El potencial electrostático

Hasta el momento hemos aprendido que:
La carga existe.
Las cargas ejercen fuerzas entre ellas.
La fuerza aparentemente se ejerce a través de cualquier distancia.
La fuerza se ejerce sin que haya contacto; es “una misteriosa fuerza a
distancia”. Para tratar de explicar y hacer que este tipo defuerza sea
matemáticamente formal, se creó el concepto de campo eléctrico.
Pero, sacaso el concepto de campo no es complicado?. Recordemos que
el campo eléctrico es un vector, y los vectores pueden ser complicados y
difíciles de manejar matemáticamente. Así que los científicos inventaron
algo que sea conceptualmente y matemáticamente más simple.
sRecuerda las líneas de campo eléctrico? sAcaso estas líneas no se
parecen al flujo de algo? Las líneas de campo “fluyen” desde las cargas
positivas a las cargas negativas (ver por ejemplo las figuras 2.13 y 2.16).
La tabla de abajo ilustra varios ejemplos de flujo:

El flujo de

es causado por una diferencia en

Agua en un río

altura

El viento (gases atmosféricos)

presión atmosférica

Calor (energía interna)

temperatura

Sustancias disueltas

concentración

sEntonces, qué es lo que causa el flujo de líneas de campo eléctrico?

El flujo de lineas de campo eléctrico (cargas de prueba) es causado por
una diferencia de energía potencial eléctrica.
Recordemos que en el caso gravitacional, la energía potencial gravitacional de un objeto se define como
EP = M gh
Donde M es la masa del objeto y h es la altura del objeto y g es la
magnitud de la aceleración de gravedad. Vemos que la energía potencial
gravitacional depende de dos cantidades:


76

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

1. Masa - una propiedad del objeto que experimenta el campo gravitacional de la tierra y
2. Altura - la localización del objeto dentro del campogravitacional.
Con esta definición de EP = M gh no podemos decir que hay posiciones
con alta energía potencial, pues aparece la masa M en la fórmula. Pero
si definimos la cantidad
V =

M gh
EP
=
= gh
M
M

vemos que es independiente de la masa. A esta cantidad se le llama potencial gravitacional. Este potencial gravitacional tiene unidades de energía
por kilogramo (joule/kg). El potencial gravitacional es una cantidad que
nos dice cuanta energía potencial posee cada kilogramo a una cierta altura.

1 Definición de potencial electrostático
Una partícula en un campo eléctrico tiene una energía, que llamamos
naturalmente, energía potencial eléctrica. Al igual que la energía potencial
gravitacional, la energía potencial eléctrica depende por lo menos de dos
cantidades:
1. Carga eléctrica - una propiedad del objeto que experimenta el campo
eléctrico y
2. Distancia desde la fuente del campo - la localización dentro del campo
eléctrico.
La palabra “potencial” nos dice que esa energía depende de la posición
de la partícula. Si la partícula tiene una cierta carga, entonces definimos
potencial eléctrico
Potencial eléctrico =

energía potencial eléctrica
carga

La unidad de medida del potencial eléctrico (voltaje) es el volt
joule
coulomb
Mientras que la energía potencial eléctrica depende de la carga del objeto,
el potencial eléctrico solamente depende de la posición. Esta definición es
completamente análoga al caso gravitacional.
1 volt = 1

Figura 1: Una pila de 1.5 volt cede 1.5
joules de energía porcada coulomb de
carga que pasa por ella.


el potencial electrostático

77

2 Significado físico del potencial
También de puede justificar la existencia del potencial electrostático teniendo en cuenta que la fuerza electrostática es una fuerza
conservativa, es decir, el trabajo hecho por el campo eléctrico, para mover una carga de prueba desde un punto hasta otro, es independiente del
camino que conecta a los dos puntos. Por ejemplo, consideremos el campo
eléctrico
ke q
E= 2 r
ˆ
r
radiado por una carga puntual, q, en el origen de coordenadas (ver figura
2). La fuerza ejercida por q sobre una carga de prueba q0 es q0 E y
entonces el término
dW = q0 E dl

Figura 2: Trabajo efectuado por el
campo eléctrico producido por q para
mover q0 desde A hasta B.

es el trabajo hecho por el campo eléctrico para mover la carga q0 un pequeño desplazamiento dl. Para obtener el trabajo total, debemos integra
a lo largo de la trayectoria elegida.

