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Estadistica - Introducción a la diferencia Estadística, Tipos de muestreo, La estimación de parámetros, La diferencia de medios



Temario Estadística II
1. Introducción a la diferencia Estadística
2.
Objetivos del censo y muestreo
3.
Tipos de muestreo
4.
Concepto de la distribución de muestras
5.
Teorema central del limite
6. La estimación de parámetros
7. La estimación puntual y la estimación X intervalo
8. La estimación de µ
9. La estimación de Æ 
10. La estimación de diferencia de medias
11. La estimación de la diferencia de proporciones
12. La diferencia de medios
13. Nivel de significancia de α
14.
Prueba de hipótesis
15.
Hipótesis nula y alterna
16.
Tipos de error
17.
Una sola muestra para μ


18. Una sola muestra para Æ 
19.
Dos muestras independientes para probar diferencia de medias y diferentes de proporciones
20. Dos muestras correlacionadas
21.
Regresión y correlación lineal simple
22.
Supuestos fundamentales
23.
Recte de mínimos cuadrados
24.
Evaluación de la ecuación de regresión
25.
Modelo de correlación
26.
Estadística para métrica
27.
Distribución Z
28. Distribución de á´Œ
29.
Distribución de f
30.
Elementos básicos de estadística para métrica

Estadística: Es el arte y ciencia de reunir, analizar,presentar e interpretar datos.

Inferencia Estadística: Proceso de reunir datos obtenidos de una muestra para hacer estimaciones o probar hipótesis acerca de las características de una población.

σ2=ΣΧi2-N(μ)2N | Varianza Poblacional |
S2=ΣΧi2-n()2n-1 | Varianza Muestral |

Muestreo Probabilistico
* Muestreo Aleatorio Simple
* Muestreo Sistematico
* Muestreo Estratificado
* Muestreo por congromerados

Muestreo No Probabilistico
* Muestreo por cuotas
* Muestreo Bola de Nieve

Población: Es el conjunto de todos los elementos de interés en determinado estudio.

Muestra Aleatoria Simple (para población finita): Una muestra aleatoria simple de tamaño n, de una población finita de tamaño N, es una muestra seleccionada de tal manera que cada muestra posible de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser seleccionada.



Muestra Aleatoria Simple (población infinita): Es aquella que se selecciona en tal forma que satisfacen las siguientes condiciones

1. Cada elemento seleccionado proviene de la misma población
2. Cada elemento se selecciona de forma independiente

Ejemplos de Medias y Desviaciones estándar para las Edades
19, 20, 20, 21, 19
S=.8366 y = 19.8
22, 20, 21, 20, 20
S=.8366 y = 20.6
21, 24, 20,20, 19
S=1.9235 y = 20.8

20, 19, 21, 19, 20
S=.8366
= 19.8

19, 21, 19, 22, 20
S=1.3038 y = 20.2
Distribución muestral de la media: Es la distribución de probabilidad de todos los valores posibles de la media de la muestra.

Valor esperado de la media: E()= al valor esperado de la variable .
Donde: E()=μ
Μ= La media de la población

Desviación estándar de |
σ=(N-n1 | Población FinitasinN >.05 |
σ=σn | Población Infinitasi nN ≤ .05 |

Teorema Central del Límite

Al seleccionar muestras aleatorias simples del tamaño n de una población, la distribución muestral de la µ de la muestra de X se puede aproximar con una distribución normal de probabilidades, cuando el tamaño de la muestra es grande.

z=+µσ z=-µσn

Ejercicio: Una población tiene una media de 200 y una desviación estándar de 50. Supongamos que se selecciona una muestra aleatoria simple del tamaño 100 y que se utiliza para estimar µ.
a) Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra quede dentro de ±5 de la media de población
b) Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra quede dentro de ± 10 de la media de población

z=-µσn
z=195-20050100]= -1
z=205-20050100]= 1
.3413+.3413=.6826

z=190-20050100]= -2z=210-20050100]= 2

.4772+.4772=9544

Ejercicio: Suponga que la desviación estándar de la población es igual a 25. Calcule el error estándar de la media para tamaño de muestra para 50, 100, y 200: sQué se puede decir acerca del tamaño del error de la media cuando aumenta el tamaño se la muestra?

