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Planeamiento y diseño de instalaciones - conceptos, principios generales, medidas de variabilidad, variables aleatorias y distribuciones



Planeamiento y diseño de instalaciones

Conceptos
Si bien no hay una definición de estadística exacta, se puede decir  que   la 'estadística es el estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir y analizar datos y para hacer inferencias científicas partiendo de tales datos'.
Esta definición cubre gran parte de la actividad del científico. Es importante observar que el objeto del que realiza el analisis estadístico son los datos y las observaciones científicas por sí mismos, mas que el material químico que interviene en el estudio.
Por lo tanto no es posible trazar límites rígidos entre la química, la estadística y la matematica.


La estadística se puede dividir en 2 categorías, la 'estadística descriptiva' y la 'inferencia estadística'.
La estadística descriptiva implica la abstracción de varias propiedades de conjuntos de observaciones, mediante el empleo de métodos graficos, tabulares ó numéricos. Entre estas propiedades, estan la frecuencia con que se dan varios valores en la observación, la noción de un valor típico o usual, la cantidad de variabilidad en un conjunto de datos observados y la medida de relaciones entre 2 ó mas variables.
El campo de la estadística descriptiva no tiene que ver con las implicaciones o conclusiones que se puedan deducir de conjuntos de datos. La estadística descriptiva sirve como método para organizar datos y poner de manifiesto sus características esenciales con el propósito de llegar a conclusiones.
La inferencia estadística se basa en las conclusiones a la quese llega por la ciencia experimental basandose en información incompleta.
Por ejemplo, Mendel al estudiar la manera como diferían entre sí las plantas de guisantes en altura, color de las semillas, color de las vainas y color de las flores, tuvo que hacer sus conclusiones necesariamente basandose en un grupo de plantas relativamente poco numeroso comparado con toda la población de plantas de guisantes de un tipo particular.
Al hacer un enunciado, como por ejemplo, sobre el color de las flores, las conclusiones de Mendel dependían de la muestra particular de plantas disponibles para este estudio.


En la terminología estadística, el procedimiento inductivo implica el hacer inferencias acerca de una población adecuada ó universo a la luz de lo averiguado en un subconjunto aparte o muestra.
La inferencia estadística se refiere a los procedimientos mediante los cuales se pueden hacer tales generalizaciones ó inducciones.
Es importante por todo lo dicho anteriormente, que el proceso de la inferencia científica, implica el grado mas elevado de cooperación entre la estadística y el estudio experimental.
Graficos y tablas
Principios generales
Los graficos se han de explicar enteramente por sí mismos. El contenido de un grafico debera ser tan completo como sea posible.
Las escalas vertical y horizontal estaran rotuladas con claridad dando las unidades pertinentes. La mayorías de los graficos presentan información numérica con escalas, que deben rotularse para describir completamente la variablepresentada en la escala y para variables de medida se diran las unidades de medición.
No se debe tratar de abarcar demasiada información en un solo grafico. Es mejor hacer varios graficos que comprimir toda la información en uno solo. Una regla practica segura es evitar graficos que contengan mas de 3 curvas.
Los graficos tienen que dar una visión general y no una imagen detallada de un conjunto de datos. Las presentaciones detalladas se deben reservar para las tablas.
Las tablas se explicaran por sí mismas enteramente. como los graficos, se ha de dar suficiente información en el título y en los encabezamientos de columnas y filas de la tabla para permitir que el lector identifique facilmente su contenido.
Como el título sera por lo general lo primero que se lee en detalle, debera suministrar toda la información esencial sobre el contenido de la tabla y debera especificar el tiempo, lugar, material ó estudio experimental y relaciones que se presenten en la tabla.
Para cada variable numérica se han de dar las unidades.
La función del rayado es dar claridad de interpretación.
Las anotaciones de numéricas del cero se han de escribir explícitamente.
Una anotación numérica no debe comenzar con una punto decimal.
Los números que indican valores de la misma característica se han de dar con el mismo número de decimales.
Estadística descriptiva
Como se ha señalado anteriormente, el objetivo de la estadística descriptiva, es la descripción de los datos y no la inferencia partiendo de los datos.Medidas de tendencia central
Al describir grupos de observaciones, con frecuencia se desea describir el grupo con un solo número. Para tal fin, desde luego, no se usara el valor mas elevado ni el valor mas pequeño como único representante, ya que solo representan los extremos. mas bien que valores típicos. Entonces sería mas adecuado buscar un valor central.
Las medidas que describen un valor típico en un grupo de observaciones suelen llamarse medidas de tendencia central Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplican a grupos mas bien que a individuos.  un promedio es una característica de grupo, no individual.
Media aritmética

La medida de tendencia central mas obvia que se puede elegir, es el simple promedio de las observaciones del grupo, es decir el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo.
En realidad hay muchas clases de promedios y ésta se la llama media aritmética para denotar la suma de un grupo de observaciones dividida por su número.


