PROPUESTA DE ENSEÑANZA Y
EVALUACIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
La propuesta se fundamenta en los supuestos
teóricos de los enfoques cognitivo y metacognitivo. Del primer enfoque se
acentúan las estrategias de enseñanza ya que inciden directamente sobre el
proceso de aprendizaje. Del segundo enfoque se incorporan estrategias
metacognitivas de gestión, planificación, regulación y evaluación de los
procesos implicados en la resolución del problema, señalados por Schoenfeld
(1992). Con base en ambos enfoques, la propuesta comprende las siguientes
estrategias docentes para favorecer el proceso de resolución de problemas
matemáticos:
3.1 USO DE ESTRATEGIAS DOCENTES
Se entienden por estrategias docentes a los procedimientos que el profesor
utiliza de manera flexible, autorregulada y reflexiva para promover el logro de
aprendizajes significativos en los alumnos (Díaz Barriga y Hernández, 2000).
• Comunicar al inicio el objetivo de cada sesión.
Mencionar el objetivo de cada sesión y describir las actividades a realizar
tienen la finalidad de alertar y preparar a los alumnos respecto a qué y cómo
iban a aprender. Esclarecer a los alumnos las intenciones educativas ayuda a
desarrollar expectativas adecuadas sobre el curso y a encontrar sentido y valor
funcional a los aprendizajes involucrados (Díaz Barriga y Hernández, 2002).
• Promover la activación de conocimientos previos de los alumnos para
solucionar problemas.
Utilizar el procedimiento de hacer preguntas iniciales para promover la
activación de conocimientos previos en los alumnos y para explorar lo que ya
conocían sobre el tema. Estudios de Howe (1999) confirman que hacer preguntas y
propiciar que los alumnos realicen preguntas en torno al contenido de
aprendizaje es una estrategia que activa elprocesamiento mental. Viene a
colación una aportación esencial de Ausubel (1968; citado en Orton, 1990 p.
50):
• Contextualizar la enseñanza
Es un proceso mediante el cual, el profesor intenta establecer relaciones entre
el conocimiento a enseñar y las situaciones de uso social de éste (Martínez,
2004). Cabe señalar que cuando los alumnos perciben la funcionalidad,
significatividad y novedad de las tareas, se incrementa su participación y
entusiasmo.
• Promover el aprendizaje cooperativo entre los alumnos.
Trabajar en pequeños grupos mixtos y heterogéneos, o en parejas brinda la
oportunidad a los alumnos de ayudarse mutuamente en el proceso de comprensión y
resolución de problemas; de negociar nuevos significados; de desarrollar nuevas
estrategias y de construir nuevos conocimientos. La cooperación entre alumnos
contribuye a la relativización progresiva del punto de vista propio, el nivel
de aspiración y el rendimiento escolar (Castelló, 1998; Coll, 1990).
• Modelado de pensamiento en voz alta
Siguiendo a Lumbreras (2002), el modelamiento o aprendizaje por observación de
modelos de comportamiento estratégico (el profesor o los compañeros) contribuye
a la mejora de la autoeficacia, especialmente cuando el alumno observa modelos
similares y, a la vez, comporta un incremento en el esfuerzo empleado y en el
uso de estrategias efectivas.
• Inducir la reformulación verbal
Consiste en propiciar que los alumnos (con la asistencia estrictamente
necesaria de la facilitadora) reelaboren el conocimiento, utilizando palabras
de uso familiar. Esta estrategia se apoya en el supuesto de que sólo se puede
verbalizar de manera adecuada aquello que se ha comprendido
satisfactoriamente(Parra, 1991).
• Crear “conflictos cognitivos” para promover la comprensión.
Consiste en propiciar que los alumnos entren en constantes conflictos
cognitivos al recibir y procesar una información que riña con sus esquemas
mentales preestablecidos. el debate de ideas y una continua reflexión ayuda a a
establecer las relaciones sustantivas entre lo ya conocen y lo que van a
aprender.
• Estimular la discusión argumentada
Es necesario que los alumnos aprendan a escucharse, a atender los puntos de
vista de los demás, en algunos casos distintos a los propios, y enfrentarse a
conflictos de conocimiento que den lugar a marchas y contramarchas del
pensamiento. Esto permite que descubran la necesidad de ser coherentes y no
contradictorios en su argumentación para convencer a otro(s) compañero(s).
