Distribución Gamma
The Lone Sal Bug.
1.1
Distribución Gamma.
Una de las distribuciones más usadas en probabilidad es la distribución Gamma
Entre los muchos usos de esta distribución se tiene el siguiente: supóngase que
una pieza metálica se encuentra sometida a cierta fuerza, de manera que se
rompa después de aplicar un número específico de
ciclos de fuerza. Si los ciclos ocurren de manera in dependiente y a una
frecuencia promedio, entonces el tiempo que debe transcurrir antes de que el
material es una variable aleatoria que cumple con la distribución gama. Definición: Se dice que la función gamma esta dada por
(1.1) Con base a esto busquemos su función de densidad de probabilidad. Para
hacerlo, considérese un cambio de variable de integración, tal que , y ;
entonces;
dado que
Si una variable aleatoria X tiene una distribución gamma si su función de
densidad de probabilidad esta dada por: (1.2)
Donde es la función Gamma. La distribución gamma es muy versátil puesto que
exhibe varios perfiles que dependen del valor del parámetro α. En la
figura 1.1.1 se ilustran los siguientes perfiles de la función gamma para
distintos valores de α y θ.
The Lone Sal Bug.
Figura 1.1.1;Graficas
dela función gamma para
distintos valores de α y θ.
Como puede
observarse, para la distribución tiene un
perfil de la forma J transpuesta. Para presenta un pico que ocurre en . Para
un valor fijo de , el perfil básico de la distribución
no se altera si el valor de α no cambia. Lo anterior da como resultado que
las cantidades de α y son factores de forma y de escala, respectivamente,
de la distribución gamma. Esta distribución se emplea de manera extensa en una
gran diversidad de áreas; por ejemplo, para representar el tiempo aleatorio de
la falla de un sistema que falla solo si de manera exacta los componentes
fallan y la falla de cada componente ocurre a una frecuencia constante λ =
1/θ por unidad de tiempo. También se emplea en problemas de líneas de
espera para representar el intervalo total para complementar una reparación si
esta se lleva a cabo por subestaciones; complementar la reparación en cada
subestación es un evento independiente que ocurre a una frecuencia constante o
igual a λ = 1/θ. Existen algunos ejemplos que no siguen el patrón
anterior, pero que se aproximan de manera adecuada mediante el empleo de la
distribución gamma, como los ingresos familiares y la edad del hombre al contraer
matrimonio por “primera vez”. Con unprocedimiento similar al que se hiso para
hallar (1.2) se demuestra que el r-ésimo momento alrededor del cero es
The Lone Sal Bug.
si hacemos u=x/θ
(1.3) Donde µ el la media. Calculemos ahora la varianza.
Tenemos que
Si tomamos el mismo cambio de variable anterior (u=x/θ), se tiene:
Dado que
. Por consiguiente
por lo tanto: (1.4) y (1.5) Además, después de obtener los momentos centrales
apropiados, se puede demostrar que el coeficiente de asimetría es:
The Lone Sal Bug.
(1.6) y la curtosis relativa está dada por
(1.7) Nótese que a partir de los factores de forma y , la distribución gamma
tiene un sesgo positivo y más picos que la distribución normal, puesto que para
cualquier . Sin embargo, también debe notarse que conforme el parámetro se hace
cada vez más grande, su sesgo se convierte en menos pronunciado y la curtosis
relativa tiene el tres como valor limite. De hecho, para valores grandes de la distribución gamma puede
aproximarse, en algún grado, por una distribución normal. Esto es, la
variable aleatoria
(1.8) es, de manera aproximada, igual a la normal estándar para valores grandes
de . La función generadora de momentos para la variable aleatoria gamma X esta
dada por Entonces:(1.9) La función de distribución
acumulativa se determina por la siguiente expresión:
The Lone Sal Bug. (1.10) Se tabularon muchas versiones de
(1.10). Por ejemplo, si se efectúa el cambio de variable de manera tal
que y , entonces (1.10) toma la siguiente forma:
La integral
se conoce como
la función gamma incompleta y se
denota, generalmente, por y de la función gamma completa recibe el nombre de
cociente de la función gamma incompleta. De acuerdo con lo anterior, la función
gamma de distribución acumulativa se escribe como.
