Electrostática

Era muy conocido por los antiguos griegos que al frotar un trozo de
ámbar se “electrificaba” al ser frotado con piel y a la vez podía atraer
pequeños objetos. De hecho la palabra 'electricidad' viene del vocablo
Griego ámbar (elektron).
En tiempos modernos, estamos acostumbrados a tratar con el término
electricidad. Las fuerzas eléctricas son las que sostienen el mundo material. Estas fuerzas enlazan los electrones y núcleos para formar átomos,
a su vez los átomos son enlazados a otros átomos para formar moléculas.
El objetivo de la electrostática es estudiar las fuerzas y otros efectos
que se producen entre los cuerpos que poseen carga eléctrica en reposo,
además de los campos eléctricos que no cambian en el tiempo.

1 Carga eléctrica
sQué es la carga eléctrica?

Lo que podemos decir es que haydos tipos de carga, las cuales se designan

como positiva (+) y negativa (-). Cuando frotamos una varilla de vidrio
contra un pedazo de seda, la varilla de vidrio queda “electrificada” o
“cargada” y llamamos a esa carga positiva. Ahora si frotamos una varilla
de goma contra un pedazo de piel, entonces la varilla queda con carga
negativa (Fig. 1.1).
Piel de gato

Goma

Seda
Vidrio

También se puede comprobar experimentalmente (Figura 2) que cargas iguales se repelen y cargas distintas se atraen.
sPero cual es el origen la carga eléctrica?

La materia está constituida de átomos. Cada átomo consiste de un núcleo,
que contiene protones y neutrones, y este núcleo está rodeado por un

Figura 1: La varilla de goma queda
cargada negativamente al ser frotada
con piel. La varilla de vidrio queda cargada positivamente al ser frotada con
seda.


32

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

Figura 2: Comprobación de que cargas iguales se atraen y cargas distintas
se repelen.

Goma

Goma

Goma
Vidrio

(a)

(b)

cierto número de electrones. La figura 3 muestra esquemáticamente un
átomo de Litio (Li). En el lado izquierdo está el átomo de litio neutro
(carga cero), que consiste en un núcleo de tres protones (+) y cuatro
neutrones (carga cero), y tres electrones (-) moviéndose alrededor del
núcleo. En el medio está el mismo átomo con un electrón de menos, por
lo tanto, el ion litio (Li+ ) tendrá una carga neta de +1e. En el lado
derecho se ha agregado un electrón al átomo y tendremosel ion (Li− )
con una carga en exceso de −1e.

La fuerza de repulsión o atracción entre dos cuerpos cargados dependerá de la “cantidad neta de carga” que posean. Por carga neta se entiende
la carga en exceso (positiva o negativa) que un cuerpo posee comparado
con el mismo cuerpo neutro.

Figura 3: Esquema de un átomo de litio neutro Li y los iones Li− y Li+ . Los
electrones no tienen trayectorias definidas así que las curvas azules en la figura sólo tienen carácter esquemático.
Sea positivo, done un electrón.

Figura 4: Un cuerpo neutro posee
la misma cantidad de cargas negativas
que positivas. En un cuerpo con una
carga neta, alguno de los dos tipos de
cargas está en exceso.
Carga positiva

Carga neutra

Carga negativa


electrostática

33

1.1 Cuantización de la carga
Los experimentos demuestran además que la carga está cuantizada.
Esto quiere decir que la carga viene en múltiplos enteros de una carga
elemental (e). Por ejemplo si un cuerpo tiene una carga neta Q, entonces
necesariamente se cumple que
Q = Ne
donde N = 1, 2, 3, · · · es un número entero y e es la carga fundamental,
que tiene un valor de 1.602 × 10−19 C. Donde la unidad de carga es llamada Coulomb (C). Esto quiere decir que no puede haber una carga más
pequeña que 1.602 × 10−19 C.

Coulomb (C) es la unidad de carga.

Notar que la unidad de carga eléctrica (1 Coulomb) es una cantidad
extremadamente grande, ya que son necesarios 6 × 1018 electrones
para completar una carga de −1.0 C. Por ejemplo, si dos cargasde
un Coulomb cada una están separadas un metro, entonces aplicando
la ley de Coulomb, la fuerza de repulsión es aproximadamente 9 ×
109 N. tEsto es alrededor de un millón de toneladas!.
Para darse una idea del tamaño de las partículas que constituyen un
átomo, se muestran en la tabla, las masas de los electrones, protones y
neutrones junto con sus respectivas cargas.

Partícula

Masa (kg)

Carga (C)

electrón

9.11 × 10−31

−1.602 × 10−19 (−e)

protón

1.673 × 10−27

+1.602 × 10−19 (+e)

neutrón

1.675 × 10−27

0

EJEMPLO 1: Carga de electrones
sCual es la carga total de 75.0 kg de electrones?
Solución: La masa de un electrón es 9.11 × 10−31 kg, de tal manera
que una masa M = 75 kg contiene
N=

M
75 kg
=
= 8.3 × 1031 electrones
me
9.11 × 10−31 kg

La carga de de un electrón es −e = −1.602 × 10−19 C, por lo tanto la
carga de N electrones es
Q = N (−e) = 8.3 × 1031 × (−1.602 × 10−19 C) = −1.32 × 1013 C

Tabla 1: Masas y cargas de las partículas que forman un átomo.


34

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

1.2 Ley de conservación de la carga
Esta ley establece que la carga neta de un sistema aislado permanece
constante.
Si un sistema parte con un número igual de cargas positivas y negativas, no se puede hacer nada para crear un exceso de carga negativa o
positiva en el sistema a menos que traigamos una carga desde afuera del
sistema (o quitar alguna carga del sistema). De la misma forma, si algún
sistema parte con una cierta carga neta (+ o −), porejemplo +100e,
el sistema tendrá siempre +100e, a menos que se le permita al sistema
interactuar con el exterior.