El trabajo total efectuado para mover q0 desde A hasta B está dado por la integral de línea
ˆ

ˆ

B

W =
A

q0 E dl =

B

A

ke q
r
ˆ
r2

q0

dl

El campo es radial, por lo tanto si expresamos dl en coordenadas
esféricas
dl

ˆ
ˆ
= drr + rdθθ + r sin θφ
ˆ

tendremos r dl = dr y entonces
ˆ
ˆ
W = ke q0 q

dr
= ke q0 q
r2

ˆ

B

A

1
dr
= ke q0 q − 2
r
r

W = ke q0 q

B

= ke q 0 q
A

1 1
−
a b

1 1
−
a b

Expresión que depende sólo de los puntos A y B.
En el caso anterior, calculamos el trabajoefectuado por la fuerza debido a q para mover la carga q0 desde A hasta B. Si ahora actuamos
de forma externa para mover la carga desde A hasta B, tendremos que
efectuar un trabajo −W .
En el caso general, donde tenemos un campo E, se define el cambio
de energía potencial electrostática (también energía potencial eléctrica o
simplemente energía potencial) como

El trabajo no depende de la trayectoria,
sino del punto de partida y llegada.

El trabajo hecho por E tiene signo
contrario al trabajo efectuado por una
fuerza externa.

aˆ†U ≡ UB − UA = −W
y puesto que q0 E es una fuerza conservativa, la integral de linea no depende de la trayectoria para ir desde A hasta B.1

De hecho, la diferencia UB − UA nos
dice que la integral depende sólo de los
puntos inicial y final de la trayectoria.

1


78

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

Si ahora dividimos aˆ†U por q0 obtenemos una cantidad que es independiente de q0 y que tiene el nombre de diferencia de potencial electrostático
(también potencial eléctrico o simplemente potencial) y se define como
aˆ†V = VB − VA ≡

aˆ†U
q0

de aquí sigue que la energía se puede calcular a partir del potencial:
aˆ†U = q0 aˆ†V = q0 (VB − VA )

Hay que tener cuidado de no confundir energía potencial electrostática con potencial electrostático. La energía potencial se
mide en “Joule” y es un número único (es trabajo) mientras que el
potencial se mide en “Volt” (Joule/Coulomb) y es diferente en todas
partes del espacio.

3 Potencial eléctrico de cargas puntuales
Dadauna carga q (ver figura 2), habíamos encontrado que
1 1
−
a b

W = ke q0 q
entonces la diferencia de potencial es
aˆ†V = VB − VA =

aˆ†U
W
ke q0 q
=−
=−
q0
q0
q0

1 1
−
a b

= ke q

1 1
−
b a

Si elegimos la referencia V = 0 en a = ∞, definimos el potencial de una
carga q a una distancia b = r como:
V = ke

q
r

Para obtener el potencial eléctrico resultante de dos o más cargas se
aplica el principio de superposición. Es decir, el potencial eléctrico total
en un punto P debido a varias cargas, es la suma de los potenciales
individuales:
qi
VP = ke
ri
i

En cada caso ri es la distancia desde la carga qi al punto P .


el potencial electrostático

4 Potencial eléctrico de distribuciones continuas de carga

79

Volumen

Para una distribución continua de cargas consideramos N elementos de
carga aˆ†qi (i = 1, 2, 3 . . . , N ) en el volumen aˆ†vi .
El potencial en P debido a aˆ†qi es

(aˆ†V )i = ke

aˆ†qi
ri

El potencial total será la suma de todos los potenciales (aˆ†V )i
N

N

(aˆ†V )i = ke

VP =
i=1

i=1

Figura 3: El potencial en P debido a
una carga “puntual” aˆ†qi .

aˆ†qi
ri

Usando cálculo integral
ˆ
V P = ke

dq
r

5 Energía potencial electrostática
Si V2 es el potencial en punto P debido a la carga q2 y queremos traer
una carga q1 desde el infinito hasta el punto P , debemos efectuar un
trabajo en contra del campo eléctrico creado por q2 , que está dado por: 2
U = q1 V2 = q1 ke

q2
q1 q2
= ke
r12
r12

Esto sale de la definición aˆ†U =qaˆ†V
y suponiendo el cero de potencial en el
infinito.
2

donde r12 es la distancia entre q1 y q2 .
Si tenemos más de dos cargas puntuales, la energía potencial electrostática se obtiene sumando U para cada par de cargas. Por ejemplo para
tres cargas:
q1 q3
q2 q3
q1 q2
U = ke
+
+
r12
r13
r23
Podemos reescribir la expresión anterior de la forma
U=

1
q2
q3
q1 ke
+ ke
2
r12
r13

+ q2 ke

q1
q3
+ ke
r12
r23

+ q 3 ke

q1
q2
+ ke
r13
r23

Si ahora consideramos que el potencial en la posición de la carga q1 debido
2
3
a las cargas q2 y q3 está dado por V1 = ke rq12 + ke rq13 y de forma similar
3
para los otros términos:
U=

1
(q1 V1 + q2 V2 + q2 V3 )
2

Generalizando para N cargas:
U=

1
2

N

Qk Vk
k =1

No confundir V1 con el potencial debido a V1 = ke q1 /r.

