VECTORES PROPIOS: PROPIEDADES Y APLICACIÓN
Los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar  recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio  es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
Propiedades:
Multiplicidad Algebraica: La multiplicidad algebraica de un valor propio λ de A es el orden de λ como cero del polinomio característico de A; en otras palabras, si λ es una de las raíces del polinomio, es el número de factores (t − λ) en el polinomio característico tras la factorización. Una matriz n×n tiene n valores propios, contados de acuerdo con su multiplicidad algebraica, ya que su polinomio característico tiene grado n. Un valor propio de multiplicidad algebraica 1 recibe el nombre de 'valorpropio simple'.

Teoremas de descomposición para matrices generales: Es una versión del teorema espectral en una clase concreta de matrices. Este teorema se explica normalmente en términos de transformación coordinada. Si U es una matriz invertible, puede verse como una transformación entre un sistema de coordenadas a otro, donde las columnas de U son las componentes de la nueva base de vectores expresados en términos de la base anterior. En este nuevo sistema las coordenadas del vector  se representan por 
Aplicaciones
Ecuación de Schrödinger: Un ejemplo de una ecuación de valor propio donde la transformación  se representa en términos de un operador diferencial es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de la mecánica cuántica: . Donde H, el Hamiltoniano, es un operador diferencial de segundo orden y  la función de onda, es una de las funciones propias correspondientes al valor propio E, interpretado como la energía.
Orbitales moleculares: los orbitales atómicos ymoleculares pueden definirse por los vectores propios del operador de Fock. Los valores propios correspondientes son interpretados como potenciales de ionización a través del teorema de Koopmans. En este caso, el término vector propio se usa con un significado más general, pues el operador de Fock es explícitamente dependiente de los orbitales y sus valores propios. Si se quiere subrayar este aspecto se habla deecuación de valores propios implícitos. Tales ecuaciones se resuelven normalmente mediante un proceso iterativo, llamado método de campo consistente propio.

-Cantar de las Bodas: El Cid conquista Valencia y consigue el perdón real, para ello el rey le pide que case a sus hijas con los infantes de Carrión aunque el Cid recela de ellos. Se celebraron las bodas.

-Cantar de la ofrenta de Cortes: Se describe la cobardía de los infantes (episodio del león). Los vasallos del Cid se burlan de los infantes y estos deciden vengarse. Deciden marcharse con sus mujeres a Carrión. Al llegar al robledo de Corpes las desnudan, las azotan y las abandonan.
El Cid pide justicia al rey quien convoca unas cortes en Toledo. Vencen los Vasallos del Cid y los infantes de Navarra y Aragón terminan cansandose con sus hijas.


El tema Central del Poema es la recuperación del honor:
-Honor social (El asciende en la sociedad).
-Honor personal (El Cid es un padre injuriado que no para hasta hacer justicia consus hijas).

El protagonista es el Cid, es el modelo de vasallo perfecto, fiel a su rey, valiente en la batalla, generoso con sus amigos y clemente con sus enemigos.
Es un hombre familiar que ama a su mujer y a sus hijos, confía en restablecer la justicia. Es en definitiva el modelo de caballero medieval.

Los versos del poema tienen distinta medida y su rima es asonante. Presenta rasgos propios del estilo oral y del estilo juglaresco como fórmulas de llamada de atención al público, como un lenguaje arcaizante y epítetos épicos que nos van diciendo como es el personaje.

3. LA NARRATIVA CULTA.
-El mester de clerecía en el siglo XII

El mester de clerecía es el oficio de los clérigos (o personas cultas) cuyas obras presentan las siguientes características:

-Su objetivo es didactico y moral ya que proponen modelos de conducta moral ( no guerreros ni caballeros como el mester de juglaría).
-La estrofa que se utiliza es la cuaderna vía (cuatro versos de 14 sílabas con rima consonante).
-Combina los temas de la tradición culta y popular.
-Utilizan expresiones juglarescas para llamar la atención del público (puesto que es una poesía para ser recitada entre el público).

Una de las figuras mas representativas es Gonzalo de Berceo. Es el primer autor castellano del que se tiene noticia. Para llegar al público se expresa en un lenguaje sencillo. Nació en La Rioja y trabajó en el monasterio de SanMillan de la Cogolla, su obra mas importante es Milagros de nuestra señora. Se trata de un conjunto de relatos breves que siguen un mismo esquema:
-Personajes devotos de la Virgen se encuentran en algún problema o peligro y se salvan por un milagro de esta.

En todos los relatos la Virgen se presenta con rasgos humanos.
El estilo de Berceo es sencillo, sin embargo, en sus obras hay muchos cultismos que provienen de todos los textos latinos que había leído.
Escribió también varias vidas de santos con el fin de fomentar la devoción la peregrinación y las limosnas al monasterio de San Millan.

-Vida de San Millan.
-Vida de Snto domingo de Silos.
.Vida de de Santa Oria.

Ademas de Berceo hay otros libros escritos en cuaderna vía cuyos autores desconocemos:

-Libro de Alejandro, relata la vida de Alejandro Magno.
-Libro de Apolonio, narra las aventuras (naufragios, raptos, viajes etc.) como combinaciones lineales de los factores más términos de errores.
Tensor de inercia: En mecánica, los vectores propios del momento de inercia definen los ejes principales de un cuerpo rígido. El tensor de inercia es necesario para determinar la rotación de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa. Los valores propios definen los momentos máximos y mínimos obtenidos mediante el círculo de Mohr.
Tensor de tensión: En mecánica de sólidos deformables, el tensor de tensión es simétrico, así que puede descomponerse en un tensor diagonal cuyos valores propios en la diagonal y los vectores propios forman una base.
Ejemplos
A medida que la Tierra rota, los vectores en el eje de rotación permanecen invariantes. Si se considera la transformación lineal que sufre la Tierra tras una hora de rotación, una flecha que partiera del centro de la Tierra al polo Sur geográfico sería un vector propio de esta transformación, pero una flecha que partiera del centro a un punto del ecuador no sería un vector propio. Dado que la flecha que apunta al polo nocambia de longitud por la rotación, su valor propio es 1.
https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio Definicion de todos los conceptos de la pregunta 5.