TEORÍA DE COLA O FENÓMENOS DE ESPERA

Es un modelocuantitativo utilizado para aquellos casos donde se requiera la utilización de un servicio en particular. En todo fenómeno de espera interactúan dos variables una serían las llegadas y la otra el servicio (salidas), se les puede llamar también cliente (es) y servidor (es). Hay que destacar que éste método no solo aplica para personas que esperan un servicio, se puede utiliza a nivel operativo, cuando en un proceso o línea de producción, el producto como tal debe esperar para ser procesado. Otro ejemplo a nivel administrativo, sería cuando un proceso tiene que esperar mientras que una persona cumple con su función para así darle continuidad. Existen dos casos aplicables a todo fenómeno de espera:

a. Canal Simple: cuando solo existe un servidor.
b. Canal Múltiple: cuando el número de servidores son dos o más.

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS UTILIZADOS EN ESTE MODELO

a. Con Respecto a las Llegadas: se utiliza el parámetro ( (Landa), el cual representa la tasa media de llegadas, este debe venir expresado en elementos por unidad de tiempo. Las llegadas se rigen por la Ley Probabilística de Poisson.

b. Con Respecto a las Salidas: se utiliza el parámetro ( (Miu), este representa la tasa media de salida. Las salidas se rigen por la Ley exponencial.

|
|Ley Probabilística de Poisson |X = ( x z |
Siendo z el intervalo de tiempo |
|
|Ley Exponencial |X = 1/( |

En ambos casos, es decir, Canal Simple o Canal Múltiple se puede calcular;

a. Probabilidades.
o De esperar en la cola.
o De esperar en el sistema.
o De desocupación del servidor.
b. Número de personas, elementos o unidades.
o Enla cola.
o En el sistema.
c. Tiempo promedio.
o En el sistema.
o En la cola.
o Recibiendo el servicio.
En los siguientes cuadros demostrativos se pueden visualizar la aplicación de las formulas correspondientes para cada caso de fenómeno de espera y posterior a ello casos prácticos donde se detallan paso a paso el desarrollo de problema.

Los formularios que a continuación se presentarán corresponden a cada uno de los canales empleados en esta teoría. Para canal simple se usarán 12 fórmulas y en canal múltiple solo 9 fórmulas, observando que en este último interviene el elemento (k) que indica el número de servidores asociados al problema.

APLICACIÓN PRACTICA DE LA TEORÍA DE COLA CANAL SIMPLE

SISTEMA PARA UN CANAL SIMPLE

|
|
|(((( (
|Personas en Cola cliente | Servidor |

CASO PRACTICO.

Se ha hecho un estudio de las llegadas a una determinada ventanilla durante 60 intervalos de 28 minutos y se ha obtenido los siguientes resultados:

|Numero de Llegadas |Frecuencia |
|0 |8 |
|1 |6 |
|2 |4 |
|3 |7 |
|4 |8 |
|5 |6 |
|6 |9 |
|7 |10 |
|8|12 |

Hay que tomar en cuenta que las llegadas se rigen por la Ley Probabilística de Poisson, siendo n = 70

Supongamos por otra parte que la duración del servicio obedece a la Ley Exponencial y que al observar el tiempo tardado en despachar cada una de las 90 personas que han llegado a esta instalación se han obtenido de los siguientes resultados:

|Tiempo Minutos |Frecuencia |
|0 – 2 |20 |
|2 – 4 |15 |
|4 – 6 |12 |
|6 – 8 |15 |
|8 – 10 |10 |
|10 – 12 |18 |

a) Probabilidad de que haya más de 4 personas frente a la ventanilla.
b) El tiempo promedio en el sistema.
c) Probabilidad de tener que esperar más de 5/4 de hora.
d) Numero medio de unidades en el sistema.

