FLUJO DE FLUIDO IDEAL


Hipótesis de Prandtl
La hipótesis de Prandtl establece que para fluidos de pequeña viscosidad, los efectos de ésta son perceptibles solo en una estrecha zona, próxima a los contornos del fluido. Para flujos en los que la capa límite es muy delgada, los resultados que se obtengan suponiendo que se trata de un fluido ideal pueden aplicarse al flujo de un fluido real con suficiente aproximación. Los flujos convergentes o acelerados tienen generalmente capas límites delgadas, pero en los flujos decelerados pueden existir el fenómeno de separación de la capa límite y producción de una estela de remolinos que es difícil de estudiar analíticamente.
Un fluido ideal debe satisfacer los siguientes requisitos

1. La ecuación de continuidad,

2. El segundo principio del movimiento de Newton en todos los puntos y en todo instante.
3. No penetra el fluido dentro de cualquier contorno solido ni se forman tampoco oquedades entre el fluido y el contorno.
Si, ademas de los requisitos 1, 2 y 3, se admite la hipótesis de que el flujo es irrotacional, el movimiento fluido resultante se asemeja al movimiento de un fluido real en el caso de fluidos de pequeña viscosidad, fuera de la capa límite.
Usando las condiciones anteriores, la aplicación del segundo principio de Newton a una partícula fluida conduce a las ecuaciones de Euler, que junto con supuesto de flujo irrotacional pueden ser integradas para obtener la ecuación de Bernoulli. Las incógnitas en el caso del flujo de un fluido concontornos dados son la velocidad y la presión en cada punto. Desgraciadamente, en la mayoría de los casos es imposible llegar directamente, a partir de unas condiciones en los contornos dadas, a las ecuaciones de las distribuciones de las presiones y de las velocidades.


Capa Límite
Generalmente no siempre es posible obtener soluciones exactas en los problemas de flujos viscosos. Para flujos con números de Reynolds mas o menos altos, se acostumbra usar la técnica propuesta anteriormente por Prandtl. En ésta aproximación se considera que el flujo cerca de una frontera se puede dividir en dos regiones
a. Próximo al cuerpo los efectos viscosos son importantes y hay que considerar el término viscoso. A ésta región se le llama capa límite.
b. Fuera de la capa límite el gradiente de la velocidad es pequeño y aunque el coeficiente de viscosidad sea el mismo, el término viscoso es despreciable. Por ésta razón, ésta segunda región se puede considerar como no viscosa.
Determinar dónde termina una región y comienza la otra depende de la definición precisa que se emplee para esto. Ademas en algunos casos, debido a la geometría del flujo no existe la región no viscosa.
Las formas mas comunes de definir el espesor de la capa límite son las siguientes
i. Espesor de la capa límite
El espesor se define como la distancia de la frontera al punto donde la velocidad es 0.99 de la velocidad en la región no viscosa, llamada corriente libre. En ocasiones se usa otro porcentaje en lugar de 0.99, como por ejemplo 0.95.ii. Espesor de desplazamiento
En la figura (a) se muestra el perfil de velocidades de un flujo viscoso cercano a una frontera. La figura (b) muestra un flujo hipotético en el cual la velocidad es cero para , y para el flujo es uniforme y su velocidad es la de la corriente libre .



Si en ambos casos el déficit de gasto con respecto a la corriente libre es el mismo, la distancia es el espesor de desplazamiento. O sea, las areas sombreadas son iguales. De tal manera

De donde,

iii. Espesor de momentum
Supóngase en la figura (b), que la región de velocidad cero se extiende hasta una distancia . Si el déficit de flujo de momentum en ambos casos con respecto a la corriente libre es el mismo, la distancia es el espesor de momentum. De ésta forma

De donde,



Ecuaciones de la Capa Límite
Considérese una frontera plana o un pequeño segmento de una frontera curva, en un flujo. Por efectos viscosos existe una capa límite. En la figura la distancia entre la línea punteada y la frontera representa el espesor de la capa límite .