1.3 Tipos de materiales
Las fuerzas entre dos objetos cargados pueden ser muy grandes. La
mayoría de los objetos son eléctricamente neutros; tienen igual cantidad
de cargas positivas que negativas.
Los metales son buenos conductores de carga eléctrica, mientras que
los plásticos, madera, y goma no lo son (se les llama aislantes). La carga
no fluye muy fácilmente en los aislantes comparado con los metales.
Los materiales están divididos en tres categorías, dependiendo cuan
fácilmente permitan el flujo de carga (ej. electrones) a los largo de ellos.
Estos son:

Tipos de materiales.

Conductores - por ejemplo los metales.
Semiconductores - el silicio es un buen ejemplo.
Aisladores - por ejemplo: goma, madera, plástico.
Si un conductor está cargado negativamente (exceso de electrones), los
electrones tienen la libertad de moverse libremente, y como cargas de
igual signo se repelen, entonces los electrones van a tender a alejarse
entre si. En consecuencia, los electrones se van a distribuir por todo el
conductor para estar, en lo posible, lo más espaciados entre ellos.
Habilidad de conducción creciente
Aislantes
ma

Go

rio
Vid

co
ra
de re se
Ma
Ai

Semiconductores
io
an
icio rm
Sil Ge

Conductores
o
o
re lata
ini
uri
o
ua
rro
Ag Carb Merc Hie Alum Cob
P
no

Respecto al agua hay que tener cuidado en afirmar que es conductora.
Estrictamente el agua (H2 O)no es conductora. En agua de la llave
no es pura, sino que lleva disueltos gases (CO2 ) o sales minerales
(cloruros, sulfatos, nitratos, calcio, magnesio, hierro, etc), y eso hace
que sea conductora.


electrostática

35

1.4 Modos de cargar un objeto
Hay tres maneras de cargar un objeto. Estas son:
1. Por fricción: esto es útil para cargar aisladores.
 Por conducción: es útil para cargar metales y otros conductores. Si un
objeto cargado toca a un conductor, una cantidad de carga será transferida entre el objeto y el conductor, de tal manera que el conductor
quedará cargado con el mismo signo que la carga del objeto.
3. Por inducción: también es útil para cargar metales y otros conductores.
La figura de abajo muestra un ejemplo de como cargar una esfera
metálica por el método de inducción:

(b)

(a)

(d)

(c)

(e)

Tierra

Figura 5: (a) Una esfera conductora
y aislada. (b) Se acerca una barra cargada negativamente y las cargas en la
esfera se polarizan, pero la esfera sigue
siendo neutra. (c) Se conecta un cable a
tierra y las cargas negativas fluyen hacia la tierra. (d) Se desconecta el cable
y la esfera queda cargada positivamente y la tierra negativamente. (d) Se aleja la barra y las cargas positivas en la
esfera se distribuyen uniformemente en
su superficie.


36

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

2 Ley de Coulomb
Charles Coulomb (1736–1806) se las arregló para medir las magnitudes de
las fuerzas eléctricas entre dos objetos cargados. Coulomb confirmó que
lamagnitud de la fuerza eléctrica entre dos pequeñas esferas cargadas es
proporcional al inverso del cuadrado de la distancia de separación r, es
decir
F 1/r2
Si las cargas son q1 y q2 , entonces la magnitud de la fuerza está dada por:
F = ke

|q1 q2 |
r2

Figura 6: La fuerza de atracción entre
dos cargas depende de la separación de
las dos cargas.

donde ke es llamada la constante de Coulomb:
ke = 8.9875 × 109 N.m2 /C2
También esta constante se puede expresar como
ke =

1
4πε0

donde ε0 = 8.8542×10−12 C2 /N.m2 es la permitividad del espacio
vacío.
Ahora, sabemos que la fuerza es un vector, así que la forma correcta
de formular la ley de Coulomb en forma vectorial es1
F12 = ke

q1 q2
r12
ˆ
r2

El vector r12 apunta de “1” a “2” y
ˆ
el símbolo F12 significa “fuerza 1 sobre
2”, pero en otros libros de texto la fuerza sobre la carga q2 también se escribe
simplemente F2 .
1

Según la figura 7-(a), r = r12 es la distancia entre las cargas, r12 es un
ˆ
vector unitario que apunta desde la carga q1 a la q2 y F12 es la fuerza sobre
la carga q2 debido a la carga q1 . Puesto que esta fuerza debe obedecer al
la tercera ley de Newton entonces debe cumplirse que F12 = −F21
F12 = ke

q1 q2
r12 = −F21
ˆ
r2

Recordemos que en la sección 1.1.6 vimos que dado un vector A, un
ˆ
vector unitario en la misma dirección que A se obtiene como A = A/A.
En la ley de coulomb aparece vector unitario r12 , el cual se puede obtener
ˆ
como
r12
r12
r12 =
ˆ
=
r12
r
Entonces la ley deCoulomb se puede escribir de forma alternativa
F12 = ke

q1 q2
r2

r12
r
r12
ˆ

de tal manera que
F12 = ke

q1 q2
r12
r3

(a)

(b)

Figura 7: Repulsión y atracción de
dos cargas. El vector unitario r12 apunˆ
ta en la dirección de la fuerza que ejerce
q1 sobre q2 . En ambos casos se cumple
la tercera ley de Newton F12 = −F21 .


electrostática

37

estrategia de resolución de problemas de fuerzas:
Identificar las cargas puntuales u objetos que pueden ser modelados como cargas puntuales.
Hacer “un mono”: dibujar un sistema de coordenadas y colocar
las cargas puntuales en sus respectivas coordenadas. Dibujar las
direcciones (flechas) de las fuerzas sobre cada carga. Debe considerar si las fuerzas son repulsivas o atractivas.
Calcular distancias entre cargas y también ángulos involucrados
importantes.
Cuando sea posible, efectuar una adición gráfica de las fuerzas.
Esto le ayudará a determinar el tipo de solución.
Calcular las magnitudes de las fuerzas: F = ke

|q1 ||q2 |
r2

Escribir cada fuerza en sus componentes (Fx , Fy , Fz ). Para ello
deberá considerar algún ángulo. El “mono” le ayudará a determinar cuál componente es positiva o negativa.
Sumar cada fuerza (componente a componente) para obtener la
fuerza total sobre alguna carga.
No olvidar que las unidades deben ser compatibles (distancia en
metros [m] y fuerza en Newton [N]).

