Gráfica de los resultados de una medición experimental

resumen

La presente experiencia nos muestra la propagación de errores en la oscilación de un péndulo , en el cual se busca analizar algunos conceptos como el periodo de oscilación del péndulo basándose en el análisis de 10 oscilaciones y como se ve afectado este valor al modificar la longitud del hilo utilizado . Para esto se realizan algunas simulaciones en el laboratorio obteniendo diferentes gráficas, las cuales muestran lo anteriormente mencionado.

INTRODUCCION
Péndulo, dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. Los péndulos se emplean en varios mecanismos, como por ejemplo algunos relojes.

En el péndulo más sencillo, el llamado péndulo simple, puede considerarse que toda la masa del dispositivo esta concentrada en un punto del objeto oscilante, y dicho punto solo se mueve en un plano. El movimiento del péndulo de un reloj se aproxima bastante al de un péndulo simple. El péndulo esférico, en cambio, no esta limitado a oscilar en un único plano, por lo que su movimiento es mucho más complejo.
El principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italiano Galileo, quien estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del péndulo si depende de ella). Galileo indico las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en lamedida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad es mas o menos intensa según la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con precisión la aceleración local de la gravedad.

OBJETIVOS

až¢ Determinar las condiciones para que un péndulo simple tenga su período independiente de su amplitud angular θ.
až¢ Determinar la relación entre el período y la longitud “l” del péndulo.
až¢ Construir funciones polinómicas que representen a dicha función.

FUNDAMENTO TEORICO
El principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italiano Galileo, quien estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del péndulo sí depende de ella). Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad, su periodo varía con la localización geográfica, puesto que la gravedad es más o menos intensa según la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con precisión la aceleración local de la gravedad.
El movimiento pendular es una forma de desplazamiento que presentan algunos sistemas fiscos como aplicación practica al movimiento armónico simple.A continuación hay tres características del movimiento pendular que son: péndulo simple, péndulo de torsión y péndulo físico.
Período de oscilación
Llamaremos periodo de oscilación al tiempo transcurrido en tre dos instantes equivalentes de un ciclo periódico, es decir instantes donde la energia cinetica es cero, la energia potencial es la misma, se a recorrido un mismo angulo respecto a la vertical tanto en la primera mitad del movimiento como en la subsiguiente. Este periodo en un pendulo simple es sabido que es independiente de la masa :

Sin embargo debemos comprobar la veracidad de la ley física, además, si los ángulos respecto a la vertical son menores a 10 () el periodo será en teoria independiente de la longitud; es deber del alumno comprobar esta teoría también.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1. MATERIALES

Pesa y cuerda

Regla milimetrada

Cronómetro

2. PROCESO

Atar el péndulo mediante un hilo a una “brazo” fijo de modo que forme un angulo θ con la vertical. Luego de soltarlo medir el tiempo que demoran 10 oscilaciones completas(una oscilación es una ida y vuelta completa).para angulos θ suficientemente pequeños el tiempo que demora una oscilación es independiente del valor de aquel angulo θ.

Fije una longitud lk para el péndulo tal que 10cm ≤ lk ≤ 150cm y midiendo 10 oscilaciones completas determine el periodo . repita dicho proceso 5 veces obteniendo Luego determine el periodo más probable de obtener TK definido como:

Luego de realizar lo anterior obtendremos los 10 puntos (T1, l1); (T2, l2);; (T10, l10)

CALCULOS Y RESULTADOS1.- Grafique la función discreta

|Tk |lk(cm) |
|1.6838 |70.87 |
|1.6238 |66.77 |
|1.561 |62.67 |
|1.5032 |58.57 |
|1.4474 |53.87 |
|1.3974 |49.67 |
|1.3316 |45.17 |
|1.2906 |40.47 |
|1.232 |36.37 |
|1.1542 |32.17 |

2.- Determine los coeficientes a, b y c de la función l = f (T) = a + BT + cT2 de manera que pase por tres puntos elegidos “convenientemente y pertenecientes a la función discreta anterior. Con esto ya quedan “conocidos” a, b y c