• Valorar el error como fuente de aprendizaje
Cuando los alumnos tratan de aplicar sus conocimientos previos a nuevas
situaciones, (extendiéndolos, generalizándolos y modificándolos cuando es
necesario), en ocasiones incurren en caminos infructuosos. El resultado es lo
que tradicionalmente se conoce como un “error”. Sin embargo, estos errores no
deben ser considerados como fracasos, sino como una fuente de aprendizaje para
que confronten sus conocimientos, los modifiquen y elaboren nuevos conceptos.
El error es necesario; no es la base para clasificar sino para intervenir:
trabajando con él se alcanzan niveles superiores de habilidad; en cambio,
penalizándolo indiscriminadamente se podría limitar la posibilidad del
desarrollo del niño (Alfaro, 1999).
• Emplear una tarjeta de autoinstrucciones.
Esta tarjeta contiene un conjunto de heurísticos generales para la solución de
problemas (Polya, 1984).Inicialmente los heurísticos se declaran
explícitamente, destacando de un modo claro su funcionalidad mediante el
modelado por parte de la facilitadora. En las sesiones posteriores se recalca
su importancia hasta que los alumnos las aprendan y utilicen independientemente
para solucionar problemas.
Tarjeta de Auto-instrucciones
Comprendo el problema Leo atentamente el problema
Identifico la incógnita (pregunta)
Encuentro la información relevante
Explico el problema con mis propias palabras
Hago una estimación para encontrar mentalmente un resultado
Hago un dibujo del problema
Hago un plan En mi dibujo relaciono los datos numéricos y pienso en squé
operación me puede servir?
Escojo la operación apropiada
Llevo a cabo mi plan Realizo la operación
Compruebo mi solución Compruebo el resultado
Reviso si el resultado es coherente con la pregunta
Escribo el resultado completo
3.2 PROCESO ALTERNATIVO PARA ORIENTAR Y EVALUAR LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Se trata de un modelo susceptible de aplicarse en el aula, pero no a manera de
recetario porque cada docente puede adaptarlo conforme a su creatividad y de
acuerdo con las necesidades educativas de su grupo. El proceso se desarrolla
básicamente en cuatro fases. En cada fase, el docente requiere hacer una
continúa evaluación y reflexión sobre su propio manejo de estrategias y
habilidades para transformarse en una facilitador efectivo del aprendizaje. Por
ejemplo: aprender que no cualquier pregunta, comentario o actitud favorece la
comprensión de los niños y que, en ocasiones es preferible guardar silencio y
adoptar una actitud de escucha para entender mejor sus ideas y sus necesidades
(Mendoza, 2005).
Primera fase: Plantear a losalumnos un problema impreso en una hoja denominada
“Pensando el problema”. Ésta contiene un conjunto de preguntas para guiarlos en
el proceso, además de un formato para que autoevalúen su desempeño (V. Anexo1).
Se les solicita que hagan una estimación del resultado. Las estimaciones son
anotadas en el pizarrón para compararlas posteriormente con el resultado
correcto.
Segunda fase: Los alumnos trabajan pequeños grupos o en díadas para ayudarse
mutuamente en la resolución de una tarea, negociar nuevos significados y
desarrollar nuevas estrategias. Identifican la incógnita y la información
relevante para comprender su estructura, y organizar los conocimientos que
puedan ser útiles. Analizan el problema, eligen una solución y la llevan a
cabo. En esta fase, pueden valerse de su conocimiento algorítmico y de objetos
concretos o gráficos.
Tercera fase: Confrontación de procedimientos y resultados. Una vez que todos
los equipos han terminado, algunos pasan al pizarrón para desarrollar y mostrar
sus estrategias, plantear hipótesis, cuestionar y defender sus posiciones. Se
comparan las estimaciones iniciales con las respuestas validadas por los mismos
niños.
Cuarta fase: Los estudiantes se autoevalúan en relación con sus conocimientos
actitudinales, conceptuales, procedimentales y estratégicos, con base en el
formato de autoevaluación señalado. Además de estas evaluaciones individuales,
los compañeros ofrecen comentarios al respecto.
3.3 sPARA QUÉ EVALUAR LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS?
En diversos estudios (Díaz Barriga y Rojas, 1999; Gimeno Sacristán, 1992;
Hargreaves, 1988; Monereo, 2000; Sánchez y Ramírez, 1995), se ha puesto de
relieve que la evaluación debe considerarse comoinherente al proceso de
aprendizaje. Se estima conveniente entonces, poner en práctica una evaluación
de las fases del proceso resolutivo, que sea útil:
 al docente para valorar la eficacia de sus estrategias de enseñanza y tomar
las medidas correctoras oportunas,
 al alumnado para animarlo en su aprendizaje (Santos Trigo, 1994):
Por otra parte, emplear las dos modalidades de evaluación: cualitativa y
cuantitativa propicia un mecanismo más democrático en la toma de decisiones;
estimulan al profesorado para la adopción de estrategias innovadoras y exigen
de todos una actitud crítica con respecto al propio trabajo.
3.4 sQUÉ EVALUAR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS?
Todos y cada uno de los factores que intervienen en el proceso de aprendizaje:
alumno, profesor, programación, organización y funcionamiento del aula y del
centro, etc. Para efectos de la presente propuesta, la evaluación se centra
básicamente en la competencia curricular referente al planteamiento y
resolución de problemas. Esto implica, no sólo analizar los contenidos
conceptuales, sino también los procedimentales y actitudinales. Siguiendo a
Monereo (2000):
a) Los contenidos conceptuales se refieren a conceptos, hechos o datos. Para su
evaluación se presenta un problema cuya resolución requiera el reconocimiento
de un concepto, o bien (y mejor aún), una aproximación a su construcción.
b) De acuerdo con Zabala (1999), un procedimiento es un conjunto de acciones
ordenadas y orientadas a la consecución de una meta. El sentido de su
evaluación consiste en comprobar su funcionalidad. Es decir, evaluar si el
alumno es capaz de utilizar el procedimiento en otras situaciones. Se sugiere
considerar como indicadores:
- Si setiene un conocimiento suficiente del procedimiento.
- Si lo utiliza de manera correcta y precisa.
- Si lo generaliza a otras situaciones.
Si se quieren evaluar otros tipos de procedimientos como conocer hasta qué
punto los alumnos saben dialogar, debatir, trabajar en equipo, utilizar un
instrumento, hacer una exploración bibliográfica, etc. sólo podrán ser
evaluados mediante la observación sistemática por parte del profesor durante el
mismo proceso (Zabala, 1999).
c) Una forma de evaluar las actitudes es la observación sistemática del
comportamiento de los estudiantes durante las diferentes actividades que se
realicen, las cuales deberán permitir su actuación y expresión libre. Pueden
usarse también las autoevaluaciones de los alumnos y las interevaluaciones
entre ellos, además de las aplicaciones en situaciones o casos diseñados
especialmente para los fines.
d) Los contenidos estratégicos se refieren a las decisiones tomadas en una
situación concreta. Para evaluarlos, Monereo (2000) propone cuestionarios,
cuyas respuestas se hallan acotadas mediante escalas tipo Likert, entrevistas y
autoevaluaciones. .
3.5 sCUÁNDO EVALUAR?
Se propone un modelo cualitativo de intervención, conformado por cuatro fases:
planeación – intervención – evaluación – reflexión. Estas fases deben estar
intrínsecamente relacionadas y articuladas cíclica y progresivamente, adaptando
el modelo de Investigación-Acción (Carr y Kemmis, 1988)
CONSTRUCTIVO RECONSTRUCTIVO
4. Implantación 1. Evaluación
3. Planeación 2. Reflexión
De acuerdo con este modelo, se debe evaluar continuamente los procesos
implicados, vinculandolas reconstrucciones del pasado y las construcciones del
futuro, mediante acciones transformadoras. Así, la evaluación continua permite
articular lo retrospectivo y lo prospectivo en un proceso cíclico. Siguiendo a
Zabala (1999), se proponen las siguientes fases de una evaluación formativa:
 Evaluación inicial: Para conocer cuál es la situación de partida en función
de los objetivos generales definidos. Esto permitirá planificar la intervención
pedagógica.
 Evaluación reguladora: Adaptar y adecuar las actividades y contenidos de
acuerdo con las necesidades que se vayan presentando.
 Evaluación final: Para hacer referencia a los resultados obtenidos y los
conocimientos adquiridos.
 Evaluación integradora: Se refiere a una comprensión y valoración del
proceso seguido que permitirá establecer nuevas propuestas de intervención.