σ=σn =25/√150=2.04

σ=σn = 25/√50= 3.53

σ=σn = 25/√100= 2.5

σ=σn =25/√200=1.76

Ejercicio: Una muestra aleatoria simple de tamaño 50 se selecciona de una población xon una desviación estándar 10: Calcule el valor del error estándar de la media en cada uno de los siguientes casos:
a) El tamaño de población es infinito
b) El tamaño de población es de 50 mil
c) El tamaño de población es 5 mil
d) El tamaño de población es 500

A) σ=1050=1.4142
B) n/N= 50/50000= .001< .05
C) n/N= 50/5000=.01<.05
D) n/N= 50/500= .1˃.05

Ejercicio. La media del sueldo anual de graduados en administración durante 1996 – 1997 fue de $30393 dólares, suponga que µ= 30393 dólares para la población de graduados de administración y la σ= 2000 dólares.
A) Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de graduados en administración, tenga una media ± 250 dolares de la media de la población. Si el tamaño dela muestra es: 30, 50, 100, 200 y 400
B) Qué ventaja se tiene con una muestra mayor al tratar de estimar una media de población

± 250 z=-µσn n=30 μ=30393 σ=2000

Z=30143-30393/2000/√50= -.8838
Z=30643-30393/2000/√50= .8838
.3106+.3106= .6212
Z=30143-30393/2000/√100= -1.25
Z=30643-30393/2000/√100= -1.25
.3944+.3944= .7888
Z=30143-30393/2000/√30= -0.6846
Z=30643-30393/2000/√30= 0.6846
.2517+.2517= .5034

Ejercicio: Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor de automóvil, se sabe que el diámetro del anillo está distribuido aproximadamente de manera normal y que tiene una desviación estándar de σ=0.001 ml. Una muestra aleatoria de 15 anillos tiene una distribución promedio de 74.036 ml.
a) Construye a un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio del anillo.
b) Construye a un intervalo de confianza del 95% para el diámetro promedio del anillo.

E=Zx2(σn)
Zx2=0.992=0.495=2.57+2.58÷2=2.575

0.00175=0.00115=0.0013.8729=0.000258

2.5750.000258=0.00066485

74.036[74.035335, 74036664]



0.952=475=1.960.000258=0.00050568

74.036 [74.035494, 74.03650]

Tamaño de la muestra para un estimado intervalo para una media de población para media de población

E=Zx2(σn)
nE=ZX/2n=Zx/2σE
n=(Zx2σE)2
n=(Zx2)2σ2E2

Determinar σ = dato mayor – dato menor / 4
Para proporción de la población
E=Zx/2p (1-p)n
E=Zx/2p(1-p)n
nE=Zx/2p(1-p)
n=Zx/2p(1-p)E
n=Zx22p(1-p)E2

Máxima varianza
P = (0.5)
1 – P = (0.5)
(0.5)(0.5)=0.25

Ejercicio: Se estima que el rango de un conjunto de datos es 36,
a) De que el tamaño es la muestra que se debe tomar para tener el 95% de confianza de que el error muestral sea de 3 o menos.
b) De que tamaño debe ser la muestra para tener el 95% de confianza de que el error muestral sea de 2 o menos.

a) 952=0.45=1.96
σ=364=9
E = 3
n=(1.96)2(9)2(3)2=(3.8416)(81)9=311.1696934.5744 35

b) n=(1.96)2(9)2(2)2=311.16964=77.7924
78

Ejercicio: Se cree que los sueldos anuales iniciales de egresados anuales iniciales de egresados de licenciado en administración de empresas, pueden tener una desviación estándar aproximadamente de 2000 dólares, suponga que se desea un estimado de intervalo de 95% de nivel de confianza para la media del sueldo anual inicial.
sDe qué tamaño debe tomarse la muestra, si el margen de error es: 500, 200, 100?