3


80

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

donde Vk que es el potencial eléctrico en la posición de Qk se debe a las
demás cargas.

En el caso de una distribución continua de
cargas, que posea una densidad de carga ρ, entonces en la ecuación anterior sustituimos Qk por ρ dv y
la sumatoria por una integral
ˆ
1
U=
ρV dv
2
v’

donde V es el potencial en el punto donde la densidad volumétrica
de carga vale ρ y v es volumen de la región donde existe ρ.

6 Relación entre potencial y campo eléctrico
Una definición más formal para la energía potencial eléctrica es mediante
ˆ
aˆ†U ≡ UB − UA = −W = −q0

B

E dl
A

y para el potencial
aˆ†V = VB − VA ≡

aˆ†U
=−
q0

ˆ

BE dl
A

Esto sugiere que hay una conexión entre el potencial eléctrico y el campo
eléctrico. En efecto, con las herramientas del cálculo vectorial se puede
demostrar que
E= − V
donde el símbolo
(nabla) representa el operador gradiente definido en
la sección 1.2.1. Así se puede escribir el gradiente de V como:
V (x, y, z ) =

∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z

El efecto del operador gradiente es convertir el campo escalar V en un
campo vectorial. Por lo tanto la conexión entre el campo eléctrico y el
gradiente se puede escribir:4
E=−

∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z

ŽB
Las expresiones E = − V y aˆ†V = − A E dl son dos formas de
expresar la conexión entre el potencial y el campo eléctrico. Esto
quiere decir que E y V no son dos entidades distintas, sino que
son dos formas matemáticas de expresar como las cargas eléctricas
alteran el espacio alrededor de ellas.

4

En coordenadas cartesianas.


el potencial electrostático

81

7 Potencial y campo eléctrico uniforme
Cuando tenemos dos placas paralelas conductoras como la de la figura
4, el campo eléctrico entre las placas es uniforme. Si colocamos una
carga positiva pequeña, q0 ,cerca de la placa positiva, esta será repelida
por la placa. En otras palabras, el campo eléctrico efectúa un trabajo
sobre la carga dado por
W = F d = q0 Ed
Habíamos definido que el cambio en la energía potencial eléctrica, aˆ†U ,
es igual al negativo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica:
aˆ†U = UB − UA = −W = −q0 Ed < 0



aˆ†V = −Ed <0

Vemos que la energía potencial eléctrica y el potencial disminuyen. De
aquí se desprende que la placa positiva está a mayor potencial que la
placa negativa. Eso quiere decir que un objeto cargado positivamente se
mueve de manera natural desde un potencial alto hacia un potencial bajo.

A

Potencial alto

B

Figura 4: En campo eléctrico es uniforme entre dos placas cargadas.

Potencial bajo

Ya habíamos mencionado que el potencial en un punto no tiene sentia menos que elijamos otro punto de referencia donde el potencial sea
cero. El el caso de dos placas paralelas elegimos el cero de potencial en
la placa negativa. Con esta elección podemos calcular el potencial a una
distancia x de la placa negativa

do5

Lo importante son las diferencias de
potencial.
5

V = Ex
Esta es una expresión muy importante para lo que viene.
Por otro lado, en este caso se cumple la relación entre el potencial y
el campo eléctrico
Ex = −

dV
d(Ex)
=−
= −E
dx
dx

El valor de V en una posición no tiene sentido (al igual que en el
caso gravitacional, sólo las diferencias de (energía) potencial tienen
significado) a menos que definamos una posición de referencia donde
el potencial valga cero. Es usual elegir A en el infinito del tal forma
que V∞ = 0 de tal manera que podemos definir el potencial en un

Figura 5: Cuando definimos el cero de
potencial en la placa negativa, el potencial a una distancia x de la placa negativa es Ex.


82

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

punto B como

ˆB

VB = −

E dl
∞

Hay que hacer notar que el punto de referencia en el infinito podría
ser una elección inapropiada para algunas distribuciones infinitas de
carga (por ejemplo un alambre) donde el campo no decae tan rápido
como para que la integral se haga cero.

