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Distribución Gamma - The Lone Sal Bug



Distribución Gamma


The Lone Sal Bug.

1.1

Distribución Gamma.

Una de las distribuciones más usadas en probabilidad es la distribución Gamma Entre los muchos usos de esta distribución se tiene el siguiente: supóngase que una pieza metálica se encuentra sometida a cierta fuerza, de manera que se rompa después de aplicar un número específico de ciclos de fuerza. Si los ciclos ocurren de manera in dependiente y a una frecuencia promedio, entonces el tiempo que debe transcurrir antes de que el material es una variable aleatoria que cumple con la distribución gama. Definición: Se dice que la función gamma esta dada por

(1.1) Con base a esto busquemos su función de densidad de probabilidad. Para hacerlo, considérese un cambio de variable de integración, tal que , y ; entonces;

dado que


Si una variable aleatoria X tiene una distribución gamma si su función de densidad de probabilidad esta dada por: (1.2)

Donde es la función Gamma. La distribución gamma es muy versátil puesto que exhibe varios perfiles que dependen del valor del parámetro α. En la figura 1.1.1 se ilustran los siguientes perfiles de la función gamma para distintos valores de α y θ.



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Figura 1.1.1;Graficas


dela función gamma para distintos valores de α y θ.

Como puede observarse, para la distribución tiene un perfil de la forma J transpuesta. Para presenta un pico que ocurre en . Para un valor fijo de , el perfil básico de la distribución no se altera si el valor de α no cambia. Lo anterior da como resultado que las cantidades de α y son factores de forma y de escala, respectivamente, de la distribución gamma. Esta distribución se emplea de manera extensa en una gran diversidad de áreas; por ejemplo, para representar el tiempo aleatorio de la falla de un sistema que falla solo si de manera exacta los componentes fallan y la falla de cada componente ocurre a una frecuencia constante λ = 1/θ por unidad de tiempo. También se emplea en problemas de líneas de espera para representar el intervalo total para complementar una reparación si esta se lleva a cabo por subestaciones; complementar la reparación en cada subestación es un evento independiente que ocurre a una frecuencia constante o igual a λ = 1/θ. Existen algunos ejemplos que no siguen el patrón anterior, pero que se aproximan de manera adecuada mediante el empleo de la distribución gamma, como los ingresos familiares y la edad del hombre al contraer matrimonio por “primera vez”. Con unprocedimiento similar al que se hiso para hallar (1.2) se demuestra que el r-ésimo momento alrededor del cero es




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si hacemos u=x/θ

(1.3) Donde µ el la media. Calculemos ahora la varianza. Tenemos que

Si tomamos el mismo cambio de variable anterior (u=x/θ), se tiene:

Dado que

. Por consiguiente

por lo tanto: (1.4) y (1.5) Además, después de obtener los momentos centrales apropiados, se puede demostrar que el coeficiente de asimetría es:


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(1.6) y la curtosis relativa está dada por

(1.7) Nótese que a partir de los factores de forma y , la distribución gamma tiene un sesgo positivo y más picos que la distribución normal, puesto que para cualquier . Sin embargo, también debe notarse que conforme el parámetro se hace cada vez más grande, su sesgo se convierte en menos pronunciado y la curtosis relativa tiene el tres como valor limite. De hecho, para valores grandes de la distribución gamma puede aproximarse, en algún grado, por una distribución normal. Esto es, la variable aleatoria

(1.8) es, de manera aproximada, igual a la normal estándar para valores grandes de . La función generadora de momentos para la variable aleatoria gamma X esta dada por Entonces:(1.9) La función de distribución acumulativa se determina por la siguiente expresión:
The Lone Sal Bug. (1.10) Se tabularon muchas versiones de (1.10). Por ejemplo, si se efectúa el cambio de variable de manera tal que y , entonces (1.10) toma la siguiente forma:
La integral
se conoce como la función gamma incompleta y se
denota, generalmente, por y de la función gamma completa recibe el nombre de cociente de la función gamma incompleta. De acuerdo con lo anterior, la función gamma de distribución acumulativa se escribe como.
(1.11) También una función equivalente de (1.10) esta dada por
(1.12) Donde y . Debe notarse que si el parámetro de forma α es un entero positivo, (1.12) se puede expresar en la forma cerrada
(1.13) como resultado de efectuar varias integraciones por partes. También el valor cuantil para el que no puede determinarse de manera directa; éste puede interpolase a partir de los valores que aparecen en la siguiente tabla.
Tabla 1.1 Propiedades de la distribución gamma.


The Lone Sal Bug. Función de densidad de probabilidad. Parámetros
Media
Varianza
Coeficiente de Asimetría
Curtosis relativa

Ahora veamos un ejemplo. Ejemplo 1. Supóngase que una pieza metálica se romperá después desufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas, obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo a) dentro de una desviación estándar del tiempo promedio, y b) a más de dos desviaciones entandar por encima de la media. Sea X la variable aleatoria que representa el lapso que transcurre hasta que la pieza sufre el segundo siclo de esfuerzo. Si X tiene una distribución gamma con α = 2 y θ = 50 horas debido a que la frecuencia promedio es 0.02 por hora. La función de densidad de probabilidad es:
y la función de distribución acumulativa dada por (1.13) se reduce a:
De (1.4) y (1.5), los valores de la media y de la desviación estándar de X son 100 y 70.71, respectivamente. De acuerdo con lo anterior:
Nótese que la probabilidad de que el lapso sea menor de una desviación estándar por debajo de la media es de 0.1172 y la probabilidad de que éste sea más grande que la media por una desviación estándar es 1- 0.8548=0.1452. Finalmente