a) n=(1.96)2(2000)2(500)2=(3.8416)(4,000,000)250,000=15,366,400250,000=61.4656
62
b) n=(1.96)2(2000)2(200)2=15,366,40040,000=384.16
385
c)n=1.962(2000)2(100)2=15,366,40010,000=1536.64
1537

El instituto de turismo de Veracruz va a muestrear visitantes en las principales playas del estado para estimar la proporción de quienes no son residentes de Veracruz.
a) sDe qué tamaño, se debe tomar la muestra para estimar la proporción de visitantes de otros lugares, con precisión de 3% respecto al valor real? Use un nivel de significancia del 92%
b) sDe qué tamaño debe ser la muestra para que el error aumente al 6%?

a) Confiabilidad 92% = 1.75
E = 3%
P = 0.5
1 –P = 0.5

n=1.752(0.5)(0.5)(0.3)2=(3.0625)(0.25)0.0009=0.76560.009=850.6944
851

b) n=1.752(0.5)(0.5)(0.06)2=0.76560.0036=212.6666
213

Ejercicio: Una encuesta entre mujeres ejecutivas indico que el 33% de las encuestadas evaluaba a su propia empresa como un lugar excelente para el trabajo de las mujeres ejecutivas sCuántas mujeres ejecutivas se deben muestrear para tener cada una de los márgenes de error de la siguiente lista?

a) 10%
b) 5%
c) 2%
d) 1%
e) En general sQué sucede con el tamaño de la muestra al disminuir el margen de error?
Considere un 97% de confiabilidad.
n=(Zx2)2P (1-P)E2
Confiabilidad = 97% = 2.17
P = 0.33
1 – P = 0.67
E = 10%, 5%, 2%, 1%

a)n=2.172(0.33)(0.67)(0.10)2=(4.7089)(0.2211)(0.01)=1.04110.01=141.1
142
b) n=(4.7089)(0.2211)(0.05)2=1.04110.0025=564.4
565
c) n=(4.7089)(0.2211)(0.02)2=1.04110.0004=2602.75
2603
d) n=(4.7089)(0.2211)(0.01)2=1.04110.0001=10411
e) Incrementa

Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias (varianzas conocidas)
 1 -2±Zx/2=σ12n1+σ22n2

Ejercicio: Resultados de la prueba de resistencia a la tensión para largueros de aluminio.
Clase del larguero | Tamaño de la muestra | Media muestral de la resistencia a la tensión kg/mm2 | Desviación estándar |
1 | n1=10 | 1=87.6 | σ1=1.0 |
2 | n2=12 | 2=74.5 | σ2=1.5 |

Encontrar el intervalo de confianza a un 90% para la diferencia de las medias de población.
87.6 – 74.5 ± 1.645 1210+1.5212=13.1 ±
[12.2179, 13.9803]

Ejercicio: Se prueban 2 formulas diferentes de un combustible oxigenado para motor en cuanto al octanaje. La varianza del octanaje para la fórmula 1, es de 1.5, mientras que para la fórmula 2 es de 1.2.
Se prueban 2 muestras aleatorias de tamaño n1=15, n2=20 los 2 octanajes promedio observados son: 1 = 89.6 2 = 92.5
Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en el octanaje promedio.
 1 -2±Zx/2=σ12n1+σ22n2
89.6-92.5 ±1.96 =1.515+1.220=
-2.9 ±1.96 0.1+0.06= -2.9±1.960.4= -2.9 ±0.784= [-3.684, -2.116]

Intervalo de confianza para la diferencia de los medias (varianzas desconocidas)
 1 -2±t(n1+n2-gl) Sp1n1+1n2
Sp2= n1-1S12+(n2-1)S22n1+ n2-2

Ejercicio: Un artículo publicado en una revista de materiales dio como resultados de un análisis de peso de calcio el cemento estándar y un cemento contaminado con plomo. Los muebles bajos de calcio, indican que el mecanismo de hidratación del cemento, queda bloqueado u esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura del cemento. Al tomar 10 muestras del cemento estándar se encontró que el peso promedio del calcio fue de 90, con una desviación estándar muestral de 0.5, los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de de 87 y la desviación estándar muestral de 4.
Suponga que el porcentaje de peso de calcio, está distribuido de manera normal, encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre medias de la población de 2 tipos de cemento.
 1 -2±t(n1+n2-gl)=1n1+1n2
n1=10 | n2=15 |
1=90 | 2=87 |
S1=5 | S2=4 |

Sp2= n1-1S12+(n2-1)S22n1+ n2-2
Sp2= 10-1(5)2+(15-1)(4)210+15-2
Sp2= 925+(14)(16)23= 225+22423=44923=19.5317
=90-87±2.069(19.5217)110+115
=3±2.06919.52170.1+0.06666=
=3±(3.7319)=
(.7319,6.7319)

Estimado de intervalo para la diferencia entre 2 proporciones poblacionales (caso muestra grande)
n1p1, n11-p1, n2p2, n21-p2≥5
1-2±Zx2 S1-2
S1-2=1(1-1)n1+2(1-2)n2
Ejercicio: Supongamos que las muestras aleatorias simples e independientes de los cálculos de las declaraciones de impuestos en las 2 oficinas dieron los siguientes resultados:
OFICINA 1 | OFICINA 2 |
n1=250 | n2=300 |
Cantidad de declaraciones con errores = 35 | Cantidad de declaraciones con errores |

Calcule el intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las proporciones de declaraciones con errores, para las 2 poblaciones.
1=35250=0.14
2=27300=0.09
S12 0.14)(0.86)250+(0.09)(0.91)300=0.00048+0.00027=0.00075=0.0273
n11≥5
2500.14=35≥5
n11-1=2501-0.14=2500.86=215≥5
n22≤5
3000.09=27≥5
n21-2=3001-0.9=273≥5

Ejercicio: Un grupo de planeación urbana desea estimar la diferencia entre las medias de los ingresos familiares en 2 zonas de una gran área metropolitana. Unas muestras aleatorias independientes de familias residentes en las 2 zonas produjeron los siguientes resultados.

Zona 1 | n1=8 | X1=15 700 | S1=700 |
Zona 2 | n2=12 | X2=14 500 | S2=850 |

Determinar un intervalo de confianza dl 95% para esa diferencia.
 1 -2±t(n1+n2-gl)=1n1+1n2Sp2=n1-1S12+(n2-1)S12n1+n2-2=(8-1)(7002+12-1(850)28+12-2

7490,000+(11)(722,500)18=3,430,000+7,947,50018=11,377,50018=632,083.3333=750.0366
15,700-14,500±2.101(795.0366)18+112
1200±(1670.3718)(0.125+0.0833)=1200±1670.37180.2083=1200±1670.37180.4563=1200±762.1906
[437.8094, 1962.1906]

Ejercicio: Se tienen los resultados para las muestras aleatorias tomadas de poblaciones. Determine un intervalo de confianza del 98% para la diferencia entre los 2 promedios de población.
Muestra 1 | Muestra 2 |
n1=10 | n2=8 |
1=22.5 | 2=20.1 |
S1=2.5 | S2=2 |

 1 -2±t(n1+n2-gl)=1n1+1n2
Sp2=10-12.52-(8-1)(2)210+8-2=96.25+(7)(4)16=56.25+816=84.2516=5.2656=2.2946
22.5-20.1±2.5832.2946110+18=2.4±5.73650.225=2.4±5.7365(0.4743)=2.4±2.7208
[0.3208, 5.1208]

Ejercicio: En una encuesta determino que el 16% de 505 hombres y 25% de 496 mujeres encuestados estaban a favor de prohibir la venta libre de cerveza, vinos y licores en el país. Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre las proporciones de hombre y mujeres que favorecen la prohibición.
1=0.16 | 2=0.25 |
n1=505 | n2=496 |