La capa límite comienza en , donde . O sea, es el lugar donde el flujo encuentra la frontera y los efectos viscosos empiezan a sentirse. Corriente abajo la capa limite se desarrolla y el espesor crece con .
Las ecuaciones de movimiento para un flujo bidimensional, permanente, incompresible y sin fuerzas de cuerpo son





Se considera una sección de la capa límite suficientemente alejada de . En esta sección la distancia es muy grande comparado con ,y el flujo es casi unidimensional. Por lo que: (4
La derivada es del orden de y la derivada del orden , entonces

Empleando estas aproximaciones las ecuaciones de movimiento se simplifican. Se observa que cada término de (3) excepto el de presión es mucho mas pequeño que su correspondiente a (2). Entonces estos términos en (3) son despreciables en este conjunto de ecuaciones. A esta aproximación corresponde

O sea, que la presión es casi constante a lo ancho de la capa límite. Y la presión es solo en función de x, determinada por el flujo externo no viscoso.
La ecuación de continuidad (1) indica que las desigualdades (4) y (5) son de la misma magnitud. Esto asegura que los términos de la izquierda de la ecuación (2) son del mismo orden. En el lado derecho se desprecia con respecto a . Respecto al término de presión se ignora su variación, puesto que depende del flujo externo. Las ecuaciones se reducen a


Estas ecuaciones de la capa límite se llaman también las ecuaciones de Prandtl.


Ecuación de Euler del movimiento
Suponiendo un flujo sin rozamiento y continuo, se aplica la Segunda Ley de Newton del movimiento a una partícula de fluido de masa . Intervienen tres términos, la fuerza masica, la fuerza superficial y la masa por la aceleración. Sea F la fuerza masica, tal como la gravedad, por unidad de masa que actúa sobre la partícula. Entonces es la fuerza masica total. La fuerza superficial si el fluido es no viscoso y sin rozamiento, por tanto solo actúan fuerzas normales. Eltérmino de la masa por la aceleración es . Agrupando estos términos, dividiendo por la masa del elemento y utilizando el operador queda

Esta es la ecuación de Euler del movimiento en notación vectorial. Efectuando sucesivamente el producto escalar de cada término por se obtienen las siguientes ecuaciones escalares componentes



Donde X, Y, Z son las componentes de la fuerza masica por unidad de masa. Se pueden desarrollar los términos de aceleración. En general

La componente de la aceleración es la variación de por unidad de tiempo, o sea . Como la partícula se mueve x-,y-,z-, son funciones del tiempo, y dividiendo por la ecuación por se obtiene

Pero

Y

Analogamente


Si la fuerza externa es conservativa, se puede deducir un potencial :

En particular, si la única fuerza masica que actúa es la gravedad, , con medida verticalmente hacia arriba; por tanto,

Teniendo en cuenta que es constante para un fluido ideal, al sustituir las ecuaciones (3) a (7) en las ecuaciones (2)



Los tres primero términos del segundo miembro de las ecuaciones son términos de aceleración convectiva, que depende de los cambios de velocidad con el espacio. El último término es la aceleración local que depende del cambio de la velocidad con el tiempo en un punto.

Coordenadas naturales en el flujo bidimensional.
Las ecuaciones de Euler en dos dimensiones se obtienen a partir de las ecuaciones generales de las componentes haciendo y ; por tanto,


Tomando los ejes x- e y- enciertas direcciones particulares, las ecuaciones de Euler pueden reducirse a una forma que facilita su comprensión. Si el eje de las x- llamado eje de las s- se toma en la dirección paralela al vector velocidad en cualquier punto (figura c) resulta tangente a la línea de corriente en el punto que se considere. El eje de las y- llamado eje de las n- se toma en la normal a la línea de corriente hacia el centro de la curvatura. La componente de la velocidad es y la componente es . Como es nula, la ecuación (11) se convierte en

Aunque es nula en el punto (,), sus variaciones unitarias con respecto a y no son necesariamente cero. La ecuación (12) se convierte en

Considerando la velocidad en y de una misma línea de corriente, varía desde cero hasta . Si es el radio de curvatura de la línea de corriente en , por la semejanza de triangulos (figura c)

O sea

Sustituyendo en la ecuación (14)



Figura (c). Notación para coordenadas naturales.
Para un flujo permanente de un fluido incompresible las ecuaciones (13) y (15) pueden escribirse



La ecuación (16) puede integrarse con respecto a dando a lugar a la ecuación de Bernoulli con una constante de integración que varía con ; es decir, de una línea de corriente a otra. La ecuación (17) demuestra que la altura de presión varía a través de las líneas de corriente. Cuando y son funciones conocidas de , la ecuación (17) puede integrarse.


Flujo irrotacional.
Las partículas de un fluido incompresible y sin rozamiento que estaninicialmente en reposo no pueden ponerse a girar. Esto puede demostrarse considerando un pequeño cuerpo libre de fluido de forma esférica. Las fuerzas superficiales deben actuar normalmente a ésta superficie por estar desprovisto el fluido de rozamiento y, por lo tanto, sus vectores pasan por el centro de la esfera. De manera semejante el peso pasa por el centro de la esfera. Por consiguiente, no ejerce par alguno sobre la esfera y ésta debe permanecer sin rotación. Analogamente, si un fluido ideal tiene rotación no hay manera de alterarla porque no se puede ejercer un par sobre una esfera elemental de fluido.
Suponiendo que el fluido no tenga rotación, es decir sea irrotacional,

Estas limitaciones en la velocidad se deben cumplir en todo punto. La primera ecuación es la condición de irrotacionalidad para el flujo bidimensional. Es la condición de que la expresión diferencial sea exacta, o sea

El signo menos es arbitrario; es un convenio que da a lugar a que el valor de disminuya en la dirección de la velocidad. Comparando los términos con la ecuación (2.2) . Esto prueba la existencia, en flujo bidimensional, de una función tal que su derivada negativa respecto a una dirección cualquiera es la componente de la velocidad en esa dirección.


Integración de las ecuaciones de Euler. Ecuación de Bernoulli
La ecuación (2.8) se puede reagrupar de manera que cada término contenga una derivada parcial respecto a . De la ecuación (3.1

Y

Haciendo estas sustituciones en la ecuación (2.8) yreagrupando términos,

La ecuación (4.1) establece que la cantidad dentro del paréntesis no es función de , ya que su derivada respecto a es cero. Por tanto, puede ser solo función de , por ejemplo :

En flujo permanente y se convierte en una constante :

La energía útil es constante a través de todo el fluido. Esta es la ecuación de Bernoulli para un fluido irrotacional.
El término relativo a la presión puede descomponerse en dos partes, la presión hidrostatica y la presión dinamica de forma que . Introduciéndolas en (4.3

Los dos primeros términos pueden escribirse

Midiéndose verticalmente hacia arriba. La expresión es una constante ya que expresa la ley hidrostatica de variación de la presión. Estos dos términos pueden incluirse en la constante . Suprimiendo el subíndice de la presión dinamica resulta

Esta simple ecuación permite determinar la variación de presión si se conoce la velocidad, o viceversa. Suponiendo que la velocidad y la presión dinamica se conoce en un punto

O sea

Aunque esta ecuación se ha deducido para flujo bidimensional, sirve también para flujo tridimensional.




La red de corriente
En flujo bidimensional la red de corriente es de gran utilidad. La línea definida por la ecuación se llama línea equipotencial. Es una línea a lo largo de la cual el valor de , potencial de velocidad, no varía. Como la velocidad en cualquier dirección esta dada por

Y es cero para dos puntos cercanos de una misma línea equipotencial, el vector velocidad notiene componentes en la dirección de la línea que pasa por los dos puntos. En el límite, cuando , esto prueba que no existe componente de la velocidad en dirección de la tangente a una línea equipotencial y que, por tanto, el vector velocidad debe ser en todos los puntos normal a una línea equipotencial, excepto los puntos singulares, donde la velocidad es cero o infinita.
La línea es una línea de corriente y es en todos sus puntos tangente al vector velocidad. Las líneas de corriente y las líneas equipotenciales son ortogonales, es decir, se cortan en angulos rectos excepto en los puntos singulares. Una red de corriente se compone de una familia de líneas equipotenciales, y una familia correspondiente de líneas de corriente con las constantes variando en progresión aritmética. Es habitual hacer que el incremento de la constante entre líneas equipotenciales adyacentes y líneas de corriente adyacentes sea el mismo, por ejemplo . Si en la figura (d) la distancia entre líneas de corriente es y la distancia entre líneas equipotenciales es , es una pequeña región de la red de corriente, la velocidad aproximada viene dada entonces en función de la distancia de las líneas equipotenciales