EJEMPLO 2
Las cargas y coordenadas de dos partículas fijas
en el plano xy son: q1 = +3.0µC, x1 = 3.5 cm,
y1 = 0.5 cm, y q2 = −4.0µC, x2 =−0 cm,
y2 = 1.5 cm. Encontrar la magnitud y dirección
de la fuerza electrostática sobre q2 .

Fuerza sobre la carga 2

Solución: De acuerdo al esquema, claramente q2
será atraída por q1 . Primeramente, encontramos
la distancia entre los dos puntos:

=

( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

=

r

(−0 − 3.5)2 + (1.5 − 0.50)2

= 5.59 cm=5.59×10−2 m
luego encontramos la magnitud de la fuerza sobre q2
F = ke

|q1 q2 |
=
r2

8.9 × 109

N.m2
C2

(3.0 × 10−6 C)(4.0 × 10−6 C)
= 34 N
(5.59 × 10−2 m)2

Puesto que q2 es atraída por q1 , la dirección de la fuerza es la misma que el vector r que apunta de q2 hacia


38

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

q1 . Ese vector es:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
r = r21 = (x1 − x2 )i + (y1 − y2 )j = (5.5 cm)i + (−1.0 cm)j
y su dirección (ángulo formado con el eje x):
θ = arctan

−1.0
+5.5

= −10.3a—Š

(Ángulo bajo el eje x positivo)

La fuerza en forma vectorial se escribe:
F = F r21 = 34 N ×
ˆ

ˆ
ˆ
(5.5)i + (−1.0)j
ˆ
ˆ
= (33.45i − 6.08j ) N
5.59
otra forma: Habiendo calculado la magnitud
de la fuerza, es más fácil obtener el vector fuerza
considerando el ángulo α de la figura. Sabemos
que la fuerza va en la dirección de r21 , entonces
expresamos F en función de sus componentes:
ˆ
F = F cos α i−F sin α j
Notar que hemos colocado un signo menos en la
componente y de la fuerza porque eso lo sabemos

de la figura. A partir del gráfico obtenemos

= 34 ×

F

5.5 ˆ
1.0 ˆ
ˆ
ˆ
i − 34 ×
j = (33.45i − 6.08j ) N
5.59
5.59

sCuál es elángulo que esta fuerza forma con el eje x? Eso lo podemos calcular efectuando el producto punto
ˆ
entre F y el vector unitario i:
1

ˆ
F i
33.45

=

F

ˆ
i cos θ

= 34 cos θ



θ = arc cos(33.45/34)



θ = 10.3°

Este resultado no nos dice exactamente si el ángulo está por debajo de eje x. Para ello hay que guiarse por
la figura.


electrostática

Notar que en la solución hemos usado los valores absolutos de las cargas y la dirección de la fuerza la
hemos determinado “a mano”. Puesto que nos están pidiendo F12 , podemos resolver este problema en
forma alternativa usando
q1 q2
F12 = ke 3 r12
r
Primero obtenemos r12
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
r12 = (−5.5 cm)i + (1.0 cm)j = (−5.5 × 10−2 m)i + (1.0 × 10−2 m)j
Además r3 = (5.59 × 10−2 m)3 = 1.746 × 10−4 m3 entonces
F12

=
=

N.m2
C2
ˆ
ˆ
33.5 i − 6.1 j
8.9 × 109

(3.0 × 10−6 C)(−4.0 × 10−6 C)
ˆ
ˆ
−5.5 × 10−2 m i + 1.0 × 10−2 m j
1.746 × 10−4 m3

Aquí hemos dejado que las matemáticas funcionen, pues hemos usado las cargas con sus respectivos
signos y no hemos hecho ninguna consideración acerca de la dirección de la fuerza.

39


40

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

3 Principio de Superposición
sQue pasa si tenemos muchas cargas y queremos calcular al fuerza
ejercida sobre una de ellas debido al resto de las cargas?
La ley de Coulomb se aplica a cada par de cargas puntuales. Cuando
dos o más cargas están presentes, la fuerza neta sobre cualquiera de las
cargas es simplemente la suma vectorial de las fuerzasejercidas sobre esa
carga por el resto de las cargas. Por ejemplo si tenemos 3 cargas, la fuerza
resultante (F3 ) sobre la carga q3 debido a q1 y q2 será

La fuerza sobre q3 es la suma de las
otras dos cargas sobre ella.

F3 = F13 + F23
En general si tenemos N cargas, entonces la fuerza sobre i-ésima carga
debido al resto de las cargas es2
N

Fi = ke qi
j =i

qj
ˆ
2 rji = ke qi
rji

N
j =i

qj
3 rji
rji

La expresión j = i significa sumar sobre todos los valores de j excepto cuando j = i.
2

EJEMPLO 3
Tres cargas están configuradas de acuerdo a la figura. Encontrar al fuerza sobre la carga q3 asumiendo que q1 = 6.0 × 10−6 C, q2 = −q1 =
−6.0 × 10−6 C, q3 = +3.0 × 10−6 C y a = 0 × 10−1 m.
Solución: Usando el principio de superposición, la fuerza sobre q3 es
F3 = F13 + F23 = ke

q1 q3
q2 q3
ˆ
ˆ
2 r13 + r 2 r23
r13
23

La tarea “complicada” aquí es encontrar los vectores unitarios r13 y r23 .
ˆ
ˆ
De acuerdo a la figura, el vector r13 apunta desde la carga q1 hacia la
carga q3 :
√
√
ˆ
ˆ
r13 = 2a cos θi + 2a sin θj
√
así, si dividimos este vector por su módulo ( 2a) obtenemos el vector unitario r13
ˆ
√
ˆ + sin θj = 2 (i + j )
ˆ
ˆ ˆ
r13 = cos θi
ˆ
2
√

Puesto que cos θ = sin θ =

2
2 .