(1.11) También una función equivalente de (1.10) esta dada por
(1.12) Donde y . Debe notarse que si el parámetro de forma α es un entero
positivo, (1.12) se puede expresar en la forma cerrada
(1.13) como
resultado de efectuar varias integraciones por partes. También
el valor cuantil para el que no puede determinarse de manera directa; éste
puede interpolase a partir de los valores que aparecen en la siguiente tabla.
Tabla 1.1 Propiedades de la distribución gamma.
The Lone Sal Bug. Función de densidad de probabilidad.
Parámetros
Media
Varianza
Coeficiente de Asimetría
Curtosis relativa
Ahora veamos un ejemplo. Ejemplo 1.
Supóngase que una pieza metálica se romperá después desufrir
dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente
a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas, obtener la probabilidad de
que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo a)
dentro de una desviación estándar del tiempo promedio, y b) a más de dos
desviaciones entandar por encima de la media. Sea X la
variable aleatoria que representa el lapso que transcurre hasta que la pieza
sufre el segundo siclo de esfuerzo. Si X tiene una distribución gamma
con α = 2 y θ = 50 horas debido a que la frecuencia promedio es 0.02
por hora. La función de densidad de probabilidad es:
y la función de distribución acumulativa dada por (1.13) se reduce a:
De (1.4) y (1.5), los valores de la media y de la desviación estándar de X son
100 y 70.71, respectivamente. De acuerdo con lo anterior:
Nótese que la probabilidad de que el lapso sea menor de una desviación estándar
por debajo de la media es de 0.1172 y la probabilidad de que éste sea más
grande que la media por una desviación estándar es 1- 0.8548=0.1452. Finalmente
Ejemplo 2. Para demostrar el grado de concordancia entre las distribuciones
normal y gamma, se seleccionaron, para esta última, los valores de 3.7 y 7 para
elparámetro de la forma α, y para θ =10, calculándose las funciones
de distribución acumulativa para distintos valores de las correspondientes
variables. La información anterior se encuentra en la tabla 1.2. A partir de la
información dada en la 1.2, es evidente que la función de distribución
acumulativa normal sobreestima los valores dados por la correspondiente función
de distribución acumulativa normal sobre estima los valores dados por la
correspondiente función de distribución acumulativa gamma en los extremos,
mientras que la subestima alrededor de la media. Lo anterior es valido para los
valores de α; sin embargo, para α = 7 la concordancia en los extremos
es considerablemente mejor que cuando α = 3.5. Como resultado, se espera que la concordancia aumente para valores de
α más grandes que siete. Tabla1.2 Comparación entre las funciones
de distribución acumulativa gama y normal α=3.5, θ=10, p=2.5; µ=35,
α=7, θ=10, p=6; µ=70 σ=18.71 σ=26.46 X u Gamma Normal X u
Gamma Normal I(u,p) F(x;µ,σ) I(u,p) F(x;µ,σ) 0 0 0 0.0307 0 0 0 0.0041
5 0.27 0.0058 0.0516 10 0.38 0.000098 0.0116 10 0.53 0.0397 0.0902 20 0.76
0.004865 0.0294 15 0.80 0.1144 0.1423 30 1.13 0.0431 0.0655 20 1.07 0.2209
0.2119 40 1.51 0.1103 0.1292 25 1.34 0.3417 0.2981 50 1.89 0.2380 0.2236 30
1.600.4587 0.3936 60 2.27 0.3946 0.3520 35 1.87 0.5706 0.5000 70 2.65 0.5518
0.5000 40 2.14 0.6678 0.6064 80 3.02 0.6853 0.6480 45 2.41 0.7485 0.7019 90
3.40 0.7928 0.7764 50 2.67 0.8107 0.7881 100 3.78 0.8698 0.8708 55 2.94 0.8612
0.8577 110 4.16 0.9215 0.9345 60 3.21 0.8997 0.9098 120 4.54 0.9544 0.9706 65
