Probabilidad Condicional
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas




Probabilidad Condicional
Suponga que repetimos n veces un experimento ' y sea A un evento asociado a él. Sea nA el número de veces que el evento A ocurre en las n repecticiones. De…nición 1 Sean A y B dos eventos asociados con un experimento ': De…namos el evento
BjA : que se de el evento B dado que se dio el evento A

y P (BjA) su probabilidad:


Ejemplo 2 Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados (x1; x2), donde xi es el resultado del i ésimo dado, i = 1; 2: El espacio muestral de este experimento esta dado por 36 resultados igualmente probables:
8 > (1; 1) (1; 2) > > < (2; 1) (2; 2) S= . . . . > . . > > : 9 (1; 6) > > > (2; 6) = . > . > . > ;

(6; 1) (6; 2)

(6; 6)

Consideremos los siguientes eventos:

A = f(x1; x2)jx1 + x2 = 10g ; B = f(x1; x2)jx1 > x2g :


De…nición 3 Sean A y B dos eventos asociados con un experimento '
P (A B ) ; dado que P (A) > 0: P (BjA) = P (A)

Ejercicio 4 Demostrar que P (BjA) para un valor …jo de A satisface los axiomas:

1. La probabilidad del suceso BjA es un númeroreal mayor o igual que 0,
P (BjA)

0:

2. La probabilidad de

jA, es igual a 1, es decir, P ( jA) = 1:


3. Si B1; B2 :: son sucesos mutuamente excluyentes
P
S
i

Bi A =

!

X
i

P (BijA


Ejemplo 5 Suponga que nuestro espacio muestral es la población de adultos de una pequeña ciudad que cumple con los requisitos para obtener un título universitario. Se clasi…can de acuerdo a su género y su situación laboral como sigue

Se elige al azar uno de estos individuos para que realice un viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad.


Regla Multiplicativa.
La consecuencia mas importante de la de…nicón de probabilidad condicional se obtiene escribiendola de la siguiente manera:
P (A B ) = P (A) P (BjA)

o de manera equivalente
P (A B ) = P (B ) P (AjB ) :

Este teorema puede ser generalizado a mas eventos de la siguiente forma,
P@
0
n

i=1

AiA = P (A1)

1

i=2

n Y

Ti 1 P Ai j=1 Aj


De…nición 6 Decimos que los eventos B1; B2; :::; Bk representan una partición de espacio muestral si: i. Bi Bj = ; para toda i 6= j: ii.
Ski=1 Bi =



iii. P (Bi) > 0 para toda i: En otras palabra, cuando se efectúa el experimento '; ocurre uno y solo uno de los eventos Bi:


Probabilidad Total
Teorema 7 Sea B1; B2; :::; Bk una partición sobre el espacio muestral y sea A un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P (AjBi), entonces la probabilidad del suceso A viene dada por la expresión:
P (A) =
k X

P (AjBi)P (Bi)

i=1


Teorema de Bayes
Teorema 8 Sea B1; B2; :::; Bn una partición sobre el espacio muestral y sea A un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P (AjBi), entonces la probabilidad del suceso Br jA viene dada por la expresión:
P (Br jA) = P (Br A) P (AjBr )P (Br ) ; para r = 1; 2; :::n = Pn P (A) i=1 P (AjBi)P (Bi)


Ejemplo 9 En cierta planta de ensamble, tres maquinas B1; B2 y B3; montan 30 %, 45 % y 25 % de los productos respectivamente. Por experiencia pasada se sabe que 2 %, 3 % y 2 % de los productos ensamblados por cada maquina, respectivamente, tienen defectos. Ahora suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado.

1. ¿ Cual es la probabilidadde que esté defectuoso?

2. Si el artículo seleccionado esta defectuosos, ¿ cual es la probabilidad que lo haya elaborado la maquina 3?


Eventos Independientes
Ejemplo 10 Una caja contiene 5 artículos defectusos y 15 buenos, se extraen al azar dos artículos uno después de otro. ¿ Cual es la probabilidad que el segundo artículo salga defectuoso? Resuelva este problema bajo las dos siguientes condiciones

1. Sin devolver el primer artículo a la caja.

2. Devolviendo el primer artículo a la caja.


De…nición 11 Dos eventos A y B se dice que son independientes si y sólo si
P (BjA) = P (B ) y P (AjB ) = P (A)

proporcionando la existencia de las condicionales. En otro caso se dice que los eventos son dependientes.


Teorema 12 Dos eventos son independientes si y sólo si
P (A B ) = P (A) P (B ) :

Una generalización de este resultado puede describirse así:

Los n eventos A1; A2; :::; An son mutuamente independientes si y sólo si tenemos para k = 2; 3; :::; n;
P
Tk j=1 Aij

=

Qk j=1 P Aij :

(1)

Ejercicio 13 Veri…que que el número de condiciones indicadas en la ecuación 1 esta dado por 2n n 1: