Métodos Numéricos
Un método numérico es un procedimiento mediante el
cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos
problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones
aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de
valores, cálculo preposicional, etc.). Un tal
procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que
especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que
producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un
mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte,
de la facilidad de implementación del algoritmo y de las
características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los
computadores).
En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se
introducen errores llamados de redondeo. Método de Euler
El método es una de las técnicas más simples para
aproximar soluciones de una ecuación diferencial. Este método se aplica
paraencontrar la solución a Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias, esto es, cuando la función involucra sólo una variable
independiente. Se llama método de Euler o Método de las Tangentes y presenta un esquema iterativo que aproxima la solución de un problema
de valor inicial de la forma.
Se observa que la pendiente de la recta tangente a la curva(
) y f xi€‚está dada por '( ) f xy es aproximadamente igual a la pendiente de la
recta secante.
METODO DE EULER MEJORADO
Para diseñar otro método numérico de orden p = 2, y por tanto mas Eficiente que
el de Euler, utilizaremos una formula de integración numérica conocida como
método de los trapecios. Para construir EULER MEJORADO deduciremos primero EULER IMPLCITO.
Este último surge directamente al aplicar la siguiente aproximación de la
integral:
Z xk+1
xk
f(t; y(t))dt
f(xk; y(xk)) + f(xk+1; y(xk+1))
Donde h = xk+1 xk.
En términos geométricos, se trata de sustituir el área bajo la curva de
g(t) = f(t; y(t)) por el área de cierto trapecio. (Ver
sección 3.5 del
Nagle-Sa y la siguiente diapositiva)
