POTENCIAS, RAACES Y LOGARITMOS
PA R A
1
2
3
Expresa las siguientes operaciones como
un nAsmero decimal.
a) 2,5 ؒ 107
b) 3,12 ؒ 10؊5
a) 2,5 и 107 ϭ 25 000 000
b) 3,12 и 10S5 ϭ 0,000 031 2
Simplifica estas fracciones utilizando las propiedades de las potencias.
23 ؒ 45 ؒ 3؊4
a) '2'
(؊9) ؒ 63
5؊2 ؒ 153 ؒ 32
b) '2'
(؊25) ؒ 302
23 и 45 и 3S4
23 и 210 и 3S4
210
a) ᎏᎏ
ᎏ
2
3 ϭ ᎏ
4
3
3 ϭ ᎏ1ᎏ
(S9) и 6
3 и2 и3
31
5S2 и 153 и 32
5S2 и 33 и 53 и 32
33
b) ᎏᎏ
2
2 ϭ ᎏ
2 ᎏ
2
2 ϭ ᎏ
5 ᎏ
4
(S25) и 30
5 и5 и3 и2
5 и 22
Calcula las siguientes raAces.
a)
a)
4
E M P E Z A R
5
ෆ
͙243
5
b)
5
ෆ ϭ ͙3ෆ5 ϭ 3
͙243
b)
4
ෆ
͙؊16
c)
4
ෆ no se puede.
͙S16
c)
3
39
͙ෆ
4
ᎏ9ᎏ
3
͙3ෆ9 ϭ 3 ϭ 33 ϭ 27
Se considera que la acidez de la lluvia comienza a ser seriamente perjudicial
para el suelo y los seres vivos cuando esta presenta un pH inferior a 5.
AsQuA concentraciAn de iones H؉ se corresponde con esta concentraciAn del pH? ExprAsalo en
forma de
potencia y de nAsmero decimal.
1
1
1
pH ϭ Slog [Hϩ] a 5
ϭ Slog[Hϩ] a 5
ϭ log ᎏᎏ
a a [Hϩ]
ϭ ᎏᎏ5 ϭ 10S5 ϭ 0,00001
[Hϩ]
[Hϩ]
10
PA R A
P R A C T I C A R
NotaciAn cientAfica
2.1 Indica el orden de magnitud de las siguientes medidas.
a) Masa del electrAn: 1,67 ؒ 10؊27 kg
b) Radio medio del Sol: 9,97 ؒ 108 m
c) TamaAo de un virus: 0,000 000 000 235 m
d) Radio medio de la Arbita terrestre: 1,49 ؒ 1011 m
a) S27
b) 8
c) S10
d) 11
2.2 Escribe en notaciAn cientAfica los siguientes nAsmeros.
a) 12 345 678
c) ؊354 125 000 000
b) Sesenta billones
d) 0,0097 ؒ 1023
a) 1,234 567 8 и 107
c) S3,541 25 и 1011
b) 6 и 1013
d) 9,7 и 1020
2.3 Escribe en notaciAn cientAfica estos nAsmeros:
a) 0,000 000 000 331
c) ؊0,000 000 001 23
b) Cuarenta y tres milAsimas
d) 967 ؒ 10؊25
a) 3,31 и 10S10
c) S1,23 и 10S9
b) 4,3 и 10S2
d) 9,67 и 10S23
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.4 En la tabla aparecen los prefijos griegos utilizados en los mAsltiplos y
submAsltiplos de
las unidades de medida.
Expresa en notaciAn cientAfica y en microculombios la siguiente medida de carga
elActrica: 3 picoculombios
3picoculombios ϭ
ϭ 3 и 10S12 culombios ϭ
ϭ 3 и 10S12 и 106 microculombios ϭ
ϭ 3 и 10S6 microculombios
2.5 Expresa en notaciAn cientAfica y en la unidad indicada:
a) 320 miriAtmetros en centAmetros
b) 6000 nanosegundos en milisegundos
c) 175 000 000 megavoltios en kilovoltios
d) 0,01 gigagramos en decigramos
a) 320 и 104 metros ϭ 320 и 104 и 102 centAmetros ϭ 3,2 и 108 centAmetros
b) 6000 и 10S9 segundos ϭ 6000 и 10S9 и 103 milisegundos ϭ 6 и 10S3
milisegundos
c) 1,75 и 108 и 103 kilovoltios ϭ 1,75 и 1011 kilovoltios
d) 10S2 и 109 gramos ϭ 107 и 10 decigramosϭ 108 decigramos
2.6 Realiza las siguientes operaciones en notaciAn cientAfica.
a) 0,32 ؒ 1014 ؉ 7,128 ؒ 1012
c) 4,88 ؒ 10؊14 ؉ 7,921 ؒ 10؊12
b) 3,1109 ؒ 1045 ؊ 2244 ؒ 1040
d) 36,79 ؒ 10؊25 ؊ 2244 ؒ 10؊28
a) 0,32 и 1014 ϩ 7,128 и 1012 ϭ 32 и 1012 ϩ 7,128 и 1012 ϭ 39,128 и 1012 ϭ
3,9128 и 1013
b) 3,1109 и 1045 S 2244 и 1040 ϭ 3,1109 и 1045 S 0,022 44 и 1045 ϭ 3,088 46 и
1045
c) 4,88 и 10S14 ϩ 7,921 и 10S12 ϭ 0,0488 и 10S12 ϩ 7,921 и 10S12 ϭ 7,9698 и
10S12
d) 36,79 и 10S25 S 2244 и 10S28 ϭ 3,679 и 10S24 S 0,2244 и 10S24 ϭ 3,4546 и
10S242.7 Realiza las siguientes operaciones en notaciAn cientAfica.
a) (1,65 ؒ 106) ؒ (0,8 ؒ 109)
c) (2,8 ؒ 10؊26) ؒ (15 ؒ 1043)
b) (22,1 ؒ 1054) ؒ (8,4 ؒ 100 000)
d) (2,3 ؒ 10؊15) ؒ (4,5 ؒ 10؊11)
a) (1,65 и 106) и (0,8 и 109) ϭ 1,65 и 0,8 и 1015 ϭ 1,32 и 1015
b) (22,1 и 1054) и (8,4 и 100 000) ϭ 185,64 и 1059 ϭ 1,8564 и 1061
c) (2,8 и 10S26) и (15 и 1043) ϭ 42 и 1017 ϭ 4,2 и 1018
d) (2,3 и 10S15) и (4,5 и 10S11) ϭ 10,35 и 10S26 ϭ 1,035 и 10S25
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Miria
Kilo
Hecto
Deca
''
Deci
Centi
Mili
Micro
Nano
Pico
Femto
Atto
1018
1015
1012
109
106
104
103
102
101
100
10S1
10S2
10S3
10S6
10S9
10S12
10S15
10S18
2.8 Realiza las siguientes operaciones en notaciAn cientAfica.
a) 2,3 ؒ 1029 ϩ 1029 ؒ 512 ؒ 10؊2
b) (0,007 37 ؒ 1019) : (1,1 ؒ 10؊19)
c) 2,6 ؒ 10؊5 ؊ (3,2 ؒ 10؊4)2
d) 834 ؒ 10؊4 ϩ 0,000 001 2 : (3 ؒ 10؊9)
a) 2,3 и 1029 ϩ 1029 и 512 и 10S2 ϭ 2,3 и 1029 ϩ 5,12 и 1029 ϭ 7,42 и 1029
b) (0,007 37 и 1019) : (1,1 и 10S19) ϭ 7,37 и 1016 : (1,1 и 10S19) ϭ 6,7 и 1035
c) 2,6 и 10S5 S (3,2 и 10S4)2 ϭ 2,6 и 10S5 S 1,024 и 10S7 ϭ 2,589 76 и10S5
d) 834 и 10S4 ϩ 0,000 0012 : (3 и 10S9) ϭ 8,34 и 10S2 ϩ 1,2 и 10S6 : (3 и 10S9)
ϭ 8,34 и 10S2 ϩ 4 и 102 ϭ 4,000 834 и 102
PA R A
A P L I C A R
2.9 Un cabello humano tiene un grosor de menos de 0,1 milAmetros. AsCuAtnto
ocuparAan a lo ancho un millAn de cabellos colocados en fila, uno al lado del otro? Expresa el
resultado primero en milAmetros, usando la notaciAn cientAfica, y luego, en la
unidad adecuada.
OcuparAan aproximadamente 0,1 и 106 ϭ 105 milAmetros, es decir, unos 100
metros.
2.10 Rosa acaba de cumplir 16 aAos. AsCuAtntos
segundos de vida suponen? Escribe ese nAsmero en notaciAn
cientAfica.
Cada aAo dura aproximadamente 365,25 dAas. Rosa tiene aproximadamente 365,25 и
24 и 60 и 60 segundos, es decir, 3,155 76 и 107
segundos.
2.11 El inventor del ajedrez pidiA como recompensa un grano
de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera y
asA sucesivamente. En total debAa recibir 264 ؊ 1 granos de trigo.
a) Indica el orden de magnitud de esta cantidad.
b) Si cada kilogramo de granos de trigo tiene unos 6000 granos, calcula el peso
de la cantidad anterior.
a) Lacantidad total es 18 446 744 073 709 551 615 granos, mAts de 18 trillones.
El orden de magnitud es 19.
b) Dividiendo entre 6000 se obtiene el peso en kilogramos: 3 и 1015 kg, aproximadamente,
o 3 и 1012 toneladas.
2.12 El nAsmero de quinielas sencillas que se pueden rellenar es 315. Si cada
apuesta costara 0,80 euros, AscuAtnto habrAa que gastar para rellenar todas las
columnas posibles?
HabrAa que gastar 0,80 и 315ϭ 1,147 912 56 и 107 ϭ 11 479 125,60 euros, unos
11,5 millones de euros.
2.13 La masa de la Tierra es de, aproximadamente, 5,98 ؒ 1024 kilogramos, y la
de un bote de refresco, de 330
gramos. AsCuAtntos botes harAan falta para igualar el peso de la Tierra?
HarAan falta 5,98 и 1024 : (330 и 10S3) ϭ 1,8 и 1025 botes, aproximadamente.
