MÁS APLICACIONES DE LA DERIVADA

La derivada como razón de cambio

Si y = f(x), la razón de cambio instantánea de y por unidad de cambio de x en x1 es f ’(x1) o, equivalente, la derivada de y con respecto a x en x1, si esta existe allí.

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN:
Criterio de la primera derivada:
Sea f una función continua en todos los puntos del intervalo abierto (a,b) que contiene al número c, y supóngase que f ‘ existe en todos los puntos de (a,b) excepto, posiblemente, en c:
a– Si f ’(x) >0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como su punto extremo derecho, y si f ’(x) 3 + |F es creciente |

LA PRIMERA DERIVADA Y MONOTONIA:
Si f es continua en el intervalo I y derivable en todo punto interior de I, entonces:
i. Si f’(x) >0 para todo x interior a I, entonces f es creciente en I.

ii. Si f’(x) 0, f tiene un valor mínimo relativo en x = c.

Sin embargo, si f ‘’(x) = 0, el criterio no concluye nada y f puede tener un máximo relativo, un mínimo relativo, o no tener ningún extremo relativo en x = c
Ejemplo:
Dada , encontrar los mínimos y máximosrelativos de f aplicando el criterio de la segunda derivada.
[pic]
Lo cual da x = 0; x = -2; x = 1. Así los valores críticos de f son -2, 0 y 1. Determinemos si existe o no un extremo relativo en cualquiera de estos números críticos al encontrar el signo que allí tenga la segunda derivada.

|Números críticos |F(x) |F ‘(x) |F ‘’(x) |Conclusión |
|x = -2 |-32/3 |0 |+ |F tiene un valor mínimo relativo |
|x = 0 |0 |0 |- |F tiene un valor máximo relativo |
|x = 1 |-5/3 |0 |+ |F tiene una valor mínimo relativo |

LA SEGUNDA DERIVADA Y CONCAVIDAD
Sea f una función derivable en un intervalo abierto I. Decimos que f (al igual que su gráfica) es cóncava hacia arriba en I, si f’ es creciente en I, y decimos que f es cóncava hacia abajo en I, si f’ es decreciente en I.

TEOREMA DE CONCAVIDAD

Sea f dos veces derivable en el intervalo abierto I.
i. Si f ‘’(x)>0 para toda x en I, entonces f es cóncava hacia arriba en I.
ii. Si f ‘’(x)