INTERPOLACIÓN
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una
reformulación del
polinomio de
Newton que
evita los calculos de las diferencias divididas. Este se puede
representar concretamente
como
(21)
en donde:
En donde
denota el 'producto de'.
Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es
y la versión de segundo orden es:
al igual que en el método de Newton, la
versión de Lagrange tiene un error aproximado dado por:
La ecuación (21) se deriva directemente del
polinomio de Newton.
Sin embargo, la razon fundamental
de la formulación de Lagrange se puede comprender directamente notando
que cada término Li(X) sera
1 en X=Xi y 0 en todos los demas puntos.
Por lo tanto, cada producto Li(X) f(Xi) toma un valor
de f(Xi) en el punto Xi. Por consiguiente la
sumatoria de todos los productos, dada por la ecuación (21) es el
único polinomio de n-ésimo orden
que pasa exactamente por los n+1 puntos.
Ejemplo 3.4
Úsese un polinomio de interpolación de Lagrange de primer y
segundo orden para evaluar ln 2 en base
a los datos
i
0
1
2
X
1.0
4.0
6.0
f(X)
0.000 0000
1.386 2944
1.791 7595
Solución:
El polinomio de primerorden es:
y, por lo tanto, la aproximación en X = 2 es
de manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como:
Como se expresaba, ambos resultados son similares a los que se obtuvieron
previamente usando la
interpolación polinomial de Newton.
En resumen, para los casos en donde el orden del polinomio se desconozca, el método
de Newton tiene
ventajas debido a que profundiza en el comportamiento de las diferentes
fórmulas de orden superior.
Ademas la aproximación del
error dada por la ecuación (20), en general puede integrarse
facilmente en
los calculos de Newton ya que la aproximación usa una
diferencia dividida. De esta forma, desde el
ÇzA `tÇaxÄ YA wx Ät VÜaé
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2
CENTRO UNIVERSITARIO ITSMOAMERICANO
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
LIC. EN ADMINISTRACION
mas que esto. En particular, la IO se ocupa
también de la administración practica de la
organización. Así, para tener éxito, debera
también proporcionar conclusiones claras que
pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite. Una
característica mas de la investigación de operaciones es
su amplio punto de vista. La IO adopta un punto
de vista organizacional. de esta manera, intenta
resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la
organización de forma que el resultado sea el mejor para la
organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema
deba considerar en forma explícita todos los aspectos de la
organización sino que los objetivos que se buscan deben ser consistentes
con los de toda ella. Una
característica adicional es que la investigación de operaciones
intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución
óptima) para el problema bajo consideración. (Decimos una
mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchassoluciones
que empaten como
la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible.
Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las
necesidades reales de la administración, esta 'búsqueda de
la optimidad' es un aspecto importante dentro de
la investigación de operaciones. Todas estas características
llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente
que no puede esperarse que un solo individuo sea un
experto en todos lo múltiples aspectos del trabajo de investigación de
operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de
individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigación de operaciones
completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de
equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en
matematicas, estadística y teoría de probabilidades, al
igual que en economía, administración de empresas, ciencias de la
computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del
comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de
investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la
experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración
adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la
organización. HISTORIA: ORIGENES DE LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una
persona observa un problema y determina que esnecesario resolverlo procediendo
a definirlo, a formular un objetivo, reconocer las limitaciones o
restricciones, a generar alternativas de solución y evaluarlas hasta
seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede se cualitativo o
cuantitativo. El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio
personal, las habilidades necesarias en este enfoque
son inherentes en la persona y aumentan con la practica. En muchas
ocasiones este proceso basta para tomar buenas
decisiones. El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del
estudio de herramientas matematicas que le permitan a la persona mejorar
su efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no
se tiene experiencia con problemas similares o cuando el problema es tan
complejo o importante que requiere de un analisis exhaustivo para tener
mayor posibilidad de elegir la mejor solución. La investigación
de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cua
punto de vista de calculo, a menudo, se prefiere el método de Newton.
Cuando se va a llevar a cabo sólo una interpolación, ambos
métodos, el de Newton y el de Lagrange
requieren de un esfuerzo de calculo similar. Sin embargo, la versión de
Lagrange es un poco mas facil
de programar. T ambien existen casos en donde la forma de Newton es mas susceptible
a los errores de
redondeo. Debido a esto y a que no se requiere calcular y almacenar
diferencias divididas, la forma de
Lagrange se usa,
a menudo, cuando el orden del
polinomio se conoce a priori.
