CAPITULO 1
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación grafica) conocida como «parametro».
En el uso estandar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parametros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera  equivale a la expresión.

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratarade una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación grafica) conocida como «parametro».
Representación paramétrica de una curva
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parametro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional estan representados por n coordenadas reales), de la forma, donde representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto  le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.
Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto yal menos una es distinta de 0. Si un arco de curva esta compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial

donde êi representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima. Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma

HISTOTIA ELIPCE :
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque mas tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609.Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.2
Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con angulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menorgenera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

 
 
La derivada de una función
En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una curva dada y el de determinar la velocidad instantanea de una cierta partícula, se obtuvo como resultado dos límites: 

 
Ambos límites tiene basicamente la misma forma y son casos específicos de un tipo especial de límite que se define a continuación.
 
 
Definición de derivada
 
Sea  una función real definida en un intervalo. Sea
La derivada de f en el punto, denotada, es el  si este límite existe.
Note que, la pendiente de la recta tangente a la grafica de la curva con ecuación  en el punto, es precisamente la derivada de  evaluada en . 
También, si una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ecuación de movimiento, puede observarse que  en la definición de velocidad instantanea de la partícula en , es la derivada de  respecto a , evaluada en . 
Si en la definición de derivada se sustituye  por h, entonces  cuando y . 
Luego, si este límite existe. La función  es derivable en  si  existe. 
Si  existe para cada  en un intervalo , , se dice que la función  es derivable en ; se escribe