El concepto de atomo existe desde la Antigua
Grecia propuesto por los filósofos griegos Demócrito, Leucipo y
Epicuro, como una necesidad filosófica que explicara la realidad, ya
que, como proponían estos pensadores, la materia no podía
dividirse indefinidamente, por lo que debía existir una unidad o bloque
indivisible e indestructible que al combinarse de diferentes formas creara
todos los cuerpos macroscópicos que nos rodean.
Dalton: Fue el primer modelo atómico con bases científicas, fue
formulado en 1808quien imaginaba a los atomos como diminutas esferas
Este primer modelo atómico postulaba:
* La materia esta formada por partículas muy pequeñas
llamadas atomos, que son indivisibles y no se pueden destruir.
* Los atomos de un mismo elemento son iguales
entre sí, tienen su propio peso y cualidades propias. Los
atomos de los diferentes elementos tienen pesos diferentes.
* Los atomos permanecen sin división, aun cuando se combinen en
las reacciones químicas.
* Los atomos, al combinarse para formar compuestos guardan relaciones
simples.
* Los atomos de elementos diferentes se pueden combinar en proporciones
distintas y formar mas de un compuesto.
* Los compuestos químicos se forman al unirse atomos de dos o
mas elementos distintos.
Joseph John Thomson: se determinó que lamateria se componía de
dos partes, una negativa y una positiva. La parte negativa estaba constituida
por electrones, los cuales se encontraban según este
modelo inmerso en una masa de carga positiva a manera de pasas en un pastel
Ernest Rutherford: a partir de los resultados obtenidos en lo que hoy se conoce
como el experimento de Rutherford
en 1911. Postula que la parte positiva se concentra en un núcleo, el
cual también contiene virtualmente toda la masa del atomo,
mientras que los electrones se ubican en una corteza orbitando al núcleo
en órbitas circulares o elípticas con un espacio vacío
entre ellos
Niels Bohr: trata de incorporar los fenómenos de absorción y
emisión de los gases, así como la nueva teoría de la
cuantización de la energía desarrollada por Max Planck y el
fenómeno del efecto fotoeléctrico observado por Albert Einstein.
Schrödinger: En el modelo de Schrödinger se abandona la
concepción de los electrones como
esferas diminutas con carga que giran en torno al núcleo, que es una
extrapolación de la experiencia a nivel macroscópico hacia las
diminutas dimensiones del
atomo.
Observación Modelos Matemáticos
Fenómeno físico
No Satisfacen el problema real
Solución con condiciones observables
Si
Solución
Fig. 1.- Diagrama que ilustra el empleo de las Ecuaciones Diferenciales en la
física
3
Ecuaciones diferenciales.Llamamos ecuación diferencial (E. D.) a una ecuación
que relaciona a una función, a su variable o variables independientes, y a sus
derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable
independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria
(E.D.O.); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables
independientes se llama ecuación en derivadas parciales (E.D.P.).
Clasificación y orden de una E.D. ï‚· Orden de las E.D.
El orden de una E.D.O. esta dado por el orden de la derivada de más alto valor,
la manera más general de representarla es: , , ′ , … , =0 1
Lo cual nos describe una E.D.O. de orden n. la ecuación (1) representa una
relación entre la variable independiente x y los valores de la función u y sus
n primeras derivadas, si convenientemente decimos que = pudiendo rescribir (1)
como , , ′, … , = 0 Un ejemplo entonces de una ecuación diferencial de
orden 3 será ′′′ + 2 ′′ + ′ = 4 Una
ecuación diferencial parcial para una función , , … con derivadas parciales , ,
, , , … es una relación de la forma , , , , , , , … = 0 3 2
Donde F es una función de las variables , , … , , , , , , , … en donde
solamente ocurrirán un número finito de derivadas. Una función , , … es
solución de (3), si en algún espacio de sus variables independientes, la
función y sus derivadas satisfacen la ecuación idénticamente en , , …
4
Como en las E.D.O. una E.D.P. es de orden n, si las derivadas de mayor orden
queocurren en F son de orden n. las ecuaciones diferenciales parciales se
clasifican también según el tipo de función F considerada. En particular
tenemos la E.D.P. lineal si F es lineal en la función incógnita y sus
derivadas, y la ecuación diferencial parcial casi-lineal que es más general, si
F es lineal en al menos una de las derivadas de más alto orden.
ï‚· Clasificación.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se clasifican según su tipo de orden y
linealidad. Se llama solución (o integral) de la E.D.O. a cualquier función =
() que introducida en la ecuación diferencial la transforma en igualdad. Tipos de
soluciones: ï‚· ï‚· Explicitas: la variable dependiente de y se expresa tan
solo en términos de la variable independiente x y constantes. Implícitas: se
trata de una relación , = 0 en la que no se puede despejar y mediante funciones
elementales. Son soluciones todas las () que cumplen , = 0.
Una E.D.O puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a
las posibles elecciones de valores para los parámetros. Para las E.D.P. la
clasificación es un poco distinta, para sistemas de E.D.P. de segundo orden con
dos variables por ejemplo la ecuación diferencial puede ser expresada como: Sea
(, ) con x e y variables independientes se llama ecuación con derivadas
parciales de segundo orden si , , , , , , = 0 Donde: =
4
2 2
, =
, =
2
, = 2
2
= =
. De manera similar se
sigue para mas variables independientes. Anteriormente dijimos que una ecuación
se llama lineal conrespecto a las derivadas de orden mayor si 2 2 2 + 2 + 2 + ,
, , = 0 2 (5)
donde los coeficientes a,b,c son funciones de las variables independientes que
admiten desarrollos en series de Taylor
y no se anulan simultáneamente.
5
Si los coeficientes a,b,c dependen no solo de x e y, sino que son al igual que
f funciones de , , , , entonces tal ecuación se denomina cuasi lineal. La
ecuación se llama lineal, si es lineal tanto respecto a las derivadas de orden
mayor, como a la función u y a sus primeras derivadas; es decir: 2 2 2 + 2 + 2
+ + + + = 0 2 6
donde , , , , , , son funciones solo de x e y. Si los coeficientes de la
ecuación 6 no dependen de e , esta es una ecuación lineal con coeficientes
constantes. La ecuación se llama homogénea, si , = 0. Como la ecuación (6) es
de segundo orden, siempre es posible reducir los coeficientes de las derivadas
de segundo orden a constantes muy simples mediante un cambio de coordenadas
definidas por un sistema de ecuaciones de la forma = , = , , ≠0 (, ) 7
Tal que (6) en las nuevas coordenadas es equivalente a una de los siguientes
tipos de ecuaciones
Dirac: El modelo de Dirac permite incorporar de manera mas natural el
espín del
electrón. Predice niveles energéticos similares al modelo de
Schrödinger proporcionando las correcciones relativistas adecuadas.