Ejemplo 2. Para demostrar el grado de concordancia entre las distribuciones normal y gamma, se seleccionaron, para esta última, los valores de 3.7 y 7 para elparámetro de la forma α, y para θ =10, calculándose las funciones de distribución acumulativa para distintos valores de las correspondientes variables. La información anterior se encuentra en la tabla 1.2. A partir de la información dada en la 1.2, es evidente que la función de distribución acumulativa normal sobreestima los valores dados por la correspondiente función de distribución acumulativa normal sobre estima los valores dados por la correspondiente función de distribución acumulativa gamma en los extremos, mientras que la subestima alrededor de la media. Lo anterior es valido para los valores de α; sin embargo, para α = 7 la concordancia en los extremos es considerablemente mejor que cuando α = 3.5. Como resultado, se espera que la concordancia aumente para valores de α más grandes que siete. Tabla1.2 Comparación entre las funciones de distribución acumulativa gama y normal α=3.5, θ=10, p=2.5; µ=35, α=7, θ=10, p=6; µ=70 σ=18.71 σ=26.46 X u Gamma Normal X u Gamma Normal I(u,p) F(x;µ,σ) I(u,p) F(x;µ,σ) 0 0 0 0.0307 0 0 0 0.0041 5 0.27 0.0058 0.0516 10 0.38 0.000098 0.0116 10 0.53 0.0397 0.0902 20 0.76 0.004865 0.0294 15 0.80 0.1144 0.1423 30 1.13 0.0431 0.0655 20 1.07 0.2209 0.2119 40 1.51 0.1103 0.1292 25 1.34 0.3417 0.2981 50 1.89 0.2380 0.2236 30 1.600.4587 0.3936 60 2.27 0.3946 0.3520 35 1.87 0.5706 0.5000 70 2.65 0.5518 0.5000 40 2.14 0.6678 0.6064 80 3.02 0.6853 0.6480 45 2.41 0.7485 0.7019 90 3.40 0.7928 0.7764 50 2.67 0.8107 0.7881 100 3.78 0.8698 0.8708 55 2.94 0.8612 0.8577 110 4.16 0.9215 0.9345 60 3.21 0.8997 0.9098 120 4.54 0.9544 0.9706 65 3.47 0.9274 0.9485 130 4.91 0.9739 0.9884 70 3.74 0.9486 0.9693 140 5.29 0.9857 0.9959 75 4.01 0.9640 0.9838 150 5.67 0.9924 0.9987 80 4.28 0.9750 0.9920 160 6.05 0.9960 0.9997 Cuando α es un entero positivo, la distribución gamma también se conoce como distribución de Erlang en honor al científico danés que usó por primera vez a principios de 1900 a fin de establecer resultados útiles para problemas de trafico en líneas telefónicas. Existe una asociación entre modelos de probabilidad de Poisson y de Erlang. Si el número de eventos aleatorios independientes que




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ocurren en un lapso especifico es una variable de Poisson con frecuencia constante de ocurrencia igual a 1/θ, entonces para α, el tiempo de espera hasta que ocurre el α-ésimo evento de Poisson tiene una distribución de Erlang. Este resultado sigue al hacer una comparación entre las formas de distribución acumulativa de los modelos de Poisson y de Erlang dadas por ladistribución acumulativa de Poisson

(1.14) (donde λ es el parámetro de la distribución de Poisson) y (1.13), respectivamente. Esto es, la probabilidad de que ocurran a lo más α-1 eventos de Poisson en un tiempo x a una frecuencia constante 1/θ se desprende de (1.13) y esta dado por:

Por otro lado, si se supone que el tiempo de espera sigue el modelo de Erlang, la probabilidad de que el tiempo de espera hasta que ocurra el α-ésimo evento exceda un lapso especifico, esta determinado por:

(1.15) En otras palabras, la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta el αésimio evento exceda el valor x es igual a la probabilidad de que el número de eventos de Poisson observados en x no sea mayor que α-1. De esta forma, la distribución de Erlag es el modelo para el tiempo de espera para el que ocurre el α-ésimo evento de Poisson, y la distribución de Poisson es el modelo para el número de eventos independientes que ocurren en un tiempo x, encontrandoce en éste distribuido de acuerdo con el modelo de Erlang. En este contexto, 1/θ es la frecuencia constante de ocurrencia y θ es el tiempo promedio entre dos ocurrencias sucesivas. Otro caso especial del modelo de probabilidad gamma es la distribución chicuadrado. Si se remplaza en (1.2) el parámetro de laforma α con v/2 y el parámetro de escala θ con 2, el resultado es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria chi-cuadrado y se determina por:

(1.15) La distribución chi-cuadarado encuentra caracterizada por un solo parámetro v, que recibe el nombre de grados de libertad. Como se verá, esta distribución interviene en la inferencia estadística y de manera especial al hacer inferencias con respecto a las varianzas. Se emplea, de manera general, la notación para indicar que la variable aleatoria tiene una distribución chi-cuadrado con v grados de libertad.


1.2
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Bibliografía.

WILFRID J y otro. Introducción al Análisis Estadístico, 2a Edición, McGraw-Hill, 1965. BENCARDINO M., CIRO. Estadística, Apuntes y 600 Problemas Resueltos, 2a Edición, Ecoe, 1982.

1.3
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Sitios WEB.

https://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/gamma/gammaplot.phtml?TYPE=de ns https://www.intersalud.net/paginas/Num3/TablasII/tablas_2.htm#GAMMA https://www.tesisymonografias.net/distribucion-gamma/3/ https://www.buenastareas.com/ensayos/Distribucion-Gamma/146815.html https://www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica%201.htm#Di stribuci%C3%B3n%20Gamma%20%28%CE%93%29






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