SOLUCION.
Fenómeno: cierta ciudad
Sistema: centro comida rápida
Servidor: la ventanilla

Con respecto a las llegadas

|Numero de Llegadas |Frecuencia
(fi) |xifi |
|0 |8 |0 |
|1 |6 |6 |
|2 |4 |8 |
|3 |7 |21 |
|4 |8 |32|
|5 |6 |30 |
|6 |9 |54 |
|7 |10 |70 |
|8 |12 |96 |
70 |317 |

Ley de Poisson X = ( x z

z: Intervalo de tiempo 28 minutos

n: Sumatoria de la Frecuencia

(: ?

X = ((xifi) / n

Resolviendo;

X = ((xifi) / n = 317 /70 = 4,53

X = ( x z

4,53 = ( x 28

( = 4,53 / 28

= 0.16 llegadas por minutos.

Con Respecto a las salidas

|Tiempo Minutos |Frecuencia |X’i |xifi |
|0 – 2 |20 |1 |20 |
|2 – 4 |15 |3 |45 |
|4 – 6 |12 |5 |60 |
|6 – 8 |15 |7 |105 |
|8 – 10 |10 |9 |90 |
|10 – 12 |18 |11 |198 |
90 518 |

Cuando se trabaja con intervalos de frecuencia se debe determinar un promedio para xi;
xi = (li + ls) / 2
Ley Exponencial: X = 1/(

X = ((xifi) / n = 518 /90 = 5,76

X =1/(

5,76 = 1/(

( = 0,17 salidas por minuto

condición necesaria ( > (

0,17 > 0,16

Probabilidad que haya más de 4 personas frente a la ventanilla.P ( N> n) = (n+1 = (0.94)4+1

P (N > N) = 0.73 = 73%

( = ( / (

( = 0,16 /0,17 = 0.94 = 94%

existe una probabilidad de 73% que hayan más de 4 personas esperando recibir servicio.

sCuál sería el tiempo promedio de una persona en el sistema?

ts = 1 / (( - ( ) = 1 / (0,17 – 0,16) = 100 minutos

100 minutos en cuales está comprendido el tiempo que permanece en la cola y recibiendo servicio. Para determinar el tiempo de la cola se aplica la siguiente formula.

tf = ( / ( (( - ( ) donde ts = tf + (1 / ()

100 = tf + (1 / 0,17 )

tf = 100 – 5,88 = 94,11 minutos

5,88 es el tiempo en el cual se presta el servicio por lo tanto la diferencia indica el tiempo que permanecerá la persona en la cola esperando ser atendido este valor es así de alto debido a que la intensidad del sistema es alta 94% lo que indica que siempre estará congestionado el sistema .

Si se desea calcular la probabilidad de tener que esperar 5 / 4 de hora es decir 75 minutos.

(P >w) = ( x e -( x w (1- ()

(P > w) = (0,94) –(0,17) (75) (1-0,94)

(P > w) = 43%

Tan solo 43% de probabilidad de esperar 75 minutos. Recordando que el tiempo promedio en el sistema es de 100 minutos.

Para determinar por ejemplo el número de unidades en el sistema se procede de la siguiente manera.

E(n) = ( / (1 - () ó ( / (( - ( )

E (n) = 0,94 / (1 – 0,94)

E (n) = 15,67 personas = 15 personas o unidades.

Solo existe un servidor y de manera general, en promedio se encuentran 15 personas en el sistema es por ello el atraso, se podría recomendar incrementar el número de servidores para garantizar un óptimo servicio. 0,67 indica la probabilidad que otra persona ingrese al sistema.

APLICACIÓN PRACTICA DE LA TEORÍA DE COLA CANAL MÚLTIPLE

SISTEMA PARA UN CANAL MÚLTIPLE

| (((( (
|
|
|(((( (
|
|(((( (
| Personas en Cola Recibiendo | Servidores |

|
|(((( (
|
|(
| Personas en Cola Recibiendo | Servidores |

Caso Practico canal múltiple

Esthela Da Silva es la hija mayor de Esteban Da Silva. Ella es una estudiante de la Facultad de Ciencias de la Salud, cursa 4s año de Odontología y estudia dos turnos consecutivos (Mañana y Tarde), y solo tiene 30 minutos libres para la comida debido a sus ocupaciones con las prácticas médicas. El sitio favorito de Esthela para comer es el Cafetín de la facultad pero también es el favorito de muchas otras personas (que al igual que Esthela no tienen mucho tiempo disponible), por lo cual se originan colas en las cajas. Esthela sabe que no debe esperar más de 5 minutos en la cola de lacaja, para así poder comer con calma y regresar a tiempo a la siguiente clase y se conoce además que las personas que llegan a la cafetería a razón de 30 por hora de una manera que puede describirse como Poisson y que este cafetín puede dar servicio a 20 personas por hora con tiempo de servicio exponencialmente distribuido.

