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CinemÁtica - cinemÁtica unidimensional, movimiento en un plano, aceleraciÓn tangencial y centrÍpeta



CINEMÁTICA

1.- CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL

Partícula- Modelo de punto material, de dimensiones despreciables.

Ley horaria x (t) – Función que expresa la posición de la partícula para un tiempo t cualquiera.

Desplazamiento x - Vector cambio de posición. Si xi es la posición de la partícula en el instante inicial ti, y xf es la posición en el instante final tf, el desplazamiento está dado por:

Atención: desplazamiento es distinto a la distancia recorrida.

Velocidad media vm – Se define como el cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo en el que se realiza.

Rapidez media – Es el cociente entre la distancia total recorrida y el tiempo insumido (es un escalar, y no siempre coincide con el módulo de la velocidad media.



Velocidad instantánea v – Es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.


Es decir que la velocidad instantánea es la derivada respecto al tiempo de la ley horaria x(t).

En la figura de la derecha se ve una representación gráfica, como va variando la vm a medida que se reduce el t. La tangente al punto A (línea verde) es la velocidad instantánea v.



Aceleración media am- Se define como el cociente entre el cambio de velocidad v y el intervalo de tiempo t en el que se realiza.
[a] = L.T-2

Aceleracióninstantánea a – Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Es decir que la aceleración instantánea es la derivada respecto al tiempo de la velocidad instantánea v(t). Como a su vez v(t) es la derivada de la ley horaria x(t) respecto al tiempo, la aceleración instantánea es la derivada segunda de x respecto a t .

Movimiento unidimensional con aceleración constante
Se cumple que am = a. Considerando el instante inicial como cero: ti = 0, y colocando el subíndice 0 en lugar del i, resultando por tanto

v(t) = v0 + a.t (velocidad en cualquier instante, v0 velocidad inicial)
x(t) = x0 + v0t + a.t 2 (posición en cualquier instante –ley horaria-, x0 posición inicial)
Eliminado t en las expresiones anteriores
Lo que conduce a: vf2 = v02 + 2.a (xf - x0)


-
Las gráficas representan la velocidad, aceleración y posición en función del tiempo para un movimiento con aceleración constante.







2. MOVIMIENTO EN UN PLANO

Vector posición r (t) – Vector que expresa la posición de la partícula para un tiempo t cualquiera.
Para tres dimensiones r(t) = x (t) i + y(t) j + z(t) k

Desplazamiento r- Si ri es el vector posición de la partícula en el instante inicial ti, y rf es la posición en el instante final tf, el vector desplazamiento está dado por:

r = rf - riVelocidad media vm – Se define como el cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo en el que se realiza.

Rapidez media – Es el cociente entre la distancia total recorrida y el tiempo insumido (es un escalar, y no siempre coincide con el módulo de la velocidad media).


Velocidad instantánea v – Es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Es decir que la velocidad instantánea es la derivada respecto al tiempo del vector posición r(t) (que se obtiene derivando cada una de las componentes).
El vector v es tangente a la trayectoria.










Aceleración media am- Se define como el cociente entre el cambio de velocidad v y el intervalo de tiempo t en el que se realiza.
Aceleración instantánea a – Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Es decir que la aceleración instantánea es la derivada respecto al tiempo de la velocidad instantánea v(t). Como en el caso para una dimensión .

Movimiento con aceleración constante

Se cumple que am = a. Considerando el instante inicial como cero: ti = 0, y colocando el subíndice 0 en lugar del i . Por tanto

v(t) = v 0 + a.t (velocidad en cualquier instante, v 0 velocidad inicial)

r(t) = r 0 + v0t + a.t 2 (posición en cualquier instante –leyhoraria-, x0 posición inicial)

vf2 = v02 + 2.a (r f - r 0)

Estas son ecuaciones vectoriales, las dos primeras escritas en componentes:

vx(t) = vx 0 + ax.t vy(t) = vy 0 + ay.t

x(t) = x 0 + vx 0t + ax.t 2 y(t) = y 0 + vy 0t + ay.t 2

Movimiento del proyectil

Aproximaciones que se realizan:
1) Alcance suficientemente pequeño para despreciar curvatura de la Tierra. Es decir que g siempre está dirigido hacia abajo (vertical).
2) La altura es suficientemente pequeña como para despreciar la variación de g con la altura.
3) Se desprecia la resistencia del aire y otros efectos de fricción y aerodinámicos.

Esto asegura que la trayectoria sea una parábola.

Suponiendo que en t = 0, el proyectil parte del origen (x0 = y0 = 0), como ax = 0 y ay = -g, las ecuaciones anteriores resultan



Despejando t en la ecuación de x(t) y sustituyendo en la ecuación de y(t), resulta la trayectoria (parábola) válida para 0 < <
Se cumple además:

Cuando se alcanza la altura máxima vy = 0 que sucede para

(altura máxima)
el alcance máximo R (para salida y llegada al mismo nivel) se obtiene haciendo R = x(2t*)
(alcance)


MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
La partícula describe una trayectoria circular (de radio r) con velocidad lineal constante v.
La velocidadcambia continuamente de dirección, pero su módulo o varía, existe una aceleración centrípeta:





ACELERACIÓN TANGENCIAL Y CENTRÍPETA
Partícula moviéndose a lo largo de trayectoria curva donde la velocidad cambia tanto en dirección como en magnitud.
El vector aceleración a puede descomponerse en dos vectores, la aceleración radial ar que se debe al cambio en la dirección del vector velocidad v, y un vector tangencial a la trayectoria, la aceleración tangencial at, que proviene del cambio en el módulo de la velocidad v de la partícula.

a = ar + at
con y

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN RELATIVAS
Observadores en marcos de referencia diferentes pueden medir desplazamientos, velocidades y aceleraciones diferentes.



Partícula en A descrita por dos observadores

S – marco de referencia fijo respecto a la Tierra

S’ – marco de referencia moviéndose hacia la derecha respecto de S con velocidad constante v0.

Como r = v0.t + r´ entonces

r’ = r -v0.t (transformación galileana de coordenadas

Derivando: v’ = v - v0 (transformación galileana de velocidades)
Derivando nuevamente: a’ = a (pues )
Es decir que la aceleración medida por S y S’ es la misma!!!

La transformación galileana de velocidades se puede generalizar:

vabsoluta = vrelativa + vtransporte vA = vr + vT




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