2.14 Un adulto tiene entre 4,3 y 5,9 millones de hematAes por mililitro de
sangre. Si en total tiene unos 5 litros de sangre, AscuAtntos hematAes tendrAt?
TendrAt entre 4,3 и 106 и 5000 y 5,9 и 106 и 5000 hematAes, es decir, entre 2,15
и 1010 y 2,95 и 1010 hematAes.
2.15 La calculadora permite expresar nAsmeros en notaciAn cientAfica. Investiga
cuAtles son sus lAmites, esdecir, el mayor y el menor nAsmero que se puede
expresar en notaciAn cientAfica usando la calculadora.
La respuesta depende del
nAsmero de cifras que admita en pantalla. Si son 10, los valores serAtn 9,999 999
999 и 1099 y S9,999 999
999 и 1099. Los valores mAts prAximos a cero serAtn 9,999 999 999 и 10S99 y
S9,999 999 999 и 10S99.
Potencias de exponente fraccionario. Radicales
PA R A
P R A C T I C A R
2.16 Escribe las siguientes raAces como
potencias de exponente fraccionario.
5
a)
͙2ෆ
b)
25
͙ෆ
7
ᎏ1ᎏ
ᎏ5ᎏ
a) 2 5
c)
͙2ෆ28
d)
I2'1'
8
ᎏ2ᎏ
b) 2 7
c) 2 2 ϭ 214
4
d) 2
3
Sᎏ
3
ᎏ
4
2.17 Escribe como potencia y calcula las siguientes raAces.
3
a)
͙2ෆ12
c)
1012
͙ෆ
b)
36
͙ෆ
d)
1
''
I
10
a)
2
͙2ෆ12 ϭ 2 ϭ 26 ϭ 64
b)
2
͙3ෆ6 ϭ 3 ϭ 33 ϭ 27
2
ᎏ1ᎏ
ᎏ6ᎏ
3
12
2
ᎏ1ᎏ
3
c)
3
ෆ12 ϭ 10 ϭ 104 ϭ 10 000
͙10
d)
I
3
S12
ᎏᎏ
1
3
ᎏᎏ
ϭ 10S4 ϭ 0,0001
12 ϭ 10
10
2.18 Calcula las siguientes potencias.
a) 160,5
c) 80,333a
b) 2560,25
d) 1000 0000,1666a
ᎏ1ᎏ
ᎏ1ᎏ
a)160,5 ϭ 16 2 ϭ ͙16
ෆϭ4
ᎏ1ᎏ
3
c) 80,333a ϭ 8 3 ϭ ͙8ෆ ϭ 2
ᎏ1ᎏ
4
b) 2560,25 ϭ 256 4 ϭ ͙256
ෆϭ4
6
d) 1000 0000,1666a ϭ 1000 000 6 ϭ ͙ෆ
1000 000
ෆ ϭ 10
2.19 Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes.
a)
͙5ෆ
a)
52, ͙ෆ
53, ͙ෆ
54
͙ෆ
4
6
8
E j e r c i c i o
3
b)
͙2ෆ
b)
22, ͙ෆ
23, ͙2ෆ4
͙ෆ
6
9
12
5
c)
͙7ෆ4
c)
712, ͙ෆ
716
͙7ෆ8, ͙ෆ
10
15
20
r e s u e l t o
2.20 Ordena de menor a mayor:
3
4
73, ͙ෆ
75, ͙ෆ
75.
͙ෆ
Primero se reducen a Andice comAsn. En este caso, el mAnimo comAsn mAsltiplo de
los Andices es 12.
12
3
73 ϭ ͙ෆ
718
͙ෆ
12
4
75 ϭ ͙ෆ
720
͙ෆ
12
75 ϭ ͙ෆ
715
͙ෆ
Ordenar las raAces es ahora sencillo, solo hay que ordenar los radicandos. El
orden pedido es el siguiente.
4
3
͙7ෆ5 Ͻ ͙7ෆ3 Ͻ ͙7ෆ5
2.21 Ordena los siguientes radicales de menor a mayor.
8
10
16
3
4
a)
213, ͙2
ෆ17, ͙2ෆ23
͙ෆ
a)
130
17
23
, ͙2ෆ
ϭ ͙ෆ
2136, ͙2ෆ
ϭ ͙ෆ
2115
͙2ෆ13 ϭ ͙2ෆ
b)
481 89ෆ
0 304, ͙100
100 00ෆ
0 000, ͙ෆ
35 ϭ ͙ෆ
14 348ෆ907 a ͙ෆ
35 Ͻ ͙100
ෆ ϭ ͙ෆ
ෆ ϭ ͙ෆ
ෆ Ͻ ͙28
ෆ
͙28
8
80
12
10
b)
80
3
16
80
12
a
16
8
35
ෆ, ͙100
ෆ, ͙ෆ
͙28
10
13
223 Ͻ ͙2ෆ
Ͻ ͙ෆ
217
͙ෆ
4
12
4
3
2.22 Calcula las siguientes operaciones.
10
͙ෆ2 ؒ ͙ෆ
a) ''
͙ෆ5
b)
3
3
ෆ : ͙2ෆ
͙16
c)
27
'
I'53' ؒ I'
5
d)
24
͙ෆ2 : ͙ෆ
5
5
5 и 27
ᎏᎏ ϭ ͙9ෆ ϭ 3
Iᎏ25ᎏ0 ϭ ͙4ෆ ϭ 2 c) Iᎏ53ᎏ и Iᎏ25ᎏ7 ϭ I
3и5
b) ͙16
d) ͙2ෆ : ͙2ෆ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏ
ෆ : ͙2ෆ ϭ ͙8ෆ ϭ 2
I22 ͙12ෆ
20 ϭ
ෆ ϭᎏ
͙ෆ2 и ᎏ
͙10
͙ෆ
a) ᎏ
ᎏ
͙ෆ5
͙ෆ5
3
3
3
5
5
4
5
4
5
3
4
4
e)
33 ؒ ͙3
ෆ17
͙ෆ
f)
ෆ
I'14' : ͙2000
e)
͙3ෆ3 и ͙3ෆ17 ϭ ͙3ෆ20 ϭ 35
f)
1
1
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
ෆ ϭ I
Iᎏ14ᎏ : ͙2000
8000
20
c)
͙2ෆ
͙ෆ
c)
2 ϭ ͙ෆ
2 ϭ2
ෆ
ෆ
͙͙
3
3
4
4
4
3
3
3
2.23 Calcula las siguientes operaciones.
3
a)
(͙ෆ
2)
a)
(͙ෆ
2)
3
ϭ ͙ෆ
221 ϭ 25 ͙2ෆ
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
4
4
7
7
4
4
7
b)
(͙ෆ
3ؒ2 )
b)
(͙ෆ
3и2 )
3
3
7
ϭ ͙ෆ
37 и 221 ϭ 33 и 210 ͙6ෆ
33
18
18
6
3
2.24 En las siguientes fArmulas, despeja la incAgnita indicada.
a) E a ؍mc 2, despeja c.
4
b) V aa '' ؍r 3, despeja r.
3
E
a) E ϭ mc2 a ᎏᎏ
ϭ c2 a c
ϭ
m
IᎏmEᎏ
4
3V
b) V ϭ ᎏᎏ ar3 a r3
ϭ ᎏᎏ a r
ϭ
3
4a
3V
ᎏ
Iᎏ
4a
3
2.25 En las siguientes fArmulas, despeja la incAgnita indicada.
1
a) v a ؍v0 ؒ t ؉ '' a ؒ t 2, despeja a.
2
b) (a ؊ x)2 ؉ b2 a ؍c2, despeja x.
1
1
2(v S v0 и t)
a) v ϭ v0 и t ϩ ᎏᎏ a и t2 a v S v0 и t ϭ ᎏᎏ a и t2 a ᎏᎏ
ϭa
2
2
t2
2
2
b) (a S x)2 ϩ b2 ϭ c2 a (a S x)2 ϭ c2 S b2 a a S x ϭ Ϯ ͙cෆ
S b2 a a
Ϯ ͙cෆ
S b2 ϭ x
PA R A
2.26 Los lados de un corral miden
͙2ෆ
y
ෆ
͙32
A P L I C A R
metros. AsPuede ser su Atrea un nAsmero natural?
SA, el Atrea es ͙2ෆ и ͙32
ෆ ϭ ͙64
ෆ ϭ 8 m2.
3
2.27 La razAn de los lados de dos depAsitos cAsbicos de agua es '', y los
volAsmenes son 1728 y 4096 metros
4
cAsbicos, respectivamente. AsSon semejantes? En caso afirmativo, calcula la razAn
de sus volAsmenes y compAtrala con la de sus lados.
3
3
El lado del
primer depAsito mide ͙1728
ෆ ϭ 12 metros. El lado del
segundo mide͙4096
ෆ ϭ 16 metros. La razAn es correcta.
II
3
1728
27
3
La razAn de sus volAsmenes es ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ , el cubo de la razAn de sus lados.
4096
64
4
2.28 El diAtmetro de un balAn, expresado en centAmetros, es un nAsmero natural.
Si tiene un volumen de entre 13 y 17 decAmetros cAsbicos, AscuAtl es su diAtmetro?
I
I
3V
3V
4
El diAtmetro se calcula a partir de la fArmula del volumen. V ϭ ᎏᎏ ar3 a r ϭ 3 ᎏᎏ a d ϭ 2 и 3 ᎏᎏ. Como el
volumen estAt entre
4a
4a
3
13 000 y 17 000 cm3, el diAtmetro estAt entre 29,17 y 31,9 cm. Hay dos soluciones
posibles, 30 o 31 cm.
2.29 Halla una fArmula que permita calcular el volumen de un cubo a partir de
su superficie total.
Dada la arista a, el volumen del
cubo es V ϭ a3, y su superficie es S ϭ 6 A a2.
La fArmula pedida es V ϭ a3 ϭ
II I
S 3
ᎏᎏ .
6
2.30 Un alumno ha calculado los cuadrados de varios nAsmeros de seis cifras. Ha
obtenido los siguientes resultados.
a) 5 751 425 457 b) 816 302 041 c) 15 241 383 936 d) 6 195 264 100 e) 999 998
000 001 f) 1 000 468 054 756
Sin usar la calculadora, AspodrAas indicar los nAsmeros en los que es seguroque
el alumno se equivocA?
