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Ejercicios aplicacion Benoulli - Calcúlese los diámetros en centímetros de la entrada y salida de la reducción



PROBLEMAS PROPUESTOS BERNUILLI 1. Por un tubo Venturi que tiene un diámetro de 25 cm en la sección de entrada y de 2000 mm en la sección más angosta, circula un aceite mineral de densidad relativa 0,80. La caída de presión entre la sección mayor y la de la garganta, medida en el aparato, es de 0,90 lbf/cm2. Hállese el valor del caudal en m3/s. 2. Un tubo Venturi puede utilizarse como un medidor de flujo de líquido (ver figura). Si la diferencia en la presión P1 - P2 = 15 kPa, encuentre la tasa de flujo del fluido en Ft3/s dado que el radio del tubo de salida es 2.0 cm el radio del tubo de entrada es 4.0 cm y el fluido es gasolina (densidad igual a 700 Kg/m3).

Por un tubo Venturi que tiene un diámetro de 0,5 m en la sección de entrada y de 0,01 m en la sección de salida, circula gasolina de densidad relativa 0,82. Si el gasto volumétrico es de 15 Ft 3/min. Determínese la caída de presión entre la sección mayor y la de la garganta,medida Lbf/pulg2.




Un ingeniero debe diseñar una reducción para un sistema de transmisión de aceite combustible grado 1 cuya gravedad específica es de 0,825. A continuación se presentan las características que debe presentar el mencionado diseño: Relación de diámetro: 6 [D1/D2] Relación entre la presión de entrada y salida: 5 [P1/P2] Gasto volumétrico que debe manejarse: 6 m3/h Presión a la entrada: 100 Pa [Pascales]

ï‚· ï‚· ï‚· ï‚·


Calcúlese los diámetros en centímetros de la entrada y salida de la reducción

5 A continuación se presenta una configuración experimental (Tubo Venturi) para cuantificar el gasto volumétrico que discurre a través de una tubería de sección transversal circular. Demuéstrese que el caudal esta dado por la siguiente expresión

6 Por el conducto horizontal de la figura de diámetro interno D circula un caudal de agua Q de izquierda a derecha. Para obtener el valor del caudal se dispone de una placa orificio dediámetro interno d, en cuyos extremos se conecta un manómetro diferencial de mercurio tal y como se muestra en la figura. Este manómetro proporciona una diferencia de alturas en el mercurio de valor h1. Por otra parte, se dispone de un tubo de Pitot aguas abajo de la placa orificio para medir el valor local de la velocidad, en una zona de la tubería donde el efecto de “vena contracta” aún provoca una disminución de la sección efectiva de paso del fluido. Este tubo de Pitot se encuentra conectado a otro manómetro de mercurio que proporciona una diferencia de alturas de valor h2. Se pide: 1) Calcular el valor del caudal real Qr que circula por la tubería. 2) Estimar a partir del valor de Qr y de la lectura del Pitot el diámetro de la “vena contracta” d’ en la sección de la tubería en la que se encuentra localizado el tubo de Pitot. Para ello se puede considerar que el perfil de velocidad en la zona de la vena es aproximadamente uniforme.


Observación Modelos Matemáticos

Fenómeno físico

No Satisfacen el problema real

Solución con condiciones observables

Si

Solución

Fig. 1.- Diagrama que ilustra el empleo de las Ecuaciones Diferenciales en la física

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Ecuaciones diferenciales.Llamamos ecuación diferencial (E. D.) a una ecuación que relaciona a una función, a su variable o variables independientes, y a sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales (E.D.P.).

Clasificación y orden de una E.D. ï‚· Orden de las E.D.
El orden de una E.D.O. esta dado por el orden de la derivada de más alto valor, la manera más general de representarla es: , , ′ , … , =0 1

Lo cual nos describe una E.D.O. de orden n. la ecuación (1) representa una relación entre la variable independiente x y los valores de la función u y sus n primeras derivadas, si convenientemente decimos que = pudiendo rescribir (1) como , , ′, … , = 0 Un ejemplo entonces de una ecuación diferencial de orden 3 será ′′′ + 2 ′′ + ′ = 4 Una ecuación diferencial parcial para una función , , … con derivadas parciales , , , , , … es una relación de la forma , , , , , , , … = 0 3 2

Donde F es una función de las variables , , … , , , , , , , … en donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas. Una función , , … es solución de (3), si en algún espacio de sus variables independientes, la función y sus derivadas satisfacen la ecuación idénticamente en , , …

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Como en las E.D.O. una E.D.P. es de orden n, si las derivadas de mayor orden queocurren en F son de orden n. las ecuaciones diferenciales parciales se clasifican también según el tipo de función F considerada. En particular tenemos la E.D.P. lineal si F es lineal en la función incógnita y sus derivadas, y la ecuación diferencial parcial casi-lineal que es más general, si F es lineal en al menos una de las derivadas de más alto orden.

ï‚· Clasificación.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se clasifican según su tipo de orden y linealidad. Se llama solución (o integral) de la E.D.O. a cualquier función = () que introducida en la ecuación diferencial la transforma en igualdad. Tipos de soluciones: ï‚· ï‚· Explicitas: la variable dependiente de y se expresa tan solo en términos de la variable independiente x y constantes. Implícitas: se trata de una relación , = 0 en la que no se puede despejar y mediante funciones elementales. Son soluciones todas las () que cumplen , = 0.

Una E.D.O puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las posibles elecciones de valores para los parámetros. Para las E.D.P. la clasificación es un poco distinta, para sistemas de E.D.P. de segundo orden con dos variables por ejemplo la ecuación diferencial puede ser expresada como: Sea (, ) con x e y variables independientes se llama ecuación con derivadas parciales de segundo orden si , , , , , , = 0 Donde: =


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2 2

, =



, =

2

, = 2

2

= =

. De manera similar se

sigue para mas variables independientes. Anteriormente dijimos que una ecuación se llama lineal conrespecto a las derivadas de orden mayor si 2 2 2 + 2 + 2 + , , , = 0 2 (5)

donde los coeficientes a,b,c son funciones de las variables independientes que admiten desarrollos en series de Taylor y no se anulan simultáneamente.

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Si los coeficientes a,b,c dependen no solo de x e y, sino que son al igual que f funciones de , , , , entonces tal ecuación se denomina cuasi lineal. La ecuación se llama lineal, si es lineal tanto respecto a las derivadas de orden mayor, como a la función u y a sus primeras derivadas; es decir: 2 2 2 + 2 + 2 + + + + = 0 2 6

donde , , , , , , son funciones solo de x e y. Si los coeficientes de la ecuación 6 no dependen de e , esta es una ecuación lineal con coeficientes constantes. La ecuación se llama homogénea, si , = 0. Como la ecuación (6) es de segundo orden, siempre es posible reducir los coeficientes de las derivadas de segundo orden a constantes muy simples mediante un cambio de coordenadas definidas por un sistema de ecuaciones de la forma = , = , , ≠0 (, ) 7

Tal que (6) en las nuevas coordenadas es equivalente a una de los siguientes tipos de ecuaciones





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