógica simbólica superior a la de
Newton puesto que “considero una curva como un polígono de infinitos lados de
longitud infinitesimal. Como una tal curva se asocia una sucesión de abscisas
x_(1,) x_(2,) x_(3 ,) x_(4 ,… )y una sucesión de ordenadas y_(1,) y_(2,) y_(3
,) y_(4 ,… )donde los puntos (x_(i, ) y_i) están todos ellos en la curva y son
algo así como los vértices de la poligonal de infinitos lados que forma la
curva. La diferencia entre dos sucesivos de x es llamado la diferencial de x y
se representa por dx. Significado análogo tiene dy” . Es entonces que “el dx es
una cantidad fija, no nula, infinitamente pequeña en comparación con x, de
hecho es una cantidad infinitesimal. Los lados que constituye la curva son
representados por ds. Resulta así el triangulo característico de Leibniz que es
el mismo que ya había sido considerado por Barrow” .
Leibniz “también realizó una aportación fundamental en la técnica controvertida
de encontrar áreas al sumar secciones. En lugar de considerar por ejemplo el
área bajouna curva y= f(x) como una colección de segmentos de recta, la
consideraba como una suma de las áreas de rectángulos “infinitamente delgados”
de altura y=f (x) y base infinitesimal dx, por tanto, la diferencia entre el
área hasta el punto x+ dx y el área hasta el punto x era la diferencia
infinitesimal en área da= f(x) dx, el área total se encontraba sumando estas
diferencias infinitesimales en área” . No obstante “invento la s alargada (el
signo integral∫a–’) que hoy en día se usa universalmente para expresar
este proceso de suma. Así expresaba el área bajo una curva y= f (x) como A = ∫a–’dA
= ∫a–’f(x)dx, y cada parte de este símbolo expresaba una idea geométrica
simple y clara” .
Luego así, “los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el
matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés,
dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó
contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de
números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió
Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste
(1799-1825), que le valió el sobrenombre de el Newton francés” .
“Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente
pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente
grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias
y las cuadraturas por él encontradas,todavía constituyen el marco de todos los
cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son
sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos
juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de
Euler y su comparación con los textos actuales” .
“En el curso del desarrollo del Cálculo Integral surgió una serie de problemas
de carácter especial. Los esfuerzos en su resolución condujeron a la
elaboración de nuevas ramas del Análisis Matemático, estas últimas, tarde o
temprano se separaron de su fuente inicial, el Cálculo Integral del siglo
XVIII.
El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo conllevó
al descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones
especiales como por ejemplo la Función Bet Y la función Gamma ”
Para concluir vemos entonces que llegar al cálculo integral significo unos de
los grandes avances de toda la historia de la humanidad porque con ello se
desgloso una serie de problemas que a través de una línea de tiempo fueron
resueltos respectivamente. Así comprendemos que el objetivo del cálculo
integral es proporcionar métodos para recuperar las variables originales conociendo
sus razones de cambio. El cual nos ayuda a entender a resolver ecuaciones
diferenciales proporcionadas por el cálculo diferencia. No obstante el cálculo
integral se utilizo para el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes
