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Tinterpolacion - polinomios de interpolación de lagrange



INTERPOLACIÓN
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del polinomio de
Newton que evita los calculos de las diferencias divididas. Este se puede representar concretamente
como
(21)
en donde:

En donde

denota el 'producto de'.

Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es

y la versión de segundo orden es:

al igual que en el método de Newton, la versión de Lagrange tiene un error aproximado dado por:

La ecuación (21) se deriva directemente del polinomio de Newton. Sin embargo, la razon fundamental


de la formulación de Lagrange se puede comprender directamente notando que cada término Li(X) sera
1 en X=Xi y 0 en todos los demas puntos.
Por lo tanto, cada producto Li(X) f(Xi) toma un valor de f(Xi) en el punto Xi. Por consiguiente la
sumatoria de todos los productos, dada por la ecuación (21) es el único polinomio de n-ésimo orden
que pasa exactamente por los n+1 puntos.

Ejemplo 3.4
Úsese un polinomio de interpolación de Lagrange de primer y segundo orden para evaluar ln 2 en base


a los datos
i
0
1
2

X
1.0
4.0
6.0

f(X)
0.000 0000
1.386 2944
1.791 7595

Solución:
El polinomio de primerorden es:

y, por lo tanto, la aproximación en X = 2 es

de manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como:

Como se expresaba, ambos resultados son similares a los que se obtuvieron previamente usando la
interpolación polinomial de Newton.
En resumen, para los casos en donde el orden del polinomio se desconozca, el método de Newton tiene
ventajas debido a que profundiza en el comportamiento de las diferentes fórmulas de orden superior.
Ademas la aproximación del error dada por la ecuación (20), en general puede integrarse facilmente en
los calculos de Newton ya que la aproximación usa una diferencia dividida. De esta forma, desde el



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CENTRO UNIVERSITARIO ITSMOAMERICANO


INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

LIC.
EN ADMINISTRACION

mas que esto.
En particular, la IO se ocupa también de la administración practica de la organización. Así, para tener éxito, debera también proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite. Una característica mas de la investigación de operaciones es su amplio punto de vista. La IO adopta un punto de vista organizacional. de esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba considerar en forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los objetivos que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella. Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. (Decimos una mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchassoluciones que empaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las necesidades reales de la administración, esta 'búsqueda de la optimidad' es un aspecto importante dentro de la investigación de operaciones. Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo múltiples aspectos del trabajo de investigación de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigación de operaciones completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en matematicas, estadística y teoría de probabilidades, al igual que en economía, administración de empresas, ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la organización. HISTORIA: ORIGENES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa un problema y determina que esnecesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de solución y evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede se cualitativo o cuantitativo. El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las habilidades necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con la practica. En muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones. El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del estudio de herramientas matematicas que le permitan a la persona mejorar su efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no se tiene experiencia con problemas similares o cuando el problema es tan complejo o importante que requiere de un analisis exhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la mejor solución. La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cua punto de vista de calculo, a menudo, se prefiere el método de Newton.
Cuando se va a llevar a cabo sólo una interpolación, ambos métodos, el de Newton y el de Lagrange
requieren de un esfuerzo de calculo similar. Sin embargo, la versión de Lagrange es un poco mas facil
de programar. T ambien existen casos en donde la forma de Newton es mas susceptible a los errores de
redondeo.
Debido a esto y a que no se requiere calcular y almacenar diferencias divididas, la forma de
Lagrange se usa, a menudo, cuando el orden del polinomio se conoce a priori.




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