3.47 0.9274 0.9485 130 4.91 0.9739 0.9884 70 3.74 0.9486 0.9693 140 5.29 0.9857
0.9959 75 4.01 0.9640 0.9838 150 5.67 0.9924 0.9987 80 4.28 0.9750 0.9920 160
6.05 0.9960 0.9997 Cuando α es un entero positivo, la distribución gamma
también se conoce como distribución de Erlang en honor al científico danés que
usó por primera vez a principios de 1900 a fin de establecer resultados útiles
para problemas de trafico en líneas telefónicas. Existe una
asociación entre modelos de probabilidad de Poisson y de Erlang. Si el número de eventos aleatorios independientes que
The Lone Sal Bug. ocurren en un lapso especifico es una variable de
Poisson con frecuencia constante de ocurrencia igual a 1/θ, entonces para
α, el tiempo de espera hasta que ocurre el α-ésimo evento de Poisson
tiene una distribución de Erlang. Este resultado sigue al hacer una comparación
entre las formas de distribución acumulativa de los modelos de Poisson y de
Erlang dadas por ladistribución acumulativa de Poisson
(1.14) (donde λ es el parámetro de la distribución de Poisson) y (1.13),
respectivamente. Esto es, la probabilidad de que ocurran a lo más α-1
eventos de Poisson en un tiempo x a una frecuencia constante 1/θ se
desprende de (1.13) y esta dado por:
Por otro lado, si se supone que el tiempo de espera sigue el modelo de Erlang,
la probabilidad de que el tiempo de espera hasta que ocurra el α-ésimo
evento exceda un lapso especifico, esta determinado por:
(1.15) En otras palabras, la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta
el αésimio evento exceda el valor x es igual a la probabilidad de que el
número de eventos de Poisson observados en x no sea mayor que α-1. De esta
forma, la distribución de Erlag es el modelo para el tiempo de espera para el
que ocurre el α-ésimo evento de Poisson, y la distribución de Poisson es
el modelo para el número de eventos independientes que ocurren en un tiempo x, encontrandoce en éste distribuido de acuerdo
con el modelo de Erlang. En este contexto, 1/θ es
la frecuencia constante de ocurrencia y θ es el tiempo promedio entre dos
ocurrencias sucesivas. Otro caso especial del modelo de
probabilidad gamma es la distribución chicuadrado. Si se remplaza en (1.2) el
parámetro de laforma α con v/2 y el parámetro de escala θ con 2, el
resultado es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria
chi-cuadrado y se determina por:
(1.15) La distribución chi-cuadarado encuentra caracterizada por un solo
parámetro v, que recibe el nombre de grados de libertad. Como se verá, esta distribución interviene en
la inferencia estadística y de manera especial al hacer inferencias con
respecto a las varianzas. Se emplea, de manera general, la
notación para indicar que la variable aleatoria tiene una distribución
chi-cuadrado con v grados de libertad.
1.2
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Bibliografía.
WILFRID J y otro. Introducción al
Análisis Estadístico, 2a Edición, McGraw-Hill, 1965. BENCARDINO M.,
CIRO. Estadística, Apuntes y 600 Problemas Resueltos, 2a
Edición, Ecoe, 1982.
1.3
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Sitios WEB.
https://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/gamma/gammaplot.phtml?TYPE=de ns
https://www.intersalud.net/paginas/Num3/TablasII/tablas_2.htm#GAMMA
https://www.tesisymonografias.net/distribucion-gamma/3/
https://www.buenastareas.com/ensayos/Distribucion-Gamma/146815.html
https://www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica%201.htm#Di
stribuci%C3%B3n%20Gamma%20%28%CE%93%29