O en función de la distancia de las líneas de corriente



Figura (d). Elementos de una red de corriente
Estas expresiones son aproximadas cuando es finito, pero cuando se hace muy pequeño, las expresiones se hacen exactas y dan la velocidad en un punto. Como las dos velocidades obtenidas tienen que ser la misma,las ecuaciones demuestran que o que la red de corriente consiste en un reticulado ortogonal que, cuando el tamaño de la retícula tiende a cero, tiende a un cuadrado perfecto.
Una vez que por cualquier medio se ha encontrado la red de corriente, de tal manera que satisfaga las condiciones en los contornos t que sea una red ortogonal, es decir, que se reduzca a cuadrados perfectos en el límite cuando el número de líneas aumenta, se demuestra en hidrodinamica el teorema de la unicidad que expresa que la red de corriente es la única solución para unos contornos dados. En flujo permanente, cuando los contornos estén quietos, ellos mismos forman parte de la red de corriente, puesto que son líneas de corriente. El problema de encontrar la red de corriente que satisfaga a unos contornos fijos dados, puede considerarse como un ejercicio grafico, es decir, la construcción de un sistema ortogonal de líneas que incluya los contornos y que se reduzca a cuadrados perfectos cuando el número de líneas aumente. Este es uno de los métodos practicos empleados en el analisis del flujo bidimensional que usualmente requiere muchos ensayos y enmiendas.
Otro método practico de obtener una red de corriente para contornos fijos y dados es el de la analogía eléctrica. Los contornos de un modelo se hacen de bandas de material aislante montadas sobre una superficie aislante plana y las líneas equipotenciales extremas se hacen de bandas conductoras, por ejemplo, de latón o de cobre. Un electrolito se sitúa a profundidad uniforme enla región en que quiere determinarse la red y se aplica un potencial eléctrico a las dos bandas conductoras extremas. Usando un explorador constituido por una punta y un voltímetro se van situando las líneas de caída de potencial constante a partir de un extremo. Estas son las líneas equipotenciales. Si se repite el proceso haciendo los contornos del flujo de material conductor y las líneas equipotenciales extremas de material aislante se van situando las líneas de corriente.
Un papel especial conductor, llamado papel Teledeltos, se puede utilizar en lugar de un depósito y un electrolito. Se utiliza tinta plateada para formar una faja o línea conductora que tiene un voltaje constante. Se corta el papel al tamaño y las formas necesarias, se sitúan las líneas de voltaje constante en el papel con una línea gruesa de tinta plateada, después se marcan directamente sobre el papel los puntos intermedios de voltaje constante, usando los mismos circuitos que con un electrolito.
Después que se ha obtenido la red de corriente para unos contornos dados puede usarse para cualquier flujo irrotacional con contornos semejantes geométricamente. Entonces se puede determinar usando la red de corriente, la velocidad en cualquier otro punto. La aplicación de la ecuación de Bernoulli, nos da la presión dinamica. Si se conoce la velocidad en A, midiendo o entre líneas adyacentes, puede determinarse la constante para toda la red, por ultimo, midiendo o en cualquier otro punto se puede calcular la velocidad en ese punto,ya que



Casos de flujo bidimensional
En primer lugar se examinan dos casos sencillos de flujo que se pueden considerar como flujo a lo largo de contornos rectos, después se estudian la fuente, el vórtice, el flujo uniforme y el flujo alrededor de un cilindro.

Flujo alrededor de una esquina
La función potencial

Tiene su función de corriente

Siendo y coordenadas polares. En la figura (e) esta representado para variaciones incrementales iguales de y . En el origen no se definen condiciones, como punto de estancamiento. Como cualquiera de las líneas de corriente se pueden considerar como contorno fijo, los ejes positivos se pueden considerar como paredes que conducen el flujo a unas esquina de 90º. Las líneas equipotenciales son hipérbolas cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados y cuyas asíntotas son . Las líneas de corriente son hipérbolas equilateras, de ejes y asíntotas los ejes coordenados. De la forma polar de la función de corriente se observa que las dos líneas y son las líneas de corriente .

(e) Red de corriente para un flujo alrededor de una esquina de 90º
En este caso se puede generalizar para obtener el flujo alrededor de una esquina de angulo x. Examinando

Se nota que la línea de corriente viene dada mediante y . En la figura (f) se muestran dos redes de corriente para los casos y .

(f) Red de corriente para el flujo a lo largo de dos superficies inclinadas.

Fuente
Una línea normal al plano xy, desde la cual se imagina que el fluido fluyeuniformemente en todas las direcciones que forman el angulo recto con ella es una fuente. Aparece como un punto en los diagramas de flujo bidimensional habituales. El caudal por unidad de longitud de línea se llama intensidad de la fuente y se designa por . Como las líneas de corriente son radiales desde la fuente, la velocidad a una distancia r de la fuente se determina dividiendo la intensidad por el area del cilindro, o sea . Por consiguiente, la velocidad en cualquier dirección esta dada por la derivada negativa en esa dirección del potencial de velocidad

Y

Es el potencial de velocidad, indicando ln el logaritmo natural y r la distancia desde la fuente. Este valor de satisface la ecuación de Laplace para dos dimensiones.
Las líneas de corriente son las líneas radiales desde la fuente, es decir

De la segunda ecuación

Las líneas de constante y de constante se representan en la figura (g). Un sumidero es una fuente negativa, es decir, una línea hacia la cual fluye un fluido.