El vector r23 es más fácil, pues éste apunta en la dirección positiva de x:
ˆ
ˆ
r23 = i
ˆ

Así la fuerza total es:

y sabiendo que r13 =

√

√
q1 q3 2 ˆ ˆ
q2 q3 ˆ
F3 = ke 2
( i + j ) + ke 2 i
r13 2
r23

2a y r23 = a, obtendremos finalmente:
√
√
ke q1 q3 2ˆ ˆ
ke q2 q3 ˆ
ke q1 q3 2 ˆ ˆ
ke q2 q3 ˆ
F3 = √
(i + j ) +
i=
(i + j ) +
i
2
2
2 2
a
a
4
a2
( 2a)


electrostática

41

Si reemplazamos los valores numéricos, obtendremos F3 (en unidades de Newton):
ˆ
ˆ
F3 = −615i + 1.429j
La magnitud de F3 es

(−615)2 + 1.4292 ≈ 3.0 N.

Una forma alternativa de resolver este problema es primero calcular las magnitudes de cada una de las
|Q ||Q |
las fuerzas F = ke 1r2 2 y luego calcular sus componentes.
EJEMPLO 4
Ahora un problema más difícil. En la figura se muestran dos cargas positivas
+q y una carga negativa −Q que puede moverse libremente y que se encuentra
inicialmente en reposo. Si las dos cargas q están fijas:
a) Determinar el periodo de movimiento de la carga −Q.
Solución: puesto que las dos cargas positivas atraen a −Q, esta carga se
desplazará a lo largo del eje x. Una vez que pase hacia el lado negativo, volverá a ser atraída hacia el lado positivo, y así sucesivamente, de manera que
−Q comenzará a moverse de una lado para otro describiendo un movimiento
oscilatorio.
La magnitud de la fuerza ejercida por una de las cargas q sobre −Q será
FqQ = ke

qQ
r2

donde r = x2 + (d/2)2 . Puesto que por simetría la fuerza resultante, debido a las dos cargas q, será en la
dirección horizontal, debemos entonces calcular la componente horizontal de FqQ
Fx = FqQ cos θ = ke

qQ
cos θ
r2

donde θ es el ángulo entre la línea qQ y el eje horizontal, es decir cos θ =
Fx = k e

qQ
qQ x
= ke 2
r2 r
x + (d/2)2

x
x2

+ (d/2)2= ke

x
r

=√

x
x2 +(d/2)2

qQx
(x2 + (d/2)2 )3/2

pero, en la expresión anterior Fx es la fuerza debido a una sola carga, por lo tanto, la magnitud de la fuerza
total sobre −Q será el doble
qQx
2ke 2
(x + (d/2)2 )3/2
2

x
Ahora, para describir el movimiento de −Q, usamos la segunda ley de Newton (F = ma = m d 2 )
dt

2ke

qQx
d2 x
= −m 2
dt
(x2 + (d/2)2 )3/2

donde m es la masa de −Q y se ha introducido el signo (−) debido que la fuerza sobre la carga −Q
actúa como restauradora (como en un resorte). Lamentablemente esta es una ecuación diferencial difícil de
resolver, pero podemos hacer una aproximación razonable si suponemos que x es pequeño comparado con


42

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

3/2

d (x
d), entonces x2 + (d/2)2
es aproximadamente igual (0 + (d/2)2 )3/2 = (d/2)3 , por lo tanto
podemos escribir
d2 x
d2 x 16ke qQx
16ke qQx
= −m 2

+
=0
3
d
dt
dt2
md3
Si definimos ω 2 =

16ke qQ
,
md3

nuestra ecuación queda:
d2 x
+ ω2 x = 0
dt2

Esta es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico, cuya solución se conoce y el periodo T = 2π/ω
T =

π
2π
=
ω
2

md3
ke qQ

b) sCual será la rapidez de −Q cuando esté en el punto medio de las dos cargas q, si inicialmente es soltada
a una distancia a
d desde el centro?
Solución: La rapidez será máxima en el punto medio de oscilación y está dada por
vmax = ωA
donde A es la amplitud máxima que en este caso es a
vmax = ωa =

16ke qQ
a = 4a
md3

ke qQ
md3
electrostática

43

4 Campo eléctrico
La presencia de una carga eléctrica produce una fuerza sobre todas las
otras cargas presentes. La fuerza eléctrica produce una “acción a distancia”; los objetos cargados pueden influenciar a otros sin tocarlos.
Viendo la figura 8, la ley de Coulomb nos permite calcular la fuerza
ejercida por la carga q2 sobre la q1 . Si acercamos la carga q2 hacia q1
entonces la magnitud de la fuerza sobre q1 se incrementará. Sin embargo,
este cambio no ocurre instantáneamente (ninguna señal se puede propagar
más rápidamente que la luz). La cargas ejercen una fuerza sobre las otras
mediante perturbaciones que ellas generan en el espacio que las rodean.
Estas perturbaciones se llaman campos eléctricos. Cada objeto cargado
genera un campo eléctrico que influencia el espacio alrededor.
El campo eléctrico E generado por una carga Q puede ser medido poniendo una carga de prueba q0 en alguna posición (ver figura 9). La carga de prueba “sentirᔠuna fuerza eléctrica de magnitud F = ke q0 Q/r2 .
Entonces se define el campo eléctrico E a una distancia r de la carga Q
como
F
E≡
q0

Figura 8: La presencia de una carga
produce perturbaciones a su alrededor.

Figura 9: Una carga de prueba q0 en
presencia del campo eléctrico generado
por la carga Q.

Definición de campo eléctrico.

4.1 Campo eléctrico de cargas puntuales
Queremos encontrar el campo eléctrico ejercido por una carga puntual
positiva q. Como en la figuras 10 y 11, si ponemos una carga de prueba
q0 a una distancia r deq, la fuerza sobre q0 es
(a)

F = ke

qq0
r
ˆ
r2

entonces, de acuerdo a la definición, E = F /q0
E = ke

(b)

Figura 10: Si q > 0, la carga de prueba será repelida y en el punto P habrá
un campo eléctrico en la misma dirección que F .

q
r
ˆ
r2

La unidad de campo eléctrico debería ser fuerza por unidad de carga
(N/C), pero por razones que se explicarán más adelante la unidad elegida
es V/m (Volt/metro).

