ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)
x2 + (7 − x)2 = 25
x2 + 49 − 14x + x2 = 25
2x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 7x + 12 = 0

9)
7x2 + 21x − 28 = 0
x2 +3x − 4 = 0

10)
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0

ECUACIONES DE TERCER GRADO
Primer ejemplo
Sea la ecuacion de tercer grado:
2t3 + 6t2 + 12t + 10 = 0
Para resolverla sigamos los pasos descritos en el primer parrafo:
* t3 + 3t2 + 6t + 5 = 0 (al dividir por 2)
* Hacemos el cambio de variable x = t + 1, es decir t = x − 1 y obtenemos:
(x − 1)3 + 3(x − 1)2 + 6(x − 1) + 5 = 0
desarollando la expresión anterior:
x3 + 3x + 1 = 0
* x = u + v, U = u3, V = v3 y nos imponemos U + V = − 1 y UV = − 1.
U y V son las raíces de

|

y finalmente:
[escribe] Segundo ejemplo
Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).
La ecuación es x3 - 15x - 4 = 0.
Estudiando la función x → x3 - 15x - 4 o calculando el discriminante Δ = -13068 < 0, nos damos cuenta que esta ecuación tiene tres raíces ( vean el cuadro 3 de la figura). Por lo tanto debería ser mas facil que en el primer ejemplo encontrar una.
Los dos primerospasos son inútiles. Pasamos al tercero: x = u + v , U = u3, V = v3.
U + V = 4 y UV = 125
U y V son las raíces de X2 - 4X + 125 = 0, ecuación cuyo discriminante ya hemos calculado y que es negativo. Por lo tanto no tiene raíces reales. Este método no permite encontrar las raíces, todas reales, pasando obligatoriamente por los complejos. ¡ Es paradójico !
Esta constatación fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.
Hallamos U = 2 - 11·i y V = 2 + 11·i. Extraer raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno geométrico, que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y se toma la raíz cúbica del módulo), y otro algebraico, que emplea las partes real e imaginaria: Pongamos u = a + bi.
u3 = 2 - 11i equivale al sistema:
a3 - 3ab2 = 2 (parte real)
3a2b - b3 = - 11 (parte imaginaria)
a2 + b2 = 5 (módulo)
Obtenemos a = 2 y b = -1, o sea u = 2 - i, y v es su conjugado: v = 2 + i.
En conclusión, x = u + v = (2 - i) + (2 + i) = 4, lo que se verifica de inmediato.
Las otras raíces son x' = j(2 - i) + j2(2 + i) = - 2 + √3 y x' = j2(2 - i) + j(2 + i) = - 2 - √3.
Cuando Δ es negativo, U y V son conjugados, y por lo tanto también lo son u y v (con tal debien escoger la raíz cúbica, recordando que uv = -p/3); así estamos seguros de obtener un x real, y de hecho también x' y x'.

ECUACIONES ALGEBRAICAS
* ECUACIONES SIN PARÉNTESIS Y SIN DENOMINADORES
Vamos a resolver una ecuación sencilla:
1)Transposicón de términos.
Se trata de dejar las incógnitas en un miembro y los números en otro. Queremos que desaparezca del miembro izquierdo y aparezca en el derecho. Para eso usamos la propiedad de la suma y sumamos a ambos lados el opuesto de que es :

Como la suma de los opuestos es el elemento neutro , es decir, “cero” , desaparece y aparece en el otro miembro con el signo cambiado

Repetimos el proceso con

Si te fijas el resultado es el mismo que con . La aplicación de la propiedad de la suma permite pasar un término de un miembro a otro cambiandole el signo,
2) Agrupamos términos semejantes (sumar las x con las x y los números con los números)

3)Despejamos x.Para dejar sóla la x en el miembro izquierdo vamos a utilizar la propiedad del producto. Multiplicamos a ambos lados de la ecuación por el inverso del coeficiente de la x. En este caso por el inverso de que es .

Operamos y obtenemos la solución:

Si te fijas el que esta multiplicando ha pasado al otro miembro dividiendo.

Todo esto se traduce en las conocida norma:
Todo lo que esta sumando pasaal otro lado restando y viceversa
Todo lo que esta multiplicando a todo un miembro pasa al otro lado dividiendo y viceversa
* ECUACIONES CON PARÉNTESIS
Si la ecuación tiene paréntesis unicamente hay que añadir un paso a lo anterior: la eliminación de parénteis mediante la propiedad distributiva .

1)Eliminamos paréntesis:

2)Transposición de términos

3)Agrupamos términos semejantes

4)Despejamos la x

* ECUACIONES CON DENOMINADORES
Cuando en las ecuaciones aparecen denominadores lo primero que hacemos e s sacar común denominador para poder sumar/restar los numeradores.

Vamos a eliminar los denominadores usando la propiedad del producto. Multiplicamos ambos términos por el común denominador que es .

Una vez eleiminados los denominadores se resuleve como los casos anteriores

 
 
Ejercicos propuesto:
Resuelve usando las propiedades de las igualdades la ecuación:
Resolución :
1. Sacamos común denominador en las fracciones que intervienen:

2. Eliminamos los denominadores multiplicando ambos miembros de la ecuación por el común denominador :

3. Eliminamos paréntesis:

4. Transponemos términos mediante la propiedad de la suma:

5. Agrupamos términos semejantes:

6. Despejamos la multiplicando ambos términos por , el inverso de :

7. La solución es