Tomando los puntos ( 32.17) ;(1.2906 , 40.47) ;(1.561 , 62.67) se tendría el siguiente sistema de ecuaciones

32.17 = a + 1.1542b + 1.3322c

40.47 = a + 1.2906b + 1.6656c

62.67 = a + 1.561b + 2.4367c

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos.

a=39.5761 b= - 66.6 c=52.142

Por lo tanto:

f (T) = 39.57 – 66.6T + 52.142T2

3.-Calcule la incertidumbre de

La tabla muestra los resultados de la f(T) al introducirle los valores obtenidos en ellaboratorio además del calculo necesario de (Lk-(f(Tk))2 para obtener la incertidumbre calculad de la siguiente manera:

|K | lk(cm) |Tk |F(Tk) |[Lk - F(Tk)]2 |
|1 |70.87 |1.6838 |75.261 |19.28 |
|2 |66.77 |1.6238 |68.909 |4.5753 |
|3 |62.67 |1.561 |62.662 |0.0000 |
|4 |58.57 |1.5032 |57.2774 |1.67 |
|5 |53.87 |1.4474 |52.409 |2.1345 |
|6 |49.67 |1.3974 |48.322 |1.8171 |
|7 |45.17 |1.3316 |43.3415 |3.3434 |
|8 |40.47 |1.2906 |40.4663 |0.0000 |
|9 |36.37 |1.232 |36.6612 |0.0848 |
|10 |32.17 |1.1542 |32.1627 |0.0000 |

INCERTIDUMBRE ():

4.-Grafique una nueva función discreta

|Tk2|lk(cm) |
|2.8352 |70.87 |
|2.6367 |66.77 |
|2.4367 |62.67 |
|2.2596 |58.57 |
|2.095 |53.87 |
|1.9527 |49.67 |
|1.7732 |45.17 |
|1.6656 |40.47 |
|1.5178 |36.37 |
|1.3322 |32.17 |

5.- Determine los coeficientes α, β, γ de la función l = f (T) = α + β T + γT2 de manera que pase por tres puntos elegidos “convenientemente y pertenecientes a la función discreta anterior. Con esto ya quedan “conocidos” α, β, γ

Tomando los puntos 30.37) ; (2.2596 , 58.57) ; (2.6367 , 66.77) se tendría el siguiente sistema de ecuaciones

30.37 = α + 1.5178β + 2.3037γ

58.57 = α + 2.2596β + 5.1058γ

66.77 = α + 2.6367β + 6.9522γ

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos.

α= - 77.2485 β= 92.9954 γ= - 14.5548

Por lo tanto

f(T) = - 77.2485 + 92.9954T – 14.5548T2

CUESTIONARIO

1. Anteriormente se le ha pedido que para medir el período deje caer la “masa” del péndulo. sQué sucede se en vez de ello Ud. lanza la “masa”?

La velocidad que le diéramos al principio haría que seproduzca una energía cinética adicional la cual haría que cuando la masa llegue al otro extremo, se pase de su altura inicial; por lo tanto ya no se podría tomar el periodo adecuadamente.

2.sDepende el periodo del tamaño que tenga la “masa”?

Para nuestro caso consideraremos que el cuerpo esta uniformemente distribuido y por lo tanto su centro d masa esta en la mitad de su altura. El cuerpo se comporta como una masa puntual es decir como un punto.

3- sDepende el periodo del material que constituye la “masa” (ej.: una pesa de metal, una bola de papel, etc.)?

En nuestro experimento usamos ángulos de oscilación pequeños, un material de metal o papel o de lo que fuese no afectaría el experimento, por que el periodo no depende ni de la masa ni de sus dimensiones, siempre y cuando se pueda considerar el objeto como partícula.

4. .Supongamos que se mide el período con =5° y con θ=10°. sEn cual de los dos casos resulta mayor el período?

El periodo seria el mismo,ya que son angulos pequeños; se comprueba experimentalmente.