Mediana
Otra medida de tendencia central que se utiliza con mucha frecuencia es la mediana, que es el valor situado en medio en un conjunto de observaciones ordenadas por magnitud.
Moda
Otra medida de tendencia central es la moda.
La moda es el valor que ocurre con mas frecuencia en un conjunto de observaciones.
Oras medidas de tendencia central
Centro de amplitud
Es el valor que queda en medio de los valores mínimo y maximo.


Media geométrica
La mediageométrica de un conjunto de observaciones es la raíz n ésima de su producto. El calculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas.

Media armónica
Es el inverso de la media aritmética de los inversos de las observaciones.


Media ponderada
En ciertas circunstancias no todas las observaciones tienen igual peso.
En general si se tienen observaciones con sus respectivos pesos es

Medidas de variabilidad
Amplitud
Se obtiene restando el valor mas bajo del mas alto en un conjunto de observaciones. La amplitud tiene la ventaja de que es facil de calcular y sus unidades son las mismas que las de la variable que se mide. La amplitud no toma en consideración el número de observaciones de la muestra estadística, sino  solamente la observación del valor maximo y la del valor mínimo. Sería deseable utilizar también los valores intermedios del conjunto de observaciones.
Desviación media
Esta medida es mas acorde que la de amplitud, ya que involucra a todos los valores del conjunto de observaciones corrigiendo la desviación. Ésta medida se obtiene calculando la media aritmética de la muestra, y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con respecto de la media. Luego se divide por el número de observaciones.
Una medida como ésta tiene la ventaja de que utiliza cada observación y corrige la variación  en el número de observaciones al hacer la división final. Y por último también se expresa en las mismas unidades que las observaciones mismas.Varianza
Existe otro mecanismo para solucionar el efecto de cancelación para entre diferencias positivas y negativas. Si elevamos al cuadrado cada diferencia antes de sumar, desaparece la cancelación

Esta fórmula tiene una desventaja, y es que sus unidades no son las mismas que las de las observaciones, ya que son unidades cuadradas.
Esta dificultad se soluciona, tomando la raíz cuadrada de la ecuación anterior
Desviación típica
Es la raíz cuadrada de la varianza:

Entonces en este caso la unidad de s es la misma que la del conjunto de observaciones de la muestra estadística.
Variables discretas y variables continuas
Una distribución de los datos en categorías que ha demostrado ser útil al organizar los procedimientos estadísticos, es la distinción entre variables discretas y variables continuas.
Una variable discreta es sencillamente una variable para la que se dan de modo inherente separaciones entre valores observables sucesivos. Dicho con mas rigor, se define una variable discreta como la variable tal que entre 2 cualesquiera valores observables (potencialmente), hay por lo menos un valor no observable (potencialmente). Por ejemplo, un recuento del número de colonias de un cultivo en agar es una variable discreta. Mientras que cuentas de 3 y 4 son potencialmente observables, no lo es una de 3,5.
Una variable continua tiene la propiedad de que entre 2 cualesquiera valores observables (potencialmente), hay otro valor observable (potencialmente). Una variable continua toma valores a lolargo de un continuo, esto es, en todo un intervalo de valores. Longitudes y pesos son ejemplos de variables continuas. La estatura de una persona, pude ser 1,70 mts. ó 1,75 mts., pero en potencia al menos podría tomar cualquier valor intermedio como 1,73 mts. por ejemplo.
Un atributo esencial de una variable continua es que, a diferencia de lo que ocurre con una variable discreta, nunca se la  puede medir exactamente. Con una variable continua debe haber inevitablemente un error de medida.
Un importante principio sobre variables continuas es que siempre se registran en forma discreta, quedando la magnitud de la distancia entre valores registrables adyacentes determinada por la precisión de la medición.
ESTADISTICA DE DATOS AGRUPADOS
Poblaciones, muestras e inferencia
Como se ha señalado anteriormente, el objetivo de la estadística descriptiva, es la descripción de los datos y no la inferencia partiendo de los datos.