(g) Red de corriente para un vórtice.

Vórtice
Si se examina la red de corriente que resulta tomando la función de corriente de la fuente como potencial de velocidad

Que también satisface a la ecuación de Laplace, se ve que las líneas equipotenciales son líneas radiales, y las líneas de corriente son circunferencias. La velocidad solo tiene componente tangencial puesto que . Esta es

Ya que es el elemento de longitud en la dirección tangencial.
Refiriéndonos a la figura (h), el flujo a lo largo de unacurva cerrada se llama circulación. Se define el flujo a lo largo de un elemento de curva como el producto del elemento longitudinal de la curva por la componente de la velocidad tangencial a la curva . Por consiguiente, la circulación alrededor de una curva cerrada C es


(h) Notación para la definición de circulación.

Se define el vórtice como el caso de flujo irrotacional que tiene como potencial de velocidad , con lo que la circulación a lo largo de una curva cerrada que contiene al origen es constante e igual a la intensidad del vórtice . Eligiendo una circunferencia de radio r para determinar la circulación , y ; por consiguiente,

En el punto , se hace infinito; por tanto, éste es un punto singular. En la figura (g) se presentan las líneas equipotenciales y las de corriente de un vórtice.
Doblete
El doblete bidimensional se define como el caso límite de una fuente y un sumidero de igual intensidad que se aproxima el uno al otro de tal forma que el producto de su intensidad por la distancia entre ellos permanece con el valor constante , al que se llama intensidad del doblete. El eje del doblete es la línea recta que va desde el sumidero hacia la fuente, es decir, la línea que va a lo largo de la cual se aproximan el uno al otro.
En la figura (i) una fuente esta situada en y un sumidero de igual intensidad en . El potencial de velocidad para ambos en un punto es

Con , medidos desde la fuente y el sumidero respectivamente hasta el punto , siendo la intensidad de la fuente y ladel sumidero. Para calcular el límite cuando tiende a cero, pero de tal forma que , la forma de la expresión de debe alterarse. Los términos y pueden expresarse en función de las coordenadas polares , por la ley del coseno, de la manera siguiente:


Haciendo intervenir estas expresiones en el valor de se obtiene

Desarrollando y simplificando

Siendo y tomando el límite para tendiendo a cero,

Que es el potencial de velocidad para un doblete bidimensional situado en el origen con su eje en la dirección .
Utilizando las relaciones

Para el doblete

Integrando resulta

Que es la función de corriente del doblete. Las coordenadas cartesianas son

Las líneas de constante son circunferencias que pasan por el origen con centros en el eje de las , y las líneas de corriente son circunferencias que también pasan por el origen con centros en el eje de las , como estan representadas en la figura (j). El origen es un punto singular donde la velocidad tiende a infinito.

(j) Líneas equipotenciales y líneas de corriente para el doblete bidimensional

Flujo uniforme
La red de corriente de un flujo uniforme en la dirección de , esta expresada por

En coordenadas polares,


BIBLIOGRAFIA
Mecanica de los Fluidos – Victor Streeter
Mecanica de los Fluidos – D. Alfonso Samano, Mihir Sen, Sara L. Moya


INTRODUCCION


Para el estudio de la dinamica de losfluidos se deben tener conocimientos previos de diferenciación e integración. El analisis dinamico de los fluidos se hace en base a diversos casos y condiciones, los cuales a su vez tienen distintas condiciones iniciales. Gracias a esto, se pueden simplificar o sustituir variables, en este caso tratandose de un flujo de fluido ideal.
Un fluido ideal es un fluido ficticio, creado para aproximar condiciones que se acercan a la realidad y a su vez facilitar el trabajo al momento del analisis de casos reales. Un fluido ideal carece de viscosidad, es decir , por ende no genera fricción. Se trata de un fluido incompresible con variación de densidad nula

CONCLUSION


La hipótesis de un flujo ideal es de gran utilidad al analizar problemas que tengan grandes gastos de fluido, como en el movimiento de un aeroplano o de un submarino. Un fluido que no presente fricción resulta no viscoso y los procesos en que se tenga en cuenta su escurrimiento son reversibles. En conclusión es un fluido practicamente perfecto. Este analisis es ahora posible gracias al trabajo de los científicos Prandtl, Euler y Bernoulli, y a sus teorías y suposiciones.