Un cuadrado solo puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 A 9. Por tanto, se equivocA en
a).
Si el nAsmero tiene seis cifras, estAt en el intervalo [105, 106). El cuadrado
estarAt en [1010, 1012), tendrAt al menos 11 cifras y menos de
13. Por tanto, los nAsmeros de los apartados a), b) y d) son demasiado pequeAos,
y el del f) es demasiado grande.
Se puede comprobar que los nAsmeros restantes son correctos: 15 241 383 936 ϭ
123 4562 y 999 998 000 001 ϭ 999 9992.
Operaciones con radicales
PA R A
E j e r c i c i o
P R A C T I C A R
r e s u e l t o
2.31 Calcula las raAces de los siguientes nAsmeros decimales.
a)
ෆ
͙0,81
a)
ෆϭ
͙0,81
b)
ෆ
͙؊0,81
c)
3
ෆ5ෆ
͙؊0,12
81
͙ෆ
81
9
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,9
Iᎏ
100
1
0
1
0
0
͙ෆ
b) El Andice es par y el radicando es negativo. No tiene raAces reales.
c)
3
ෆ5ෆ ϭ
͙S0,12
1
͙ෆ1
1
Sᎏᎏ ϭ Sᎏ3 ᎏ ϭ Sᎏ ᎏ ϭ S0,5
8
2
͙8ෆ
I I
3
125
Sᎏ ᎏ ϭ
1000
3
3
2.32 Calcula las raAces de los siguientes nAsmeros.
a)
ෆ4ෆ
͙0,006
a)
ෆϭ
͙0,0064
b)
64
8
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,08
I
10 000
100ෆa
ෆ
͙0,111
b) ͙0,111a
ෆϭ
Iᎏ19ᎏ ϭ ᎏ13ᎏ ϭ 0,333a
c)
ෆ44a
ෆ
͙0,694
c)
ෆ4a
ෆϭ
͙0,6944
Iᎏ23ᎏ56 ϭ ᎏ56ᎏ ϭ 0,8333a
2.33 Extrae fuera de la raAz todos los factores posibles.
3
a)
23 ؒ 35ෆ
ؒ 57
͙ෆ
b)
a5 ؒ b12ෆ
ؒ c7
͙ෆ
a)
28 и 35 ෆ
и 57 ϭ 24 и 32 и 53 и ͙ෆ
3и5
͙ෆ
b)
a5 и b12ෆ
и c7 ϭ a и b4 и c2 и ͙ෆ
a2 и c
͙ෆ
3
2.34 Extrae fuera de la raAz todos los factores posibles.
I
2 и3
2и3
a)
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ͙2ෆ
и3
I
5
5
a)
5
26 ؒ 312
'2'
50
6
5
12
20
2
4
5
2
b)
I
2 и4
2 и2
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ͙2ෆ ϭ 2 и ͙2ෆ
Iᎏ
I
8
2
4
28 ؒ 45
''
83
8
b)
4
5
3
8
4
10
9
4
9
2
4
2.35 Introduce los factores dentro de la raAz y simplifica.
I
23 ؒ 34
c) '' ؒ
5
27
a) 23 ؒ 35 ؒ ͙ෆ
ab3
'
d) '؊2
c
13
a) 23 и 35 и ͙2ෆ7 ϭ ͙ෆ
26 и 310ෆ
и 27 ϭ ͙2ෆ
и 31ෆ0
23 и 34
c) ᎏᎏ и
5
4
a3
'3'3
bc
I I
ab
a
aba
ᎏᎏ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ͙ෆ
abc
I
c I
bc
c bc
3
4
b) 35 и 7 и ͙ෆ
3 и 72 ϭ ͙ෆ
321 и 76
d)
511 ؒ 2
'1'
30
I
b) 35 ؒ 7 ؒ ͙ෆ
3 ؒ 724
3
S2
511 и 2
ᎏ1ᎏ
ϭ
30
3
3
3
2 6 3
3 3
S4 3 3
3 10
29 и 312 и 511 и 2
ᎏ
ᎏ ϭ ͙ෆ
2 и 32ෆ
и 58
53 и 310
2.36 Realiza las operaciones indicadas.
3
4
6
a)
a2 ؒ ͙ෆ
a3 ؒ ͙ෆ
a5
͙ෆ
a)
a2 и ͙ෆ
a3 и ͙ෆ
a5 ϭ ͙ෆ
a8 и ͙ෆ
a9 и ͙ෆ
a10 ϭ ͙ෆ
a27 ϭ ͙ෆ
a9
͙ෆ
b)
I I I I I
3
4
23
ᎏᎏ7 и
3
4
b)
6
12
37 и 25
ᎏᎏ ϭ
7
6
12
12
29
ᎏ2ᎏ1 и
3
12
12
314 и 210
ᎏᎏ
ϭ
72
12
I I
4
23
''7 ؒ
3
6
37 ؒ 25
''
7
4
12
219
ᎏ
7 ᎏ
3 и 72
2.37 Realiza las operaciones indicadas.
3
4
a)
x2y7 ؒ ͙ෆ
xy
͙ෆ
b) ''
6
11 8
x y
͙ෆ
3
ؒ3
͙2ෆ
'
3
ؒ 32
͙2ෆ
4
23 и 3
͙ෆ
a) ᎏ
ϭ
3
и 32
͙2ෆ
c)
29 и 33
ᎏ
ᎏϭ
24 и 38
3
6
6
c)
и ͙3ෆෆ ϭ ͙ෆ
3 иෆ
3 ϭ ͙ෆ
3 ϭ ͙ෆ
3
͙ෆ
͙3ෆ
5
4
2
5
4
25
ᎏᎏ5
3
12
b)
2
4
I I
12
x2y7 и ͙xy
ෆ
͙ෆ
ᎏᎏ
6 11 8
y
͙xෆ
4
3 ؒ ͙ෆ
3
ෆ
͙ෆ
4 14
y и ͙ෆ
x3y3
͙xෆ
ᎏᎏ
6 11 8
x y
͙ෆ
ϭ
4
5
10
20
4
ϭ
14
I
6
y9
ᎏ ᎏ4
x
10
7
2.38 Realiza lassiguientes operaciones.
a)
3
3
ෆ
͙8ෆ ؊ 5 ͙2ෆ ؉ ͙200
d)
ෆ ؊ ͙2ෆ ؊ 6 ͙ෆ3 ؉ ͙32
ෆ
͙24
I'58'
e)
ෆ؊
͙50
3
b) 2 ͙5
ෆ؊
6
ෆ؉
͙25
3
c)
80a2 ؉ ͙ෆ
20a4
ෆ2 ؊ ͙ෆ
͙5a
a)
ෆ ϭ 2 ͙2ෆ S 5 ͙2ෆ ϩ 10 ͙2ෆ ϭ 7 ͙2ෆ
͙8ෆ S 5 ͙2ෆ ϩ ͙200
3
6
b) 2 ͙5ෆ S ͙25
ෆϩ
f) 10 ؒ
18
72
' ؉ ''
I'
I
4
25
3
3
ෆ ؉ 5 ؒ ͙0,003
ෆ
͙0,024
Iᎏ58ᎏ ϭ 2͙5ෆ S ͙5ෆ ϩ ᎏ12ᎏ ͙5ෆ ϭ ᎏ32ᎏ ͙5ෆ
3
3
3
3
3
c)
ෆ2 S ͙80a
ෆ2 ϩ ͙20a
ෆ4 ϭ a ͙5ෆ S 4a ͙5ෆ ϩ 2a2 ͙5ෆ ϭ (2a2 S 3a) ͙5ෆ
͙5a
d)
ෆ S ͙2ෆ S 6 ͙3ෆ ϩ ͙32
ෆ ϭ 2 ͙3ෆ S ͙2ෆ S 6 ͙3ෆ ϩ 4 ͙2ෆ ϭ 3 ͙2ෆ S 4 ͙3ෆ
͙24
e)
ෆS
͙50
3
3
3
3
Iᎏ14ᎏ8 ϩ Iᎏ72ᎏ25 ϭ 5͙2ෆ S ᎏ32ᎏ ͙2ෆ ϩ ᎏ65ᎏ ͙2ෆ ϭ ᎏ41ᎏ70 ͙2ෆ
3
3
2 3
1 3
5 3
f) 10 и ͙0,024
ෆ ϩ 5 и ͙0,003
ෆ ϭ 10 и ᎏ1ᎏ0 ͙3ෆ ϩ 5 и ᎏ1ᎏ0 ͙3ෆ ϭ ᎏ2ᎏ ͙3ෆ
3
5 3
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2 ͙ෆ
3
2.39 Racionalizar una fracciAn es hallar otra equivalente sin raAces en el
denominador. Racionaliza ' y
5 ͙5
ෆ
7
'
.
5
72
͙ෆ
En el primer caso se multiplican el numerador y el denominador por el mismo
nAsmero, la raAz cuadradaque aparece en el denominador.
2 ͙3ෆ
2 ͙3ෆ и ͙2ෆ
2 ͙ෆ6
͙ෆ6
2 ͙6ෆ
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ2 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
5 ͙2ෆ
5 ͙2ෆ и ͙2ෆ
5и2
5 и ͙ෆ
2
5
En el segundo, para eliminar la raAz de Andice 5 necesitamos conseguir un
exponente mAsltiplo de 5.