Determine según las condiciones cuantas cajas deben mantenerse funcionando generalmente. Con el valor de K que usted considere correcto calcule la probabilidad que un estudiante espere para ser atendido. Justifique sus respuestas. Defina fenómeno y sistema.

Solución
Datos:
K= 3
λ= 30 servicio/ hora
μ= 20 personas/ hora
Ψ = λ/ μ = 30/20 = 1.5
Fenómeno: Facultad de Ciencias de la Salud.
Sistema: Cafetín.
Tiempo promedio de una llegada en la cola.
Fórmula Ns 8:

E(y)= μ (λ / μ )k * Po
(Κ –1) ! (μ * Κ - λ)²
Condición:
E (y) ≤ 5 min.

Calcular Po:
Κ = 3
n= Κ-1= 2

Po= 1 1

2
Σ 1/n! (1.5) ² + 1/ 3! (1.5) ³ * 20* 3
n= 0 (20* 3) - 30

I II

I
n= 0 1/0 ! (1.5)s = 1

n=1 1/1 ! (1.5)¹ = 1.5

n= 2 1/2 ! (1.5)² = 1.125
3,625 3.625

Po = 1 Po = 1 = 0.210526
3.625+1.125 4.75

E(y)= 20 (1.5 )³ * 0.210526
2! (20*3-30) ²

E(y)= 67.5 * 0.210526
1800

E(y)= 0.00807* 60 min. = 0.48 min.

Los valores de k se prueban a través de ensayo y error hasta conseguir la meta propuesta . para el cálculo de P0 es necesario comenzar con un valor de k (número de servidores), el cual en el sistema de canal múltiple es a partir de 2 personas. Existe una condición para la asignación de este valor la cual es ((xk) / [((xk) - (]

Para K= 2

K= 2
λ= 30 servicio/ hora
μ= 20 personas/ hora
Ψ = λ/ μ = 30/20 = 1.5

Calcular Po:
Κ = 2
n= Κ-1= 1

Po= 1

1
Σ 1/n! (1.5) ¹ + 1/ 2! (1.5) ² * 20* 2
n= 0 (20* 2- 30)

I II

I
n= 0 1/0 ! (1.5)s = 1

n=1 1/1 ! (1.5)¹ = 1.5
2.5
II
II= 1.125 * 4= 4.5

Po = 1 = 0.142857142
7

E(y) = 20 (1.5) ² * 0.142857142
1! (20*2-30)

E(y) = 45 * 0.142857142 = 0.064285713 fracción de hora
100

E (y) = 0.06428513 * 60 min. = 3.86 min.

Análisis:

Con K =2 conseguimos el valor más cercano a la condición exigida de no esperar más de 5 min. en la cola para así poder comer con calma y poder regresar a tiempo a clases. De manera que es recomendable realizar al análisis respectivo con K= 2, para que la espera en la cola sea 3.86 min. tiempo promedio de una llegada en la cola y es menor a 5 min. condición pedida.
Calcular la probabilidad de esperar de cada estudiante para que sea atendido en la caja.
Fórmula Ns 5

P> 0= Ψ k * Po

Κ! ( 1 – Ψ/ Κ)

Po =0.142857142

Sustituimos

Po > 0= (1.5) ³ * 0.0142857142
2! (1 – 1.5/2)

Po > 0= 2.25 * 0.0142857142 = 0.64 ~ 64 %
0.5
Análisis:
Existe una probabilidad del 64 % de que Esthela sea atendida en un tiempo menor de 5 min.