En la definición anterior se supone que las cargas que generan el
campo permanecen fijas en su posición cuando se acerca la carga de
prueba q0 . Para evitar perturbaciones a estas cargas, se usan cargas
de prueba muy pequeñas. De hecho, E se puede definir en forma
operacional:
F
E = lŽ
A±m
q0 →0 q0

(a)

(b)

Figura 11: Si q < 0, la carga de prueba será atraída y en el punto P habrá
un campo eléctrico en la misma dirección que F .


44

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

El principio de superposición también es aplicable al campo eléctrico.
Dado un conjunto de cargas puntuales q1 ,q2 ,q3 . . . qN , el campo eléctrico
en un punto P de espacio localizado a distancias r1 ,r2 ,r3 . . . rN de las
cargas, está dado por:
N

E = E1 + E2 + E3 + · · · EN =

N

Ei = ke
i=1

i=1

qi
ˆ
2 ri
ri

EJEMPLO 5
Dos cargas puntuales q1 = +12 nC y q2 = −12 nC están separadas. Esta combinación de dos cargas de igual
magnitud y signo opuesto se llama dipolo eléctrico. Encontrar el campo eléctrico resultante en (a) y (b).
tcuál es la dirección del campo eléctricoresultante producido por la dos cargas en punto a lo largo del eje y?
c

b

a

d

Solución:
(a) Los campos eléctricos en a son mostrados en la figura siguiente. La magnitud de ambos campos es
E1 = E2 = ke

|q1 |
(12 × 10−9 C)
= (8.99 × 109 N.m2 /C2 )
= 4.32 × 104 N/C
r2
(5.0 × 10−2 m)2

En componentes:
E1 = 4.32 × 104 ˆ N/C
i

E2 = 4.32 × 104 ˆ N/C
i

así el campo total en a es
Ea = E1 + E2 = 8.64 × 104 ˆ N/C
i
b

a

b

a

(b) De acuerdo a la figura anterior
|q1 |
(12 × 10−9 C)
E1 = ke 2 = (8.99 × 109 N.m2 /C2 )
= 6.74 × 104 N/C
r
(4.0 × 10−2 m)2
E2 = ke

|q2 |
(12 × 10−9 C)
= (8.99 × 109 N.m2 /C2 )
= 5.50 × 103 N/C
2
r
(1.4 × 10−2 m)2

En componentes:
E1 = −6.74 × 104 ˆ N/C
i

E2 = +5.50 × 103 ˆ N/C
i


electrostática

45

así el campo total en b es
Eb = E1 + E2 = −6.2 × 104 ˆ N/C
i
(c) Los dos campos eléctricos se muestran en el punto c de la figura. También se muestran las componentes x
e y de los campos. El punto c es equidistante de las cargas y |q1 | = |q2 | entonces E1 = E2 . Las componentes
y de los campos son iguales en magnitud y en dirección opuestas y la suma de ellas es cero. las componentes
x son igual en magnitud y apuntan en la dirección +x, entonces el campo resultante es en la dirección +x.
Este resultado es válido para cualquier punto del eje y.

c

c

a

4.2 Lineas de fuerza de cargas puntuales
La magnitud de un campo eléctrico en el espacio que rodea a una
fuente de cargas está directamente relacionada a la cantidad decarga
de la fuente e inversamente proporcional a la distancia desde la fuente
de cargas (F Q/r2 ). La dirección del campo eléctrico está siempre
dirigida en la dirección que una carga de prueba positiva se movería si
se coloca en el espacio que rodea a la fuente de cargas. Puesto que el
campo eléctrico es un vector, este puede ser representado por flechas.
Para un punto dado en el espacio, la flecha apunta en la dirección del
campo eléctrico y su longitud es proporcional a la magnitud del campo
eléctrico en ese punto. En la figura 12 las longitudes de las flechas son
más largas en las cercanías de la carga puntual y son más cortas cuando
la distancia a la carga puntual es mayor.
Figura 12: Vectores representando el
campo eléctrico en algunos puntos del
espacio.

Para representar la naturaleza vectorial del campo eléctrico, es más
conveniente tratar de visualizarlo mediante lineas de fuerza de campo
eléctrico. En vez de dibujar una infinidad de flechas de vectores en el


46

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

espacio que rodea a la carga, es quizás más útil dibujar un patrón de
algunas líneas que parten de la carga y se extienden hasta el infinito.
Estas líneas, también llamadas lineas de campo eléctrico, apuntan en la
dirección que aceleraría una carga de prueba positiva colocada en esa
línea (Fig. 13). Es decir, las líneas se alejan desde una carga positiva y
se acercan hacia una carga negativa. Un diagrama como el de la figura
13 podría incluir un infinito número de líneas, pero porrazones de
visualización se limita el número de ellas.

Figura 13: Líneas de fuerza para los
dos tipos de cargas puntuales.

Hay dos reglas para las líneas de campo:
1. La dirección del campo eléctrico es, en todas partes, tangente a las
líneas de campo y van en el sentido de las flechas en las líneas.
 La magnitud del campo es proporcional al número de líneas de campo por unidad de área que pasan a través de una pequeña superficie
normal a las líneas. En el caso de las cargas puntuales, la magnitud
del campo eléctrico es mayor cerca de la carga (hay mayor densidad
de líneas). La figura 14 muestra un ejemplo donde un campo eléctrico penetra dos superficies. La magnitud del campo eléctrico es mayor
en la superficie A (hay mayor densidad de líneas por unidad de área
atravesando la superficie) que en la B.
En la figura 15 se muestra una carga puntual y donde se ve que magnitud del campo eléctrico disminuye con la distancia y también se ve que
la cantidad de líneas de campo que atraviesan la misma área disminuye.
Las lineas de campo correspondientes a dos cargas puntuales idénticas
se muestran en la figura 16. A la izquierda se muestran dos cargas
positivas y a la derecha una carga positiva y otra negativa:
Finalmente la figura 17 muestra una carga puntual y las líneas de
campo eléctrico en presencia de tres conductores (ver sección 3.9). Los

Figura 14: La densidad de líneas es
una indicación de la magnitud del campo eléctrico.


electrostática

A

A

47

Figura 15: La magnitud delcampo
eléctrico disminuye en la proporción
1/r2 con la distancia r. La densidad de
líneas que atraviesan una misma área
también disminuye .

A

Figura 16: Líneas de campo de dos
cargas puntuales.

conductores (neutros) se polarizan y como consecuencia se producen lineas de campo eléctrico debido a los conductores.

+

+ +

+

++
+
+

+

−

+

−
−

+

+ + +

−
−
−
−−

+
−

+

+
+

−
−− − − −

−

− − − −−
−−
−
++ + +
++

5 Distribuciones continuas de carga
Hasta el momento hemos vivido en el maravilloso mundo de las cargas puntuales (o distribuciones discretas de cargas). Como ya sabemos la
carga está siempre cuantizada, donde la cantidad más pequeña de carga
es 1.602 × 10−19 C. El espacio total cubierto por cualquier carga es muy
pequeño comparado con la distancia entre dos cargas. Hasta el momento
hemos idealizado la situación y hemos supuesto que la carga puntual ocupa la extensión de un punto (volumen cero). Sin embargo en la realidad

Figura 17: Líneas de campo de una
carga puntual en presencia de tres
conductores. La configuración produce
además una polarización electrostática
en los conductores, los que a su vez generan campos eléctricos.


48

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

los cuerpos cargados ocupan un volumen finito y no pueden ser considerados como un punto.
En una distribución de carga continua, todas las cargas están muy próximas las unas a las otras. Supongamos que tenemos un volumen como en
la figura 18 y queremoscalcular E en el punto P exterior. Tomamos un
elemento de volumen aˆ†V con carga aˆ†q, entonces el campo en el punto P
debido a esta pequeña carga es:
aˆ†E = ke

aˆ†q
r
ˆ
r2

donde r es la distancia desde el elemento de carga aˆ†q al punto P . Ahora,
si nos imaginamos que dividimos el volumen total en muchos “cubitos”
de volumen aˆ†V , el campo en P será aproximadamente igual a la suma
de pequeñas contribuciones (Fig. 19):

Figura 18: Campo eléctrico en P generado por una carga puntual aˆ†q en
una distribución continua de carga.

Figura 19: Dividimos la distribución
continua de carga en pequeñas contribuciones aˆ†q, cada una de las cuales representa en forma aproximada una carga puntual. El campo eléctrico en P es
aproximadamente igual a la suma vectorial de los campos generados por cada
aˆ†q.

n

E ≈ ke
i=1

aˆ†qi
ˆ
2 ri
ri

Usando las herramientas del cálculo integral podemos
hacer aˆ†qi → 0 (aˆ†qi → dq) entonces obtenemos un
resultado exacto:
ˆ
aˆ†qi
dq
E = ke lŽ
A±m
ri = ke
ˆ
r
ˆ
2
r2
aˆ†qi →0
ri
ˆ
dq
E = ke
r
ˆ
r2

5.1 Densidades de carga
En la práctica es conveniente describir la distribución de cargas en
función de densidades de carga , pues la carga puede estar distribuida en
una línea, superficie o volumen.


electrostática

Densidad volumétrica de carga

ρ = lŽ aˆ†V →0
A±m

aˆ†q
aˆ†V

C
m3

Densidad superficial de carga

σ = lŽ aˆ†S→0
A±m

aˆ†q
aˆ†S

C
m2

Densidad lineal de carga

λ = lŽ aˆ†l→0
A±m

aˆ†q
aˆ†l

C
m

En el caso de que la densidad carga seauniforme
ρ=

aˆ†q
q
=
= constante
aˆ†V
V

donde q es la carga total y V el volumen total de la distribución.

La forma analítica de las distribuciones de carga se
pueden usar para encontrar la carga total. Por ejemplo, puesto que dq = ρdV , se integra y se obtiene
ˆ
q=
ρdV
V

aquí ρ es variable, así que no puede salir fuera de la integral. Similarmente, para una distribución superficial y una lineal:
ˆ
ˆ
q=
σdS
ó
q=
λdl
S

L

Así el campo eléctrico puede escribirse, por ejemplo, en función de ρ
ˆ
ρ
E = ke
r 2 dv
ˆ
vol r

49


50

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

5.2 Aplicaciones de campo eléctrico de distribuciones
continuas
A continuación algunos problemas de cálculo de campo eléctrico debido
a distribuciones continuas de carga. Estos son ejemplos que aparecen en
todos los libro de texto, pero que son muy ilustrativos.
EJEMPLO 6: Campo producido por una barra cargada
Una barra de longitud L y densidad lineal positiva de carga λ.
Calcular el campo eléctrico en un punto P sobre el eje x a una
distancia x0 de uno de los extremos de la barra.
Solución: De acuerdo a la figura, dividimos la barra en N pequeños
segmentos de carga aˆ†q cada uno de los cuales puede ser modelado como una carga puntual. Sabemos como
calcular el campo de eléctrico de una carga puntual. Además, como λ es positiva, el campo eléctrico en P ,
debido a aˆ†q, apuntará hacia la izquierda. Tomamos un pequeño segmento aˆ†xi de la barra con carga aˆ†q y
calculamos el campo eléctrico debido al segmento i esaˆ†Ei = −ke

aˆ†q ˆ
i
x2
i

Recordar que el campo apunta hacia la izquierda (de ahí el
signo −). Suponemos que la densidad de carga es uniforme,
entonces reemplazamos aˆ†q = λaˆ†xi
aˆ†Ei = −ke

λaˆ†xi ˆ
i
x2
i

Para encontrar E debemos sumar las contribuciones de cada uno de los N segmentos de la barra:
N

N

N

aˆ†Ei = −ke

E=
i=1

i=1

aˆ†xi ˆ
λaˆ†xi ˆ
i
2 i = −ke λ
xi
x2
i
i=1

Por supuesto que mientras mayor sea el número de segmentos mejor será la aproximación. En el límite
N → ∞ el campo es
L
ˆ
E = −ke λ
i
x0 ( x0 + L )

En realidad la solución exacta se obtiene por medio de integración. Esto se obtiene haciendo N → ∞, entonces cada segmento se convierte en un elemento infinitesimal aˆ†x → dx
y la variable de posición discreta xi se convierte en la variable continua de integración x.
La suma desde i = 1 hasta i = N es reemplazada por los límites de integración x = x0
hasta x = x0 + L
xˆ+L
0

E = −ke λ
x0

1
dx ˆ
i = −ke λ −
x2
x

x0 +L

ˆ
i = −ke λ
x0

1
1
−
x0 x0 + L

La magnitud de E es:
E = ke λ

L
x0 ( x0 + L )

ˆ
i = −ke λ

L
ˆ
i
x0 ( x0 + L )


electrostática

51

Notar que si en vez de λ se hubiera dado Q, entonces
E = ke

Q
L
Q
= ke
l x0 (x0 + L)
x0 ( x0 + L )

Si el punto P está muy alejado del extremo de la barra, entonces x0
E ≈ ke

L y x0 + L ≈ x0

Q
x2
0

que no es otra cosa que la magnitud del campo eléctrico de una carga puntual.
EJEMPLO 7: Anillo cargado uniformemente
En la figura el anillo tiene una cargauniforme total Q
y hay que encontrar el campo eléctrico en un punto P
del eje z.
Solución: Lo primero que hay que preguntarse es:
sCual es la dirección de E?. Por simetría debería apuntar en la dirección positiva del eje z.
En el dibujo hemos dividido el perímetro del círculo
en N segmentos de carga aˆ†q. Hemos elegido una carga
“puntual” aˆ†q que genera un campo aˆ†Ei en el punto
P . Pero al otro lado del anillo hay otro elemento de
carga que generará un campo eléctrico de igual magnitud en el punto P de tal manera que el campo total en
P deberá ser la suma de los dos campos. Si analizamos las componentes de estos campos, veremos que las
componentes horizontales (paralelas al plano xy) se van a cancelar y solamente las componentes paralelas al
eje z van a sobrevivir. Así podemos decir a priori que el campo eléctrico en P debe apuntar hacia +z.
aˆ†q
ke aˆ†q
z
ke zaˆ†q
√
cos θ = 2
=
r2
R + z 2 R2 + z 2
(R2 + z 2 )3/2
√
donde hemos usado el hecho de que la distancia desde de carga aˆ†q al punto P es r = R2 + z 2 (es constante).
Para obtener el campo total en P debemos sumar las N contribuciones

(aˆ†Ei )z = aˆ†Ei cos θ = ke

N

N

(aˆ†Ei )z =

Ez =
i=1

i=1

ke zaˆ†q
ke z
=
(R2 + z 2 )3/2
(R2 + z 2 )3/2

N

aˆ†q
i=1
Q

Ez =

( R2

ke zQ
+ z 2 )3/2

Notar que no fue necesario usar cálculo integral para obtener este resultado.

El campo eléctrico es cero en el centro del anillo (z = 0). Por otro lado, si z está muy alejado del centro
del anillo entonces R2 + z 2 ≈ z 2 y entonces Ez ≈ keQ/z 2 , es decir, el anillo se comporta como una
carga puntual.


52

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

EJEMPLO 8: Alambres finitos e infinitos
Una alambre no conductor de longitud l , densidad de carga uniforme λ y carga total Q se extiende a lo largo
del eje x (ver figura). Calcular el campo eléctrico en un punto P , localizado a una distancia y del centro del
alambre.

Solución: Primero dividimos la barra en N segmentos de longitud aˆ†x cada uno con una carga aˆ†q. Según la
figura de la izquierda, la contribución al campo eléctrico en P , debido al segmento aˆ†x con carga aˆ†q = λaˆ†xi ,
es
ke λaˆ†xi
aˆ†q
aˆ†Ei = ke 2 = 2
r
xi + y 2
Ahora debemos usar argumentos de simetría para resolver este problema más fácilmente. De acuerdo a la
figura de la derecha la componente horizontal del campo en P debe anularse porque dado una carga aˆ†q en
x > 0, existe otro aˆ†q en x < 0. Por lo tanto el campo resultante debe apuntar en la dirección de +y. La
magnitud de aˆ†Ey será
ke λaˆ†xi
ke λyaˆ†xi
y
(aˆ†Ei )y = aˆ†Ei cos ϕ = 2
= 2
2
xi + y
(xi + y 2 )3/2
x2 + y 2
i

que queda expresada en términos de la única variable discreta x. Para calcular el campo total en P sumamos
las contribuciones de los N segmentos:
N

N

(aˆ†Ei )y =

Ey =
i=1

i=1

N

aˆ†xi
aˆ†xi
= ke λy
2 + y 2 )3/2
2 + y 2 )3/2
( xi
( xi
i=1

Si N → ∞ (segmentos muy pequeños, aˆ†x → 0), se puede demostrar que
Ey = 2ke

λ
y

L/2
y2

+ (L/2)2


electrostática

53

Por medio de integración directa podemos justificar el resultadoanterior:
L/2
ˆ

Ey = ke λy

dx
= 2ke λy
2 + y )3/2
(x

−L/2

L/2
ˆ
0

( x2

dx
+ y )3/2

Esta no es una integral fácil; la podemos buscar en una tabla de integrales, o hacer el cambio de variables:
x = y tan ϕ



dx = y sec2 ϕdϕ

y al sustituir:
Ey = 2ke λy

sin θ
sin θ
λ
= 2ke λ
= 2ke
y2
y
y

L/2
y2

+ (L/2)2

alambre finito

Partiendo de este resultado anterior, podemos calcular el campo debido a un alambre infinito. Solo debemos
hacer θ → π ó L → ∞
2ke λ
Ey =
alambre infinito
y

EJEMPLO 9: Disco cargado
Un disco cargado uniformemente de radio R con carga total Q yace en el plano xy. Encontrar el campo
eléctrico en un punto P a lo largo de eje z cono se muestra en la figura.