5
5
5
7 и ͙7ෆ3
7 и ͙7ෆ3
7 и ͙7ෆ3
7
5
ᎏ
ᎏ
ᎏᎏ
ᎏ
ϭ
ϭ
ϭ
ϭ ͙7ෆ3
5
5 2
5
5
5
2
3
7
7
7
7 и ͙ෆ
7
͙ෆ
͙ෆ
͙ෆ
2.40 Racionaliza las siguientes fracciones.
3
a) ''
͙ෆ2
12
'
c) '
7
͙2ෆ5
͙2ෆ
e) ''
3
͙ෆ ؒ ͙5ෆ
2
b) ''
5 ͙ෆ
6
40
'
d) '
4
͙2ෆ17
29
ෆ
͙'
f) '
6
211
͙ෆ
3
3͙2ෆ
3͙ෆ2
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
2
2
и
2
2
͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ
7
12
12͙ෆ
22
12͙ෆ
22
c) ᎏ
ᎏ
ϭ
ᎏ
ϭ 6͙2ෆ2
ᎏ
7 ᎏ ϭ ᎏ
7
7
5
5
2
2
2
2 и ͙ෆ
2
͙ෆ
͙ෆ
2
2͙ෆ6
͙ෆ6
b) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
5и6
5͙ෆ6
15
40
40͙2ෆ3
5͙ෆ
23
40͙ෆ
23
d) ᎏ
ϭ
ᎏ
ᎏ
5
4 ᎏ ϭ ᎏ
4 ᎏ ϭ ᎏᎏ
2
4
220
͙2ෆ17
͙ෆ
4
7
4
4
4
PA R A
P r o b l e m a
͙2ෆ
͙ෆ
͙ෆ2͙ෆ3͙ෆ5
30
e) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
3
и
5
3
5
3
5
1
5
͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ͙ෆ͙ෆ͙ෆ
7
29
29 и ͙2ෆ
͙ᎏ
ෆ
͙ෆ
͙2ෆ19
ᎏ
ϭ
ᎏ
6
6 ᎏ ϭ ᎏᎏ
4
͙2ෆ11
͙2ෆ12
4
f)
4
6
12
A P L I C A Rr e s u e l t o
2.41 El profesor asegura que el nAsmero
(2 ؉ ͙ෆ
3
ෆ)(2 ؊ෆ
͙3ෆ) es entero. AsEs posible?
͙ෆ
Observamos que en el radicando se tiene una suma por una diferencia, por lo que
al multiplicar se obtiene lo siguiente.
ϩ ͙3ෆ
S (͙3ෆෆ
) ϭ ͙ෆ
4 S 3 ϭ ͙1ෆ ϭ 1
ෆ
ෆ)(2 Sෆ
͙3ෆ) ϭ ͙2ෆ
͙(2
2
2
En efecto, el resultado es un nAsmero entero.
2.42 Comprueba si el nAsmero siguiente es un nAsmero entero:
(4 ؉ 2ෆ
؊ 2͙ෆ
2
ෆ).
͙2ෆ)(4ෆ
͙ෆ
3
ϩ 2͙
2ෆ)(4 S
2͙2ෆ)ෆ ϭ ͙ෆ
4 S (2ෆ
16 S 8 ϭ ͙8ෆ ϭ 2
ෆ
ෆ
ෆ
͙2ෆ) ϭ ͙ෆ
͙(4
3
3
2
2
3
3
Es un nAsmero entero.
2.43 VActor trata de obtener con su calculadora un nAsmero comprendido entre 1 y
2 partiendo de un nAsmero inicial y usando repetidamente la tecla
veces dicha tecla.
20 a
͙ෆ
a 4,472a a
͙ෆ
a 2,114a a
͙ෆ
. Por ejemplo, si comienza con el 20, tiene que pulsar tres
͙ෆ
a 1,454a AsCuAtntas veces tendrAt que hacerlo si empieza
en el nAsmero 300? AsY empezando en el 1000? Indica la operaciAn realizada usando
una sola raAz.
30
ෆ.
͙ෆ
ෆ
͙ෆ
ෆ
ෆ0ෆ ϭ ͙300
͙͙
Para el nAsmero 1000, necesita tambiAn 4pulsaciones. Obtiene ͙͙
10
00
ෆ
ෆ.
ෆ
ෆ
ෆ ϭ ͙1000
͙͙
ෆ
ෆ
Para el nAsmero 300, necesita 4 pulsaciones. Obtiene
16
16
2.44 Adivina un nAsmero a sabiendo que:
» Su raAz cAsbica es mayor que 4.
» La raAz cAsbica de su cuadrado es menor que 17.
» El nAsmero es un entero mAsltiplo de 10.
El nAsmero a cumple:
3
͙aෆ Ͼ 4 a a
Ͼ 64
3
a2 Ͻ 17 a a2
Ͻ 173 a a
Ͻ ͙ෆ
173 ϭ 70,09a
͙ෆ
El nAsmero estAt en el intervalo (64, 70,09a ]. Como debe ser entero y mAsltiplo
de 10, la soluciAn es 70.
Logaritmo de un nAsmero
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.45 Utiliza la definiciAn y las propiedades de los logaritmos para:
a) Reducir a un solo logaritmo y calcular: log 40 ؉ log 25
b) Calcular log 8 sabiendo que log 2 Ϸ 0,301.
a) log 40 ϩ log 25 ϭ log (40 и 25) ϭ log 1000 ϭ 3
b) log 8 ϭ log 23 ϭ 3 и log 2 Ϸ 3 и 0,301 ϭ 0,903
PA R A
A P L I C A R
2.46 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log 10 000
c) log2 256
b) log3 81
d) log3 243
a) log 10 000 ϭ log 104 ϭ 4
c) log2 256 ϭ log2 28 ϭ 8
b) log3 81 ϭ log3 34 ϭ 4
d) log3 243 ϭ log3 35 ϭ 5
E j e r c i c i o
r e s u el t o
2.47 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log2 0,25
c) log4 2
b) log 0,001
d) log9 27
1
1
a) log2 0,25 ϭ log2 ᎏᎏ ϭ log2 ᎏᎏ2 ϭ log2 2S2 ϭ S2
4
2
1
1
b) log 0,001 ϭ log ᎏᎏ ϭ log ᎏᎏ3 ϭ log 10S3 ϭ S3
1000
10
1
1
ᎏᎏ
ᎏᎏ
1
2
2
c) 4 ϭ 22 a a log4
2 ϭ log4 4 ϭ ᎏᎏ
2
ᎏ1ᎏ
d) 9 ϭ 32 a 3
ϭ ͙9ෆ ϭ 9 2 ;
I ᎏᎏI
1 3
ᎏ3ᎏ
27 ϭ 33 ϭ 9 2 ϭ 9 2
3
ᎏᎏ
3
log9 27 ϭ log9 9 2 ϭ ᎏᎏ
2
2.48 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log2 0,125
d) log 0,000 01
g) log16 64
b) log3 0,333a
2
c) log3 ''
54
e) log16 2
h) log8 4
f) log64 2
i) log4
͙2ෆ
1
a) log2 0,125 ϭ log2 ᎏᎏ ϭ log2 2S3 ϭ S3
8
6
1
f) log64 2 ϭ log64 ͙64
ෆ ϭ ᎏ6ᎏ
1
b) log3 0,333a ϭ log3 ᎏᎏ ϭ log3 3S1 ϭ S1
3
ᎏᎏ
4
3
4
g) log16 64 ϭ log16 26 ϭ log16 (͙16
ෆ)6 ϭ log16 16 ϭ ᎏ2ᎏ
2
1
1
c) log3 ᎏᎏ ϭ log3 ᎏᎏ ϭ log3 ᎏᎏ3 ϭ log3 3S3 ϭ S3
54
27
3
ᎏᎏ
3
2
h) log8 4 ϭ log8 22 ϭ log8 (͙8ෆ)2 ϭ log8 8 3 ϭ ᎏᎏ
3
d) log 0,00001 ϭ log 10S5 ϭ S5
i)
6
2
1
ᎏᎏ
4
1
log4 ͙2ෆ ϭ log4 ͙4ෆ ϭ log4 4 4 ϭ ᎏᎏ
4
1
ᎏᎏ
4
1
4
e) log16 2 ϭlog16 ͙16
ෆ ϭ log16 16 ϭ ᎏ4ᎏ
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.49 Conociendo los valores aproximados de log 2 a ؍0,301 y log 3 a ؍0,477,
calcula los siguientes usando las
propiedades de los logaritmos.
a) log 24
b) log 5
a) log 24 ϭ log (23 и 3) ϭ log 23 ϩ log 3 ϭ 3 log 2 ϩ log 3 ϭ 3 и 0,301 ϩ 0,477
ϭ 1,38
10
b) log 5 ϭ log ᎏᎏ ϭ log 10 S log 2 ϭ 1 S 0,301 ϭ 0,699
2
2.50 Calcula los siguientes logaritmos usando los datos del ejercicio resuelto
anterior.
a) log 36
9
d) log ''
24
g) log 75
b) log 64
e) log 20
h) log 0,2
2
c) log ''
3
f) log 150
i) log 0,8333a
a) log 36 ϭ log (22 и 32) ϭ log 22 ϩ log 32 ϭ 2 log 2 ϩ 2 log 3 ϭ 2 и 0,301 ϩ 2
и 0,477 ϭ 1,556
b) log 64 ϭ log 26 ϭ 6 log 2 ϭ 6 и 0,301 ϭ 1,806
2
c) log ᎏᎏ ϭ log 2 S log 3 ϭ S0,176
3
9
3
d) log ᎏᎏ ϭ log ᎏᎏ ϭ log 3 S 3 log 2 ϭ S0,426
24
8
e) log 20 ϭ log (2 и 10) ϭ log 2 ϩ log 10 ϭ 0,301 ϩ 1 ϭ 1,301
3 и 100
f) log 150 ϭ log ᎏᎏ ϭ log 3 ϩ log 100 S log 2 ϭ 2,176
2
3 и 100
g) log 75 ϭ log ᎏᎏ ϭ log 3 ϩ log 100 S 2 log 2 ϭ 1,875
4
2
h) log 0,2 ϭ log ᎏᎏ ϭ log 2 S log 10 ϭ 0,301 S 1 ϭ S0,69910
5
10
i) log 0,8333a ϭ log ᎏᎏ ϭ log ᎏᎏ ϭ log 10 S log 12 ϭ 1 S (2 log 2 ϩ log 3) ϭ
S0,079
6
12
2.51 Emplea la fArmula del cambio de base y los datos del ejercicio 49 para
calcular los siguientes logaritmos.
a) log3 2
c) log3 32
e) log2 30
b) log2 9
d) log2 10
f) log8 2
log 2
0,301
a) log3 2 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,631
log 3
0,477
log 9
log 32
2 log 3
2 и 0,477
b) log2 9 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 3,169
log 2
log 2
log 2
0,301
log 32
5 log 2
c) log3 32 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 3,155
log 3
log 3
1
log 10
d) log2 10 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 3,322
0,301
log 2
log 30
log 3 ϩ log 10
e) log2 30 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 4,907
log 2
log 2
log 2
log 2
log 2
1
f) log8 2 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ3 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
log 8
log 2
3 log 2
3
2.52 Calcula las siguientes operaciones.
a) log3 7 ؒ log7 3
c) log7 (log3 (log2 8))
b) ؊log3 5 ؒ log5 9
d) log4 (log2 (log3 (10 ؊ log 10)))
log 7 log 3
a) log3 7 и log7 3 ϭ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ 1
log 3 log 7
log 5 log 9
log 32
2 log 3
b) Slog3 5 и log5 9 ϭ ᎏᎏ ᎏᎏ ϭ Sᎏᎏ ϭ Sᎏᎏ ϭ S2
log 3 log 5
log 3
log 3
c) log7 (log3 (log2 8)) ϭ log7 (log3 (log2 23)) ϭ log7 (log3 3) ϭ log7 1 ϭ 0d)
log4 (log2 (log3 (10 S log 10))) ϭ log4 (log2 (log39)) ϭ log4 (log2 2) ϭ log4 1
ϭ 0
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.53 Sabiendo los valores de log a a ؍0,5 y log b a ؍0,3, calcula log
Usando las propiedades de los logaritmos,
log
I
3
a2 ؒ b
''.
