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Geometria analitica - Sistema de coordenadas cartesianas, Formula de distancia entre dos puntos, Ecuacion de la recta en un plano



La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado 'El Discurso del Método', publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.La geometría analítica es una combinación de algebra y geometría.
1.1 Sistema de coordenadas cartesianas
1.2 Formula de distancia entre dos puntos
1.3 Punto medio de un segmento de recta
1.4 Pendiente y Angulo de inclinación de la recta
1.5 Ecuación de la recta en un plano
1.6 Distancia de un punto a una recta

Sistema de coordenadas cartesianas


Ejes de coordenadas, al sistema de coordenadas también se le llama ejes de coordenadas o efes cartesianos. El eje horizontal se llama eje X o eje de las abscisas. El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto 0, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas. Las coordenadas de un puntocualquiera P se representan por (x,y).
La primera coordenada se mide sobre el eje de las abscisas, y se le denomina coordenada “x” del punto o abscisa del punto.
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada “y” del punto u ordenada del punto.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

Formula de distancia entre dos puntos
La distancia expresa la proximidad o lejanía entre dos objetos, o el intervalo de tiempo que pasa entre dos sucesos.
Para poder sacar esta distancia se emplea de la siguiente formula, sustituyendo valores de (x,y), (x2,y2).

Punto medio de un segmento de recta
Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.
Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
Ax1+By1+Cz1+D=0
Ax2+By2+Cz2+D=0

Por resta de ecuaciones resulta;

A(x1-x2)+B(y1-y2)+C(z1-z2)=0

Si se agrega otro punto cualquiera P3(x3,y3,z3) otro punto cualquiera, diferente de los otros dos. Por lo tanto los números directos de l a partir de de P1 y P3 son:
[x1-x3,y1-y3, z1-z3]

Al resultar:

A(x1-x3)+B(y1-y3)+C(z1-z3)=0 al restarle las constantes con función de x1,y1,z1
Obtenemos:
Ax3+By3+Cz3+D=0

al Demostrar que P3 también se encuentra en el mismo plano.

Ejemplo:
1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P1(-2,-1,5) y es perpendicular ala recta l determinada por los puntos P2(2,-1,2) P3(-3,1-2).

Solución
Los números directosde l son: [-3-2,1+1,-2-2], ósea, [5,-2,4]. Como l es perpendicular al plano, los números directores de su normal son también [5,-2 ]. Por tanto P1(-2-1,5], tenemos que la ecuación buscada del plano es:

5(x+2)-2(y+1)+4(z-5)=0
5x-2y+4z-12=0






2 Rectas en el espacio.
2.1 Distancia entre un punto y un plano.

Sean:
,

La ecuación de un plano, un punto exterior a él y d la distancia del punto P al plano.
Supóngase otro plano, paralelo al interior, apoyado en P. la ecuación de este plano es:
.


Por ser el punto Pa‚ del plano, se tiene:


De donde :


Por tanto: para obtener la distancia de u punto a un plano, iguálese a cero la ecuación del plano y luego sustitúyase, en el primer miembro, las variables (x,y,z) por las coordenadas del punto dado.
Teniendo presente que


Y que el resultado (1) se escribe también:





Observación. Es útil en vista de ciertas aplicaciones, expresar la distancia de un punto a un plano, introduciendo u determinante de cuarto orden, como se indica a continuación.
Si el plano se apoya en los puntos su ecuación es, según se dijo:

= 0.

Luego, para obtener el numerador de (2) bastara, según se acaba de indicar, sustituir las variables (x,y,z) por las coordenadas del punto dado; resulta, por tanto, que la distancia buscada puede escribirseen la forma siguiente:



= 0.




Ejemplo
sCuál es la distancian del punto p (3, 5,7) al plano 6x + 9y + 2z = 22?
divide cada termino de la ecuación entre:

;

Resulta:

En que: