CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES CUADRATIAS ON UNA INOGNITA
Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (encadenamiento de números y letras ligados por operaciones matematicas diversas),en la que intervienen una o mas letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que estan a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o  conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad. 
Una ecuación puede tener  ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo:
5x - 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
x 2 + y 2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumandole 5.

2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = ð15.
Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x - 7 = x + 1 es equivalente a 2x - 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.
¿qué es una Ecuacion cuadratica conuna incógnita?
Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones. 
Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica, racionales, exponenciales, trigonométricas…
Resolución De Ecuaciones
Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía es mas sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra incógnita. Para ello nos valemos de una propiedad matematica (propiedad uniforme) que nos permite poner un mismo número en ambos miembros de la expresión algebraica, siempre y cuando se mantenga la igualdad.
4x - 7 + 7 = 1 + 7 (por eso se dice que un numero que esta restando 'pasa' sumando).
4x = 1 + 7 
4x = 8
4x : 4 = 8 : 4 (por eso se dice que un numero que esta multiplicando 'pasa' dividiendo)
Tiene una única solución: x = 2.
Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadraticas y bicuadradas.
Resolución de ecuaciones cuadraticas
No existe una única forma de escribir laecuación cuadratica.
La forma canónica: f(x) = a (x - vx)2 + vy [donde (-vx ; vy) es la coordenada del vértice de la parabola]
La expresión polinómica f(x) = ax2 + bx + c representan diferentes formas de expresar la misma función. Veamos como se pasa de una a otra.
Partamos de una ecuación polinómica:
f(x) = ax2 + bx + c Factoricemos a, para ello multiplicamos y dividimos toda la expresión por a.

Necesitamos que nos quede una sola x para ello fabricaremos un trinomio cuadrado perfecto. Recordar el tercer caso de factoreo:
Tomemos '
' (donde esta x ) ¿Cómo encontramos el término faltante? igualemos los términos lineales (los que no estan elevados al cuadrado) 2 x y =
x . Buscamos 'y', entonces despejémosla: y =
. Observa que y en el trinomio esta elevada al cuadrado, por lo tanto debemos sumar
para obtener

. Pero para mantener la igualdad si sumo debo restar:

distribuyamos a y operamos matematicamente para que quede:
(que es la ecuación canónica)
Si tomamos esta ecuación y la igualamos a cero podemos desarrollar una fórmula que permita, directamente de la polinómica, hallar los ceros de la función (raíces)
Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x + 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = 3, se resuelve así:

Esta misma ecuación se podríahaber resuelto despejando la x. Para ello, se multiplica la ecuación por 2:
4x2 + 10x + 6 = 0
Se pasa el 6 al segundo miembro:
4x2 + 10x = - 6
Se suman 25/4 para completar un cuadrado perfecto (el cuadrado de una suma) en el primer miembro:
4x2 + 10x + 25/4 = - 6 + 25/4
Simplificando:
(2x + 5/2)2 = ¼
|2x + 5/2| = ½ (las raíces al despejarlas quedan en módulo, y al sacar el módulo puede tener dos resultados, uno positivo y otro negativo).
2x + 5/2 = ± ½
Como consecuencia del signo ±, la igualdad da lugar a dos ecuaciones:
2x + 5/2 = ½
2x + 5/2 = - ½
Resolviéndolas se obtiene:
2x + 5/2 = ½ ! 2x = 2 ! x1 = 1
2x + 5/2 = - ½ ! 2x = - 3 ! x2 = - 3/2
Siguiendo este largo proceso se obtienen las mismas soluciones que mediante la fórmula inicial. Es claro que la aplicación de ésta es un procedimiento mucho mas cómodo. De hecho, la fórmula se obtiene algebraicamente a partir de la ecuación general mediante un proceso similar al que se ha seguido para resolver esta ecuación concreta.
Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta uno de los términos:
ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0
Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es mas cómodo resolverlas despejando directamente la x.
En el primer caso,
ax2 + bx = 0 ! (ax + b)x = 0
Una soluciónes x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0. Por ejemplo:
3x2 + 5x = 0 ! (3x + 5)x = 0
Las soluciones son: x = 0; x = - 5/3.
En el segundo caso,
ax2 + c = 0 ! ax2 = - c ! x2 = - c/a

Por ejemplo:
3x2 - 17 = 0 ! 3x2 = 17

Sistema de ecuaciones:
Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o mas incógnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.
Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución, compatibles.
Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x - 5y = 16 y 4x + y = 10 se expresa así

La solución de este sistema es x = 3, y = -2 porque es solución de ambas ecuaciones. Es, por tanto, un sistema compatible.
El sistema
es incompatible, pues no tiene solución.
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