10
I
3
a2 и b
1
a2 и b
1
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ log ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ (log (a2 и b) S log 10) ϭ
10
10
3
3
1
1
ϭ ᎏᎏ (log a2 ϩ log b S 1) ϭ ᎏᎏ (2 log a ϩ log b S 1)
3
3
Se sustituyen los valores dados.
log
I
3
a2 и b
1
1
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ (2 и 0,5 ϩ 0,3 S 1) ϭ ᎏᎏ и 0,3 ϭ 0,1
10
3
3
͙aෆ
2.54 Con los datos del ejercicio 53, calcula el logaritmo: log ''.
100b3
ᎏ1ᎏ
͙ෆa
1
1
log ᎏᎏ3 ϭ log ͙aෆ S log 100b3 ϭ log a 2 S (log 100 ϩ log b3) ϭ ᎏᎏ log a S 2 S 3
log b ϭ ᎏᎏ 0,5 S 2 S 3 и 0,3 ϭ S2,65
100b
2
2
PA R A
A P L I C A R
2.55 Antes de la invenciAn de las calculadoras se usaban tablas de logaritmos
para operar con nAsmeros grandes. En la tabla figuran algunas potencias de 2.
Exponente
0
1
2
3
4
Valor
1
2
4
8
16
Exponente
5
6
7
8
9
32
64
128
256
512
ValorExponente
Valor
10
11
12
13
14
1024
2048
4096
8192
16 384
Como el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores,
para calcular 32 ؒ 64 buscaban sus logaritmos (5 y 6), los sumaban (11) y
buscaban en la tabla el nAsmero correspondiente (2048).
Calcula, usando esa tabla, 16 ؒ 128 y 16 384 : 256.
Al 16 y al 128 les corresponden los exponentes 4 y 7. Para hallar el producto,
se suman los exponentes (11) y se busca el valor correspondiente, 2048.
Al 16 384 y al 256 les corresponden los exponentes 14 y 8. Para hallar el
cociente, se restan los exponentes (6) y se busca el valor
correspondiente, 64.
2.56 Si log 2 a ؍0,301, AscuAtnto valdrAt log 20? AsY log 200? AsY log 2000? AsQuA
nAsmero tendrAt por logaritmo 8,301?
Como 20 ϭ 2 и 10, log 20 ϭ log 2 ϩ log 10 ϭ log 2 ϩ 1 ϭ 1,301. De la misma forma,
log 200 ϭ 2,301, log 2000 ϭ 3,301, y asA sucesivamente. El nAsmero 8,301 se
descompone como la suma de 8 (log 108) y 0,301 (log 2). Por tanto, 8,301 es el
logaritmo de 2 и 108.
2.57 Halla el valor de x en la siguiente expresiAn, aplicando las propiedades
de loslogaritmos.
log (x ؉ 1)2 a ؍6
log (x ϩ 1)2 ϭ 6 a 2 log (x ϩ 1) ϭ 6 a log (x ϩ 1) ϭ 3 a x ϩ 1 ϭ 103 ϭ 1000 a x ϭ 1000 S 1 ϭ 999
2.58 AsQuA relaciAn hay entre el logaritmo de un nAsmero y el de su inverso?
1
log ᎏᎏ ϭ log 1 S log a ϭ 0 S log a. Son opuestos.
a
1
2.59 Escribe como un Asnico logaritmo la siguiente expresiAn: 3 log a ؉ '' log b
؉ 1 ؊ 5 log c.
2
ᎏ1ᎏ
ᎏᎏ
1
a3 и ͙bෆ и 10
a3 и b 2 и 10
2
ϭ log ᎏᎏ
3 log a ϩ ᎏᎏ log b ϩ 1 S 5 log c ϭ log a3 ϩ log b ϩ log 10 S log c5 ϭ log ᎏᎏ
5
2
c5
c
1
M AT E M A T I C A S
A P L I C A D A S
PA R A
A P L I C A R
2.60 Calcula la intensidad de los siguientes sonidos.
a) MAssica a mucha potencia: 6,4 Pa
b) Martillo neumAttico: 1,1 Pa
6,4
a) Np ϭ 20 и log ᎏᎏ
ϭ 110,10 db
2 и 10S5
1,1
b) Np ϭ 20 и log ᎏᎏ
ϭ 94,81 dbϭ 94,81db
2 и 10S5
2.61 Busca informaciAn sobre la escala de Ritcher. AsQuA magnitud mide?
AsMediante quA fArmula? AsSe trata
de una escala logarAtmica?
La escala de Richter mide la energAa desprendida en un terremoto.
La fArmula que emplea es M ϭ log A ϩ 3 log (8 и at) S 2,92, siendo A la amplitud (en mm) de las
ondastipo S y at
el tiempo, en
segundos, transcurrido entre la apariciAn de ondas tipo P y tipo S. Es por
tanto una escala logarAtmica.
A C T I V I D A D E S
F I N A L E S
PA R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
2.62 Escribe en notaciAn cientAfica estas cantidades.
a) 0,000 000 007 71
b) 0,000 041
c) 992 600 000 000
d) 4 840 000 000
a) 0,000 000 007 71 ϭ 7,71 и 10S9
c) 992 600 000 000 ϭ 9,926 и 1011
b) 0,000 041 ϭ 4,1 и 10S5
d) 4 840 000 000ϭ 4,84 и 109
2.63 Escribe correctamente en notaciAn cientAfica:
a) 887 ؒ 105
b) 5785,46 ؒ 10؊8
c) 0,005 2 ؒ 1012
d) 0,004 ؒ 10؊24
a) 887 и 105 ϭ 8,87 и 107
b) 5785,46 и 10S8 ϭ 5,785 46 и 10S5
c) 0,0052 и 1012 ϭ 5,2 и 109
d) 0,004 и 10S24 ϭ 4 и 10S27
2.64 En una muestra hay 5,23 ؒ 106 bacterias, cada una de las cuales pesa 2,5 ؒ
10؊10 gramos. AsCuAtl es el peso
total?
5,23 и 106 и 2,5 и 10S10 ϭ 1,3075 и 10S3 gramos.
2.65 Escribe tres raAces equivalentes a cada uno de los siguientes nAsmeros.
2
''
7
a)
34
͙ෆ
a)
34 ϭ ͙ෆ
38 ϭ ͙ෆ
312 ϭ ͙ෆ
316
͙ෆ
7
14
21
28
2.66 Ordena demenor a mayor
5
c) 8 3
b) 5
30
3
5
27,
͙ෆ
30
42
27 ϭ ͙2ෆ
Ϸ ͙ෆ
4,4 и 1ෆ
012;
͙ෆ
6
ᎏ2ᎏ
4
b) 5 ϭ ͙ෆ
52 ϭ ͙ෆ
53 ϭ ͙ෆ
54
3,
3
c) 8 3 ϭ 4 ϭ ͙ෆ
42 ϭ ͙ෆ
24 ϭ ͙ෆ
26
6
ෆ.
͙32
30
30
3 ϭ ͙ෆ
330 Ϸ ͙ෆ
2 и 1014ෆ,
6
30
30
3,3 и 1ෆ
07
ෆ ϭ ͙2ෆ25 Ϸ ͙ෆ
͙32
5
El orden es ͙32
27 Ͻ 3.