EJEMPLO 1
Este es un ejemplo interesante cuando la referencia no es en el infinito. Se tiene una carga puntual q en el
origen y se pide encontrar el potencial a una distancia r de la carga con la condición de que el potencial es
cero en el punto (1, 0, 0).
Solución: Al elegir la referencia V = 0 en r = ∞, la solución es trivial V = ke q , pero debemos recordar
r
que estrictamente, calculamos
q
V − Vref = ke
r
el punto (1, 0, 0) se encuentra a una distancia de 1, es decir como el potencial es esférico, todos los puntos
en una esfera de radio 1 se encuentran al mismo potencial (la esfera es una superficie equipotencial). La
condición es que V (1) = 0, lo que permite calcular Vref y obtener el resultado
V = ke q

1
−1
r


el potencial electrostático

83

8 Cálculo de potencial eléctrico de distribuciones continuas
Aquí revisaremos algunos ejemplos clásicos de los libros de texto.
EJEMPLO 2: Anillo cargado uniformemente
En la figura el anillo tiene una carga uniforme total Q y hay que encontrar
el potencial en un punto de eje z.
Solución: Como es usual, dividimos el anillo en N segmentos con carga
aˆ†Q cada uno. De acuerdo a la figura, el potencial en el punto P debido
al segmento con carga aˆ†q es
Vi = ke

aˆ†q
ri

√donde ri = z 2 + R2 es la distancia (constante en este caso) desde la carga aˆ†q al punto P . Ahora para
obtener el potencial total en el punto P , debemos sumar los potenciales debidos a cada segmento de carga
N

N

V (z ) =

ke √

Vi =
i=1

i=1

aˆ†q
ke
=√
z 2 + R2
z 2 + R2

N

aˆ†q
i=1

Casi todos los términos han salido fuera de la suma pues son constantes. Ahora, la suma de todos los aˆ†q
debe ser igual a la carga total, N 1 aˆ†q = Q. Luego
i=
V (z ) = √

ke Q
z 2 + R2

El resultado anterior sirve para calcular el campo eléctrico en el punto P . El potencial sólo depende de la
variable z y por consideraciones de simetría el campo eléctrico debe apuntar en la dirección z. Recordando
que E = − V
Ez = −

dV
d
=−
dz
dz

√

ke Q
z 2 + R2

= −ke Q (−1/2)

2z

(z 2

+ R2 )3/2

=

ke Qz

(z 2

+ R2 )3/2

Este resultado lo habíamos obtenido por integración directa y el procedimiento había resultado ser bastante
más complicado.
EJEMPLO 3: Disco cargado uniformemente
En la figura el disco tiene una carga uniforme total Q y hay que encontrar el potencial en un punto de eje z.
Solución: De acuerdo a la figura, hemos elegido como elemento de
carga (dq) un anillo de radio r concéntrico al disco y de ancho dr.
Ahora recordemos el problema 2, en que el potencial para un anillo
de radio R y cargado con carga Q es √ k2e Q 2 . En nuestro caso el anillo
z +R
tiene carga dq y radio r. Aplicando esta fórmula
dV = ke √

dq
+ r2

z2


84

electricidad y magnetismofmf-144 (2014)
√
donde z 2 + R2 es la distancia desde elemento de carga dq al punto
P . En dV tenemos dos variables dq y r, por lo tanto es conveniente
eliminar una de ellas para poder integrar. Si suponemos que el anillo tiene una densidad de carga superficial
σ, entonces dq = σdA, donde dA = 2πrdr. Luego
σ2πrdr
dV = ke √
z 2 + r2
aquí z es constante y al integrar r debe tomar valores entre 0 y R para barrer todo el disco

El cálculo por integración es como sigue:
ˆR
√

V = ke σ2π
0

La integral la sacamos de una tabla
V = ke σ2π

Ž

√ rdr
z 2 +r 2

z 2 + r2

=
R
0

V = ke σ2π (

√

rdr
z 2 + r2

z 2 + r2

= ke σ2π ( z 2 + R2 − z ) z > 0

z 2 + R2 − z )

z>0

el mismo resultado puede ser escrito en función de la carga total Q = σπR2 . El resultado que hemos obtenido
para V es para z > 0, pero es evidente por la simetría que este resultado debe ser válido también para z < 0.
√
√
R
En la evaluación de
z 2 + r2
hicimos la elección de que z 2 = z. La expresión correcta del potencial
0
√
para y < 0 es eligiendo z 2 = −z
V = ke σ2π (

z 2 + R2 + z )

z E2 . Es decir,
el campo es más intenso en las cercanías de la esfera más pequeña (con
mayor grado de curvatura).

