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Ecuaciones diferenciales de primer orden



Ecuaciones diferenciales de primer orden

Exactas
Homogeneas
Lineales
Variables separables

Una ecuación lineal de primer orden es aquella que puede expresarse de la siguiente forma:
Este método se basa en el concepto del diferencial total de una función
Ecuación homogénea
Si el segundo miembro de una ecuación

Ecuación separable
Si el segundo miembro de una ecuación expresada de la forma

a1xdydx+aoxy=b(x)

dydx=f(x,y)
dydx=f(x,y)
La ecuación diferencial de primer orden

Donde a (x) 1 , a (x) 0 y b(x) depende solamente de la variable independiente x, y no de la variable dependiente y
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
v = x + y v = xy
v=xy v=yx

Para realizar la correspondiente sustitución se debe establecer claramente su equivalencia
dydx=G(v)
Se puede expresar como función de una nueva variable v


dydx=gxp(y)
Multiplicada por una función que depende solamente de y
Se puede expresar como una función que depende solo de x
dydx=f(x,y)
Puede expresarse en la forma diferencial∂F∂xx,y=M(x,y) ∂F∂Yx,y=N(x,y)
Es exacta, si existe una función F(x, y) tal que
Paso 1. Verifique que la ecuación se encuentre en su forma canónica, es decir,
dydx P(x) y Q(x)

Paso 2. Calcúlese el llamado factor integrante μ (x) por medio de la fórmula
u(x)=e∫P(x)dx

Paso 3. Multiplique la ecuación en la forma canónica por μ(x), y recordando que el primer miembro es precisamente duxydx,
Obténgase uxdydx+Pxy=uxQ(x) →
duxydx=uxQ(x)
Paso 4Finalmente intégrese la última ecuación de ambos lados despeje la variable dependiente y. De esta manera nos queda la solución:
y=μxQxdx+cμ(x)


Es exacta si y solo si proviene de aplicar el diferencial total a una función F(x, y)
M(x, y)dx + N(x, y)dy
De otra manera





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