1-2±Zx2 S1-2
S1-2=0.160.84505+0.250.75496=0.000266+0.000378=0.000644=0.0253

Ejercicio: Una empresa de encuestas efectúa interrogatorios de puerta en puerta,sobre una diversidad de asuntos, algunas personas cooperan con el entrevistador y llenan el cuestionario y otras no, se dispone de los datos siguientes:
| Tamaño de muestra | No. De personas que cooperan |
Hombres | n1=200 | 110 |
Mujeres | n2=300 | 210 |

a) Determine un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que cooperan en entrevistas.
b) Determine un intervalo de confianza del 96 para la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que cooperan en entrevistas.
S1-2=(0.55)(0.45)200+(0.7)(0.3)300=(0.00123+0.0007=0.00193=0.04393
0.55-0.7±1.960.04393=-0.15±0.0861028=[-0.2361028,-0.0638972]
-0.15±2.050.04393=0.15±0.0900565=[-0.2400565, -0.0599435]

Prueba de hipótesis

H0: Hipótesis nula
Ha: Hipótesis alternativa
Error tipo 1: Rechazar algo que es verdadero
Error tipo 2: No rechazar algo que es falso/ aceptar algo que es falso

Condición de la población |
Conclusión H0 es verdadera | Ha es verdadera |
| Aceptar H0 | Conclusión correcta | Error tipo II |
| Rechazar H0 | Error tipo I | Conclusión correcta |

Planteamiento de hipótesis

H0:μ≤μ0Ha:μ>μ0 | H0:μ=μ0Ha:μ≠μ0 | H0:μ≥μ0Ha:μ<μ0 |
|
Unilateral Derecha | Bilateral | UnilateralIzquierda |
Nota: Para proporción solo se cambia µ por pÌ„.

Pasos para la prueba de hipótesis

1.
Definir la hipótesis nula y alternativa para el caso.
2. Seleccionar el estadístico de prueba que se usara para decidir si rechazar o no la hipótesis nula.
3. Especificar el nivel de significancia α para la prueba.
4. Usar el nivel de significancia para establecer la regla de rechazo que indique los valores del estadístico de prueba que conducirán al rechazo de H0.
5. Reunir los datos de la muestra y calcular el valor del estadístico de prueba.
6. Comparar el valor del estadístico de prueba con el/los valores críticos especificados en la regla de rechazo para determinar si H0 se va a rechazar o no
7. Calcular el valor p basado en el estadístico de prueba en el paso 5, usar el valor de p para determinar si se debe rechazar o no H0.
Nota: El paso 7 no se aplica para muestra pequeña.

Estadístico de prueba para medias | Estadístico para proporciones |
Z=-µσnPara muestra grande n≥30 | Z=pÌ„-p0p0(1-p0)n |
t=-µsnPara muestra pequeña n<30

Ejercicio.- En febrero del 2000 la media del costo en un viaje redondo en avión con descuento era de 258 dólares en una muestra aleatoria de 15 boletos durante marzo se obtuvieronlos siguientes datos:
250, 260, 310, 260, 265, 255, 300, 310, 230, 250, 265, 280, 290, 240, 285.
a) Usando α=.05 (nivel de significación) pruebe si el costo promedio de viaje redondo con descuento ha aumentado en marzo. sCuál es su conclusión?

H0:μ≤258
Ha >258
t=-µsn
α=.05
Rechazo H0 si tc > 1.761

t=270-25824.784715= 1.875
Como tc= 1.8751 > 1.761 rechazo H0, por lo tanto los precios de los viajes en el mes de marzo si aumentaron

Ejercicio.- Un contador cree que los problemas de flujo de efectivo de una empresa son resultado directo del lento proceso de cobro de las cuentas por cobrar. Dice que al menos el 70% de las actuales cuentas por cobrar tienen más de dos meses, una muestra de 120 cuentas por cobrar indica que hay 78 con más de dos meses. Pruebe la afirmación del contador al nivel de significancia de .05

H0:p≥.70
Ha:p<.70
Z=p-p0p0(1-p0)n
p=0.65
α=.05
Rechazo H0 si Zc < -1.645
Z=.65-.70.70(.30)120
No se rechaza H0 y lo que afirma el contador es cierto
Regla del valor p: Rechazo H0 si p < α
P=.5—.3830 = .117
Por lo tanto no rechazo H0.

Ejercicio Una línea de producción funciona con una media del peso de llenado de 16 onzas por envase, el sobre de llenado o la falta de llenado son problemas graves yla línea de producción debe parar si se presenta alguno de ellos. De acuerdo con datos anteriores se sabe σ=.8 onzas, un inspector toma una muestra de 40 artículos cada 12 horas y de acuerdo con los resultados toma la decisión de parar la línea de producción para ajustar la o dejarla trabajando. Con α=.05
a) Si se encontrara = 16.32 onzas squé acción recomendaría usted?

H0 =16
Ha:μ≠16

Z=-µσn
α=.05

Rechazar H0 si Zc> 1.96 o Zc<-1.96

Z=16.32-16.880=2.1908

Como Zc > 1.96 rechazo H0 y paro el proceso de producción y ajusto la maquina.

Regla del valor p: Rechazo H0 si p < α
P=.5—4857 = .0143
Por lo tanto rechazo H0.

b) Si la media fuera de 15.82 onzas squé acción recomendaría?

H0 =16
Ha:μ≠16

Z=-µσn
α=.05

Rechazar H0 si Zc> 1.96 o Zc<-1.96

Z=15.82-16.880=1.2323

No rechazo H0, no paro el proceso de producción.

Regla del valor p: Rechazo H0 si p < α
P=.5—3907 = .1093
Por lo tanto no rechazo H0.

Ejercicio Un proceso de fabricación de jabón de tocador debe producir un promedio de 120 barras por lote. No se desea tener cantidades menores ni mayores del promedio. Una muestra de 10 lotes dio como resultado 108, 118, 120, 122, 119, 113, 124, 122, 120, 123. α=.05, pruebe si los resultadosde esta muestra indican que el proceso de manufactura está trabajando de forma correcta.
H0 =120
Ha:μ≠120
t=-µsn
α=.05
Rechazo H0 si tc < -2.262 o tc >2.262
t=118.9-1204.931710=-.7053
Por lo tanto rechazo H0 porque el proceso de manufactura trabaja de manera correcta.

Ejercicio La cámara de comercio de una población anuncia que hay posibles terrenos residenciales a un costo promedio de 25000 dólares o menos por lote. Empleado un nivel de seguridad de .05 pruebe la validez de esta aseveración, suponga que una muestra de 32 propiedades se calculo una media de 26000 dólares por lote y desviación estándar de 2500 dólares.
H0:μ≤25000
Ha:μ>25000
Z=-µσn
α=.05
Rechazo H0 si Zc > 1.645
Z=26000-250002500032=2.2627

Ejercicio.- Una maquina llenadora en una operación de producción se debe ajustar si hay más de 8% de los envases con falta de llenado, una muestra aleatoria de 80 envases de la producción del día había a faltas de llenado. Indica los resultados de la muestra que se debe ajustar la llenadora.
H0:p≤.08
Ha:p>.08
Z=p-p0p01-p0n
x= 9 n= 80 p=0.1125 α=.02
Rechazo H0 si Zc > 2.05
Z=.1125-.08.08(.92)80=1.071
Por lo tanto no se rechaza H0
Regla del valor p: Rechazo H0 si p < α
P=.5—3577 = .1423
Por lo tanto norechazo H0.

Ejercicio.- Una radiodifusora en una zona turística anuncio que cuando menos el 90% de hoteles se llenaría en un puente, la estación aconsejo a su auditorio hacer reservaciones por adelantado si deseaban pasar ese puente en la zona. El sábado por la noche en una muestra de 58 hoteles se vio que había 49 con letrero de “No hay lugar” y 9 sin el letrero. Cuál es su reacción hacia la aseveración de la radiodifusora, después de ver la evidencia de la muestra. Use α=.05 para efectuar la prueba estadística. sCuál es el valor p para los resultados de la muestra?
H0:p≥.90
Ha:p<.90
Z=p-p0p0(1-p0)n
n= 58, x=9, p=0.65
α=.05
Rechazo H0 si Zc < -1.645
Z=.8448-.90.90(.10)58
No se rechaza H0 se puede decir que por lo menos el 90% de hoteles se llenaría en el puente.
Regla del valor p: Rechazo H0 si p < α
P=.5—.4192 = .0808
Por lo tanto no rechazo H0.

Ejercicio: El gerente de almacenes modernos supone que la media del ingreso anual de sus clientes de tarjeta de crédito es cuando menos de 28000 dólares con una muestra de 58 tarjetas habientes se determina una media de 27200 dólares y una desviación estándar de 3000 dólares al nivel de significación de 0.05 sDebe rechazarse esta hipótesis? sCuál es el valor de p?
H0:μ≥μ0
Ha <μ0Z=-µσn
α=.05
Rechazo H0 si Zc<1.645
Z=27200-28000300058=-2.03
Se rechaza H0, por lo tanto la media del ingreso anual de sus clientes de tarjeta de crédito es menor de 28000
Regla del valor p: Rechazo H0 si p < α
P=.5—.4788 = .0212
Por lo tanto rechazo H0.

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias; dos poblaciones muestras independientes

Planteamiento de hipótesis

H0:μ1-μ0≤0Ha:μ1-μ0>0 | H0:μ1-μ0=0Ha:μ1-μ0≠0 | H0:μ1-μ0≥0Ha:μ1-μ0<0 |
|
Unilateral Derecha | Bilateral | Unilateral Izquierda |

Caso muestra grande n1 y n2 ≥30 | Estadístico para proporciones |
Z=1-2-(µ1-µ2)σ12n1+σ22n2 | t=1-2-(µ1-µ2)S1n1+1n2 |
| s2=n1-1σ12+(n2-1)σ22n1-n2-2 |

Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones; dos poblaciones muestras independientes

H0:p1-p2≤0Ha:p1-p2>0 | H0:p1-p2=0Ha:p1-p2≠0 | H0:p1-p2≥0Ha:p1-p2<0 |
|
Unilateral Derecha | Bilateral | Unilateral Izquierda |

Estadístico para las hipótesis unilaterales | Estadístico para la hipótesis bilateral |
Z=p̄1-p̄2-(p1-p2)p̄1-p̄(1n1+1n2) | Z=p̄1-p̄2-(p1-p2)p1(1-p1)n1+p2(1-p̄2n2 |
Donde p= n1p1+n2p̄2n1+n2

Ejercicio: Se tiene la siguiente prueba de hipótesis, los resultados siguientes pertenecen a dos muestras independientesn1=200 y n2= 300, p1=.22 y p2= .16
a) Cuál es la conclusión de su prueba de hipótesis con α=.05
b) Encuentra el valor p

H0:p1-p2≤0
Ha:p1-p2>0
α=.05
Z=p̄1-p̄2-(p1-p2)p̄1-p̄(1n1+1n2)
p= n1p1+n2p̄2n1+n2
Rechazar H0 si Zc>1.645
p= 200)(.22+300(.16)200+300= .184
Z=.22-.16-(0).1841-.184(1200+1300)=1.6962
Por lo tanto Se rechaza Ho
Si p<α Rechazo Ho
P=.5-.4545 =.0455
Como p< α, Rechazo Ho

