Solución Segundo Examen de Calculo

Nota: Todos los calculos efectuados mediante Matlab deben ser indicados mediante una lista de instrucciones en su hoja de respuesta de lo contrario dicho punto tendra una nota de cero coma cero. Indique siempre como obtuvo sus resultados.

1) La superficie de una montaña satisface la ecuación: donde (x) y (y) representan las distancias horizontales y (z) representa distancias verticales, todas medidas en kilómetros.
2) Un excursionista se ha quedado sin alimentos y equipo de oxígeno vitales para su subsistencia en el pico mas alto de la montaña. Para rescatarlo se ha propuesto una expedición de búsqueda la cual por error propuso una trayectoria dada por la ecuación

a) Indique a la comisión de búsqueda en que lugar durante su trayectoria estuvo mas cerca del escalador y a quedistancia estuvo de él.

b) Determine la ubicación exacta del escalador.
c) Indique al equipo de búsqueda cual sera su mayor altura y menor altura durante su recorrido y en que lugares ocurre esto.

Ubicación del excursionista

En este lugar las derivadas parciales son nulas. Nos ayudamos visualizando las curvas de nivel.
[x y]=meshgrid(-4:0.1:10,-10:0.1:2);
z=eval(vectorize('3*exp(-0.1*(x-4)^2-0.1*(y+3)^2)+1.8*(exp(-0.3*(x-2)^2-0.2*(y+4)^2))'));
contour(x,y,z);grid

A primera vista el pico de la montaña esta en (x,y)=(3,-3)

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

;
En Matlab tenemos:
syms x y
z=3*exp(-0.1*(x-4)^2-0.1*(y+3)^2)+1.8*exp(-0.3*(x-2)^2-0.2*(y+4)^2);
zx=diff(z,x);
zy=diff(z,y);
r=solve(zx,zy);

Se obtiene la siguiente respuesta:
[r.x r.y] = [ 2.7137, -3.5457]
Ahora se calcula la altura del pico mas alto:
x=r.x;y=r.y;h=eval(z) =3.9503
La ubicación exacta del escalador es: Xescalador=[2.7137 -3.5457 3.9503];

Determinación de la distancia mínima al escalador.

Se trata de minimizar lafunción de distancia hasta el escalador
Sujeta a las restricciones:



Para ello se plantea un sistema de cinco ecuaciones con cinco variables mediante el método de los Multiplicadores de Lagrange así:


Para tener una idea de los puntos mas alejados y mas cercanos primero graficamos las curvas de nivel y la trayectoria.
En Matlab tenemos:
[x y]=meshgrid(-4:0.1:10,-10:0.1:2);
Si el parametro β espequeño, la relación entre diametro de orificio o garganta es pequeño en comparación con el diametro de la tubería. Esto ganara mayor precisión de la lectura manométrica, pero, presenta mayor perdida de presión por fricolon y puede producir una presión baja no deseada en la contracción, suficiente en algunos casos para que se libere gases disueltos o se evaporen liquidos en este punto (cavitación).
Los accesorios como codos y valvulas producen perturbaciones en el flujo que afecta la medición, por ello se deben mantener una sección recta de alrededor de 5a 30D.
*Placa de orificio.
Exactitud 2.3% Vm.




Requerimientos.
• Espesor aprox. Se utiliza en régimen turbulento Re >20000.
• La relación Qmax/Qmin < 3
• No se debe utilizar con fluidos abrasivos o que se agarren partículas solidas.

Calibración

• El parametro β se establece entre 0.2-0.7 para tuberías entre 2” y 3”.
• La perdida permanente de presión es aproximadamente por AP porm 1-β²)
• AP,y se encuentra entre (0.51-0.98)% de la AP causada por el orificio. estas perdidas desminuyen a medida que β aumenta.

Tipos de tomas.
• Tomas de esquina: Los orificios estaticos se perforan uno corriente arriba y otro corriente debajo de la brida haciendo que las aberturas queden tan cerca como sea posible de la placa orificio
• Tomas de radio: los orificios estaticos selocalizan a un diametro de ½ diametros de tubería corriente abajo con relación a placa.
• Tomas de brida: los orificios estaticos se ubican a 25.4 mm (1 in) corriente arriba y a 25.4mm (1 in) corriente abajo con la relación a la placa.
Tomas de vena contracta: El orificio estatica corriente arriba queda entre ½ y 2 diametros de tuberías desde placa . La toma corriente abajo se localiza en la posición de presión minima.





Desventajas
• El coeficiente de descarga puede cambiar con el tiempo debido al desgaste y la acumulación de suciedad.
• Se puede abstruir y reducir el diametro del orificio para evitar eslo se utilizan orificios y segmentales.

Ventajas
• Es económico.
• El 50% de los medidores de caudal utilizados en la industria son P.O
• Tobera.
Exactitud 0.95< 1.5Vm.



Requerimientos:
• Muy similar a la placa de orificio.
• La relación Qmax/Qmin es 60% mayor que en la placa de orificio.

Calibracion
• El parametro β se establece entre 0.2-07 para tuberías entre 2” y 3”
• Como la contracción es gradual, la perdida permanente se encuentra entre (0.3-0.8)% de la AP causada por el instrumento.


Desventajas
• Es mas costosa que la P.O.


Ventajas
• Con respeto a la O.P.
• Es menos prospensa a la obstruccion por lo cual tiene un mayor tiempo de vida útil.
• La perdida de presión permanente es menor.