El “efecto punta”. La esfera más pequeña genera un campo eléctrico más intenso.


el potencial electrostático

91

10 Condensadores
Comenzaremos por la definición más general de condensador.7 Un condensador tiene gran importancia práctica, y se compone de dos conductores aislados eléctricamenteuno del otro, ya sea por medio del vacío o
un aislante (dieléctrico). Los conductores pueden tener cualquier forma
(ver figura 17), tienen cargas iguales y opuestas, y además existe una
diferencia de potencial entre ellos.
se puede demostrar experimentalmente que la magnitud de
la carga Q es proporcional a la diferencia de potencial V . La constante de
proporcionalidad C se denomina capacidad del condensador y se escribe
como
C≡

También conocido por el nombre de
“capacitor”.
7

Q
V

La unidad de capacitancia es el Faradio (F)
1F =

1C
1V

La capacidad de un condensador es una propiedad física de dos conductores. La capacidad del condensador depende de dos factores: la geometría
del condensador y la permitividad ( ) del medio.

Figura 17: Dos conductores aislados,
cargados y separados constituyen un
condensador.

Puesto que la capacidad se define como Q/V necesitamos dos conductores con cargas opuestas de magnitud Q y además debemos calcular la
diferencia de potencial entre los conductores. Esta diferencia de potencial
se puede calcular con las técnicas que ya hemos vistos en las secciones
anteriores.
EJEMPLO 4: Condensador de placas paralelas
Este condensador consiste en dos placas metálicas paralelas de área A, cargadas con una carga Q y separadas
por una distancia d. Si ignoramos los efectos de borde
podemos considerar el campo en el interior como uniforme, es decir estamos haciendo la aproximación de
dos planos infinitos. Si las placas tienen una densidad
superficial de cargaσ, la carga se puede expresar como Q = σA. Fácilmente se obtiene que la magnitud del
campo en el interior es
E = σ/ 0
La diferencia de potencial está dada por
aˆ†V = VB − VA = −Ed = −
Tomando el módulo de aˆ†V , la capacidad es
C=

Q
σA
= σ =
|aˆ†V |
d
0

0A

d

σ
0

d


92

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

EJEMPLO 5: Condensador cilíndrico
Este condensador consiste en un cilindro sólido de radio a y carga +Q rodeado
coaxialmente por una cáscara cilíndrica de radio b y carga opuesta −Q. La capacidad se calcula conociendo el campo eléctrico entre a y b el cual es idéntico al del
alambre infinito:
2ke λ
E=
r
ˆ
r
El campo es radial y hemos elegido el largo L del cilindro lo suficientemente grande
como para que la aproximación sea válida.
La diferencia de potencial entre los puntos a y b se calcula mediante:
ˆb
aˆ†V = Vb − Va = −

E dl = −2ke λ ln(b/a)
a

Aquí solo hemos dado el resultado.

El cálculo por integración es como sigue:
ˆb
aˆ†V = Vb − Va = −

ˆb
E dl = −

a

2ke λ
r dl
ˆ
r

a

en coordenadas cilíndricas
ˆ
r dl = r (drr + rdφφ + dz z ) = dr
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
por lo tanto

ˆb
aˆ†V = Vb − Va = −2ke λ

dr
= −2ke λ ln(b/a)
r

a

Por lo tanto la capacidad es
C=

Q
Q
=
|aˆ†V |
2ke λ ln(b/a)

pero λ = Q/L, donde L es el largo del cilindro
C=

L
2ke ln(b/a)

también se expresa como capacidad por unidad de longitud:
C
1
=
L
2ke ln(b/a)


el potencial electrostático

93

Para calcular el campo eléctrico entre a y b. se usa la ley deGauss. Para ello
elegimos una superficie gaussiana consistente en un cilindro coaxial de radio r
(ver figura). El procedimiento es casi idéntico al del alambre infinito.

Superficie gaussiana

EJEMPLO 6: Condensador esférico
Un condensador esférico consiste de un cascarón conductor de radio b y
carga −Q concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio
a y carga +Q. Encontrar la capacidad de este sistema.
Solución: Lo primero es encontrar la diferencia de potencial entre los
conductores. Por medio de la ley de Gauss encontramos fácilmente que
el campo eléctrico para una distancia desde el centro de la esfera más
pequeña es
Q
Er = ke 2 a < r < b
r
Este campo es radial, y por medio de integración obtenemos la diferencia
de potencial
ˆb
Vb− Va = −

ˆb
Er dr = −

a

a

Q
ke 2 dr = −ke Q
r

ˆb

dr
= ke Q
r2

1 1
−
b a

a

Notar que la diferencia de potencial es negativa. A nosotros nos interesa la magnitud para calcular la
capacidad
(b − a)
aˆ†V = |Vb− Va | = ke Q
ab
entonces
Q
ab
C=
=
aˆ†V
ke (b − a)
Con la expresión anterior podemos calcular la capacidad de un conductor aislado. Si hacemos que b → ∞,
la capacidad es
a
ab
a
= lŽ
A±m
=
= 4π 0 a
C = lŽ
A±m
ke
b→∞ ke (b − a)
b→∞ ke (1 − a/b)