ෆ Ͻ ͙ෆ
2.67 Calcula las siguientes raAces.
a)
ෆ
͙576
b)
ෆ1ෆ
͙0,008
a)
6
и 32 ϭ 23 и 3 ϭ 24
ෆ ϭ ͙2ෆ
͙576
b)
ෆϭ
͙0,0081
81
9
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,09
Iᎏ
10 000
100
c)
ෆa
ෆ
͙1,777
c)
ෆϭ
͙1,777a
c)
I
Iᎏ19ᎏ6 ϭ ᎏ43ᎏ
2.68 Extrae de la raAz todos los factores posibles.
a)
I
a)
I
5
5
23
b) ᎏᎏ4
3
c)
x12y54
'1'
z 00
23
b) ''4
3
320 ؒ 210
''
56
x12y54
x2y10 5 2 4
ᎏ1ᎏ
ᎏ xy
00 ϭ ᎏ20
z
z ͙ෆ
I
6
24 6 2 4
24 3
320 и 210
23 и 33 и 2 6 2 4
ᎏᎏ
ϭᎏ
3 и 2 ϭ ᎏ ᎏ ͙ෆ
3 и 2 ϭ ᎏ ᎏ ͙ෆ
3 и 22
6
4 ᎏ ͙ෆ
5
3 и5
3и5
3и5
I I
3
I
6
45 и 64 и 3
ᎏᎏ
ϭ
182
3
3 12
3
210 и 24 и 34 и 3
ᎏ
ᎏ ϭ ͙ෆ
2 и 3 ϭ 24 и ͙3ෆ
22 и 34
3
45 ؒ 64 ؒ 3''
182
2.69 Realiza las operaciones indicadas.
a3 ؒ ͙a
ෆ
͙ෆ
'
b) '
3
2
a
͙ෆ
4
8
6
a)
2 ؒ 3 ؒ ͙ෆ
2 ؒ3
͙ෆ
a)
25 и 36 и ͙ෆ
29 и 35 ϭ ͙ෆ
215 и 318ෆ
и 236 иෆ
320 ϭ ͙ෆ
251 и 338ෆ
͙ෆ
5
6
8
9
5
6
24
4
2
͙ෆ
͙ෆ
͙ෆ
3
c)
4
3
24
a3 и ͙ෆa
12 7
a9a6
͙ෆ
b) ᎏᎏ
ϭ 12 ᎏᎏ
a
3 2
8 ϭ ͙ෆ
a
a
͙ෆ
c)
I
2 ϭ
ෆ
͙ෆ
ෆ
͙͙
3
4
3
8
3и2и4
23 ϭ ͙2ෆ
͙ෆ
2.70 Realiza las operaciones indicadas.
3
8
'
I'
54
ෆ ؊ ͙12
ෆ ؉ 3͙3ෆ
͙75
c)
25 ؊ 9 ؒ
͙ෆ
b) 5͙2
ෆ ؉ 4͙8ෆ ؊ 10͙18
ෆ
d)
ෆa
ෆ ؒ 36 ؊ 20 ؒ ͙0,125
ෆ
͙0,222
a)
a)
b)
3
ෆ S ͙12
ෆ ϩ 3͙3ෆ ϭ 5͙3ෆ S 2͙3ෆ ϩ 3͙3ෆ ϭ 6͙3ෆ
͙75
5͙2ෆ ϩ 4͙8ෆ S 10͙18
ෆ ϭ 5͙2ෆ ϩ 8͙2ෆ S 30͙2ෆ ϭ S17͙2ෆ
Iᎏ58ᎏ4 ϭ 2͙4ෆ S 9Iᎏ24ᎏ7 ϭ 2͙4ෆ S ᎏ93ᎏ ͙4ෆ ϭ S͙4ෆ
2
1
1
20
d) ͙0,222a
ෆ и 36 S 20 и ͙0,125
ෆ ϭ Iᎏ9ᎏ и 36 S 20 и Iᎏ8ᎏ ϭ ᎏ3ᎏ ͙2ෆ и 36 S ᎏ4ᎏ ͙2ෆ ϭ 7͙2ෆ
c)
3
͙2ෆ5 S 9 и
3
3
3
3
3
3
2.71 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log 100 000
b) log5 625
c) log7 343
a) log 100 000 ϭ log 105 ϭ 5
b) log5 625 ϭ log5 54 ϭ 4c) log7 343 ϭ log7 73 ϭ 3
a) log2 0,125
c) log81 3
e) log1000 10
3
b) log4 ''
48
d) log25 5
f) log1000 100
2.72 Calcula los siguientes logaritmos.
1
a) log2 0,125 ϭ log2 ᎏᎏ ϭ log2 2S3 ϭ S3
8
1
d) log25 5 ϭ log25 ͙25
ෆ ϭ ᎏ2ᎏ
3
1
b) log4 ᎏᎏ ϭ log4 ᎏᎏ ϭ log4 4S2 ϭ S2
48
16
3
1
e) log1000 10 ϭ log1000 ͙1000
ෆ ϭ ᎏ3ᎏ
4
1
c) log81 3 ϭ log81 ͙81
ෆ ϭ ᎏ4ᎏ
3
2
f) log1000 100 ϭ log1000 102 ϭ log1000 I͙1000
ෆI2 ϭ ᎏ3ᎏ
2.73 Expresa estos logaritmos como sumas y diferencias.
25 ؒ 34
b) log ''
76
a) log (25 ؒ 37)4
a) log (25 и 37)4 ϭ log (220 и 328) ϭ log 220 ϩ log 328 ϭ 20 log 2 ϩ 28 log 3
25 и 34
ϭ log (25 и 34) S log 76 ϭ 5 log 2 ϩ 4 log 3 S 6 log 7
b) log ᎏᎏ
76
c) log
I
4
͙aෆ
͙ෆa
ᎏᎏ ϭ log ᎏ
b
͙bෆ
1
1
ϭ ᎏᎏ log a S ᎏᎏ log b
4
2
c) log
͙ෆ
I
a
''
b
2.74 Calcula los siguientes logaritmos.
b) log3 (log2 (10 ؉ log 0,01))
a) log2 (log 10 000)
a) log2 (log 10 000) ϭ log2 4 ϭ 2
b) log3 (log2 (10 ϩ log 0,01)) ϭ log3 (log2 (10 S 2)) ϭ log3 (log2 8) ϭ log3 3
ϭ 1
2.75 Expresa en metros las siguientes medidas usandola notaciAn cientAfica.
c) 26 ؒ 10؊12 hectAmetros
d) 3 trillones de nanAmetros
a) 3 millones de kilAmetros
b) Una millonAsima de milAmetro
a)
b)
c)
d)
3 millones de kilAmetros ϭ 3 и 106 kilAmetros ϭ 3 и 109 metros
Una millonAsima de milAmetro ϭ 10S6 milAmetros ϭ 10S9 metros
26 и 10S12 hectAmetros ϭ 26 и 10S12 и 102 metros ϭ 2,6 и 10S9 metros
3 trillones de nanAmetros ϭ 3 и 1018 nanAmetros ϭ 3 и 1018 и 10S9 metros ϭ 3 и
109 metros
2.76 El factorial de un nAsmero se define:
n! a ؍n A (n a 1) ؒ a ؒ 2 ؒ 1
Por ejemplo:
6! a ؍6 ؒ 5 ؒ 4 ؒ 3 ؒ 2 ؒ 1 a ؍720
Con la ayuda de la calculadora, investiga el orden de magnitud de los
siguientes nAsmeros factoriales.
a) 15!
b) 25!
c) 40!
a) 15! ϭ 1,3 и 1012; orden 12
b) 25! ϭ 1,55 и 1025; orden 25
c) 40! ϭ 8,159 и 1047; orden 47
2.77 En la siguiente fArmula, despeja cada una de las variables que aparecen.
1
x3 ؊ ''2 ؉
y
144424443
3
1
x3 ϭ ᎏᎏ2 S ͙zෆ2 ϩ 1 a x ϭ
y
3
1
x3 S ᎏᎏ2 ϩ ͙zෆ2 ϭ 1 a
y
3
͙zෆ2 a ؍1
ෆ
I ͙
1
ᎏᎏ2 S
y
3
3
z2 ϩ 1
1
ᎏᎏ
I
x S 1 ϩ ͙ෆ
z
3
1
x3 S 1 ϩ ͙zෆ2 ϭ ᎏᎏ2 a y ϭϮ
y
1
3
z2 ϭ 1 S x3 ϩ ᎏᎏ2 a z ϭ
͙ෆ
y
3
3
2
1
1 S x
ϩ ᎏᎏI
II
y
3
3
2
2.78 Cualquier nAsmero natural se puede expresar como suma de un mAtximo de
cuatro cuadrados perfectos.
Esto nos permite representar la raAz cuadrada de cualquier nAsmero usando el
teorema de PitAtgoras.
a1
0
1 a2 a 3 2
3 = 12 + 12 + 12
3
DescompAn en suma de cuadrados los siguientes nAsmeros e indica cAmo se
representarAan sus raAces cuadradas.
a) 41
b) 27
c) 31
a) 41 ϭ 52 ϩ 42. Para representar la raAz se construye el triAtngulo rectAtngulo
de catetos 5 y 4. La hipotenusa mide ͙41
ෆ.
b) 27 ϭ 52 ϩ 12 ϩ 12. Se representa primero ͙2ෆ, usando dos catetos de longitud
1, y despuAs se usan como catetos ͙2ෆ y 5.
c) 31 ϭ 52 ϩ 22 ϩ 12 ϩ 12. Como en el ejemplo anterior, se representa primero
͙2ෆ, despuAs ͙6ෆ y por Asltimo ͙31
ෆ.
2.79 AsCuAtntas cifras puede tener la raAz cuadrada de un nAsmero de seis cifras?
AsY la raAz cAsbica?
105 Յ x Ͻ ͙ෆ
106 ϭ 103, y la raAz cAsbica cumple que
Como 103 5 Յ x Ͻ 1036, la raAz cuadrada cumple que 316,2 Ϸ ͙ෆ
5
6
46,4 Ϸ ͙ෆ
10 Յ x Ͻ ͙ෆ
10 ϭ 100.Por tanto, la raAz cuadrada tiene tres cifras, y la raAz cAsbica tiene
dos.
2.80 Considera las fArmulas del Atrea y del volumen de una esfera de radio r y,
a partir de ellas:
a) Halla una fArmula que permita obtener la superficie de una esfera conociendo
su volumen.
b) Halla la fArmula que da la longitud de la circunferencia mAtxima en funciAn
del volumen.
4
Las fArmulas a utilizar son L ϭ 2ar, S ϭ 4ar2, V ϭ ᎏᎏ ar3.
3
4
1
1
3V
a) V ϭ ᎏᎏ ar3 ϭ (4ar2) ᎏᎏ r ϭ S и ᎏᎏ r a S ϭ ᎏᎏ
3
3
3
r
4
2
2
3V
b) V ϭ ᎏᎏ ar3 ϭ (2ar) ᎏᎏ r2 ϭ L и ᎏᎏ r2 a L ϭ ᎏᎏ2
3
3
3
2r
2.81 Una hoja de papel tiene 0,01 milAmetros de grosor. Se dobla ese papel por
la mitad, se vuelve a doblar,
y asA sucesivamente.
Utilizando logaritmos, AspodrAas indicar cuAtntos dobleces harAan falta para
obtener un grosor de 100
metros?
Como 100 metros son 100 000 milAmetros, se trata de hallar el primer valor
natural para el que 0,01 и 2x Ն 100 000, donde x indica
el nAsmero de dobleces.