Solución: Para resolver este problema vamos a dividir el disco en N anillos de ancho aˆ†r y radio ri (i =
1, 2, 3, . . . N ). En la figura de la izquierda, elegimos convenientemente un anillo de ancho infinitesimal aˆ†r
y con carga aˆ†q. Cualquier punto del anillo se encuentra a una distancia (ri 2 + z 2 )1/2 del punto P . La
simetría del problema nos dice que el campo eléctrico apunta en la dirección +z. El anillo tiene una carga
aˆ†q = σ (2πri aˆ†r ).
Por otro lado, la figura de la derecha es un anillo de radio R y cargado uniformemente con carga total
Q, y de acuerdo al problema 7 el campo eléctrico a una distancia z del centro es:
Ez =

ke Qz
(R2 + z 2 )3/2

Si aplicamos el resultado anterior a nuestro anillo de radio ri y carga aˆ†q = σ (2πraˆ†ri ), obtenemos aˆ†Ez :

(aˆ†Ei )z =

ke σ(2πri aˆ†r )z
2
(ri + z 2 )3/2


54

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

Para obtener el campo eléctrico total, debemos sumar la contribución de los N anillos
N

N

(aˆ†Ei )z =

Ez =
i=1

i=1

N

ke σ (2πri aˆ†r )z
ri aˆ†r
= 2πke σz
2 + z 2 )3/2
2 + z 2 )3/2
(ri
(ri
i=1

El resultado exacto es cuando N → ∞, pero no podemos dar aquí una expresión simple para esta suma.
Simplemente vamos a dar el resultado, que se obtiene mediante integración

Ez =


 σ 1− √ z

,
2
 0
R2 + z 2


z>0


 σ

z


, z0


 σ

z


−1 − √
, za : La superficie Gaussiana es una esfera concéntrica de radio r pues queremos calcular el campo
eléctrico a una distancia r del centro de la esfera. Esta superficie imaginaria encierra toda la carga Q y además
por simetría el campo eléctrico debe apuntar radialmente (igual que una carga puntual). Supondremos
entonces que la magnitud del campo eléctrico es la misma en todos los puntos de la superficie Gaussiana. Por
definición cualquier vector aˆ†Ai debe ser perpendicular a la superficie, por lo tanto aˆ†A y E (r ) son paralelos
Ei (r ) aˆ†Ai = Ei (r )aˆ†Ai
El flujo es la suma de los flujos a través de cada uno de los trozos de superficie
N

N

Φ=

Ei ( aˆ† A ) i =
i=1

E (aˆ†A)i
i=1

La magnitud del campo eléctrico es constante en cualquier punto de la superficie (Ei = E) y puede salir
fuera de la sumatoria
N
qenc
Φ=E
aˆ†Ai = E4πr2 =
ε0
i=1

Área esfera


electrostática

67

Recordemos que el flujo debe valer qenc /ε0 y que qenc= Q
E4πr2 =

Q
ε0

es decir, la magnitud del campo es
E=

Q
ke Q
= 2
4πε0 r2
r

r>a

Notar que el resultado es idéntico al de una carga puntual y no depende del radio de la esfera.
Superficie gaussiana encierra
solo una fracción de la carga

b) Caso r R y (b) d < R.
Superficie
gaussiana

√
Sol.: (b) Φ = 2λ R2 − d2 /ε0
15 Dos anillos cargados de 10 cm de diámetro se encuentran uno frente al otro a una distancia de 10 cm. El
anillo de la izquierda tiene carga de −20 nC y el de la derecha tiene carga de +20 nC.
(a) sCuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto medio entre los anillos?
(b) sCuál es la fuerza F sobre una carga de −1.0 nC colocada en ese punto medio?


74

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

Sol.: (a) 6 × 104 N/C hacia la izquierda; (b) 6 × 10−5 N hacia la derecha.
16 Dos discos cargados de 10 cm de diámetro se encuentran uno frente al otro a una distancia de 10 cm. El
anillo de la izquierda tiene carga de −50 nC y el de la derecha tiene carga de +50 nC.
(a) sCuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto medio entre los anillos?
(b) sCuál es la fuerza F sobre una carga de −1.0 nC colocada en ese punto medio?
Sol.: (a) 7.6 × 104 N/C hacia la izquierda; (b) 7.6 × 10−5 N hacia la derecha.
17 La magnitud del campo eléctrico a 0 cm de la superficie de una esfera de diámetro de 10.0 cm es
50000 N/C. sCuál es la carga (en nC) de la esfera?
Sol.: Q = 27 nC
18 Dos cargas q están posicionadas sobre el eje y en y = ± 1 s.Encontrar la expresión para la magnitud del
2
campo eléctrico a una distancia x sobre el eje que bisecta a las dos cargas.
18x
Sol.: E = 2
N/C
2 3/2
[x +(0.003 m) ]

19 La figura de abajo es una vista seccional de dos alambres infinitos que salen de la página. Los alambres
tienen una densidad lineal de carga ±λ. Encontrar una expresión para la magnitud del campo eléctrico a una
altura y sobre el punto medio entre los alambres.

Alambres saliendo de la página

Sol.: E =

ke 8λd
4y 2 +d2

20 El campo eléctrico a 5.0 cm de una alambre infinito es 2000 N/C y dirigido hacia el alambre. sCuál es
la carga de (en nC) de una segmento de alambre de 1.0 cm de largo?
Sol.: Q = −0.056 nC
21 Una barra plástica con carga Q > 0 distribuida uniformemente, es doblada en la forma de un cuarto de
círculo como muestra la figura. Encontrar el campo eléctrico en el origen.

Sol.: E =

ke 2Q ˆ
ˆ
(i + j )
πR2

22 Dos esferas aisladoras de 0 cm de diámetro están separadas 6.0 cm desde sus superficies. Una esfera
está cargada con +10 nC y la otra con −15 nC. sCuál es la magnitud del campo eléctrico en el punto medio
entre las dos esferas?
Sol.: 1.41 × 105 N/C.