94

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

10.1 Energía almacenada en un condensador
Supongamos que tenemos un condensador con capacidad C y una diferencia de potencial aˆ†V entre las placas. De acuerdo a la definición de
capacidad, la carga q es igual a Caˆ†V .Si transportamos una carga +dq
desde la placa negativa a la positiva, actuando contra la diferencia de
potencial aˆ†V . El trabajo realizado es
q
dW = aˆ†V dq = dq
C
Ahora, partiendo de un condensador totalmente descargado, el trabajo
para llegar hasta una carga total Q es:
ˆQ
W =
0

q
1
dq =
C
C

ˆQ
qdq =
0

Q2
2C

Este trabajo aparece como energía potencial U almacenada en el condensador. Usando la definición C = Q/aˆ†V , la energía potencial se puede
escribir de tres maneras:
W =

1
1
Q2
= Qaˆ†V = C (aˆ†V )2
2C
2
2

Esta ecuación es válida para cualquier
condensador no importando su geometría.

10.2 Conexión de condensadores
En primer lugar vamos a describir el proceso de carga del un condensador.
En el caso de un condensador de placas paralelas, inicialmente las placas
están neutras. Al conectar una batería los electrones son empujados desde
una placa hasta la otra de tal manera que una placa queda con deficiencia
de electrones (positiva) mientras que la otra placa queda con exceso de
electrones (negativa).
En el proceso de carga, la batería pierde energía al efectuar trabajo
sobre los electrones. El proceso continua hasta que las placas llegan a su
capacidad máxima de recibir carga.

Figura 18: Símbolos para batería y
condensador.

Figura 19: Proceso de carga de un
condensador. La energía invertida por
la batería se utiliza para trasferir electrones de una placa a la otra.

10.3 Conexión en paralelo
En la figura 20 se muestran dos condensadores conectados enparalelo. La característica de esta configuración es que ambos condensadores


el potencial electrostático

95

están a la misma diferencia de potencial, que es el mismo voltaje de la
batería, es decir aˆ†V1 = aˆ†V1 = aˆ†V . El objetivo es reemplazar los dos
condensadores por uno solo. Si la máxima carga neta que soportan los
condensadores es Q1 y Q2 , entonces la carga del condensador equivalente
es
Q = Q1 + Q2
De acuerdo a la definición de capacidad
Q = Ceq aˆ†V ;

Q1 = C1 aˆ†V1 ;

Q2 = C2 aˆ†V2

entonces como aˆ†V1 = aˆ†V1 = aˆ†V
Ceq aˆ†V = C1 aˆ†V + C2 aˆ†V
así la capacidad equivalente es
Ceq = C1 + C2

Figura 20: Dos condensadores (capacitores) conectados en paralelo.

La generalización para N condensadores C1 , C2 , . . . CN es
Ceq = C1 + C2 + . . . + CN

10.4 Conexión en serie
En la figura 21 se muestran dos condensadores conectados en serie.
La característica de esta configuración es que la diferencia de potencial
de cada condensador es distinta y debe sumar el voltaje de la batería,
es decir, aˆ†V1 + aˆ†V2 = aˆ†V . Además la carga de cada condensador es la
misma, Q1 = Q2 = Q. Entonces como
aˆ†V =
obtenemos

Q
;
Ceq

aˆ†V1 =

Q
;
C1

Q
Q
Q
=
+
Ceq
C1
C2

aˆ†V2 =

Q
C2


96

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

y la capacidad equivalente es
1
1
1
=
+
Ceq
C1
C2

Figura 21: Dos condensadores (capacitores) conectados en serie.

La generalización para N condensadores C1 , C2 , . . . CN es
1
1
1
1
=
+
++
Ceq
C1
C2
CN

11 Dieléctricos
Hasta aquí hemosconsiderado solamente cargas en el vacío. En el
caso del condensador de placas paralelas supusimos que no había ningún
medio material entre las placas (vacío). Si colocáramos el condensador en
un medio no conductor o dieléctrico, entonces la capacidad cambiaría.
Las moléculas son neutras a nivel macroscópico, pero si éstas son sometidas a un campo eléctrico externo, se producen desplazamientos de
cargas dentro de la molécula de tal forma que se crean pequeños dipolos
eléctricos (momentos dipolares inducidos). La mayoría de las moléculas
tienen un momento dipolar permanente así que las moléculas se reorientan en presencia de un campo eléctrico externo (Fig. 23).

Figura 22: Representación de una molécula con un momento dipolar permanente.