7
0,01 и 2x Ն 100 000 a 2x Ն 107 a log 2x Ն log 107 a x Ն ᎏᎏ ϭ 23,25.
log 2
Hay que realizar un mAnimo de 24 dobleces.
PA R A
R E F O R ZA R
2.82 Escribe los siguientes nAsmeros empleando notaciAn cientAfica.
a) 0,000 000 000 235
b) 5 480 000 000 000
a) 0,000 000 000 235 ϭ 2,35 и 10S10
b) 5 480 000 000 000 ϭ 5,48 и 1012
2.83 Sin hacer las operaciones, indica el orden de magnitud del resultado.
a) (3,5 ؒ 1015) ؒ (1,2 ؒ 107)
d) (2,67 ؒ 1043) : (1,4 ؒ 1033)
b) (2,24 ؒ 10؊15) ؒ (3 ؒ 10؊20)
e) (5,78 ؒ 10؊21) : (2,22 ؒ 10؊25)
c) (2 ؒ 1023) ؒ (1,55 ؒ 10؊30)
f) (9,93 ؒ 107) : (3,12 ؒ 10؊7)
b) Orden S35
a) Orden 22
c) Orden S7
d) Orden 10
e) Orden 4
f) Orden14
2.84 Despeja x en cada ecuaciAn.
a) a a ؍x2
c) 42 a ؍x3
b) 125 a ؍x3
d) x؊3 a ؍24
a) a ϭ x2 a x
ϭ Ϯ͙aෆ
c) 42 ϭ x3 a x
ϭ ͙4ෆ2
3
3
b) 125 ϭ x3 a x
ϭ ͙125
ෆϭ5
d) xS3 ϭ 24 a x
ϭ
Iᎏ21ᎏ
3
4
2.85 Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y en forma de raAz
y calcula:
a) 320,2
25
''
c) 625 100
b) 10000,666a
ᎏ1ᎏ
5
a) 320,2 ϭ 32 5 ϭ ͙32
ෆϭ2
ᎏ2ᎏ
3
b) 10000,666a ϭ 1000 3 ϭ ͙ෆ
10002 ϭ 100
5
ᎏ2ᎏ
ᎏ1ᎏ
4
c) 625 100 ϭ 625 4 ϭ ͙625
ෆϭ5
2.86 Reduce a AndicecomAsn y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.
12
15
͙2ෆ7
12
18
͙2ෆ9
180
2105
͙2ෆ7 ϭ ͙ෆ
15
͙2ෆ13
180
2108
͙2ෆ9 ϭ ͙ ෆ
Ͻ
Ͻ
18
180
2130
͙2ෆ13 ϭ ͙ ෆ
2.87 Calcula las siguientes operaciones.
a) 3͙2
ෆ ؊ 7͙2ෆ ؉ 4͙2ෆ
1
b) '' ͙20
ෆ؊
2
ෆ ؊ 4͙45
ෆ
͙75
a) 3͙2ෆ S 7͙2ෆ ϩ 4͙2ෆ ϭ (3 S 7 ϩ 4)͙2ෆ ϭ 0͙2ෆ ϭ 0
1
1
S 75 S 4͙45
b) ᎏᎏ ͙20
ෆ ϭ ᎏ2ᎏ 2͙5ෆ S 5͙3ෆ S 4 и 3͙5ෆ ϭ S11͙5ෆ S 5͙3ෆ
2 ෆ ͙ෆ
2.88 Expresa como un Asnico radical:
a) 5͙6
ෆ
45
͙ෆ
d) '
͙ෆ3
b) 2͙3
ෆ ؒ 7͙2ෆ
e)
3
4
͙2ෆ ؒ ͙2ෆ
6
c)
3
͙ෆ3 ؒ ͙ෆ5
f) ''
3
͙ෆ4
3
͙5ෆ ؒ ͙6ෆ
52 и 6
a) 5͙6ෆ ϭ ͙ෆ
45
͙ෆ
d) ᎏ ϭ ͙15
ෆ
͙ෆ3
b) 2͙3ෆ и 7͙2ෆ ϭ 14͙6ෆ ϭ ͙ෆ
142 и 6
e)
24 и 23 ϭ ͙ෆ
27
͙2ෆ и ͙2ෆ ϭ ͙ෆ
f)
͙3ෆ и ͙5ෆ ϭ
ᎏ
3
͙4ෆ
3
4
12
6
c)
3
3
3
ෆ
͙5ෆ и ͙6ෆ ϭ ͙30
12
I
6
33 и 5
ᎏᎏ
42
2.89 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log4 256
c) log 10 000 000
b) log2 1024
d) log37 1
a) log4 256 ϭ log4 44 ϭ 4
c) log 10 000 000 ϭ log 107 ϭ 7
b) log2 1024 ϭ log2 210 ϭ 10
d) log37 1 ϭ 0
2.90Calcula los siguientes logaritmos.
a) log 0,1
3
c) log2 ''
192
b) log5 0,04
d) log2 (0,57)
a) log 0,1 ϭ log 10S1 ϭ S1
3
1
c) log2 ᎏᎏ ϭ log2 ᎏᎏ ϭ log2 2S6 ϭ S6
192
64
1
b) log5 0,04 ϭ log5 ᎏᎏ ϭ log5 5S2 ϭ S2
25
d) log2 (0,57) ϭ log2 2S7 ϭ S7
2.91 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log1 000 000 100
c) log4 8
b) log36 6
d) log8 4
3
1
a) log1 000 000 100 ϭ log1 000 000 ͙ෆ
1 000 000
ෆ ϭ ᎏ3ᎏ
ᎏᎏ
3
c) log4 8 ϭ log4 23 ϭ log4 (͙4ෆ)3 ϭ log4 4 2 ϭ ᎏᎏ
2
1
b) log36 6 ϭ log36 ͙36
ෆ ϭ ᎏ2ᎏ
3
2
d) log8 4 ϭ log8 (͙8ෆ)2 ϭ ᎏᎏ
3
3
PA R A
A M P L I A R
k
2.92 Estudia el mAtodo empleado para racionalizar fracciones de la forma '' .
͙ෆa ؎ ͙ෆb
1
a) Comprueba que la fracciAn '' se puede racionalizar multiplicando numerador y
denominador
͙3ෆ ؊ ͙2ෆ
por ͙3
ෆ ؉ ͙2ෆ.
1
b) Comprueba que la fracciAn '' se puede racionalizar multiplicando numerador y
denominador
͙6ෆ ؉ ͙2ෆ
por ͙ෆ
6 ؊ ͙2
ෆ.
1 и (͙ෆ3 ϩ ͙ෆ2)
͙3ෆ ϩ ͙ෆ2
1
͙ෆ3 ϩ ͙ෆ2 ϭ ᎏ
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
ᎏ ϭ ͙3ෆ ϩ ͙2ෆ
2
2
3S2
(
3
)
S
(
2
)
͙ෆ
͙ෆ
͙ෆ3 S ͙2ෆ (͙3ෆ S ͙2ෆ)(͙3ෆ ϩ ͙2ෆ)
1
͙6ෆS ͙ෆ2 ͙6ෆ S ͙2ෆ
͙6ෆ S ͙2ෆ
b) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
6S2
4
(
6
ϩ
2
)(
6
S
2
)
6
ϩ
2
͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ
͙ෆ ͙ෆ
2.93 Racionaliza las siguientes fracciones.
3
a) ''
͙7ෆ ؉ ͙3ෆ
c)
2
''
2͙3
ෆ ؊ ͙2ෆ
͙2ෆ
b) ''
͙ෆ3 ؊ ͙2ෆ
d)
5
''
8 ؊ 2͙2
ෆ
3(͙ෆ7 S ͙ෆ3)
3
3(͙ෆ7 S ͙3ෆ)
3(͙7ෆ S ͙3ෆ)
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
7
S
3
4
(
7
ϩ
3
)(
7
S
3
)
͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ
͙ෆ7 ϩ ͙3ෆ
͙ෆ2(͙ෆ3 ϩ ͙ෆ2)
͙2ෆ
͙6ෆ ϩ ͙ෆ4
b) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ͙6ෆ ϩ 2
3S2
͙ෆ3 S ͙2ෆ (͙3ෆ S ͙2ෆ)(͙3ෆ ϩ ͙2ෆ)
2(2͙ෆ3 ϩ ͙ෆ2)
2
2(2͙3ෆ ϩ ͙ෆ2)
2͙3ෆ ϩ ͙2ෆ
c) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4
и
3
S
2
5
(2͙3ෆ S ͙2ෆ)(2͙3ෆ ϩ ͙2ෆ)
2͙ෆ3 S ͙2ෆ
5(8 ϩ 2͙2ෆ)
5
5(8 ϩ 2͙2ෆ)
d) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
56
(8 S 2͙2ෆ)(8 ϩ 2͙2ෆ)
8 S 2͙2ෆ
2.94 Un mago te pide que elijas un nAsmero de dos cifras y lo eleves al cubo.
Cuando le dices el resultado,
lo escribe en la pizarra e inmediatamente escribe el nAsmero original. AsCAmo lo
hace? Copia y completa
la tabla, a ver si lo descubres.
Una pista: si el cubo es 103 823, el mago se fija en la Asltima cifra: 3, e
inmediatamente indica la raAz cAsbica, 47.
Halla por este mAtodo las siguientes raAcescAsbicas.
a)
3
824
ෆ
͙13
a) 24
b)
3
112
ෆ
ෆ
͙195
b) 58
c)
3
441
ෆ
ෆ
͙531
c) 81
El mago averigua la raAz cAsbica en dos pasos.
En el primer paso, el mago busca en la cuarta columna de la tabla la Asltima
cifra del cubo, 3, la columna vecina le proporciona la
cifra de las unidades de la raAz cAsbica: 7.
En el segundo paso, el mago localiza en la tabla el intervalo al que pertenece
el cubo, en el caso de 103 823 estAt en [64 000,
125 000), asA la columna vecina le da la cifra de las decenas de la raAz
cAsbica: 4.
De este modo, ya tenemos la raAz cAsbica: 47.
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
2.95 Crecimiento de poblaciones
Ana y Juan estAtn estudiando el crecimiento de la poblaciAn de un cultivo de
microorganismos y deben elegir, entre los siguientes modelos matemAtticos:
» El modelo A utiliza como dato el aumento de la poblaciAn en una semana, que
es del 84%.