Una  población de unidades es un grupo de entidades que tienen alguna característica cuantificable en común.
Las unidades pueden ser personas, arboles, bacterias, compuestos químicos, etc Pueden ser finitas o infinitas en número. La característica cuantificable puede ser una variable continua o discreta.
Una población de observaciones es un grupo que consiste en los valores numéricos de una característica cuantificable determinada en cada elemento de una población de unidades.
La misma población de unidades tendra en ocasiones mas de una población de observacionesasociada.
Una muestra de unidades es un número finito de unidades procedentes de una población de unidades.
Una muestra de observaciones es un número finito de observaciones procedentes de una población de observaciones.
Es decir una muestra es una parte de una población que aislamos para estudiarla.
Este concepto es de importancia para el analisis estadístico porque por lo general uno dispone de una muestra de una población para el estudio que intenta realizar. Por ejemplo, si necesitaramos hacer un promedio de todas las alturas de los habitantes de un país de 200.000.000 de habitantes (esta sería la población estadística), es lógico suponer lo engorroso que sería medir la altura de todos. Esto se realiza midiendo las alturas de una muestra de esta población, por ejemplo 10.000 habitantes. Este procedimiento es inductivo ya que el investigador saca conclusiones acerca de la población basandose en el analisis de una muestra de esa población; esto es hacer una inferencia acerca de una población partiendo de una muestra.
 Se llama inferencia estadística una conclusión que se refiere a una población de observaciones, obtenida sobre la base de una muestra de observaciones.
Una característica descriptiva global de una población de observaciones se llama parametro.
Una característica descriptiva global de una muestra de observaciones se llama estadígrafo.
Muestra aleatoria
Una muestra aleatoria es una muestra sacada de una población de unidades, de manera que todo elemento de la población tengala misma probabilidad de selección y que las unidades diferentes se seleccionen independientemente.

Variables aleatorias y distribuciones
Se llama variable aleatoria aquella que toma diversos valores o conjuntos de valores con distintas probabilidades. Existen 2 características importantes de una variable aleatoria, sus valores y las probabilidades asociadas a esos valores.
Una tabla, grafico o expresión matematica que dé las probabilidades con que una variable aleatoria toma diferentes valores, se llama distribución de la variable aleatoria.
Como vimos anteriormente, la inferencia estadística se relaciona con las conclusiones que se pueden sacar acerca de una población de observaciones basandose en una muestra de observaciones. Entonces intervienen las probabilidades en el proceso de la selección de la muestra; en este caso se desea saber algo sobre una distribución con base en una muestra aleatoria de esa distribución.
De tal manera vemos que trabajamos con muestras aleatorias de una población que es mas grande que la muestra obtenida; tal muestra aleatoria aislada no es mas que una de muchas muestras diferentes que se habrían podido obtener mediante el proceso de selección. Este concepto es realmente importante en estadística.
La distribución de un estadígrafo en todas las muestras aleatorias de tamaño n tomadas de una población, se llama distribución muestral del estadígrafo para muestras aleatorias de tamaño n.

Definición
Una muestra aleatoria simple de tamaño n de unapoblación de tamaño N, es una muestra escogida de tal manera que todo grupo de n unidades diferentes tiene igual probabilidad de ser escogido como muestra.
Distribución normal
Propiedades generales de la curva normal
La distribución que ocupa la posición central en la teoría y practica estadísticas, es la distribución normal.

No hay variable aleatoria observable que siga exactamente la distribución normal, y muchas variables que se dan en la experiencia normal no tienden a seguir esta distribución.
La expresión matematica de la densidad normal es

El area total bajo la curva es 1, ya que las areas bajo las curvas de densidad dan probabilidades y puesto que debe presentarse algún valor de x entre mas infinito y menos infinito; lo cual es lo mismo que decir que la probabilidad de que x caiga en algún punto debe ser 1.
La distribución normal típica
La distribución normal es una numerosa familia de distribuciones que corresponden a los muchos
valores diferentes de μ y de σ.
Es esencial una simplificación para tabular las probabilidades normales para varios valores de los parametros. Esto es posible por medio del procedimiento llamado tipificación. Geométricamente equivale a convertir la escala basica de valores x de modo que se mida en una escala patrón en la que corresponda el valor cero y en la que la unidad de medida sea 1 desviación típica (s); es decir, se convierten las medidas a números expresados en s como unidades por encima o por debajo de la media.

Teorema del límite central





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