Figura 23: a) Las moléculas están
orientadas en forma aleatoria en un material dieléctrico. b) Se aplica un campo eléctrico externo y las moléculas se
orientan con el campo.

a) Sin campo

b) Campo aplicado

Al ser orientadas las moléculas en el dieléctrico, estas generan “dipolitos” que a su vez generan pequeños campos eléctricos en dirección
contraria al campo eléctrico externo (Fig. 24). La suma de estos pequeños campos eléctricos (aˆ†Eind ) da origen a un campo eléctrico inducido
Eind que se opone al campo externo E0 .
Eind =

aˆ†Eind


el potencial electrostático

97

Figura 24: Al reorientarse los dipolos,
estos crean un campo eléctrico inducido que se opone al campo eléctrico externo.

Como resultado tenemos un campo neto E en el interiordel dieléctrico,
que es la suma vectorial de E0 y Eind :
E = E0 + Eind
Puesto que E0 y Eind apuntan en dirección contraria, la magnitud de E
se expresa como
E = E0 − Eind
En el caso de un condensador de placas paralelas (Fig. 25), experimentalmente se demuestra que al introducir un dieléctrico entre
las placas, la diferencia de potencial y la magnitud del campo eléctrico
disminuyen en un factor κ

V =

V0
κ

E=

E0
κ

donde κ > 1 es llamada la constante dieléctrica del dieléctrico.
Puesto que C0 = Q0 /V0 , la nueva capacidad se obtiene
C=

Figura 25: Al introducir un dieléctrico entre las placas de un condensador
de placas paralelas, la capacidad aumenta en un factor κ > 1.

Q0
Q0
Q0
= V =κ
= κC0
0
V
V0
κ

C = κC0
es decir, la nueva capacidad aumenta en un factor κ.
La aparición de Eind en el condensador de placas paralelas es equivalente a la aparición de una densidad de carga superficial en ambas caras
del dieléctrico (Fig. 26). Partiendo de
E = E0 − Eind
y dado que E0 = σ/ 0 , E = E0 /κ = σ/κ

y Eind = σind /

0

0

σ
σ
σ
=
− ind
κ 0
0
0
y se obtiene la densidad de carga superficial inducida
σind =

κ−1
κ

σ

Figura 26: El campo eléctrico inducido es equivalente a un campo generado
por dos placas paralelas con densidad
de carga σind .


98

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

Material
Aceite de silicona
Agua
Aire (seco)
Baquelita
Cloruro de polivinilo
Cuarzo fundido
Hule de neopreno
Mylar
Nylon
Papel
Papel impregnado enparafina
Poliestireno
Porcelana
Teflón
Titanato de estroncio
Vacío
Vidrio pirex

Tabla 1: Constantes dieléctricas aproximadas de diversos materiales a temperatura ambiente.

Constante dieléctrica, κ
2.5
80
1.00059
4.9
4
78
6.7
2
4
7
5
2.56
6
2.1
233
1.00000
5.6

EJEMPLO 7: Condensador con dos dieléctricos
Ahora vamos a considerar un condensador de placas paralelas con dos
medios dieléctricos de constante dieléctrica distinta. Suponemos un diferencia de potencial V entre las placas. Los campos eléctricos en las dos
regiones son uniformes y debe cumplirse que
V = E1 d1 + E2 d2
Esto permite imaginarnos que el condensador está compuesto por dos condensadores en serie con capacidades
C1 =
Entonces

κ1 0 A
d1

y

C2 =

κ2 0 A
d2

1
1
1
d1
d2
1
=
+
=
+
=
C
C1
C2
κ1 0 A κ2 0 A
0A
C=

0 Aκ1 κ2
κ1 d2 + κ2 d1

d1
d2
+
κ1
κ2


el potencial electrostático

99

PROBLEMAS
1 La figura muestra tres cargas puntuales en los vértices de un triángulo equilátero. sCuál es la energía
potencial eléctrica U de este sistema? Asumir que a = 12 cm y que q1 = +q, q2 = −4q y q3 = +2q, donde
q = 150 nC.

Sol.: −17 mJ
2 En un dipolo eléctrico las cargas q1 = +12 nC y q2 = −12 nC están separadas 10 cm.
(a) Calcular el potencial en los puntos a, b y c.
(b) Calcular la energía potencial asociada con una carga puntual de +4 nC si es colocada en los puntos a, b y c.