» El modelo B utiliza el crecimiento de la poblaciAn en un dAa.
» El modelo C considera el crecimiento en una hora.
Se denomina P0 la poblaciAn inicial, y t, el tiempo en semanas, dAas uhoras,
segAsn corresponda.
a) Comprueba, dando valores, que la siguiente es la fArmula del modelo A: P a ؍P0
ؒ 1,84t.
b) Escribe las fArmulas de los modelos B y C.
c) Compara los resultados proporcionados por cada modelo para el caso P0 a ؍1000
y t a ؍2 semanas.
a) En una semana: P ϭ P0 и 1,84
En dos semanas: P ϭ P0 и 1,842 ϭ P0 и 3,3856
b) El modelo B: P ϭ P0 и 1,097t
El modelo C: P ϭ P0 и 1,0036168t
c) Los resultados son iguales:
Modelo A: P ϭ P0 и 1,84t ϭ 1000 и 1,842 ϭ 3386,6
Modelo B: P ϭ P0 и 1,097t ϭ P0 и 1,097и2 ϭ P0 и (1,097)2 ϭ P0 и 1,842 ϭ 1000 и
1,842 ϭ 3386,6
Modelo C: P ϭ P0 и 1,0036168иt ϭ P0 и 1,0036168и2 ϭ P0 и (1,0036168)2 ϭ P0 и
1,842 ϭ 1000 и 1,842 ϭ 3386,6
2.96 Acidos y bases
El pH de una disoluciAn se define como el opuesto del logaritmo decimal de la
concentraciAn de iones
hidrAgeno expresada en moles/litro: pH a ؍؊log [H؉].
Por ejemplo, si la concentraciAn de iones hidrAgeno de una disoluciAn es [H؉] a
؍4 ؒ 10؊8 mol/L:
pH a ؍؊log (4 ؒ 10؊8 ) a ؍؊log 4 ؊ log 10؊8 a ؍؊log 4 ؉ 8 a ؍7,4.
Si el pH es 7, la disoluciAn se considera neutra; si es inferior a 7,Atcida, y
si es superior, bAtsica.
Copia y completa la tabla de la ilustraciAn y ordena las disoluciones de menor
a mayor acidez.
[H؉]
DisoluciAn
pH
1,26 ؒ 10؊13
LejAa comAsn
7,94 и 10
AmonAaco
S12
10S8
Agua de mar
10
Leche
3,16 ؒ 10
Vinagre
1,26 и 10S3
4 ؒ 10
Acido clorhAdrico
11,1
8
؊7
Agua
Zumo de limAn
12,9
7
؊7
؊3
1
6,5
2,9
2,4
0
A U T O E VA L U A C I A N
2.A1 Escribe usando notaciAn cientAfica las siguientes expresiones.
a) 24,3 billones
c) 3 220 000 ؒ 107
b) 47 diezmilAsimas
d) 45,2 ؒ 10؊27
a) 2,43 и 1013
c) 3,22 и 1013
b) 4,7 и 10S3
d) 4,52 и 10S26
2.A2 Calcula las siguientes operaciones usando notaciAn cientAfica.
a) 25 000 000 ؒ 48 000 000
c) 42 000 000 ؒ 0,000 09
b) 0,000 000 12 ؒ 0,000 007
d) 3 600 000 : 0,000 004
a) 1,2 и 1015
c) 3,78 и 103
b) 8,4 и 10S13
d) 9 и 1011
2.A3 Realiza las siguientes operaciones y escribe el resultado como una Asnica
raAz.
2
''
3
''
a) 2 3 ؒ 2 2
c)
2
''
5
1
''
5
b) 30,333a ؒ 3
ᎏ2ᎏ
ᎏ3ᎏ
3
͙2ෆ ؒ ͙7ෆ
d) 3 :ᎏ2ᎏ ϩ ᎏ3ᎏ
2
a) 2 3 и 2 2 ϭ 2 3
ᎏ2ᎏ
3
ᎏ1ᎏ
6
ϭ 2 6 ϭ ͙ෆ
213
ᎏ1ᎏ ϩ ᎏ2ᎏ
5
b) 30,333a и 3 5 ϭ 3 3
1
ᎏ1ᎏ
c)
4
͙3ෆ3
3
3
''
3
6
3
55, ͙5
ෆ
͙ෆ
12
ᎏ3ᎏ
12
6
͙3ෆ
͙ෆ
͙ෆ
f)
2
͙ෆ
͙ෆ
e)
͙3ෆ
f)
25
͙ෆ
1
15
ϭ 3 15 ϭ ͙ෆ
311
ᎏᎏ
4 3
20 4
20 15
20 S11
1
d) 3 5 : ͙ෆ
3 ϭ ͙ෆ
3 : ͙ෆ
3 ϭ ͙ෆ
3 ϭᎏ
ᎏ
20
311
͙ෆ
2.A4 Ordena de menor a mayor los siguientes nAsmeros.
54,
6
23 и 72
͙2ෆ и ͙7ෆ ϭ ͙ෆ
e)
12
4
͙5ෆ ϭ ͙5ෆ4 Ͻ 5 ϭ ͙5ෆ9 Ͻ ͙5ෆ5 ϭ ͙5ෆ10
3
8
6
5
2.A5 Realiza las siguientes operaciones cuando sea posible.
4
a)
ෆ
͙4096
c)
000
ෆෆ
͙؊250
b)
12
'
I'
324
d)
000
ෆෆ
͙؊125
a)
212 ϭ 23 ϭ 8
ෆ ϭ ͙ෆ
͙4096
c) No es posible, el radicando es negativo y el Andice, par.
b)
12
1
1
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
Iᎏ
324 I
27
3
d)
3
4
3
4
3
3
3
3
S125 000
S23 и 5ෆ6 ϭ S2 и 52 ϭ S50
ෆ ϭ ͙ෆ
͙ෆ
2.A6 Realiza las operaciones indicadas.
a) 2͙32
ෆ ؉ 5͙98
ෆ ؉ 8͙200
ෆ
b)
3
1
3
3
27a4 ؊ 5a ؒ ͙8a
ෆ ؉ 'a' ͙1000a
ෆ7ෆ
͙ෆ
3
a)2͙32
25 ϩ 5͙2ෆ
и 72 ϩ 8͙2ෆ
и 52 ϭ 2 и 22͙2ෆ ϩ 5 и 7͙2ෆ ϩ 8 и 2 и 5͙2ෆ ϭ 123͙2ෆ
ෆ ϩ 5͙98
ෆ ϩ 8͙200
ෆ ϭ 2͙ෆ
b)
3
1
3
3
3
3
1
3
3
27a4 S 5a и ͙8a
1000a7 ϭ 3a͙aෆ S 10a͙aෆ ϩ ᎏᎏ 10a2͙aෆ ϭ 3a͙aෆ
ෆ ϩ ᎏaᎏ ͙ෆ
͙ෆ
a
2.A7 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log2 512
1
c) log2 ''
8
b) log 100 000 000
d) log36 6
a) log2 512 ϭ log2 29 ϭ 9
1
1
c) log2 ᎏᎏ ϭ log2 ᎏᎏ3 ϭ log2 2S3 ϭ S3
8
2
b) log 100 000 000 ϭ log 108 ϭ 8
1
d) log36 6 ϭ log36 ͙36
ෆ ϭ ᎏ2ᎏ
2.A8 Sabiendo que log 2 a ؍0,301, calcula los siguientes logaritmos.
a) log 16
b) log 40
5
c) log ''
4
a) log 16 ϭ log 24 ϭ 4 log 2 ϭ 1,204
b) log 40 ϭ log (4 и 10) ϭ log 4 ϩ log 10 ϭ 2 log 2 ϩ 1 ϭ 1,602
5
10
c) log ᎏᎏ ϭ log 5 S log 4 ϭ log ᎏᎏ S log 22 ϭ log 10 S log 2 S 2 log 2 ϭ 1 S 3
log 2 ϭ 0,097
4
2
2.A9 Un cubo tiene un volumen de 2 metros cAsbicos. Calcula su superficie,
expresando el resultado mediante
radicales.
3
3
V ϭ a3 ϭ 2 a a
ϭ ͙2ෆ a S
ϭ 6a2 ϭ 6͙ෆ
22 m2
2.A10 Una especie duplica su poblaciAn cada aAo. Si la poblaciAn inicial era de
100 individuos, AscuAtntos aAospasarAtn hasta que se supere el millAn?
Llamando t al nAsmero de aAos, hay que resolver:
4
100 и 2t Ͼ 1 000 000 a 2t Ͼ 10 000 a log 2t Ͼ log 10 000 ϭ 4 a t Ͼ ᎏᎏ Ϸ 13,28. PasarAtn
14 aAos.
log 2
E N T R E T E N I D O
La matrAcula del taxi
Cuando Ramanujan enfermA, Hardy iba a verle al hospital. Un dAa, le comentA que
habAa llegado en un taxi de
matrAcula 1729, un nAsmero que Hardy calificA de soso.
Ramanujan le contestA inmediatamente:
'Es un nAsmero muy interesante. Es el nAsmero mAts pequeAo que se puede expresar
como suma de dos cubos
de dos maneras diferentes.
Comprueba que Ramanujan tenAa razAn.
Cada nAsmero natural parecAa ser amigo personal de Ramanujan. AdemAts, debAa
saberse de memoria los cubos de unos cuantos nAsmeros.
Efectivamente:
1729 a ؍103 ؉ 93
1729 a ؍123 ؉ 13
Otros nAsmeros que cumplen esto:
(9, 15) y (2, 16)
(15, 33) y (2, 34)
(16, 33) y (9, 34)
(19, 24) y (10, 27)
Es decir:
93 ϩ 153 ϭ 23 ϩ 163 ϭ 4104
153 ϩ 333 ϭ 23 ϩ 343 ϭ 39 312
163 ϩ 333 ϭ 93 ϩ 343 ϭ 40 033
193 ϩ 243 ϭ 103 ϩ 273 ϭ 20 683
Ramanujan tenAa razAna 1729 no es un nAsmero soso.
A