3.6 INSTRUMENTOS PARA LA EVALUACIÓN
A continuación se describen, muy brevemente, algunos Instrumentos para evaluar
de manera integrada la resolución de problemas:
ï¶ Observación sistemática y registro del proceso resolutivo de los niños
(Santos Trigo, 1994), con base en los siguientes indicadores:
• El nivel del desarrollo de las fases de entendimiento.
• Tipo de estrategias empleadas.
• Presencia de conceptos y procedimientos.
• Tipo de control y automonitoreo.
• Influencias requeridas del docente: qué tipo de ayuda brinda y su efecto.
Estas ideas destacan las ventajas del análisis cualitativo de los datos para
probar una o más hipótesis explícitas y para obtener reportes descriptivos
acerca del aprendizaje y/o la resolución de problemas de los sujetos. Para
transferir estos resultados a una evaluación cuantitativa, se recomienda hacer
unaescala de interpretación, de acuerdo con la norma vigente. Ejemplo:
PUNTAJE TRABAJO DEMOSTRADO
POR LOS ESTUDIANTES
10 Solución completa y correcta
8-9 Existe un plan claro y apropiado,
pero hay error en los cálculos o
la respuesta es incompleta.
6-7 Introduce un plan apropiado,
pero está incompleto o pobremente aplicado
4-5 Usa los datos pero la estrategia no es clara.
2-3 Identifica los datos, pero sin procedimiento
alguno.
0-1 Nada de trabajo o ideas en relación.
ï¶ Diario pedagógico. Un instrumento útil para la descripción, análisis y
valoración de la realidad escolar. Facilita una visión general desde el punto
de vista del profesor sobre lo que ocurre en el aula, describe las actividades,
relata procesos y categoriza las diferentes observaciones realizadas.
ï¶ Empleo de un sistema de evaluación por portafolios. Diversas experiencias
en diferentes escenarios educativos (Doolittle, 1994; Seda, 2002), han señalado
resultados efectivos al utilizar la evaluación por portafolios como una
estrategia para promover aprendizajes significativos a través de la reflexión y
para el desarrollo de competencias pedagógicas de los docentes. Un portafolio
es una colección de trabajos del alumno o alumnos, que muestra su esfuerzo,
progreso o logros educativos en un área determinada y en un periodo de su vida
académica (Arter, 1990; citado en Seda, 2002).
ï¶ Autoevaluación para propiciar que los alumnos se convierten en miembros
activos del proceso de aprendizaje y adquieran una mejor perspectiva de ellos
mismos como pensadores (Flórez, 1999). Para evitar que los alumnos caigan en el
autoengaño, las autoevaluaciones se deben construir a partir de evidencias y
deben contar con la aprobacióndel grupo.
ï¶ Guía de autoevaluación docente para contribuir a su mejora, mediante una
serie de criterios relativos a dicho proceso (V. Anexo 2).
IV. CONCLUSIONES
Mediante el desarrollo de este ensayo se confirmó que la resolución de
problemas tiene una importancia central en las matemáticas para que nuestros
alumnos construyan significativamente sus conocimientos matemáticos. Sin
embargo, no es un proceso inmediato y exento de dificultades. Una de ellas
estriba en su evaluación. Sin embargo, convertir a la evaluación en un aliado
de este proceso es precisamente su finalidad.
Se reconoció que evaluar la resolución de problemas en la escuela primaria no
estriba de ninguna manera en clasificar alumnos de acuerdo con sus
posibilidades resolutivas, sino que debe estar avalada por resultados
cualitativos que van evolucionando a través de diferentes momentos del
desarrollo, en la dinámica de la interacción, en la comprensión más profunda de
los resultados que alcanza y sus causas para orientarse hacia estadios más
cualitativos de autoaprendizaje.
La evaluación durante el proceso de resolución es comparable con el control de
calidad en la industria, al tratar de detectar las fallas cuando aún es tiempo
de corregirlas. Para detectar dichas fallas, es conveniente definir criterios
y/o indicadores. Ahora bien, para corregirlas no basta conocerlas. Es necesario
determinar también la causa que las origina. Esto exige un modelo de
interpretación más complejo. En este sentido, la observación sistematizada, el
uso del portafolio, el diario pedagógico y la guía de autoevaluación docente,
como instrumentos de evaluación, actúan como un lente de aumento para analizar
minuciosa y reflexivamente laspotencialidades propias y de los alumnos, y para
reconocer los aspectos que requieren mejorar.
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