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El número e. breve idea de cómo se inventaron los logaritmos



EL NÚMERO e. BREVE IDEA DE CÓMO SE INVENTARON LOS LOGARITMOS
En Matematicas existen algunos números que son muy famosos.
Ya conocemos el número[pic]  y el número aureo ; vamos a hablar del número e, que debe su nombre al matematico aleman Leonard Euler.
El número e es un número irracional, y se obtiene como límite de la sucesión .
Lo anterior supone que, aumentando suficientemente el valor que sustituyamos por n en la fórmula, mas decimales del número e obtendremos
= 1'01100 =2'704813
[pic]=1'0011000 =2'716023
[pic]=1'0000011000000 =2'718280
e = 2'718281828459045..


UN POCO DE HISTORIA
Desde hace mucho tiempo el hombre ha necesitado efectuar laboriosos y precisos calculos para resolver problemas que afectaban a su vida cotidiana.
Durante el siglo XVI, la realización de calculos complicados se presentaba en asuntos mercantiles y trigonométricos, estos últimos de gran incidencia en la navegación o la agrimensura.
Con la reducción del trabajo de varios meses de calculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos(Laplace)
Antes de la invención de los computadores, el nivel de precisión exigido en algunas cuestiones técnicas era bastante grande, requiriéndose operar con números de 5 o mas decimales. En las Tablas de logaritmos vulgares, de D. Vicente Vazquez Queipo, 'obra declarada de texto por el consejo de instrucción pública y premiada en la Exposición Universal de Paris de 1887', se comenta, en el prólogo de su vigésima octava edición (¡Madrid, 1940!), lo siguiente:
es supérfluo en la mayoría delos calculos astronómicos el empleo de mas de cinco decimales, pues los errores de observación son mayores en lo general que la quinta unidad decimal y nunca llega la precisión a la sexta. ¿A qué conducen, pues, la exactitud y prolijidad en los calculos, si los datos a que se aplican no las consienten? A nada absolutamente,a no ser en la analisis trascendental y en las ciencias que de ella dependen indirectamente , en las cuales se necesitan siete y a veces hasta diez decimales, como en la Geodesia. Fuera de estos casos excepcionales sobra y basta con seis.


La cuestión es: ¿cómo actuaban los técnicos y científicos cuando tenían la necesidad de realizar numerosos y complejos calculos lo hacían utilizando las tablas de logaritmos.
La invención de los logaritmos la dio a conocer el escocés Juan Neper, barón de Merchiston, que los publicó por primera vez en 1614.
De manera paralela a Neper, también los descubría el suizo Bürgi. Su idea se basaba en la observación, ya realizada por Arquímedes, de ciertas propiedades de las progresiones geométricas.
Idea primitiva de logaritmo
Consideremos, por ejemplo, la progresión geométrica de primer término 2 y razón 2:
|N |1 |
|0   |1 |
|1 1'0001 |
|2 |1'00020001 |
|3 |1'000300030001 |
|4  |1'0004000600040001 |
|5 |1'00050010001000050001 |
|6|1'000600150020001500060001 |

Vemos que se avanza muy poco (nos interesa que vayan apareciendo los números naturales y con 6 pasos aún estamos lejísimos de 2). Ademas los calculos son tan complicados que parece imposible obtener una potencia elevada de 1'0001.
Se observa (puede haber alguna esperanza) que los números en negrita son los del triangulo de Tartaglia.
Pero, precisamente, si disponemos los números del triangulo en columnas observamos que la segunda columna en negrita es la serie de los números naturales , la tercera columna la de los  números combinatorios de la forma : a 2 le corresponde  = 1 , a 3  = 3 , a 4  = 6, y a n le corresponde  = .
Pero los números de la cuarta columna se corresponden con los  números combinatorios del tipo , en particular, al número n le corresponde .
No es difícil comprobar que, generalizando, en la quinta columna n se corresponde con [pic
Así, no resulta complicado establecer las primeras cifras de 1'0001 50 :
|Número de la columna de los naturales |50 |
|Número de la 3ª columna
|De la 4ª
|De la 5ª
|Etc. |  |

Ahora, teniendo cuidado con la superposición de cifras:
1'0050
           1225
         19600              230300

[pic]
1'0050122696230300.. = 1'0001 50
En definitiva, aunque muy pesado, hemos comprobado que es factible construir la tabla de logaritmos de base 1'0001. El inconveniente que sigue presentando es que el avance es muy lento: elevando esta base a 50 sólo vamos por 1'005; para obtener 2 hemos de elevar la base a 6931: 
1'0001 6931 = 1'99983634, luego a 6932: 2 6932 = 2'000036324 y, calculando la media geométrica(*), estimar que el logaritmo de 2 es 6931'4
También se nos presenta el problema de que los logaritmos en esta base resultan números muy grandes: hay que elevar 1'0001 a 16095 para estar cerca de 5, peor sera con 41 o con 73.
La solución que encontró Bürgi fue considerar la base 1'0001 10000, cuya tabla es muy facil de construir a partir de la anterior: se comprueba sin dificultad que si el logaritmo de 2 era 6931'81183, en la nueva base es 0'69314 Sólo hay que dividir por 10000, con lo que el tamaño de los nuevos logaritmos resulta mas razonable.
Siendo exagerados, podríamos pensar que sería mejor base todavía 1'0000001 10000000, puesto que 1'0000001 aún esta mas cerca de la unidad, y podemos seguir. Si así hacemos nos estaremos acercando al número e = . 
|La base natural para construir una tabla de logaritmos es la base e |

CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE LOGARITMOS DE BRIGGS
Otra opción diferente para la realización de una tabla de logaritmos la tuvo Briggs, en colaboración con Neper, unos años mas tarde (1624) al construir la de base 10. 
Briggs comenzó calculando raíces sucesivas de 10 (según decía, calculó sucesivamente 54raíces cuadradas de 10):
|P.A. |0  |
0/8 |
|A = 1 |a = 0'000 |
|B = 10 |b = 1'000 |
|= 3'162277 |c = (a + b)/2 = 0'500 |
|= 5'623413 |d = (b + c)/2 = 0'750 |


|= 4'216964 |e = (c + d)/2 = 0'625 |
|= 4'869674 |f = (d + e)/2 = 0'6875 |
|= 5'232991 |g = (d + f)/2 = 0'71875 |
|= 5'048065 |h = (f + g)/2 = 0'703125 |
|= 4'958067 |i = (f + h)/2 = 0'6953125 |
|= 5'0028625 |j = (h + i)/2 =0'6992187 |

Si consideramos que 5'0028625 es practicamente 5, tendremos que 0'6992187 es su logaritmo decimal (En verdad, el logaritmo decimal de 5 es 0'698970004).
Briggs no se cansó tan pronto como nosotros y llegó a un resultado con 14 cifras decimales exactas en sus tablas.
• Obtén, con ayuda de la calculadora, mediante un proceso similar el logaritmo decimal de 3.
OTRO POCO DE HISTORIA
Después de Briggs, el holandés Adrian Vlacq redujo sus tablas a 10 cifras.
En los últimos tiempos se emplearon tablas de cinco y cuatro dígitos porque  los calculos eran mas rapidos y con esos decimales bastaba para la mayoría de los calculos técnicos (antes de los últimos avances, las mediciones comunes no solían precisar mas de tres decimales). Para hacerse una idea de la economía en tiempo de calculo que suponía reducir decimales, diremos que en operar con tablas de logaritmos de 5 cifras se tardaba la tercera parte que en operar con tablas de 7 cifras.
Como se comentaba al comienzo del escrito, no conviene olvidar que también existían calculos científicos que requerían incluso mas de 14 cifras. Por esta razón se podían encontrar diferentes tipos de tablas que satisfacían todas las necesidadaes
Tablas de 48 cifras de Wolfram, para números inferiores a 10000
Tablas de 61 cifras de Sharp
Tablas de 102 cifras de Parkhurst
Calculo, de Adams, de los logaritmos de los números 2, 3, 5, 7 y 10 con 260 cifras.
Los precedentes a las tablas de logaritmos
Dos matematicos daneses, Wittich y Clavius, sugirieron la aplicación de las tablastrigonométricas para abreviar los calculos.
Hacían uso de la igualdad .
Si deseamos multiplicar 0'17865 por 0'99027, consultamos las tablas y observamos que sen 10º = 0'17865 y que cos 8º = 0'99027. Tenemos que , las mismas tablas nos dicen que el seno de 18º vale 0'30902 y que el de 2º es 0'03490. En consecuencia, el producto aproximado vale 0'17196. Si se desea mayor precisión se utilizaran tablas con mas decimales.
Antes de conocerse los logaritmos también existían tablas que permitían transformar la operación de multiplicar en una resta. Se basaban la igualdad [pic]y las tablas contenían los cuartos de los cuadrados de los números. Para multiplicar a = 3567 por b = 705. Se miraban los cuartos de cuadrado de 4272 (a + b) y de 2862 (a - b) y al restarlos obtenían la multiplicación deseada. Las mismas tablas facilitaban también la elevación al cuadrado y la raíz cuadrada. Para la división se utilizaba también una tabla de inversos.
Esta técnica siguió utilizandose por algunos después de inventar los logaritmos, incluso en 1856 llegaron a editarse en Francia unas con el título: Tabla de los cuadrados de números de 1 al 1000 millones, con ayuda de la cual se halla el producto exacto de números mediante un sistema sencillo en extremo y mas cómodo que el de logaritmos. Compuestas por Alejandro Cossar.
(*) Ya sabemos que si tenemos tres términos consecutivos A, B y C de una progresión aritmética, el término intermedio B es la media aritmética de los otros 2: . Si fuesen términos consecutivos de una progresión geométrica, B sera la media geométrica de ambos pic].
[pic]




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