Ejercicio: Una empresa estudia los tiempos de entrega de dos proveedores de materia prima. En general está satisfecho con el proveedor “a” y lo conservara si la media de si tiempo de entrega es igual o menor a la del proveedor “b” sin embargo si observa que la media de entrega del proveedor “b” es menos que la del proveedor “a” comenzara a comprar con el proveedor “b”
a) sCuáles son las hipótesis nula y alternativa para el caso?
b) Suponga que unas muestras independientes dan las siguientes características de tiempo de entrega para los 2 proveedores.
Proveedor “a” n1=50, 1= 14 días, S1= 3 días
Proveedor “b” n2= 30, 2=12.5, S2=2 días
sCuál es su conclusión respecto a las hipótesis del inciso a con α=.05?
sQué acción recomendaría usted con respecto a la elección del proveedor?
H0:μ1-μ0≤0
Ha:μ1-μ0>0
α=.05
Z=1-2-(µ1-µ2)σ12n1+σ22n2Rechazo H0 si Zc>1.645
Z=14-12.5-(0)3250+2230=2.6797
Por lo tanto rechazo H0
Rechazo H0 si p< α P= .50-.4962 =.0038 por lo tanto, Rechazo H0

Ejercicio: Los sueldos anuales iniciales para quienes comienzan en la profesión de contador público y administrador de empresas que aparecieron en una revista se indican tomadas de una muestra de 12 contadores y 14 administradores. Los datos están en miles de dólares, con α=.05 pruebe si hay diferencia entre las medias de los sueldos iniciales en las dos profesiones. sCuál es su conclusión?
Contador: 30.6, , 35.2, 25.1, 33.2, 31.3, 35.3, 31.0, 30.1, 29.9 y 24.4
Administrador: 31.6, 26.6, 25.5, 25, 25.9, 32.9, 26.9, 25.8, 27.5, 26.9, 25.8, 27.5, 29.6, 23.9, 26.9, 24.4 y 25.5.

H0:μ1-μ0=0
Ha:μ1-μ0≠0
α=.05
t=1-2-(µ1-µ2)S1n1+1n2

s2=11(3.3474)2+(13)(2.6410)212+14-2=2.9647
Rechazo H0 si tc<-2.064 o tc >2.064

t=30.5166-27-(0)2.9647112+114=5.1920
Por lo tanto Rechazo H0

Ejercicio: Suponiendo que la diferencia en la media de los tiempos de ensamble entre dos operaciones es de 5 minutos en pruebas independientes para las dos operaciones se obtuvieron los siguientes resultados. Con α=.02, pruebe la hipótesis de la diferencia entre las medias de ensamblado.
Operación A n1=100, 1=14.8, S1= 8
Operación B: n2= 50, 2=10.4, S2=6

H0:μ1-μ0=5
Ha:μ1-μ0≠5
α=.02
Z=1-2-(µ1-µ2)σ12n1+σ22n2

Rechazo H0 si Zc<-2.33 o Zc>2.33

Z=14.8-10.4-(5).82100+.6250=-5.1449
Por lo tanto se rechaza H0 y puedo concluir que la diferencia no es de 5 minutos

Ejercicio: Unas muestras de calificaciones finales para dos grupos de estadística con distintos maestros dieron los siguientes resultados.
Profesor A n1=12, 1= 72, S1= 8
Profesor B: n2= 15, 2=78, S2=10
H0:μ1-μ0=0
Ha:μ1-μ0≠0
α=.05
t=1-2-(µ1-µ2)S1n1+1n2

s2=11(64)2+(14)(100)212+15-2=84.16
Rechazo H0 si tc<-2.060 o tc >2.060

t=72-78-(0)(84.16)(112+115)=-1.6887
Por lo tanto no rechazo H0

Ejercicios: Una aseguradora de automóviles formo muestras de asegurados solteros y casados y noto la cantidad que tuvieron de reclamos durante el último periodo de 3 años. Los resultados son los siguientes: con α=.05 determine si las Frecuencias de reclamos son distintas entre los asegurados solteros y casados.
Solteros: n1=400, con reclamos=76
Casados: n2= 900, Sin reclamos=90
p1=.19 p2= .9
H0:p1-p2=0
Ha:p1-p2≠0
α=.05
Z=p̄1-p̄2-(p1-p2)p1(1-p1)n1+p2(1-p̄2n2
Rechazo H0 si Zc<-1.96 o si Zc >1.96
Z=.19-.9-(0)(.19)(.81)400+(.9)(.1)900=32.2477

Por lo tanto, rechazo H0





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