5. Para determinar el periodo, se ha pedido medir la duración de 10 oscilaciones y de allí determinar la duración de una oscilación. sPor qué no es conveniente medir la duración de una solo oscilación?

Lo que explica este procedimiento de medir la duración de 10 de oscilaciones y de allí determinar el periodo es para disminuir el error que se comete al iniciar y finalizar la medición de una sola oscilación la cual seria muy imprecisa y complicada.; si midiéramos 50 veces es probable que nos resulte un promedio casi igual al de unas 15 oscilaciones ya que todos los tiempos son casi iguales,solo se diferencian por decimales.

6. sDependen los coeficientes a, b, c de la terna de puntos por donde pasa f?
Sí, porque para cada terna de puntos habría un sistema de ecuaciones diferentes y por lo tanto habría un conjunto solución diferente para cada una de ellas.

7. Para determinar a, b, c se eligieron tres puntos. sPor qué no dos? so cuatro?
Porque como son tres variables, se necesitan como mínimo tres ecuaciones y son indispensables como minimo tres puntos para hallar cualquier ecuación de alguna línea de tendencia que pase por estos.

8. sOpina Ud. que, por ejemplo usando un trozo de hilo de coser y una tuerca, puede repetir estos experimentos en su casa?

No podría, porque el hilo de coser se rompe fácilmente y además la tuerca como es hueca tendería un movimiento inestable.

9. sTiene usted idea de cuántas oscilaciones puede dar el péndulo empleado, con LK = 100cm, antes de detenerse?
Experimentalmente podría realizarse, es probable que sea alrededor de 35 oscilaciones manteniendo el mismo periodo.

10. Observe que al soltar el péndulo es muy difícil evitar que la masa “rote”. sModifica tal rotación el valor del periodo? sQué propondría usted para eliminar la citada rotación?

La rotación afectaría al periodo, porque alteraría al movimiento de traslación del cuerpo.

Propondríamos como grupo que el cuerpo sea una esfera pequeña, ya que esta solo tendría moviendo de traslación y tener cuidado al soltar el cuerpo para no ocasionar un movimiento de rotación y perturbar el periodo

CONCLUSIONES

Con este trabajo se logro concluir que el periodo de oscilación deun péndulo físico, depende siempre del brazo de giro, es decir la distancia con respecto a su centro de gravedad. Además observamos que para ciertos valores del brazo de giro el valor del periodo es un mínimo y que cuando el brazo de giro es exactamente el centro de gravedad no se produce ninguna oscilación con ángulos pequeños.

Al modificar el centro de gravedad el péndulo agregándole una pequeña masa en uno de sus extremos, también se ve afectado el periodo ya que tanto el momento de inercia como el centro de gravedad del sistema son diferentes.
Por ultimo vimos que al momento de someter al péndulo a una rotación completa con una gran velocidad angular, en el instante en que se comienza a detener, observamos que los torques que experimenta el péndulo, hacen que por un cierto tiempo, este oscile como un MAS hasta que se detiene por completo.

BIBLIOGRAFÍA

až¢ FACULTAD DE CIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA - Manual de Laboratorio Física General Edicion 2004

až¢ FÍSICA UNIVERSITARIA, Sears - Zemansky - Young - Freedman, Duodécima edición Volumen 1 paginas: 10 -11 - 13
až¢ QUÍMICA, LA CIENCIA CENTRAL, Brown – LeMay – Bursten – Murphy Undécima edición paginas: 20 – 21 – 22 – 23
až¢ CIFRAS SIGNIFICATIVAS E INCERTIDUMBRE EN LAS MEDICIONES Disponible en: www.rinconeducativo.com/datos/arbol/bachiller/Física/cifras%20significativas.doc
až¢ FISICA VOL.1 MECANICA, Alonso – Finn edición 1970 páginas 25-26-27
až¢ enciclopedia.us.es/index.php/Péndulo 
až¢ Serway R.A. Fisica. Tomo I. Mc Graw Hill. Mexico