Sol.: (a) Va = −900 V; Vb = 1930 V; Vc = 0 V, (b) Ua = −6 × 10−6 J; Ub = 7.7 × 10−6 J; Uc =0 J
3 sCuánto trabajo se necesita para armar un núcleo atómico que contenga tres protones (por ejemplo el
berilio, Be) si podemos modelarlo como un triángulo equilátero de lado 2.00 × 10−15 m, con un protón en cada
vértice? Asumir que los protones partieron de un lugar muy distante.
Sol.: U = 46 × 10-13 J.
4 A cierta distancia de una carga puntual, el potencial y la magnitud del campo eléctrico debidos a una
carga son 4.98 V y 12.0 V/m , respectivamente. (Tomar el potencial igual a cero en el infinito).
(a) sCuál es la distancia a la carga puntual?
(b) sCuál es la magnitud de la carga?
(c) sEl campo eléctrico se dirige hacia o desde la carga?
Sol.: (a) 0.415 m; (b) 2.30×10-10 C; (c) El campo eléctrico se aleja.
5 Un campo eléctrico uniforme tiene magnitud E y se dirige hacia la dirección −x. La diferencia de potencial
entre un punto a (en x = 0.60 m) y un punto b (en x = 0.90 m) es 240 V
(a) Cuál punto, a o b, está a mayor potencial?
(b) Calcular el valor de E.
(c) Una carga puntual negativa q = −0.200 µC es movida desde b hasta a. Calcular el trabajo hecho sobre la
carga puntual por el campo eléctrico.
Sol.: (a) b está a mayor potencial.; (b) 800 V/m; (c) −4.80 × 10-5 J
6 Una carga total de 50 nC está distribuida uniformemente sobre la superficie de una esfera metálica de
radio 24.0 cm. Si el potencial es cero en el infinito, encontrar el valor del potencial en las siguientes distancias


100

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

desde el centro de la esfera: (a) 48.0 cm, (b) 24.0cm, (c) 12.0 cm
Sol.: (a) 65.6 V; (b) 131 V; (c) 131 V
7 Dos placas paralelas conductoras, muy grandes, con cargas opuestas de igual magnitud, está separadas
2.20 cm.
(a) Si la densidad superficial de carga de cada placa es 47.0 nC/m2 , cual es la magnitud de E en la región entre
las placas?
(b) sCual es la diferencia de potencial entre las placas?
(c) Si la separación entre las placas se duplica y la densidad de carga no se altera, sque pasa con la magnitudes
del campo eléctrico y de la diferencia potencial?
Sol.: (a) 5310 N/C; (b) 117 V; (c) La diferencia de potencial se duplica.
8 Dos esferas metálicas de diferente tamaño están cargadas de tal manera que el potencial es el mismo en
la superficie de cada esfera. La esfera A tiene un radio tres veces mayor que el radio de la esfera B. Sean QA
y QB las cargas de las esferas y EA y EB las magnitudes de los campo eléctricos en las superficies de las dos
esferas. Calcular:
(a) QB /QA
(a) EB /EA
Sol.: (a) 1/3; (b) 3
9 Una carga Q = +4.00 µC está distribuida uniformemente sobre el volumen de una esfera de radio
R = 5.00 cm. sCuál es la diferencia de potencial entre el centro de la esfera y la superficie de la esfera?
Sol.: 6 × 105 V
10 En la figura, tres varillas plásticas forman un cuarto de círculo con un centro de curvatura común en
el origen. La varillas tienen uniformes Q1 = +30 nC, Q2 = 0Q1 y Q3 = −8.0Q1 . sCuál es el potencial en el
origen debido a las tres varillas?

Sol.: 1.3 × 104 V
11 Supongamos que un condensador de placasparalelas tiene un área de 2000 cm2 y están separadas una
distancia de 1.00 cm. Conectamos el condensador a una batería con diferencia de potencial V0 = 00 kV y
dejamos que se cargue. Después desconectamos la batería e insertamos entre las placas, una lámina de material
plástico aislante que llene completamente el espacio vacío. Encontramos que la diferencia de potencial decrece
a 1.00 kV mientras que la carga en las placas permanece constante. Encontrar:
(a) La capacidad original C0 .
(b) La magnitud de la carga en cada placa.
(c) La capacidad después que se ha insertado el dieléctrico.
(d) La constante dieléctrica, κ.
(e) El campo eléctrico original E0 .
(f) El campo eléctrico después que se ha insertado el dieléctrico.
Sol.: (a) 177 pF; (b) 0.531 µC; (c) 531 pF; (d) 00; (e) 00 × 105 V/m; (f) 1.00 × 105 V/m;


el potencial electrostático

12 En el circuito de la figura, encontrar el voltaje a través de cada condensador.

Sol.: V5 = 6 V; V5 = 3 V; V2 = 3 V; V4 = 3 V
13 En el circuito de la figura, encontrar el voltaje a través de cada condensador.

Sol.: V3 = 8 V; V6 = 4 V